la recherche d'un élément par dichotomie dans un ... - Verimag

preuve : m ∈ [0..N] et 1 ∈ [1..1] impliquent m + 1 ∈ [1..N + 1].
Avec f ∈ [0..N] on a m + 1 + f ∈ [1..2N + 1] et donc (m + 1 + f) ÷ 2 ∈ [1 ÷ 2..(2N + 1) ÷ 2] = [0..N]
On est conduit à une nouvelle révision de ψ 5 et des propriétés qui en dépendent. Pour plus de clarté
on ne fait désormais apparaître que les nouvelles propriétés à valider.
ψ 5
ψ 4
ψ 1
ψ 7
ψ 0
ψ 8
def
= m ∈ [0..N] ∧ d, f ∈ . . . . . . . . . . . . . . . ∧ . . .
def
= ψ 5 [m ← (d + f) ÷ 2]
def
= (d + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∧ . . .
def def
= ψ 4 = (d + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∧ . . .
def
= ψ 1 [f ← m − 1]
def
= (d + m − 1) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∧ . . .
def
= ψ 1 [d ← 0 ; f ← N]
def
= (0 + N) ÷ 2 ∈ [0..N]
} {{ }
true
def
= ψ 1 [d ← m + 1]
∧ . . . . . . . . . . .
∈ [0..N] ∧ . . .
} {{ }
true
def
= (m + 1 + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∧ . . .
Qu'y a t'il de nouveau dans cette révision ?
Pour valider ψ 8 on doit montrer que m + 1 ∈ [0..N] sachant (d'après ψ 5 ) que m ∈ [0..N]. C'est
impossible. En eet, si d = N et f = N alors m = (N + N) ÷ 2 = . . . . . et m + 1 . . . . N ; donc les
propriétés concernant d, f doivent être plus subtiles.
De la même manière pour valider ψ 7 , on doit montrer que m − 1 ∈ [0..N] sachant (d'après ψ 5 ) que
m ∈ [0..N]. C'est impossible. En eet, si d = . . . et f = . . . alors m = (d + f) ÷ 2 = . . . et m − 1 < . . ..
On constate que les seuls cas qui nous ennuie sont les cas d = f = m = N et d = f = m = 0. Il ne
posent pas un réel problème puisque dans ces deux cas il n'y aura pas de nouvelle itération.
On choisit donc d'ajouter la contrainte d ≤ f ⇒ d, f ∈ [0..N] à ψ 1 , c'est-à-dire qu'à l'état
q 1 on s'intéresse aux valeurs de d, f uniquement lorsque d ≤ f.
On modie à nouveau les propriétés :
ψ 5
ψ 4
ψ 1
ψ 7
def
= m ∈ [0..N] ∧ d, f ∈ [0..N] ∧ . . .
def
= ψ 5 [m ← (d + f) ÷ 2]
def
= (d + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ d, f ∈ [0..N] ∧ . . .
def
= (d + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ d ≤ f ⇒ d, f ∈ [0..N] ∧ . . .
def
= ψ 1 [f ← m − 1]
def
= (d + m − 1) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∈ [0..N] ∧ . . .
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