TolÃ©rance aux pannes dans les graphes distants et circulants

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SETIT2005 classe 2 pour aller au reste des sommets, puis on parcourt 2 sommets et on fait le chemin inverse. On répète le procédé jusqu’ à ce qu’on ait parcouru tous les sommets et on aura un cycle hamiltonien Figure 7. Cycle hamiltonien dans H 24 (1,6) ∪P4 Etude de la 2-sommet panne-tolérance hamiltonicité des graphes C n (1, r) Proposition 2 Soit C n (1, r) un graphe circulant et soient xi et xj deux sommets quelconque dans C n (1, r). On note par d la plus petite distance sur le cycle entre les 2 sommets x i et x j après leurs suppression, i.e., d=j-i avec 0
SETIT2005 Figure 9. Cycle hamiltonien dans le cas r+2< d ≤r+2 2. Cas 2 : n < 6r-6. 2.1. d≤r-1, 2.1.1. d est pair et (n-d-2≥2r+2) et( n-d-2 mod r+1 est pair) : Dans ce cas, les conditions du Lemme 2 sont réunies pour trouver un cycle hamiltonein. (n-d-2≥3r+2) et( n-d-2 mod r+1 est impair) : Les conditions du Lemme 2 (cas 2) sont vérifiées pour tracer un cycle hamiltonien 2.1.2. (d est impair) et ( n-d-2≥4r-2d+1) On a r+1 sommets entre 1 et r+1 qui est un nombre impair puisque r est pair. Et comme d est impair alors le nombre de sommets de j+1 à r est pair. Par symétrie on a la même chose pour les sommets entre n-1 et n- r+j. On construit le cycle < 1, 2, …, i-1, n-r+j-1, n-r+j- 2, …, r+2, r+1, 1>. Les sommets hors cycle qui sont entre j+1 et r (nombre pair de sommets) seront insérés dans le cycle entre j+1+r et 2r. De même pour les sommets entre n-1 et n-r+j. Ils seront insérés entre n- r-1 et n-2r+j et le cycle hamiltonien sera construit. Pour assurer la construction d’un cycle hamiltonien dans ce cas il suffit, que n ≥ 4r-2 car ∀ 1≤ d ≤r-1, 2r≤n-2r+j et les deux parties hors cycles seront toujours insérées dans le cycle. Dans le cas où d =1 on aura un maximum de sommets entre j+1 et r égal à r-2 sommets car j=2 donc n-r+j-1=n-r+1. Pour pouvoir insérer ces sommets il faut que 2r≤n-2r+2 n ≥ 4r-2. 2.2. (r≤ d≤ 2r+2) et (n-d-2 ≥ 3r+2) et (d mod r+1 est pair) On construit un cycle hamiltonien dans le sous graphe constitué des sommets de d. Ce graphe est un graphe distant qui contient un bloc de r+1 sommets plus un nombre pair de sommets qui seront insérés dans le bloc pour construire un cycle hamiltonien. Pour le sous graphe constitué des sommets de la partie n-d-r, on applique le Lemme 2 et on construit un cycle hamiltonien. Dans le bloc 1 de ce cycle on n’utilise que des arêtes de type (i, i+1) jusqu’à ce que on arrive au sommet r. Dans la construction de cycle de graphe distant, l’arête (1, 2) appartient toujours au cycle. Donc, pour joindre les deux cycles de graphes C n (1, r) –{0, j}, on coupe l’arête (1, 2) de premier cycle et on relie ses sommets à leurs voisins (n-r+1, n-r+2) qui constituent une arête de deuxième cycle. On obtient ainsi un cycle hamiltonien. 2.2.1. ( n≥ 5r-3 ) et (d mod r+1) est impair Dans l’ensemble des sommets de la partie d on arrive toujours à trouver une chaîne hamiltonienne entre le sommet 1 et le sommet r. Le voisin de sommet r est 2r qui appartient à la partie n-d-2 et le voisin de 1 est n-r+1. On trace le cycle comportant les sommets de la chaîne hamiltonienne et les sommets allant de 2r jusqu’à n- r+1. Les sommets qui n’appartiennent pas au cycle sont de j+1 à 2r-1 d’une part, et de n-1 à n-r+2 d’autre part. Sachant que les deux parties constituent un nombre pair de sommets, pour les insérer dans le cycle, il faut que 2r-1+r ≤ n-r+2-r n ≥ 5r-3. 2.3. (2r+2≤ d≤ 3r+2) et (d mod r+1 est pair) et (nd-2≥3r+2). Puisque (2r+2≥ d) et (d mod r+1 est pair) on peut facilement appliquer le Lemme 2 et on construit un cycle hamiltonien. La construction des blocs commence à partir du sommet 1. Pour la partie n-d-2 qui est supérieure à 3r+2 on applique le Lemme 2 pour construire un cycle hamiltonien en commençant la construction des blocs à partir du dernier sommet du graphe qui est le sommet n-1. Les deux parties sont reliées facilement en coupant l’arête (1, 2) qui appartient toujours au cycle car, en appliquant le Lemme 2, la chaîne correspondant à P est vide, donc la chaîne appartient au cycle. De même, pour la chaîne elle appartient au cycle construit dans la partie n-d-2. On coupe donc l’arête (1, 2) dans le premier cycle et l’arête (n-r+1, n-r+2) dans le deuxième cycle. On relie les sommets adjacents (1, n-r+1) et (2, n-r+2) et le cycle hamiltonien sera construit. Conclusion Dans cet article nous avons étudié le plongement d’un cycle hamiltonien dans deux classes de graphes qui sont les graphes distants Hn(1, 2, r) et les graphes circulants Cn(1, r). Pour les graphes distants Hn(1, 2, r), nous avons montré qu’un cycle hamiltonien est plongeable en
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