Tolérance aux pannes dans les graphes distants et circulants

SETIT 2005
3 rd International Conference: Sciences of Electronic,
Technologies of Information and Telecommunications
March 27-31, 2005 – TUNISIA
Tolérance aux pannes dans les graphes distants et
circulants
Lyamine Bouhafs 1 * et Hamamache Kheddouci 2 **
*
Université de Technologie de Belfort-Montbéliard
Équipe Systèmes Multi-Agents
Laboratoire Systèmes et Transports
90010 Belfort cedex, France
Lyamine.Bouhafs@utbm.fr
** Univesité Claude Bernard Lyon1
Laboratoire PRISMa - Bâtiment Nautibus
843, Bd. du 11 novembre 1918,
69622 Villeurbanne Cedex France
hkheddou@bat710.univ-lyon1.fr
Résumé: La tolérance aux pannes est une propriété importante dans les réseaux. Beaucoup d’auteurs se sont intéressés
à la tolérance aux pannes dans des variétés de problèmes. L’existence d’un cycle hamiltonien dans un réseau préserve le
fonctionnement de celui-ci même lorsqu'il y a des éléments défectueux. Nous nous intéressons dans ce papier au
plongement d’un cycle hamiltonien sain (ne contient pas de pannes) dans un réseau en présence de pannes. Plus
particulièrement, nous traitons ce problème dans quelques architectures comme les circulants et les graphes distants.
Mots clés: tolérance aux pannes, plongement, cycle hamiltonien, graphe circulant, graphe distant, réseau.
1 Introduction
Beaucoup de travaux de recherches ont été menés
dans le plongement d’un cycle hamiltonien et d’une
chaîne hamiltonienne dans différentes classes de
graphes en présence de pannes notamment dans
l’hypercube, Twisted-cube, Graphes à arrangement,
Star graphes, Circulants, etc.
Dans ce qui suit, on note F l’ensemble des
e
arêtes en panne, F v l’ensemble des sommets en panne
et on désigne par F l’ensemble des arêtes et des
sommets en panne en même temps.
(Hsieh & al., 1999) ont étudié le plongement d’un
cycle hamiltonien dans un graphe à arrangement An,k
en présence de panne dans les situations suivantes : (1)
au plus k ( n − k)
− 2 arêtes en panne et
( n − k ≥ 4, k = 2 ou n − k ≥ 4 + k
, k ≥ 3)
, (2) au
2
plus k ( n − k − 3) −1
arêtes en pannes avec
( n - k ≥ 2 + k
et k ≥ 2)
, (3) au plus k arêtes en
2
panne avec (n - k ≥ 3 et k ≥ 2)
, (4) au plus n - 3
sommets en panne et n - k ≥ 3 , (5) au plus
k sommets/arêtes en panne et n - k ≥ 3 . (Fu , 2002) a
démontré que l’on peut plonger un cycle hamiltonien
de longueur 2 n - 2 Fv
dans un hypercube à n
dimensions avec n ≥ 3 et1 ≤ F v ≤ 2n
− 4 . (Hsu & al.,
2002a) ont démontré que, dans un hypercube (il est
connu que tout hypercube Q n ² est un graphe biparti)
si n ≥ 2 et F e ≤ 2 , alors il existe un chemin
hamiltonien dans Q n - Fe
entre deux sommets
quelconques des deux partitions. De plus, il existe un
n
chemin de longueur 2 − 2 entre deux sommets
quelconques de la même partition. Ils ont prouvé aussi
que si n ≥ 2 et F e ≤ n − 3 , il existe un chemin
hamiltonien dans Qn
− { v} − Fe
entre deux sommets
quelconques de la même partition sans le sommet v .
Les mêmes auteurs (Hsu & al., 2002b) ont étudié une
autre topologie nommée Twisted cube TQn
qui dérive
de l’hypercube en modifiant quelques connections
entre ses sommets. Ils ont montré que TQn
− Fe
reste
hamiltonien si F e ≤ n − 2 . De plus, il existe un
chemin hamiltonien dans TQ − F joignant deux
n
e

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sommets quelconques u et v dans v( TQ n ) − Fe
si
F e ≤ n − 3. Ce résultat est optimal dans le sens où la
tolérance aux pannes pour l’hamiltonisme (resp. la
tolérance aux pannes pour l’hamiltonisme connecté)
ne peut pas dépasser n − 2 (resp. n − 3 ).
(Hsieh & al., 2001) ont démontré que, dans un
graphe étoile (star graph) S n qui a été reconnu
comme une architecture alternative de l’hypercube, si
n ≥ 6 et F v ≤ n − 5 alors S n − Fv
contient un chemin
hamiltonien de longueur n ! −2
Fv
− 2( n!
−2
Fv
−1)
entre deux sommets arbitraires de distance pair/impair.
(Teng & al., 1997) ont montré qu’un cycle
hamiltonien existe si ⏐ F e = n − 3 dans un graphe n-
star. De même si F v = n − 3 un cycle hamiltonien est
toujours trouvé.
Une autre classe de graphes appelée Honycomb
rectangular torus HreT(m, n) avec n ≥ 4 , qui a été
reconnue comme une alternative des architectures à
tore existantes, a été étudiée par (Cho & al., 2002). Il
est connu que HreT(m, n) est biparti et 3-réguliers.
Ces auteurs ont démontré que HreT(m, n) - e reste
hamiltonien ∀ e ∈ E(HreT(m, n)) . De plus
HreT(m, n) - Fv reste hamiltonien pour un ensemble
Fv
quelconque tel que F v = { a, b} avec a ∈A et B ∈B
où A et B constituent les 2 partitions de
HreT(m, n) , si n ≥ 6 ou m = 2 .
Dans la littérature des graphes circulants G n , k , où
n représente l’ordre de graphe et k la séquence des
distances, il a été prouvé qu’on peut plonger un cycle
hamiltonien dans Gn, k − Fv
si F v ≤ k . il a été
démontré aussi qu’un cycle hamiltonien peut être
plongé dans Gn, k − Fe
si F e ≤ k (Sung & al., 1998) .
(Sung & al., 2000) ont prouvé que G n , k − F
contient un cycle hamiltonien si F ≤ k avec k = 2 ,
k = 3 et F ∈ V ( G n, k ) ∪ E(
G n , k ) . Ils ont conjecturé
que tout G n , k est k panne-tolérant hamiltonien. (Tsai
& al., 2002) s’est intéressé au graphes circulants
récursifs G ( N,
d)
et il a montré que G(
cdk,
d)
− F
reste hamiltonien si F ≤ d( G(
cdk,
d))
− 2 et
G ( cdk,
d)
n’est pas biparti.
Dans cet article nous nous intéressons à une classe
particulière de circulants C n ( 1, r)
pour généraliser le
résultat de (Sung & al., 2000). Nous allons prouver
que l’on peut plonger un cycle hamiltonien dans
Cn ( 1, r)
− F e si F e ≤ 2 avec F e l’ensemble des arêtes
en panne. Nous prouvons aussi que Cn
( 1, r)
− Fv
est 2-
sommet panne-tolérant hamiltonien. Nous étudions
une autre classe de graphes H n ( 1,2, r)
proche des
circulants nommés les graphes distants et nous
montrerons que l’on peut plonger un cycle
hamiltonien dans ( 1,2, r)
− F si F ≤ 1 .
H n
Cet article est organisé de la façon suivante : nous
donnons quelques rappels sur la théorie des graphes, le
problème de plongement, la tolérance aux pannes dans
les graphes et le problème de cycle hamiltonien. Dans
Le point suivant nous étudions le plongement d’un
cycle hamiltonien dans les graphes distants en
présence de pannes des processeurs et des liens.
Après, le plongement d’un cycle hamiltonien dans les
graphes circulants en présence des pannes des liens
(arêtes). Ensuite, nous présentons notre étude sur la
tolérance aux pannes des nœuds (sommets) dans les
graphes circulants. Enfin, nous terminons par une
conclusion et des perspectives.
2 Définitions et notations
2.1 Les termes de base de la théorie des graphes
Tous les graphes considérés dans cet article sont
finis et non orientés. Les termes que nous allons
définir dans cette section sur les graphes seront utilisés
ultérieurement.
Soit G = ( V , E)
un graphe tel que V représente
l’ensemble des sommets et E l’ensemble des arêtes.
L’ordre de G est défini par V (cardinal de V ) et la
taille de G est défini par E . Le degré d’un sommet
dans G est le nombre d’arêtes qui lui sont incidentes.
Le degré de G est le maximum des degrés de ses
sommets.
G est un graphe complet s’il existe une arête entre
toute paire de ses sommets distincts. G est biparti si
V peut être partitionné en deux sous ensembles V1
et
V 2 tels que chaque arête de G joint un sommet de V1
avec un sommet de V 2 . V 1 et V2
sont appelés les
partitions de G . En plus, G est dit biparti complet s’il
existe une arête entre tout sommet de V1
avec tous les
sommets deV 2 . Généralement, un graphe complet de
n sommets est noté par K n , et un graphe complet
biparti est noté par K m , n où m = V1
et n = V2
.
Une chaîne est une séquence de sommets telle que
deux sommets consécutifs sont adjacents. Une chaîne
est hamiltonienne si elle couvre tous les sommets du
graphe une et une seule fois. Un cycle est une chaîne
constitué d’au moins 3 sommets tels que le premier
sommet et le dernier sommet sont les mêmes. Un
cycle est dit hamiltonien s’il passe par tous les
sommets du graphe une et une seule fois. Un graphe
est hamiltonien s’il contient un cycle hamiltonien et il
est hamiltonien connecté s’il existe un chemin
hamiltonien entre deux sommets quelconques du
graphe.
Un graphe biparti avec V 1 = V2
est dit
hamiltonien-laceable s’il existe un chemin hamiltonien
entre deux sommets quelconques x et y avec x ∈ V1
et y ∈ V2
. De plus, un graphe biparti est dit fortement
hamiltonien-laceable s’il est hamiltonien-laceable et il
existe un chemin de longueur V 1 + V2
− 2 entre deux
sommets distincts quelconque de la même partition.
La distance entre deux sommets de G est la plus
courte longueur des chemins qui les relient. Le
diamètre de G est la plus longue distance entre deux
sommets quelconque de G .
Soient G et H deux graphes. Un isomorphisme

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entre G et H est une bijection entre leurs ensembles
de sommets qui préservent l’adjacence. G et H sont
dit isomorphes s’il existe un isomorphisme entre
G et H . Quand G = H , un isomorphisme entre G et
H est dit automorphisme de G (ou H ). G est à
sommet (ou arête) symétrique s’il existe un
automorphisme dans G qui plonge l’un dans l’autre.
Deux classes de graphes sont étudiées dans ce
papier. Ces deux classes sont les graphes distants et les
circulants.
Un graphe distant H n ( d1,
d 2 ,..., d r ) est défini par
l’ensemble de sommets
V ( H n ( d1,
d 2 ,..., d r )) = { 0,1,2,... n −1}
et l’ensemble des
arêtes : E(H n (d 1 ,d 2 ,…d r )) = {(i, j) (j-i) = l, avec d 1 ≤ l
≤ d r , 0 ≤ i ≤n-2 et 0 ≤ j ≤n-1}. Nous nous sommes
intéressé plus précisément à une classe particulière de
graphe distant notée H n (1, 2 , r) dont l’ensemble de
ses sommets est V(H n (1,2,r)) = {0, 1, 2, …., n-1} et
l’ensemble des arêtes est E(Hn(1, 2 , r)) ={ (i,j) ((j-i)
mod n )= l, avec l ∈ {1, 2, r}, 0 ≤ i ≤n-2 et 0 ≤ j ≤n-1}.
Un graphe circulant C n (d 1 , d 2 , …, d k ), avec {d 1 , d 2 ,
…,d k } la séquence des distances est défini par
l’ensemble des sommets V(G) = {v 0 , v 1 , …,v n-1 } et
E(G) = {(v i , v j ) \ (i-j) mod n = d l , ∀ 1≤ l≤ k} (Sung &
al., 2000) . La classe des graphes circulants à laquelle
nous nous sommes intéressés est C n (1, r), dont la
séquence des distances est constituée de 2 éléments
seulement {1, r}. Cette classe de circulants est appelée
double-loop networks.
(a)
(b)
Figure 1. (a) Exemple de graphe distant H 21 (1,2,5)
(b)Exemple de graphe circulant C 8 (1,2)
2.2 La tolérance aux pannes dans les graphes
Soit un graphe G= (V, E) qui représente un réseau.
Deux types de pannes peuvent survenir : les pannes
des processeurs (sommets) et les pannes des liens
(arêtes) :
• La panne d’un lien correspond à la
suppression d’une arête dans G.
• La panne d’un processeur correspond à la
suppression d’un sommet et toutes les arêtes qui lui
sont incidentes.
Si F désigne l’ensemble des composants en panne,
incluant les sommets et les arêtes en panne dans G.
G-F(G\F) dénote le graphe obtenu en supprimant
l’ensemble F dans G suivant les règles ci-dessus.
La tolérance aux pannes des sommets pour
l’hamiltonisme (nodes fault-tolerant hamiltoncity) et
la tolérance aux pannes des arêtes pour l’hamiltonisme
(edges fault-tolerant hamiltoncity) mesurent la qualité
de la propriété hamiltonienne dans des réseaux en
présence de pannes .
Un graphe G hamiltonien est dit k arêtes pannetolérant
hamiltonien si G\ F e reste hamiltonien pour
tout ensemble quelconque de sommets F e ⊂E(G) avec
⏐F e ⏐≤ K.
Un graphe G hamiltonien est dit k sommets pannetolérant
hamiltonien si G\F v reste hamiltonien pour
tout ensemble quelconque de sommets F v ⊂V(G) avec
⏐F e ⏐≤ K.
Un graphe G hamiltonien est dit k panne-tolérant
hamiltonian si G\ F reste hamiltonien pour tout
ensemble quelconque F⊂V(G) ∪E(G) avec ⏐F v ⏐≤K.
Un graphe k panne-tolérant hamiltonien a au
moins k+3 sommets.
Le degré de chaque nœud (sommet) dans un
graphe k panne-tolérant hamiltonien est au moins k+2
avec k≤ δ(G)-2.
2.3 Le problème de cycle hamiltonien
Dans ce mémoire on s’intéresse à la recherche
d’un cycle hamiltonien dans un graphe en présence de
pannes. Le problème de cycle hamiltonien est un
problème NP-difficile qui consiste à trouver dans un
graphe un cycle qui contient tous les sommets une et
une seule fois. L’hamiltonicité d’un graphe est une
propriété importante utilisée souvent par les
théoriciens des graphes. Plusieurs recherches on été
effectuées dans l’hamiltonicité d’une variété de
classes restreinte de graphes et des algorithmes ont été
proposés pour l’existence des cycles hamiltoniens
pour ces classes de graphes. Ces algorithmes sont
basés sur des Heuristiques ou Backtracking.
Il existe plusieurs théorèmes sur la recherche d’un
cycle hamiltonien dans les graphes. Ces théorèmes
décrivent les conditions nécessaires pour l’existence
(ou non-existence) des cycles hamiltoniens. On peut
citer deux théorèmes :
Théorème 1 (Vandegriend, 1998) : Dans un graphe
hamiltonien , le degré de chaque sommet doit être ≥ 2.
Si un sommet a exactement un degré 2 alors les deux
arêtes incidentes à ce sommet doivent appartenir à
n’importe quel cycle hamiltonien.
Théorème 2 (Vandegriend, 1998) : Si le graphe G

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est biparti avec les 2 partitions X et Y et ⏐ X⏐≠ ⏐ Y⏐
alors aucun cycle hamiltonien ne peut
3 La tolérance aux pannes dans les
graphes distants H n (1,2,r)
On cherche à plonger un cycle hamiltonien dans
H n (1,2,r) en présence de panne de sommet et/ou
d’arête. Soit F un ensemble quelconque de k sommets
et/ou d’arêtes dans H n (1,2,r). H n (1,2,r) est k-pannetolérant
hamiltonien si H n (d 1 ,d 2 ,…d r )-F reste
hamiltonien∀ F∈ E(G) ∪ V(G) avec ⏐F⏐≤ k.
3.1 Etude de la 1 panne-tolérance hamiltonicité
des graphes distants H n (1,2,r)
Lemme 1
H n (1, 2 , r) est 1-panne-tolérant hamiltonien si
n > 2r.
Preuve
Le degré minimum du graphe H n (1, 2 , r) est
δ(H n (1, 2 , r)) = 3. Il est évident que le nombre
maximum de sommets et/ou d’arêtes k que le graphe
peut tolérer pour qu’il reste hamiltonienne ne peut pas
dépasser δ(H n (1, 2 , r))-2, i.e., k ≤ 1.
Nous allons prouver, la tolérance aux pannes d’une
arête, puis nous prouvons la tolérance aux pannes d’un
sommet.
Preuve de la 1-arête panne-tolérance
hamiltonicité des graphes H n (1, 2 , r)
Dans le graphe H n (1, 2 , r), on distingue 3 classes
d’arêtes. On note la première classe par F1 telle que
F1 = {(i, i+1)\ 0 ≤ i ≤n-2}, la deuxième classe
F 2 = {(i, i+2)\ 0 ≤ i ≤n-3} et la troisième classe
F 3 = {(i, i+r)\ 0 ≤ i ≤n-r}.
Soit e=(i, j) l’arête à supprimer. Sans perte de
généralité, on peut supposer que 0 ≤ i ≤n/2. Dans les
autres cas, on procède par symétrie. Suivant le type
d’arête à supprimer on distingue les 3 cas suivants :
Cas 1 : e ∈ F 1 .
On distingue les sous-cas suivants :
a) Sous-cas 1 : e ≠ (0,1)
Le cycle hamiltonien dans ce cas est constitué de
toutes les arêtes de graphe de type F2 plus les 2 arêtes
de type F 1 (0, 1) et (n-2, n-1) indépendamment de r
comme suit :
< 0, 2, 4, …, n-2, n-1, n-3, n-5, …, 5, 3, 1, 0 >.
b) Sous-cas 2 : e = (0,1)
Dans ce cas, le cycle hamiltonien est constitué des
trois types d’arêtes. Pour éviter l’utilisation de l’arête
(0, 1) supprimée on utilise les 3 arêtes (0, r), (1,r+1) et
(2, r+2) et le reste sera des arêtes de type F2 et F1
comme suit :
< 0, 2, 2+r, 4+r, 6+r, …, n-3, n-1, n-2, n-4, n-6, ...,
3+r, 1+r, 1, 3, 4, 5, …, r, 0>
La figure 2 présente le tracé des cycles
hamiltoniens dans les graphes H 20 (1,2,r) et H 14 (1,2,5)
en présence d’une arète en panne.
(a)
(b)
Figure 2. (a) H 20 (1,2,r) avec (6, 7) en panne
Cas 2 : e ∈ F 2 .
Dans ce cas, nous analysons le cycle hamiltonien
suivant les valeurs de i :
a) Sous-cas 1 : i ≤r-1
On parcourt toutes les arêtes de type F 1 jusqu’à ce
que on arrive à l’arête (r-2, r-1) et ensuite on évitera
toutes les arêtes de type F 2 comprises entre 0 et r-1. En
arrivant à r-1, on utilise l’arête de type F 3 (r-1, 2r-1),
puis on réutilise les arêtes de type F 2 pour parcourir le
reste des sommets entre 2r-1et n-1. Le cycle
hamiltonien est établi par la formule suivante :
< 0, 1, 2, …, r-1, 2r-1, 2r+1, 2r+3, …, n-1, n-2, n-
4, …, 2r+2, 2r, 2r-2, 2r-3, 2r-4, …, r, 0>
b) Sous-cas 2 : (i > r-1)
• Si i est pair alors le cycle hamiltonien est
trouvé de la façon suivante : < 0, 2, 4, …, i-2, i, i+r,
i+r+2, i+r+4, …, n-1, n-2, n-4, …, i+r+3, i+r+1, i+r-1,
i+r-2, …, i+2, i+1, i-1, i-3, …, 3, 1, 0 >
• Si i est impair alors le cycle hamiltonien est
le suivant :
< 0, 2, 4, …, i-5, i-3, i-3+r, i-1+r, i+1+r, …, n-3,
n-1, n-2, n-4,…, i+r, i-2+r, i-4+r, i-5+r, …, i+2, i+1, i,
i-1, i-2, i-4, …, 3, 1, 0 >.
Cas 3 : e ∈ F 3 .
Dans ce cas le cycle hamiltonien existe toujours et
il ne dépend pas de r. Il est constitué des arêtes de type
F 1 et des arêtes de type F 2 .
On a traité tous les cas. Donc, le graphe H n (1, 2, r)
est 1-arète panne-tolérant hamiltonien.

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Preuve de la 1-sommet panne-tolérance
hamiltonicité des graphes H n (1, 2 , r)
Soit i le sommet à supprimer. Sans perte de
généralité on peut supposer que 0 ≤ i ≤ n/2. Dans les
autres cas on procède par symétrie.
Pour prouver que H n (1, 2, r) est 1-sommet pannetolérant
hamiltonien, suivant les valeurs de i, on
distingue les cas suivants :
Cas1 : i pair
Dans ce cas, le cycle hamiltonien est construit de
la façon suivante :
• Si i = 0 alors le graphe H n (1, 2, r) – V(0) est
équivalent au graphe H n-1 (1, 2, r) qui contient toujours
un cycle hamiltonien composé des arêtes de type F 2 et
de type F 1 .
• Sinon ( i > 0) : le cycle hamiltonien est
trouvé par la formule suivante :
(a)
(b)
Figure 3. (a) Cycle hamiltonien dans le graphe H 16 (1,2,7)
avec 4 comme sommet en panne. (b) Cycle hamiltonien
dans le graphe H 21 (1,2,8) avec 8 comme sommet en panne.
Cas2: i impair
• Si i = 1 alors le cycle hamiltonien est trouvé
par l’expression suivante : < 0, r, r+2, r+4, …., n-3, n-
1, n-2, n-4, …, r+3, r+1, r-1, r-2, …, 2, 0>
• Sinon (si i >1), le cycle hamiltonien est
trouvé de la façon suivante : < 0, 1, 3, 5, …, i-2, i-2+r,
i+r, i+r+2, …, n-2, n-1, n-3, n-5, …, i+r+1, i-1+r, i-
3+r, i-4+r, …, i+1, i-1, i-3, …, 4, 2, 0 >.
Le graphe Hn(1, 2, r) est 1-sommet panne-tolérant
hamiltonien.
Après avoir prouver que le graphe H n (1, 2, r) est
1-sommet arête-tolérant hamiltonien et 1-sommet
panne-tolérant hamiltonien on en déduit que
H n (1, 2, r) est 1 panne-tolérant hamiltonien.
4 La tolérance aux pannes des arêtes
dans les graphes circulants C n (1, r)
Il est clair que C n (1,r) est un graphe hamiltonien.
Si F e est un ensemble quelconque de k arêtes dans
C n (1,r) et si C n (1,r)-F e reste hamiltonien pour ⏐F e ⏐≤ k,
alors C n (1,r) est k-arête panne-tolérant hamiltonien.
Proposition 1
C n (1,r) est 2-arête panne-tolérant hamiltonien si n
≥ 2r+1.
Preuve
C n (1, r) est un graphe régulier de degré 4. Soit k le
nombre maximum d’arêtes que l’on peut supprimer
pour que C n (1, r) reste hamiltonien alors k ≤ δ (C n,r )-
2, i.e, k ≤ 2.
Les arêtes de C n (1,r) sont de deux types. Soient F 1
la classe des arêtes de type (x i , x i+1 ) avec 0≤ i ≤n-1, et
F 2 l’ensemble des arêtes de type (x i , x i+r ) avec 0 ≤ i ≤
n-1.
On considère les notations suivantes : d = j-i la
plus petite distance sur le cycle entre les deux
sommets xi et x j adjacents aux arêtes supprimées,
n 1 =n-d+1 la grande distance entre x i et x j .
Soient e 1 , e 2 les deux arêtes à supprimer. Pour
prouver la proposition ci-dessus. On distingue les 3
cas suivants:
Cas1: e 1 , e 2 ∈ F 1 avec e 1 =(x i , x i+1 ) et e 2 =(x j , x j+1 )
les deux arêtes à supprimer.
Sans perte de généralité on peut supposer que
e 1 =(x 0 , x 1 ) et e 2 =(x j , x j+1 ) avec 1≤j≤ n/2. Dans les
autres cas on procède par symétrie.
On discute suivant les valeurs de d (d = j-i) et on
distingue les sous cas suivants :
a) Sous-cas 1 (d ≤ r-1) :
Dans ce cas, suivant les valeurs de n on distingue 3
cas :
a.1) n-d≥ 2r+1:
Le cycle hamiltonien est construit comme suit:
Cette méthode est vérifiée lorsque n-d≥ 2r+1. La
plus petite valeur que peut prendre d est 1 car d=j-i,
i=0 et 1≤j≤ n/2 alors n ≥ 2r+2.
a.2) n-d ≤ 2r-1
Dans ce cas n-d ≤ 2r-1 d≥n-2r+1 ; alors le cycle
hamiltonien est donné par :
On a j+r > n-r+1, i.e., d > n-2r+1 donc d>1.
Puisque d>1 alors n≥2r+2. Au cas où d=r-1 on aura
n≤3r. donc cette méthode est vérifiée si 2r+2≤ n ≤3r.

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(a)
(b)
Figure 4. (a) cycle hamiltonien dans le cas
(d ≤ r -1) et (n - d ≥ 2r + 1). (b) cycle hamiltonien quand
d≤r-1 et n-d ≤ 2r-1.
a.3) n-d=2r
Dans ce cas n-d=2r d=n-2r. Trois sous-cas sont
distingués :
• Si d est pair, on trouve le cycle hamiltonien
facilement de la manière suivante : Puisque d est pair,
d ≤r-1 et n-d=2r,l es sommets de 1 à j (nombre pair)
ont leurs voisin entre 0 et n-r et entre j+1 et j+r+1,
donc on peut les insérer dans le cycle pour avoir un cycle
hamiltonien. on a le choix de les insérer soit entre 0 et
n-r ou entre j+1 et j+r+1. Le cycle hamiltonien est .
donc construit comme suit :
• Si d et r sont impairs, alors le nombre de
sommet entre j et j+r est pair car r est impair. Donc,
entre 1 et n-r+1, il y a r-1 sommets, sans compter les
deux sommets 1 et n-r+1. Même chose entre le
sommet j et le sommet j+r. Et puisque n-d = 2r, les
sommets n-r+1 et j+r sont voisins et j+r

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Le seul cas qui pose problème est lorsque i =j et
e 2 =(x i , x i+r ), e 2 = ( xi+1 , x i+1+r ), e 2 =(x i , x i-r ) ou
e 2 =(x i+1 , x i-r+1 ). Le cycle hamiltonien est construit par
Cas 3 : e 1 =(x i ,x i+r ) et e 2 =(x j ,x j+r ) avec e 1 ,e 2 ∈ F 2 .
On a toujours un cycle hamiltonien qui est
composé de l’ensemble des arêtes de la classe F 1
.
Dans tous les cas, le cycle hamiltonien est toujours
trouvé. Donc, C n (1,r) est 2- arête panne-tolérant
hamiltonien si n ≥ 2r+1.
5 La tolérance aux pannes des sommets
dans les graphes circulants C n (1, r)
Soit G un graphe non orienté hamiltonien et soit
F v ⊆ V(G) un ensemble quelconque de sommets dans
G, G-F v est le graphe obtenu de G en supprimant les
sommets de F v et toutes les arêtes adjacentes à ces
sommets. Le graphe G est dit k-sommet pannetolérant
hamiltonien si G-Fv reste hamiltonien
∀ F v ⊆ V(G) et k ≤ | F v |.
Dans ce paragraphe nous allons étudier la
tolérance aux pannes des sommets dans les graphes
circulants C n (1, r). Soit F v l’ensemble des sommets en
panne, on note ⏐ F v ⏐= k. Le graphe C n (1, r) est 4-
régulier. Il est évident que k ≤ 2. Nous allons énoncer
une proposition pour montrer que C n (1, r) est 2-
sommet panne-tolérant hamiltonien si r est pair et
certaines conditions sont vérifiées.
Pour le cas de r impair, il a été prouvé dans
(Heuberger, 2001) que tout graphe circulant
C n (d 1 , d 2 , …,d k ) est biparti si d 1 , d 2 , …,d k sont impairs
et n est pair. Donc, le cas où n est pair et r impair, le
graphe C n (1,r) est biparti. D’après le théorème
(Vandegriend, 1998) : si un graphe G est biparti de
partitions (X, Y) et ⏐X⏐≠⏐Y⏐alors G ne peut pas être
hamiltonien. La suppression de deux sommets de la
même partition dans le graphe C n (1,r) dans ce cas
engendre un sous graphe de deux partitions (X,Y) et
⏐X⏐≠⏐Y⏐. C n (1,r) n’est donc pas 2-sommet pannetolérant
hamiltonien si r est impair et n est pair.
Avant de prouver la proposition, nous donnons un
Lemme qui sera utile pour la démonstration de celleci.
Lemme 2
Soit H n (1,r) un graphe distant avec r pair et soit l
un entier positif avec l≤r-2 et n ≡l[r+1] L’ensemble
des sommets V(H n (1,r)) = { x 0 , x 1 ,…, x n-1 }.
Soit P une chaîne de k sommets qui peut être nulle
avec V(P) = { u 0 , u 1 , …, u k-1 } et k ≤ r-2 On définit le
graphe G comme suit :
• V(G) = V(H n (1,r)) ∪ V(P).
• E(G) = E(H n (1,r)) ∪ E(P) ∪ E1, avec E1
définit comme suit :
Soit (u 0 , x j ) ∈ E1 ∀ 1≤ j ≤ r-1, pour tout 1 ≤ t ≤ k-
1 il existe une arête (u t , x j+t ) avec j+k-1 ≤r-1.
Si (l est pair et n ≥ 2r+2) ou (l impair et n ≥ 3r+2)
alors G est hamiltonien.
Preuve
Cas1 : l pair et n≥ 2r+2
On divise le graphe distant H n (1,r) en blocs
consécutifs de r+1 sommets chacun. On note b le
nombre de blocs avec n = (r+1)b+l,
Le 1er bloc est : < x 0 , x 1 , …, x r >
Le 2ème bloc est : < x r+1 , x r+2 ,…, x 2r+1 >
Le 3ème bloc est : < x 2r+2 , x 2r+3 ,…, x 3r+2 >
…………………
Le (b-1)ème
x (b-1)r+b-2 >
bloc est : < x (b-2)r+b-2 , x (b-2)r+b-1 ,…,
Le b ème bloc est : < x (b-1)r+b-1 , x (b-1)r+b ,…, x br+b-1 >
On appelle R l’ensemble des l sommets restants
qui ne constituent pas un bloc de r+1 sommets avec
R= { x br+b , x br+b+1 , …, x n-1 }.|R|=l et l ≤ r-2.
Dans le graphe distant H n (1,r) avec toutes les
conditions citées ci-dessus, on arrive toujours à
trouver un cycle hamiltonien, car les blocs de H n (1,r)
sont des cycles et chaque sommet du ième bloc a un
voisin dans le (i-1)ème bloc et dans le (i+1)ème bloc.
On prend deux sommets voisins dans chaque bloc et
on les joint à leurs sommets adjacents dans le prochain
bloc. On choisit arbitrairement le deuxième et le
troisième sommet de chacun des blocs compris entre 2
et b-2. Pour le 1er et le (b-1)ème bloc, on prend les
deux derniers sommets.
On insère les k sommets dans le premier bloc et les
l sommets dans le dernier bloc car k et l sont tous
deux pairs et ≤ r-2.
Figure 6. Cycle hamiltonien dans H 16 (1,6) U P4
Cas 2 : l impair et n≥ 3r+2
On divise de la même façon le graphe G en b
blocs, sauf que, pour le dernier bloc, son sommet de
départ est le même que le dernier sommet de l’avant
dernier bloc.
Le reste des sommets devient donc pair. Pour les
(b-2) premiers blocs, on utilise la même méthode que
dans le cas où l est pair. Pour les 2 derniers bloc on
construit le cycle en prenant à chaque fois une arête de
la classe 1 dans le (b-1) ème bloc, une arête de la classe
2 pour aller au b ème bloc et encore une arête de la

SETIT2005
classe 2 pour aller au reste des sommets, puis on
parcourt 2 sommets et on fait le chemin inverse. On
répète le procédé jusqu’ à ce qu’on ait parcouru tous
les sommets et on aura un cycle hamiltonien
Figure 7. Cycle hamiltonien dans H 24 (1,6) ∪P4
Etude de la 2-sommet panne-tolérance
hamiltonicité des graphes C n (1, r)
Proposition 2
Soit C n (1, r) un graphe circulant et soient xi et xj
deux sommets quelconque dans C n (1, r). On note par
d la plus petite distance sur le cycle entre les 2
sommets x i et x j après leurs suppression, i.e., d=j-i
avec 0

SETIT2005
Figure 9. Cycle hamiltonien dans le cas r+2< d ≤r+2
2. Cas 2 : n < 6r-6.
2.1. d≤r-1,
2.1.1. d est pair et
(n-d-2≥2r+2) et( n-d-2 mod r+1 est pair) :
Dans ce cas, les conditions du Lemme 2 sont réunies
pour trouver un cycle hamiltonein.
(n-d-2≥3r+2) et( n-d-2 mod r+1 est impair) :
Les conditions du Lemme 2 (cas 2) sont vérifiées pour
tracer un cycle hamiltonien
2.1.2. (d est impair) et ( n-d-2≥4r-2d+1)
On a r+1 sommets entre 1 et r+1 qui est un nombre
impair puisque r est pair. Et comme d est impair alors
le nombre de sommets de j+1 à r est pair. Par symétrie
on a la même chose pour les sommets entre n-1 et n-
r+j.
On construit le cycle < 1, 2, …, i-1, n-r+j-1, n-r+j-
2, …, r+2, r+1, 1>. Les sommets hors cycle qui sont
entre j+1 et r (nombre pair de sommets) seront insérés
dans le cycle entre j+1+r et 2r. De même pour les
sommets entre n-1 et n-r+j. Ils seront insérés entre n-
r-1 et n-2r+j et le cycle hamiltonien sera construit.
Pour assurer la construction d’un cycle
hamiltonien dans ce cas il suffit, que n ≥ 4r-2 car ∀ 1≤
d ≤r-1, 2r≤n-2r+j et les deux parties hors cycles seront
toujours insérées dans le cycle. Dans le cas où d =1 on
aura un maximum de sommets entre j+1 et r égal à r-2
sommets car j=2 donc n-r+j-1=n-r+1. Pour pouvoir
insérer ces sommets il faut que 2r≤n-2r+2 n ≥ 4r-2.
2.2. (r≤ d≤ 2r+2) et (n-d-2 ≥ 3r+2) et (d mod r+1
est pair)
On construit un cycle hamiltonien dans le sous
graphe constitué des sommets de d. Ce graphe est un
graphe distant qui contient un bloc de r+1 sommets
plus un nombre pair de sommets qui seront insérés
dans le bloc pour construire un cycle hamiltonien.
Pour le sous graphe constitué des sommets de la
partie n-d-r, on applique le Lemme 2 et on construit un
cycle hamiltonien. Dans le bloc 1 de ce cycle on
n’utilise que des arêtes de type (i, i+1) jusqu’à ce que
on arrive au sommet r. Dans la construction de cycle
de graphe distant, l’arête (1, 2) appartient toujours au
cycle. Donc, pour joindre les deux cycles de graphes
C n (1, r) –{0, j}, on coupe l’arête (1, 2) de premier
cycle et on relie ses sommets à leurs voisins
(n-r+1, n-r+2) qui constituent une arête de deuxième
cycle. On obtient ainsi un cycle hamiltonien.
2.2.1. ( n≥ 5r-3 ) et (d mod r+1) est impair
Dans l’ensemble des sommets de la partie d on
arrive toujours à trouver une chaîne hamiltonienne
entre le sommet 1 et le sommet r.
Le voisin de sommet r est 2r qui appartient à la
partie n-d-2 et le voisin de 1 est n-r+1. On trace le
cycle comportant les sommets de la chaîne
hamiltonienne et les sommets allant de 2r jusqu’à n-
r+1.
Les sommets qui n’appartiennent pas au cycle sont
de j+1 à 2r-1 d’une part, et de n-1 à n-r+2 d’autre part.
Sachant que les deux parties constituent un nombre
pair de sommets, pour les insérer dans le cycle, il faut
que 2r-1+r ≤ n-r+2-r n ≥ 5r-3.
2.3. (2r+2≤ d≤ 3r+2) et (d mod r+1 est pair) et (nd-2≥3r+2).
Puisque (2r+2≥ d) et (d mod r+1 est pair) on peut
facilement appliquer le Lemme 2 et on construit un
cycle hamiltonien. La construction des blocs
commence à partir du sommet 1.
Pour la partie n-d-2 qui est supérieure à 3r+2 on
applique le Lemme 2 pour construire un cycle
hamiltonien en commençant la construction des blocs
à partir du dernier sommet du graphe qui est le
sommet n-1.
Les deux parties sont reliées facilement en coupant
l’arête (1, 2) qui appartient toujours au cycle car, en
appliquant le Lemme 2, la chaîne correspondant à P est
vide, donc la chaîne appartient au
cycle. De même, pour la chaîne
elle appartient au cycle construit dans la partie n-d-2.
On coupe donc l’arête (1, 2) dans le premier cycle
et l’arête (n-r+1, n-r+2) dans le deuxième cycle. On
relie les sommets adjacents (1, n-r+1) et (2, n-r+2) et
le cycle hamiltonien sera construit.
Conclusion
Dans cet article nous avons étudié le plongement
d’un cycle hamiltonien dans deux classes de graphes
qui sont les graphes distants Hn(1, 2, r) et les graphes
circulants Cn(1, r).
Pour les graphes distants Hn(1, 2, r), nous avons
montré qu’un cycle hamiltonien est plongeable en

SETIT2005
présence d’un sommet/arête en panne. Ils sont 1
panne-tolérant hamiltonien.
Pour les graphes circulants Cn(1, r), nous avons
prouvé qu’un cycle hamiltonien est plongeable en
présence de deux arêtes en pannes si n ≥ 2r+1. Nous
avons prouvé aussi que l’on peut plonger un cycle
hamiltonien en présence de deux sommets en panne si
n ≥ 6r-6 et, dans certains cas, si 2r+2≤n2r+2 .
Les résultas obtenus dans notre travail représentent
le début de l’étude de la conjecture de Sung et al.
(Sung & al., 2000) , qui dit qu’un graphe circulant
C(n ;1,2,…,k) est k panne-tolérant hamiltonien.
Journal of Interconnection Networks 3(3-4): 273-289
(2002)
(Vandegriend, 1998) B.Vandegriend: Finding Hamiltonian
Cycles: Algorithms, Graphs and Performance. Thesis for
the degree of Master Science, University of Alberta.
(1998).(Yang & al., 1995) Q.F. Yang & al.: Hamiltonian
cycles in Circulant Digraphs with Two Stripes.
Références
(Cho & al., 2002) H. J.Cho & al.. Ring embedding in faulty
honeycomb rectangular torus, Inforamtion Processin
Letters 84,277-284. (2002).
(Fu, 2002) J. S. Fu. Cycle embedding in a faulty hypercube,
9th International Conference on Parallel and
Distributed Systems December 17 - 20, 2002 Taiwan,
ROC.
(Heuberger, 2001) C.Heuberger. On planarity and
colorability of circulant graphs. To appear in Discrete
Math.
(Hsieh & al., 1999) S.Y.Hsieh & al.. Fault-free Hamiltonian
cycles in faulty arrangement graphs, IEE Trans. Parallel
Distributed Systems 10 (32) (1999) 223-237.
(Hsieh & al., 2001) S.Y Hsieh & al.. Longest fault-free paths
in star graphs with vertex faults, Theoretical Computer
Science 262, 215-227 (2001).
(Hsu & al., 2002a) L.H. Hsu & al.. Fault-tolerant
Hamiltonian laceability of hypercubes.. Information
Processing Letters 83 (2002) 301-306.
(Hsu & al., 2002b) L.H. Hsu & al.: Fault-tolerant
hamiltonicity of Twisted Cubes.. Journal of Parallel and
Distributed Computing 62, 591-604 (2002).
(Hwang, 2000) F.K. Hwang. A complementary survey on
double-loop networks, Theoretical Computer science
(2000).
(Sung & al., 1998). T.Y.Sung & al.. Fault tolerant token ring
embedding in double loop networks, Information
Processig Letters 66, 201-207 (1998).
(Sung & al., 2000). T.Y. Sung & al.. Optimal k-Fault-
Tolerant Networks for Token Rings, Journal of
Information Science and Engineering 16, 381-390
(2000).
(Teng, 1997) Y.C. Teng & al.. Fault-Tolerant Ring
Embedding in a Star Graph with Both Link and Node
Failures. IEE Trans. Parallel Distributed Systems, pp.
1185-1195.
(Tsai & al., 2002) Chang-Hsiung Tsai, Jimmy J. M. Tan,
Yen-Chu Chuang, Lih-Hsing Hsu. Hamiltonian
Properties of Faulty Recursive Circulant Graphs.