Cours 2 - LIP6

Propriétés des graphes de terrain (suite et fin) 

Graphes aléatoires 

Mesure de la toplogie de l’Internet 

1/37 

Grands Graphes de Terrain 

Clémence Magnien, Fabien Tarissan 

LIP6 – CNRS et Université Pierre et Marie Curie 

prenom.nom@lip6.fr 

http://www-rp.lip6.fr/~magnien/ggt.html




2/37 

Outline 

1 Propriétés des graphes de terrain (suite et fin) 

2 Graphes aléatoires 

3 Mesure de la toplogie de l’Internet




3/37 

Distribution des degrés (1/2) 

Distribution des degrés : 

4 nœuds, degrés : 2 3 3 1




3/37 


Distribution des degrés : 

4 nœuds, degrés : 2 3 3 1 

Distribution : combien de nœuds ont degré k, en fonction de 

k. 

1 → 1, 2 → 1, 3 →2 

2 

1 

1 2 3




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Loi de puissance (power-law) 

Loi de puissance 

N k ∼ k −α 

droite en échelle log-log 

Distribution hétérogène : proche d’une loi de puissance 

Loi de puissance 

droite en échelle log-log 

sur plusieurs ordres de 

grandeur 

≠ 

Hétérogène 

plusieurs ordres de 

grandeur 

proche d’une droite en 

échelle log-log




5/37 

Exemple 

1e+06 

100000 

100000 

10000 

1000 

100 

10 

10000 

1000 

100 

10 

1 

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 

1 

1 10 100 1000 10000 100000




6/37 

Distributions hétérogènes : échelle log-log 

450000 

400000 

350000 

300000 

250000 

200000 

150000 

100000 

50000 

0 

0 50000 100000 150000 200000 250000 

échelle linéaire 

1e+06 

100000 

10000 

1000 

100 

10 

1 

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 

échelle logarithmique




7/37 

Distributions hétérogènes vs homogènes 

12000 

10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

1e+06 

100000 

10000 

1000 

100 

10 

1 

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 

Homogène 

Notion de normalité (et d’exceptions) 

Hétérogène 

Tous les comportements existent 

→ pas de notion de normalité




8/37 

Distributions normalisées 

Distribution des degrés, deux choix : 

N k : nombre de sommets de degré k 

p k : fraction de sommets de degré k 

→ Distribution normalisée 

p k = N k 

n 

Permet de comparer des graphes de tailles différentes 

Notations : 

〈k〉 = ∑ kp k : moyenne 

〈k 2 〉 = ∑ k 2 p k : deuxième moment (dispersion)




9/37 


Pour les graphes de terrain 

En général, distributions des degrés hétérogènes




10/37 

Coefficient de clustering 

coefficient de clustering cc(v) 

= probabilité que deux voisins de v soient reliés 

= # paires de voisins reliés / # paires de voisins 

= densité locale





coefficient de clustering cc(v) 

= probabilité que deux voisins de v soient reliés 

coefficients de clustering : 1, 1, 1 3 , indéfini 10/37




11/37 


Coefficient de clustering du graphe : 

moyenne sur tous les sommets de degré ≥ 2 

Pour les graphes de terrain 

En général, clustering fort 

Plusieurs ordres de grandeur au dessus de la densité




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Structure en communautés 

But 

Décrire une structure interne du graphe. 

Définition 

intuitive: personnes partageant un intérêt commun, pages 

web au contenu similaire... 

structurelle: zone du graphe dense en liens




13/37 

Propriétés communes – conclusion 

La plupart des graphes de terrain ont des propriétés 

communes : 

densité 

connexité 

distances 

degrés 

clustering 

communautés 

faible 

comp. géante 

faibles 

hétérogènes 

fort 

avec




14/37 

Outline 







15/37 

Graphes aléatoires – Motivation 

Propriétés observées normales ? 

Réponse : comparer à un graphe aléatoire 

tiré au hasard (avec proba. uniforme) dans l’ensemble des 

graphes 

(d’une taille donnée)




15/37 

Graphes aléatoires – Motivation 

Propriétés observées normales ? 

Réponse : comparer à un graphe aléatoire 

tiré au hasard (avec proba. uniforme) dans l’ensemble des 

graphes 

(d’une taille donnée) 

Propriétés communes à l’immense majorité des graphes 

→ propriétés attendues




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Modèle d’Erdös-Rényi 

G n,p 

n sommets 

Chaque arête existe avec probablité p




16/37 


G n,p 

n sommets 

Chaque arête existe avec probablité p 

Complexité (construction) : O(n 2 )




16/37 


G n,m 

n sommets 

m arêtes choisies au hasard




16/37 


G n,m 

n sommets 

m arêtes choisies au hasard 

Complexité (construction) : O(m)




17/37 

Équivalence entre G n,p et G n,m 

p représente la densité 

p = 2m 

n(n−1) 

G n,m et G n,p sont équivalents si p et m respectent cette relation.




18/37 

Arêtes en double 

G n,m : probabilité de tirer des arêtes en double 

Compliqué à détecter 

structure compacte 

complexité ? 

En pratique 

peu d’arêtes en double 

ne change pas les propriétés du graphe 

→ on les traite comme des arêtes normales 

on évite les boucles




19/37 

Notion de propriété attendue




19/37 

Notion de propriété attendue 

Et si c’était un graphe aléatoire . . . 

Exemple : graphe aléatoire, n = 5000 et m = 10000 

Résultat (réel) : il existe des sommets de degré 100. 

Étonnant ?




Notion de propriété attendue 

Et si c’était un graphe aléatoire . . . 

Exemple : graphe aléatoire, n = 5000 et m = 10000 

Résultat (réel) : il existe des sommets de degré 100. 

Étonnant ? 

p(k) = Ck N ∗ pk ∗(1−p) k < Ck N ∗ pk 

Ici, p k ≡ (1/10 3 ) k 

Ck N = N! 

k!(N−k)! = N∗(N−1)∗...∗(N−k+1) 

k! 

< Nk 

k! 

Or k! ≡ √ 2πk( k e )k (approximation de Stirling) 

(5000) 

Au final, p(100) < 

100 

∗( 1 ) k 

cst−sup−1∗50 100 10 3 

Soit, p(100) < (10 2 ) 100 ∗( 1 ) 100 

10 3 

Donc p(k) < ( 1 

10 )100 -> proba quasi nulle ! 

→ on ne peut pas obtenir un tel graphe par tirage aléatoire 

(autre processus en jeu) 

19/37




19/37 

Notion de propriété attendue




20/37 

Propriétés des graphes aléatoires 

Densité 

Connexité 

Distance moyenne, diamètre




20/37 


Densité fixée 

Connexité composante géante, taille O(n) 

(pour m ≥ O(n)) 

Distance moyenne, diamètre ∼ log(n) 

(pour m ≥ O(n))




20/37 


Distribution des degrés 


Structure communautaire




20/37 


Distribution des degrés homogène 

Coefficient de clustering = δ 

Structure communautaire inexistante




20/37 


de terrain aléatoire 

densité faible faible 

connexité comp géante comp géante 

distances faibles faibles 

degrés hétérogènes homogènes 

clustering fort faible 

communautés avec sans




21/37 

Graphes d’Erdös-Rényi – Conclusion 

Les graphes de terrain sont très différents des graphes 

aléatoires d’Erdös-Rényi 

Conséquences 

Leur ressemblance est significative 

Les graphes d’ER ne sont pas des bons modèles des 

graphes réels (simulations, preuves, . . . ) 

→ Autres modèles ?




22/37 

Graphes aléatoires à distribution des degrés fixés 

Distribution des degrés 

p 1 , p 2 , p 3 ,... 

Tirer les degrés des sommets selon la distribution 

1 2 4 3 2 1 3 

Associer à chaque sommet des demi-arêtes 

Tirer au hasard des paires de demi-arêtes




23/37 

Implémentation 

Tableau : chaque sommet apparaît autant de fois que son 

degré 

0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 6 

Choix de paires de valeurs au hasard 

i = 2m. Tant que i > 0 : 

u = random(0,i-1) 

échanger cases u et i − 1 

v = random(0,i-2) 

échanger cases v et i − 2 

// arête (T[i − 1], T[i − 2]) 

i = i-2




24/37 

Propriétés – Comparaison 

de terrain aléatoire degrés fixés 

densité faible faible faible 

connexité comp géante comp géante comp géante 

distances faibles faibles faibles 

degrés hétérogènes homogènes hétérogènes 

clustering fort faible faible 

communautés avec sans sans 

le clustering n’est pas une conséquence des degrés 

hétérogènes




25/37 

Autres modèles ? 

Prendre en compte des propriétés plus complexes ? 

Sauf exception, tirage aléatoire impossible en pratique 

pas de procédures de construction connues




26/37 

Exemple de modèle plus élaboré 

Distributions de degré + clustering 

(Newman,Random Graphs with clustering, 2009): 

pour chaque nœud, on attribue: 

moitiés de liens simples (s i ), 

“coins” de triangles (t i ) 

selon des distributions décorrélées 

assembler les moitiés de liens et les coins séparément 

clustering vérifié, structure communautaire déficiente




27/37 

Modèle par construction: Watts et Strogatz (1999) 

Depuis un réseau régulier, reconnection aléatoire de liens 

selon une probabilité p:




27/37 

Modèle par construction: Watts et Strogatz (1999) 

Depuis un réseau régulier, reconnection aléatoire de liens 

selon une probabilité p: 

Reproduit clustering élevé mais distribution non hétérogène...




28/37 

Modèle par construction: Barabási et Albert (1999) 

Initialement modèle du web. 

Principe d’attachement préférentiel: 

ensemble initial: petit nombre de nœuds connectés 

à chaque itération: 

ajout d’un nœud à nombre de liens fixés 

probabilité de se connecter à un nœud de degré k 

proportionnelle à k




29/37 

Modèle par construction: Barabási et Albert (1999) 

Résultats 

degré selon loi de puissance (exposant ≃ 3) 

(avec degré homogène, loi exponentielle décroissante) 

clustering nul 

propriété cachée d’arbre 

Dimension explicative: “rich get richer”




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Évolutions du modèle Barabási et Albert 

D’autres règles d’attachement préférentiel: 

règle d’ajout modifiée (plusieurs nœuds...) 

autres caractéristiques structurelles (environnement 

local...) 

caractéristiques extra-topologiques (âge, sémantique...)




31/37 

Conclusion 

Pas de modèle permettant de restituer toutes les propriétés 

communes des graphes de terrain. 

⇒ Recherche d’hypothèses suffisantes et de méthodes de 

génération appropriée.




32/37 

Outline 







33/37 

traceroute 

Mesure d’une route : traceroute 

TTL = 1 

S 

? 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


Erreur 

TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 2 

S 

D




33/37 

traceroute 


Erreur 

TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 1 

S 

D




33/37 

traceroute 


TTL = 1 

S 

D 

Pas de réponse : * 

ICMP filtré 

Rate limiting 

Time exceeded 

. . .




34/37 

Un biai lié à la mesure 

A very general but largely ignored fact about Internet-related 

measurements is that what we can measure in an Internet-like 

environment is typically not the same as what we really want to 

measure (or what we think we actually measure) 

Mathematics and the internet: A source of enormous confusion and 

great potential, W. Willinger, D. Alderson and J. C. Doyle, Notices of the 

AMS, 2009. 

S 

A 

B 

D 

C 

T 

−→ http://www.paris-traceroute.net/




35/37 

Une source 

Pour avoir plus d’informations 

→ multiplier les destinations 

Problèmes 

on ne voit pas les liens transverses 

vue proche d’un arbre




35/37 

Une source 


→ multiplier les destinations 

Problèmes 

on ne voit pas les liens transverses 

vue proche d’un arbre




36/37 

Plusieurs sources 


→ multiplier les sources 

Difficultés 

Besoin d’un accès à la machine 

Besoin de machines distribuées 

En pratique 

Peu de sources (∼ 50) 

Beaucoup de destinations




37/37 

Anti-aliasing 

Un routeur : plusieurs adresses IP 

traceroute : chaque routeur répond (en théorie) avec l’IP de 

l’interface qui envoie le paquet 

Plusieurs sources → connaître toutes les IP d’un routeur 

anti-aliasing

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