Etude de la diffraction E.M par la méthode itérative basée sur le ...

n r
S
SETIT 2005
3 rd International Conference: Sciences of Electronic,
Technologies of Information and Telecommunications
March 27-31, 2005 – TUNISIA
Fig.1 : structure de diffractio
Etude de la diffraction E.M par la méthode itérative
basée sur le concept d´onde (W.C.I.P)
Laboratoire systèmes de communications.
Ecole Nationale d´ingénieurs de Tunis B.P.37.le belvédère 1002- Tunis
N. Ammar, T.aguili, H. Baudrand
e-mail : noemen.ammar@laposte.net
Résumé : Dans cette communication nous essayons d’appliquer la méthode itérative basée sur le concept
d’onde (W.C.I.P) pour étudier la diffraction des ondes électromagnétiques en espace libre. Dans un premier
temps on va valider la méthode (W.C.I.P) pour un cylindre métallique infini éclairé par une onde plane.
Ensuite on va l’appliquer pour un cylindre infini sur le quel est localisé une source de courant magnétique sur
toute la longueur (z).
Mots clés : W.C.I.P, Diffraction, FFT, Cylindre Métallique infini
I) Introduction :
La diffraction des ondes électromagnétique en
espace libre a fait l’objet de nombreuses études,
dont découlent plusieurs méthodes numériques, tel
que la méthode des éléments finie , la méthode de
moments… Ces méthodes sont limitées dans leurs
applications, elles nécessitent un espace mémoire
assez important. La méthode itérative basée sur le
concept d’onde (W.C.I.P) est une méthode originale
puisqu’elle s’applique à toute les formes et
quelques soit la dimension de l’obstacle.
L’originalité de cette méthode est sa facilité de mise
en œuvre due à l’absence des fonctions d’essai et sa
rapidité du essentiellement à l’utilisation
systématique de la FFT. L’expression analytique du
processus itératif comporte un système de deux
équations. Une écrite dans le domaine réel
caractérisant la géométrie de la structure étudiée,
l’autre exprimée dans le domaine modal issu de la
description de l’environnement. Le passage entre
les deux domaines se fait par l’intermédiaire d’une
transformée de Fourier rapide FFT , et
respectivement d’une transformée inverse
−1
FFT .
1- Formulation et validation de la
méthode itérative
1-1 définition des ondes :
Soit S une surface de diffraction, et soit n r le
vecteur unitaire normal à cette surface est orienté
vers l’extérieur.
n r
S
S est située sous l’incidence normale d’un champ
électromagnétique,
E r T
et
T
H r sont les
composantes tangentielles par rapport à S du champ
électrique et du champ magnétique incidents. Les
ondes
par :
r r
Aet B
Avec ; J r =
sont définit a partir de
H r
T
A r =
∧ n r
2*
1Z 0
( Er T +Z0 J r )
r r
( E − Z0J
)
E r T
et
T
2- Justification de la méthode pour un
cylindre métallique infini éclairé par une
onde plane :
Pour bien utiliser la W.C.I.P, il est intéressant de
comparer les résultats obtenus par cette méthode
avec ceux qui sont données par la solution
analytique exacte.
ind
E r
r 1
B =
2 Z0
k r
x
z r y r
ind
H r x r
Fig.1 : structure de diffraction
T
J r
[1]
1

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La figure précédente représente un cylindre
métallique infini éclairé par une onde plane, Cette
onde génère un champ électromagnétique et un
courant surfacique que nous nous proposons de le
déterminer par la méthode (W.C.I.P). Les résultats
obtenus sont comparés avec la solution analytique
2-1 Processus itératif :
Les équations qui régissent la méthode itérative
pour un mode données à une itération N sont :
[2]
n
1−
Z 0Y
=
1−
Z 0Y
α
n
α
n
Γ ; ∈{ mod e TM & TE}
α
n
α [3]
Y : Admittance du mode, représente l´ouverture
de l´espace libre .
Γ : Le coefficient de diffraction modal exprimant
n
les ondes réfléchies a partir des ondes incidentes
dans le domaine spectral.
2-2 convergences des résultas :
La densité du courant total sur le cylindre est
donnée par :
N
J T
= ∑
n
( J 0 . n
+
A
N
n
− B
z 0
N
n
) [4]
J 0 .n
: Densité modal du courrant initial sur le
cylindre
1
( A − B )
J
0. n
0. n 0.
n
= [5]
z
0
Les figures 2 et 3 montrent la convergence des
résultas calculer par la méthode WCIP vers les
solutions analytique exacte :
Fig.3 module du densité totale de courant pour a=
0.5* ?
Pour un cylindre de rayon a= 0 .5* ? 100
itérations sont nécessaires pour atteindre la
convergence des résultas, pour a= 5* ?, il faut
moins d´énergie donc d´itération pour atteindre la
convergence de ces résultas, pour cela le module du
courant converge a partir de 10 itérations. Pour les
deux valeurs du rayon, on remarque que la méthode
itérative converge bien vers la solution analytique,
seulement quelques irrégularités qui sont
expliquées par les effets de bords.
3 .source localisée sur le métal :
Dans cette communication on va appliquer la
méthode itérative basée sur le concept d’onde à un
cylindre métallique infini, sur le quel est localisé
une source de courant magnétique, sur toute la
longueurz r .
Le courant magnétique sur le domaine de la source
à pour expression
r
M =
r
M U
Le champ électrique rayonné par la source est
donné par : E r r r
= M ? n
[6]
n r : Vecteur unitaire, normale à la surface du
cylindre.
En coordonnés cylindriques la relation devient :
r r
E = E ?
U ?
z
M
r
Fig.2 module du densité totale de courant pour
a= 5* ?
O
x r
Fig.4.
Schéma de la structure de diffraction
2

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Etant donné le champ électrique sur le domaine de
la source, on se propose de déterminer la variation
de la densité totale du courant sur tout le contour
circulaire du cylindre.
3.1 Processus itératif :
L’expression analytique du processus itératif
comporte un système de deux équations, l’une
écrite dans le domaine réel, l’autre exprimée dans le
domaine modal. Le passage entre les deux
domaines se fait par l’intermédiaire de la
transformée de Fourier rapide (FFT) et de la
transformée inverse (FF T
−1
). Le système qu’on
doit résoudre es t :
B r =
H M =
HS
r
E0
2 z
A r = Γˆ B r modal
1 sur le métal
0 ailleurs
1 sur le domaine de la source
H
S
=
0 ailleurs
Z : Un paramètre de choix arbitraire qui a la
dimension d’une impédance. Il influe sur la
vitesse de convergence.
Γˆ : Opérateur de diffraction
∑
Γˆ = fn Γ fn
[8]
n ≥ 0
n
fn = n cos nθ ; base modal de la structure
α ( )
- HM
A r spatial
cylindrique
Le démarrage du processus itératif est le suivant :
Le champ E r 1
0 crée l’onde B r
qui subit
l’influence de l’environnement sous forme d’une
réflexion avec le coefficient Γˆ dans le domaine
modal et devient l’onde incidente vers
1
l’obstacle A r , celle ci subit une réflexion dans le
2
domaine spatial et devient l’onde réfléchie B r
pour l’itération suivante. Pour passer d’un domaine
−1
à l’autre on fait appel à la (FFT) et (FF
T
[7]
). Le
schéma du processus est illustré par les figures
5 et 6
−1
FFT
3-2 Résultats numériques :
3-2-1 choix de paramètre Z :
On choisit la valeur optimal de ce paramètre qui
assure une convergence avec une bonne précision
pour un minimum nombre d’itérations. Suite à ces
conditions notre attention est portée sur le choix de
l’impédance du premier mode. La valeur de cette
impédance est donnée par :
z = z1 =
Domaine de la
source
a
A
A
2
jωµ H1
( kρ)
k H
2( kρ)
1
′
[8]
Fig. 7 : convergences du module de courant pour
les deux paramètres (z0 et z1), pour
a= 0.1* ? pour un, pixel pris sur le domaine de la
source
Γˆ
1
A
B 1
Fig. 5: Influence de la source sur tout les point
appartenant à la même surface
Fig. 6 : Schema d´une itération
Environnemen
t
Γ ˆ
B
B
FFT
3

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• a= 0.1?
Fig.8: convergences du module de courant pour les
deux paramètres ( z0 et z1), pour a= 0.1*?,pixel
sur le domaine du métal
Fig. 9: convergences du module de courant pour
a= 0.1?
D´après les deux figures précédentes, on constate :
• sur le domaine de la source la différence entre les
vitesses de convergence pour les paramètres z1 et
z 0 n´est pas assez important (V (z1)=
3
1 V (z0))
• sur le domaine du métal la figure 8 explique bien
le choix de z1 par rapport à z0, en effet pour
avoir la convergence, il faut 250 itérations pour
z0, mais pour z1 30 itérations sont suffisantes.
3-2-2 Variation de la densité de courant :
On discrétise le contour circulaire au nombre M=
64 pixels, on localise le domaine de la source sur P
pixels et le domaine du métal sur (M- P) pixels.
Ainsi, on a bien définit les fonctions indicatrices
H M et HS.
Pour calculer la densité totale du courant. Nous
allons effectuer les premières itérations a fin de
dégager la forme générale du courant à l’itération
N.
La densité total de courant est donnée par :
Fig. 10: variation du module de courant pour a=
0.1?
Pour a= 0.1?, on remarque que le courant est
maximal sur le domaine de la source, il démunit
sur le métal jusqu’il s’annule sur le« dos » du
cylindre l et on voie qu’il y a une cassure sur le
pic (domaine de la source), celle ci est interprétée
par l’apparition de l’effet de bords sur les limites
des deux domaines (source –métal).
• a= ?
( N)
B = HS
( N)
J
E
2
0
- M
A
( N)
= Γˆ FFT ( B )
z
( N ) ( N )
( )
A − B
N
= [10]
z
−1
( N −1 )
H FF T ( A )
[9]
Les courbes suivantes sont étudiées pour une source
localisée sur 3 pixels de la structure de diffraction.
Les courbes de convergence en fonction de nombre
d’itérations sont calculées au pixel numéro 10 (pris
sur le domaine du métal).
Fig. 11 : convergences du module de courant pour
a= ?
4

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3-2-2 Influence de dimension de la source sur la
variation du courant :
On va étudier l’effet de la dimension de la source
sur les variations de courant. Pour cela on va fixer
le rayon de cylindre (a = 0.01?) et on varie le
domaine de la source. Les valeurs de la source sont
localisées sur 5 pixels, 10 pixels et 20 pixels. La
situation est donnée par les figures suivantes :
Fig. 12: variation du module de courant pour a= ?
Pour des rayons comparables à la longueur d’onde,
le courant diminue sur le métal et les effets de
bords deviennent plus importants.
• a= 10 ?
Fig-15 : source localisée sur 5 pixels
Fig-13 : convergences du module de courant pour
a= 10 ?
Fig-16 : source localisée sur 10 pixels
Fig. 14: variation du module de courant pour a=10?
On constate que le courant devient pratiquement nul
sur tout le domaine du métal ainsi que les effets de
bords disparaissent.
• À partir des résultats précédents on peut
dire que l’effet de la source sur le métal
dépend des dimensions géométriques de la
surface de diffraction. C'est-à-dire, plus
que le rayon du cylindre est faible devant
la longueur d’onde plus que le courant est
important sur le métal.
Fig-17 : source localisée sur 20 pixels
• Les résultats précédents montrent que si on
augmente la dimension de la source, la
valeur du courant sur le métal augmente
ainsi que les effets de bords deviennent
plus importants.
5

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4. Conclusion :
On a pu développer cette méthode pour une source
de courant magnétique localisée sur quelques
pixels de métal. On a vu l’influence du domaine de
la source sur tout le domaine de la structure de la
diffraction pour les déférentes dimensions
géométriques du cylindre.
D’après les résultats numériques on peut dire que :
plus le rayon du cylindre est petit devant la
longueur d’onde plus que le courant sur le métal est
important. De point de vue de l’extension de la
source, on remarque que la variation du courant sur
le domaine du métal augmente avec l’augmentation
du domaine de la source, ainsi que les effets de
bords deviennent plus considérables. Le problème
de convergence a été résolu par le choix du
paramètre z optimal qui réduit considérablement le
nombre d’itération.
N. Raveu ,Vuong GDR 2003
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