Concours blanc 2

Exercice 4
On considère une fonction f : [0, +∞[→]0, +∞[ définie sur R + et à valeurs strictement positives,
telle que :
❶ f est bornée sur R + . On notera M = sup
R +
❷ f est deux fois dérivable sur R + .
(|f|).
❸ il existe une constante α > 0 telle que, pour tout x ∈ R + , αf(x) ≤ f ′′ (x).
1) Étude de la monotonie de f
a) Justifier que f ′ possède une limite, finie ou infinie en +∞.
b) Montrer que, pour tout x > 0, il existe c x ∈ ] (
x
x
)
, x[ tel que : f(x) − f
2
2
c) Prouver alors que la limite de f ′ en +∞ est 0.
d) En déduire que la fonction f est décroissante sur R + .
2) Détermination de la limite de f en +∞
= x 2 f ′ (c x ).
a) Justifier que f admet nécessairement une limite finie en +∞. On pose : l = lim
x→+∞ f(x).
b) Montrer que, pour tout t ≥ 0, f ′′ (t) ≥ αl.
c) En déduire que, pour tout x ≥ 0, f ′ (x) ≥ f ′ (0) + lαx.
d) En déduire une absurdité dans le cas l > 0. Conclure.
3) Majoration de la fonction f
a) Étudier la monotonie et la limite en +∞ de la fonction g définie sur R + par : g(x) =
α(f(x)) 2 − (f ′ (x)) 2 .
b) En déduire : ∀x ≥ 0, √ αf(x) + f ′ (x) ≤ 0.
c) Établir la monotonie de la fonction h définie sur R + par : h(x) = f(x)e x√α .
d) Conclure que, pour tout x ≥ 0, f(x) ≤ f(0)e −x√α .
4) Étude des primitives de f
a) Pour x ≥ 0, on pose : F (x) =
infinie, en +∞.
∫ x
0
f(t) dt. Justifier que F possède une limite, finie ou
b) À l’aide du résultat établi à la question 3d, prouver que cette limite est finie.
c) Prouver que, parmi les primitives de f sur R + , il en existe une et une seule qui tend
vers 0 en +∞.
***** FIN *****
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