Concours blanc 2

On admet la propriété suivante :
Partie 3 : Exponentielle de matrices
∀t ∈ R, e t =
lim
n→+∞
n∑
k=0
t k
k!
n∑ t k
1) Pour tout réel t et tout entier naturel n, on note E n (t) =
k! Ak , où A 0 = I 2 .
( k=0 )
an (t) b
On écrira cette matrice sous la forme E n (t) =
n (t)
.
c n (t) d n (t)
Expliciter, sous forme de sommes, les coefficients a n (t), b n (t), c n (t), d n (t).
( ) a(t) b(t)
2) Pour tout t ∈ R, on note E(t) la matrice E(t) =
où
c(t) d(t)
a(t) = lim a n(t), b(t) = lim b n(t), c(t) = lim c n(t), d(t) = lim d n(t).
n→+∞ n→+∞
(
n→+∞
)
n→+∞
3e
Montrer que pour tout t ∈ R, E(t) =
2t − 2e t 6e t − 6e 2t
e 2t − e t 3e t − 2e 2t .
3) Montrer qu’il existe deux matrices Q et R de M 2 (R) telles que :
Expliciter Q et R.
∀t ∈ R, E(t) = e 2t Q + e t R
4) Calculer Q 2 , R 2 , QR, RQ.
Que peut-on dire des endomorphismes q et r canoniquement associés à Q et R ? Donner une
réponse complète en utilisant u 1 et u 2 de la première partie.
5) Pour tout (x, y) ∈ R 2 , déterminer E(s + t) en fonction de E(s) et E(t).
6) Que dire de E(t) n pour n ∈ N ? Montrer que E(t) est inversible et trouver son inverse.
Exercice 2
x
On définit une fonction f par : f(x) =
ln(x) + 1 .
1) a) Déterminer l’ensemble D de définition de f, justifier que f est de classe C ∞ sur D et
calculer f ′ (x) pour tout x ∈ D.
b) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. On note encore f le prolongement
et ˜D = D ∪ {0}.
c) f est-elle alors dérivable en 0 ? Est-elle de classe C 1 sur ˜D ?
2) a) Dresser le tableau de variations de f sur D, en précisant les limites aux bords de D.
b) Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle convexe ? concave ?
c) Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de f, notée C.
d) Représenter l’allure de C en faisant figurer tous les renseignements obtenus précédemment.
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