Concours blanc 2

PTSI2 – 2012/2013
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
Devoir Surveillé 9.
Mardi 7 mai 2013, de 7h45 à 11h45.
Calculatrices interdites
La présentation, la lisibilité et l’orthographe, ainsi que la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements, entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Il est demandé d’ encadrer
ou de souligner les résultats, et de laisser une marge.
Dans un même exercice ou problème, on pourra admettre les résultats des questions non résolues
afin de répondre aux questions suivantes. Les exercices ne sont pas classés par ordre de difficulté
et peuvent être traités dans un ordre quelconque.
Exercice 1
On considère la base canonique B = (e 1 , e 2 ) de R 2 .
On note f l’endomorphisme de R 2 dont la matrice dans la base canonique est
( ) 4 −6
A =
1 −1
Partie 1 :
1) Déterminer les valeurs de λ telles que f − λ id R 2 soit non bijective. On les notera λ 1 et λ 2 ,
avec λ 1 < λ 2 .
2) Déterminer E λ1 = Ker(f −λ 1 id R 2) et E λ2 = Ker(f −λ 2 id R 2), montrer qu’ils sont de dimension
1. On notera u 1 et u 2 des bases respectives de ces espaces vectoriels.
3) Montrer que B ′ = (u 1 , u 2 ) est une base de R 2 et sans calculs, déterminer la matrice D de f
dans cette base.
4) Préciser la matrice de passage P de B à B ′ ainsi que son inverse P −1 .
5) Calculer D n puis A n .
Partie 2 : Racines carrées de la matrice A
On se propose dans cette partie de déterminer toutes les matrices X ∈ M 2 (R) vérifiant X 2 = A.
1) On considère l’équation Y 2 = D d’inconnue Y ∈ M 2 (R).
Montrer que si Y est solution, alors Y D = DY et en déduire que Y est diagonale.
En déduire les différentes solutions de l’équation Y 2 = D.
2) Soit X ∈ M 2 (R). À l’aide de Y = P −1 XP , déterminer les différentes solutions de X 2 = A,
sans écrire explicitement les coefficients des solutions.
On notera X 1 , . . . , X m ces solutions.
1

On admet la propriété suivante :
Partie 3 : Exponentielle de matrices
∀t ∈ R, e t =
lim
n→+∞
n∑
k=0
t k
k!
n∑ t k
1) Pour tout réel t et tout entier naturel n, on note E n (t) =
k! Ak , où A 0 = I 2 .
( k=0 )
an (t) b
On écrira cette matrice sous la forme E n (t) =
n (t)
.
c n (t) d n (t)
Expliciter, sous forme de sommes, les coefficients a n (t), b n (t), c n (t), d n (t).
( ) a(t) b(t)
2) Pour tout t ∈ R, on note E(t) la matrice E(t) =
où
c(t) d(t)
a(t) = lim a n(t), b(t) = lim b n(t), c(t) = lim c n(t), d(t) = lim d n(t).
n→+∞ n→+∞
(
n→+∞
)
n→+∞
3e
Montrer que pour tout t ∈ R, E(t) =
2t − 2e t 6e t − 6e 2t
e 2t − e t 3e t − 2e 2t .
3) Montrer qu’il existe deux matrices Q et R de M 2 (R) telles que :
Expliciter Q et R.
∀t ∈ R, E(t) = e 2t Q + e t R
4) Calculer Q 2 , R 2 , QR, RQ.
Que peut-on dire des endomorphismes q et r canoniquement associés à Q et R ? Donner une
réponse complète en utilisant u 1 et u 2 de la première partie.
5) Pour tout (x, y) ∈ R 2 , déterminer E(s + t) en fonction de E(s) et E(t).
6) Que dire de E(t) n pour n ∈ N ? Montrer que E(t) est inversible et trouver son inverse.
Exercice 2
x
On définit une fonction f par : f(x) =
ln(x) + 1 .
1) a) Déterminer l’ensemble D de définition de f, justifier que f est de classe C ∞ sur D et
calculer f ′ (x) pour tout x ∈ D.
b) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. On note encore f le prolongement
et ˜D = D ∪ {0}.
c) f est-elle alors dérivable en 0 ? Est-elle de classe C 1 sur ˜D ?
2) a) Dresser le tableau de variations de f sur D, en précisant les limites aux bords de D.
b) Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle convexe ? concave ?
c) Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de f, notée C.
d) Représenter l’allure de C en faisant figurer tous les renseignements obtenus précédemment.
2

3) On définit la suite (u n ) n∈N par :
{
u0 = e
∀ n ∈ N, u n+1 = f(u n ) =
a) Justifier que pour tout n ∈ N, u n existe et u n ∈ [1, e].
u n
ln(u n ) + 1 .
b) Donner l’énoncé de l’inégalité des accroissements finis pour une fonction g vérifiant des
hypothèses à préciser.
c) Chercher la valeur de M = sup
[1,e]
|f ′ |.
d) Montrer que pour tout n ∈ N, |u n+1 − 1| ≤ 1 4 |u n − 1|.
e) En déduire que la suite (u n ) n∈N converge, et préciser sa limite.
Exercice 3
On définit la fonction f sur ]0, +∞[ par :
∀x ∈]0, +∞[, f(x) = 1 x 2 e− 1 x
1) Justifier que f est de classe C ∞ sur ]0, +∞[.
2) Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe un polynôme P n ∈ R[X] tel que :
et que
3) Calculer P 0 , P 1 , P 2 , P 3 .
∀x ∈]0, +∞[, f (n) (x) = P n(x)
x 2n+2 e− 1 x
P n+1 = X 2 P ′ n + [1 − 2(n + 1)X]P n
4) Calculer, pour tout n ∈ N, le degré d n , le coefficient dominant D n et le terme constant C n
du polynôme P n .
5) On considère la fonction g telle que : ∀x ∈]0, +∞[, g(x) = x 2 f(x).
Démontrer que, pour tout n ∈ N : g (n+1) = f (n) .
6) En utilisant la formule de Leibniz pour calculer g (n+1) , démontrer que, pour tout n ∈ N ∗ :
P n+1 (X) = [1 − 2(n + 1)X]P n (X) − n(n + 1)X 2 P n−1 (X)
7) En déduire que : ∀n ≥ 1, P ′ n = −n(n + 1)P n−1 .
8) Montrer que, pour tout n ∈ N, P n n’a pas de racine multiple.
3

Exercice 4
On considère une fonction f : [0, +∞[→]0, +∞[ définie sur R + et à valeurs strictement positives,
telle que :
❶ f est bornée sur R + . On notera M = sup
R +
❷ f est deux fois dérivable sur R + .
(|f|).
❸ il existe une constante α > 0 telle que, pour tout x ∈ R + , αf(x) ≤ f ′′ (x).
1) Étude de la monotonie de f
a) Justifier que f ′ possède une limite, finie ou infinie en +∞.
b) Montrer que, pour tout x > 0, il existe c x ∈ ] (
x
x
)
, x[ tel que : f(x) − f
2
2
c) Prouver alors que la limite de f ′ en +∞ est 0.
d) En déduire que la fonction f est décroissante sur R + .
2) Détermination de la limite de f en +∞
= x 2 f ′ (c x ).
a) Justifier que f admet nécessairement une limite finie en +∞. On pose : l = lim
x→+∞ f(x).
b) Montrer que, pour tout t ≥ 0, f ′′ (t) ≥ αl.
c) En déduire que, pour tout x ≥ 0, f ′ (x) ≥ f ′ (0) + lαx.
d) En déduire une absurdité dans le cas l > 0. Conclure.
3) Majoration de la fonction f
a) Étudier la monotonie et la limite en +∞ de la fonction g définie sur R + par : g(x) =
α(f(x)) 2 − (f ′ (x)) 2 .
b) En déduire : ∀x ≥ 0, √ αf(x) + f ′ (x) ≤ 0.
c) Établir la monotonie de la fonction h définie sur R + par : h(x) = f(x)e x√α .
d) Conclure que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≤ f(0)e −x√α .
4) Étude des primitives de f
a) Pour x ≥ 0, on pose : F (x) =
infinie, en +∞.
∫ x
0
f(t) dt. Justifier que F possède une limite, finie ou
b) À l’aide du résultat établi à la question 3d, prouver que cette limite est finie.
c) Prouver que, parmi les primitives de f sur R + , il en existe une et une seule qui tend
vers 0 en +∞.
***** FIN *****
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