la recherche d'un élément par dichotomie dans un ... - Verimag

def
ψ 5 = T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f]
Remarque : T [0..N] croissant et x > T [m] permet de montrer que x ∈ T [m + 1..N] mais
ne sut pas pour montrer que x est situé avant f. Il faut donc ajouter la seconde condition qui
dit que si x est dans le tableau alors il est dans le sous-tableau qui se termine à f.
m←(d+f)÷2
En q 4 : on détermine ψ 4 d'après ψ 5 en utilisant la transition q 4 −−−−−−−−→ q 5 . On choisit
def
ψ 4 = ψ 5 [m ← (d + f) ÷ 2] def
= T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f]
Remarque : La propriété ψ 5 ne mentionne pas m, donc le remplacement de m par (d+f)÷2
n'a pas d'eet et on trouve que ψ 4 = ψ 5 . Cela signie que le calcul de m ne joue aucun rôle
dans la preuve de correction ; ce qui peut paraître surprenant. En fait, ce calcul est important
dans la preuve de terminaison de l'algorithme mais n'a pas d'impact sur la preuve de correction.
✞
☎
d≤f
En q 1 : ✝VÉRIFICATION ✆: on utilise la transition q 1 −−−→ q 4 pour s'assurer que les propriétés que
nous avons choisies forme une chaîne d'implications qui est préservée par les itérations (c'est-à-dire les
chemins de q 1 à q 1 ).
On vérie que
x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f] ∧ d ≤ f
} {{ }
ψ 1
?
=⇒ T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f]
} {{ }
La seconde partie de la propriété ψ 4 est trivialement satisfaite puisqu'elle apparaît en prémisse de
l'implication (c'est ψ 1 ). Par contre la première partie de ψ 4 n'est pas une conséquence de la prémisse.
On doit réviser notre choix de ψ 1 et prendre :
def def
ψ 1 = ψ 4 = T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f]
Ceci entraîne des révisions en cascade des propriétés qu'on a déterminées à partir de ψ 1 . On doit donc
reprendre les raisonnements depuis q 1 .
def
ψ 8 = ψ 1 [d ← m + 1] def
= T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [m + 1..f]
?
Avec ces modications, l'implication ψ 1 ∧ d ≤ f =⇒ ψ 4 est trivialement satisfaite car elle est de la
forme P ∧ Q ⇒ P donc nos choix sont validés : les propriétés ψ 1 , ψ 4 , ψ 5 , ψ 8 , ψ 2 , ψ 11 , ψ s sont donc des
invariants des états q 1 , q 4 , q 5 , q 8 , q 2 , q 11 , q s respectivement.
En q 0 : on détermine les conditions initiales ψ 0 d'après ψ 1 en utilisant la transition q 0 −−−−−−−−→ q 1
ψ 4
d←0 ; f←N
ψ 0
def
= ψ 1 [d ← 0 ; f ← N] def
= T [0..N] croissant ∧ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [0..N]
} {{ }
def
= T [0..N] croissant
true
Donc l'algorithme fonctionne pour n'importe quel tableau croissant (contenant ou non le x cherché).
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