Tolérance aux pannes dans les graphes distants et circulants

SETIT2005
Figure 9. Cycle hamiltonien dans le cas r+2< d ≤r+2
2. Cas 2 : n < 6r-6.
2.1. d≤r-1,
2.1.1. d est pair et
(n-d-2≥2r+2) et( n-d-2 mod r+1 est pair) :
Dans ce cas, les conditions du Lemme 2 sont réunies
pour trouver un cycle hamiltonein.
(n-d-2≥3r+2) et( n-d-2 mod r+1 est impair) :
Les conditions du Lemme 2 (cas 2) sont vérifiées pour
tracer un cycle hamiltonien
2.1.2. (d est impair) et ( n-d-2≥4r-2d+1)
On a r+1 sommets entre 1 et r+1 qui est un nombre
impair puisque r est pair. Et comme d est impair alors
le nombre de sommets de j+1 à r est pair. Par symétrie
on a la même chose pour les sommets entre n-1 et n-
r+j.
On construit le cycle < 1, 2, …, i-1, n-r+j-1, n-r+j-
2, …, r+2, r+1, 1>. Les sommets hors cycle qui sont
entre j+1 et r (nombre pair de sommets) seront insérés
dans le cycle entre j+1+r et 2r. De même pour les
sommets entre n-1 et n-r+j. Ils seront insérés entre n-
r-1 et n-2r+j et le cycle hamiltonien sera construit.
Pour assurer la construction d’un cycle
hamiltonien dans ce cas il suffit, que n ≥ 4r-2 car ∀ 1≤
d ≤r-1, 2r≤n-2r+j et les deux parties hors cycles seront
toujours insérées dans le cycle. Dans le cas où d =1 on
aura un maximum de sommets entre j+1 et r égal à r-2
sommets car j=2 donc n-r+j-1=n-r+1. Pour pouvoir
insérer ces sommets il faut que 2r≤n-2r+2 n ≥ 4r-2.
2.2. (r≤ d≤ 2r+2) et (n-d-2 ≥ 3r+2) et (d mod r+1
est pair)
On construit un cycle hamiltonien dans le sous
graphe constitué des sommets de d. Ce graphe est un
graphe distant qui contient un bloc de r+1 sommets
plus un nombre pair de sommets qui seront insérés
dans le bloc pour construire un cycle hamiltonien.
Pour le sous graphe constitué des sommets de la
partie n-d-r, on applique le Lemme 2 et on construit un
cycle hamiltonien. Dans le bloc 1 de ce cycle on
n’utilise que des arêtes de type (i, i+1) jusqu’à ce que
on arrive au sommet r. Dans la construction de cycle
de graphe distant, l’arête (1, 2) appartient toujours au
cycle. Donc, pour joindre les deux cycles de graphes
C n (1, r) –{0, j}, on coupe l’arête (1, 2) de premier
cycle et on relie ses sommets à leurs voisins
(n-r+1, n-r+2) qui constituent une arête de deuxième
cycle. On obtient ainsi un cycle hamiltonien.
2.2.1. ( n≥ 5r-3 ) et (d mod r+1) est impair
Dans l’ensemble des sommets de la partie d on
arrive toujours à trouver une chaîne hamiltonienne
entre le sommet 1 et le sommet r.
Le voisin de sommet r est 2r qui appartient à la
partie n-d-2 et le voisin de 1 est n-r+1. On trace le
cycle comportant les sommets de la chaîne
hamiltonienne et les sommets allant de 2r jusqu’à n-
r+1.
Les sommets qui n’appartiennent pas au cycle sont
de j+1 à 2r-1 d’une part, et de n-1 à n-r+2 d’autre part.
Sachant que les deux parties constituent un nombre
pair de sommets, pour les insérer dans le cycle, il faut
que 2r-1+r ≤ n-r+2-r n ≥ 5r-3.
2.3. (2r+2≤ d≤ 3r+2) et (d mod r+1 est pair) et (nd-2≥3r+2).
Puisque (2r+2≥ d) et (d mod r+1 est pair) on peut
facilement appliquer le Lemme 2 et on construit un
cycle hamiltonien. La construction des blocs
commence à partir du sommet 1.
Pour la partie n-d-2 qui est supérieure à 3r+2 on
applique le Lemme 2 pour construire un cycle
hamiltonien en commençant la construction des blocs
à partir du dernier sommet du graphe qui est le
sommet n-1.
Les deux parties sont reliées facilement en coupant
l’arête (1, 2) qui appartient toujours au cycle car, en
appliquant le Lemme 2, la chaîne correspondant à P est
vide, donc la chaîne appartient au
cycle. De même, pour la chaîne
elle appartient au cycle construit dans la partie n-d-2.
On coupe donc l’arête (1, 2) dans le premier cycle
et l’arête (n-r+1, n-r+2) dans le deuxième cycle. On
relie les sommets adjacents (1, n-r+1) et (2, n-r+2) et
le cycle hamiltonien sera construit.
Conclusion
Dans cet article nous avons étudié le plongement
d’un cycle hamiltonien dans deux classes de graphes
qui sont les graphes distants Hn(1, 2, r) et les graphes
circulants Cn(1, r).
Pour les graphes distants Hn(1, 2, r), nous avons
montré qu’un cycle hamiltonien est plongeable en