Tolérance aux pannes dans les graphes distants et circulants

SETIT2005
Preuve de la 1-sommet panne-tolérance
hamiltonicité des graphes H n (1, 2 , r)
Soit i le sommet à supprimer. Sans perte de
généralité on peut supposer que 0 ≤ i ≤ n/2. Dans les
autres cas on procède par symétrie.
Pour prouver que H n (1, 2, r) est 1-sommet pannetolérant
hamiltonien, suivant les valeurs de i, on
distingue les cas suivants :
Cas1 : i pair
Dans ce cas, le cycle hamiltonien est construit de
la façon suivante :
• Si i = 0 alors le graphe H n (1, 2, r) – V(0) est
équivalent au graphe H n-1 (1, 2, r) qui contient toujours
un cycle hamiltonien composé des arêtes de type F 2 et
de type F 1 .
• Sinon ( i > 0) : le cycle hamiltonien est
trouvé par la formule suivante :
(a)
(b)
Figure 3. (a) Cycle hamiltonien dans le graphe H 16 (1,2,7)
avec 4 comme sommet en panne. (b) Cycle hamiltonien
dans le graphe H 21 (1,2,8) avec 8 comme sommet en panne.
Cas2: i impair
• Si i = 1 alors le cycle hamiltonien est trouvé
par l’expression suivante : < 0, r, r+2, r+4, …., n-3, n-
1, n-2, n-4, …, r+3, r+1, r-1, r-2, …, 2, 0>
• Sinon (si i >1), le cycle hamiltonien est
trouvé de la façon suivante : < 0, 1, 3, 5, …, i-2, i-2+r,
i+r, i+r+2, …, n-2, n-1, n-3, n-5, …, i+r+1, i-1+r, i-
3+r, i-4+r, …, i+1, i-1, i-3, …, 4, 2, 0 >.
Le graphe Hn(1, 2, r) est 1-sommet panne-tolérant
hamiltonien.
Après avoir prouver que le graphe H n (1, 2, r) est
1-sommet arête-tolérant hamiltonien et 1-sommet
panne-tolérant hamiltonien on en déduit que
H n (1, 2, r) est 1 panne-tolérant hamiltonien.
4 La tolérance aux pannes des arêtes
dans les graphes circulants C n (1, r)
Il est clair que C n (1,r) est un graphe hamiltonien.
Si F e est un ensemble quelconque de k arêtes dans
C n (1,r) et si C n (1,r)-F e reste hamiltonien pour ⏐F e ⏐≤ k,
alors C n (1,r) est k-arête panne-tolérant hamiltonien.
Proposition 1
C n (1,r) est 2-arête panne-tolérant hamiltonien si n
≥ 2r+1.
Preuve
C n (1, r) est un graphe régulier de degré 4. Soit k le
nombre maximum d’arêtes que l’on peut supprimer
pour que C n (1, r) reste hamiltonien alors k ≤ δ (C n,r )-
2, i.e, k ≤ 2.
Les arêtes de C n (1,r) sont de deux types. Soient F 1
la classe des arêtes de type (x i , x i+1 ) avec 0≤ i ≤n-1, et
F 2 l’ensemble des arêtes de type (x i , x i+r ) avec 0 ≤ i ≤
n-1.
On considère les notations suivantes : d = j-i la
plus petite distance sur le cycle entre les deux
sommets xi et x j adjacents aux arêtes supprimées,
n 1 =n-d+1 la grande distance entre x i et x j .
Soient e 1 , e 2 les deux arêtes à supprimer. Pour
prouver la proposition ci-dessus. On distingue les 3
cas suivants:
Cas1: e 1 , e 2 ∈ F 1 avec e 1 =(x i , x i+1 ) et e 2 =(x j , x j+1 )
les deux arêtes à supprimer.
Sans perte de généralité on peut supposer que
e 1 =(x 0 , x 1 ) et e 2 =(x j , x j+1 ) avec 1≤j≤ n/2. Dans les
autres cas on procède par symétrie.
On discute suivant les valeurs de d (d = j-i) et on
distingue les sous cas suivants :
a) Sous-cas 1 (d ≤ r-1) :
Dans ce cas, suivant les valeurs de n on distingue 3
cas :
a.1) n-d≥ 2r+1:
Le cycle hamiltonien est construit comme suit:
Cette méthode est vérifiée lorsque n-d≥ 2r+1. La
plus petite valeur que peut prendre d est 1 car d=j-i,
i=0 et 1≤j≤ n/2 alors n ≥ 2r+2.
a.2) n-d ≤ 2r-1
Dans ce cas n-d ≤ 2r-1 d≥n-2r+1 ; alors le cycle
hamiltonien est donné par :
On a j+r > n-r+1, i.e., d > n-2r+1 donc d>1.
Puisque d>1 alors n≥2r+2. Au cas où d=r-1 on aura
n≤3r. donc cette méthode est vérifiée si 2r+2≤ n ≤3r.