Mesure des angles et trigonomÃ©trie

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- Valeurs particulières : utilisation du théorème de Pythagore et du cercle trigonométrique α 0 π/6 π/4 π/3 π/2 _________________________________________________________________ sin α 0 1/2 2 / 2 3 /2 1 cosα 1 3/2 2 / 2 1/2 0 tan α 1 3 /3 1 3 non défini Tableau de valeurs (exactes) particulières - Relations fondamentales en trigonométrie (elles se déduisent facilement de l’observation du cercle trigonométrique) cos 2 α + sin 2 α = 1 (elle se démontre en utilisant le théorème de Pythagore) - Période : On a l’égalité : cos(α + 2π) = cosα. La période de la fonction cosinus est de 2π. On a plus généralement cos(α + k2π) = cosα pour tout k appartenant à Z. La fonction sinus a la même période (2π). On en déduit que la fonction tangente est telle que tan(α + 2π) = tan α. Mesure d’angles et trigonométrie 4
- α π - α π/2 - α α + π/2 α + π _______________________________________________________________________________________________________ sin −sin α sin α cosα cosα − sin α cos cosα −cosα sin α −sin α − cos α tan −tan α −tan α cotan α − cotan α tan α Sinus, cosinus et tangentes de -α, π - α, π/2 - α et α + π/2 en fonction de sin α, cosα, et tan α. Remarque : tan(α + π) = tan α. On en déduit que la période de la fonction tangente est π. - Formules d'addition Soit a et b deux angles quelconques. On a les relations suivantes : sin (a+b) = sin a cosb + sin b cos a cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b tan a + tan b tan (a + b) = 1 − tan a tan b sin (a-b) = sin a cosb - sin b cos a cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b tan a − tan b tan (a − b) = 1 + tan a tan b - Relations avec l'arc double sin 2α = 2 sin α cosα cos 2α = cos 2 α - sin 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1 - 2 sin 2 α sin 2 α = 1 ( 1 - cos 2α ) 2 cos 2 α = 1 ( 1 + cos 2α) 2 En posant t = tan ( α ) on a les relations suivantes : 2 2t sin α = , cos α = 1 − t2 2t , tan α = 1+ t 2 1 + t 2 1− t 2 - Relations entre sommes et produits Transformation de produits en sommes Transformation cos a cos b = 1 [ cos (a+b) + cos (a-b) ] 2 sin a sin b = 1 [ cos (a-b) - cos (a+b) ] 2 sin a cos b = 1 [ sin (a+b) + sin (a-b) ] 2 de sommes en produits sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p + cos q = 2 cos p − q 2 sin p - sin q = 2 sin p − q 2 cos p - cos q = - 2 sin p − q 2 cos p − q 2 cos p + q 2 cos p + q 2 sin p + q 2 Mesure d’angles et trigonométrie 5
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