énoncé - L'UTES - Université Pierre et Marie CURIE

Licence 1ère année
Parcours BGPC
Université Pierre et Marie Curie
2010/2011
Examen d’Outils Mathématiques pour Scientifiques - Session 1
(LM 130)
(4 janvier 2011 – durée : 2h)
Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés
2 pages imprimées
Les différents exercices sont indépendants
Exercice I
(6 points)
Les questions sont indépendantes
1. Déterminer toutes les valeurs de x solutions de l’équation suivante :
2 sin 3 x + 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0
2. L’effectif d’une population bactérienne est multipliée par 4 toutes les heures. Au bout de combien de
temps (en minutes) l’effectif initial aura-t-il été multiplié par 1000 ? par 4000 ? On donne log 4 = 0, 6.
3. Dans le triangle suivant, calculer la valeur de x. On donne √ 2 ≃ 1, 4 et √ 3 ≃ 1, 7. On remarquera que
75 = 45 + 30.
Figure 1: Triangle rectangle
Exercice II Etude de fonction (8 points)
On considère la fonction f définie par :
f(x) =
x3
x 2 − 4
1. Déterminer son domaine de définition.
2. La fonction f a-t-elle une parité définie ? Si oui, définir un domaine d’étude restreint (par symétrie).
Est-elle périodique ?
3. Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine d’étude. Préciser l’existence ou non d’asymptotes
(verticales, horizontales, obliques) et leur équation.
4. Calculer la dérivée f ′ (x). Pour quelles valeurs de x cette dérivée s’annule-t-elle ? La fonction f admet-elle
un ou plusieurs extremums ?
5. Dresser le tableau de variation de f(x) sur son domaine de définition, et tracer son graphe.
On donne √ 3 ≃ 1, 7.
04/01/2011 Examen d’Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) - Session 1

Université Pierre et Marie Curie
2010/2011
Licence 1ère année
Parcours BGPC
Exercice III Produit scalaire dans un triangle rectangle (6 points)
On considère la droite D : y = ax + b dans un repère orthonormé (Ox, Oy). Soit H le projeté orthogonal de
O sur D, de coordonnées (x H , y H ). Soit M un point quelconque de D, de coordonnées (x M , y M ).
Figure 2: Droite D dans un repère orthonormé
1. Exprimer le coefficient directeur a de la droite D, uniquement en fonction de x M , y M , x H et y H .
2. Exprimer y H en fonction de x H , a et b.
3. Déterminer une expression du produit scalaire −−→ OH · −−→ HM sous la forme A(x M − x H ), où A s’exprime
uniquement en fonction x H , a et b. En déduire que A = 0 et x H = − ab
1+a
. 2
4. Déduire des questions 2. et 3. une expression simplifiée de y H , uniquement en fonction de a et b.
5. Trouver un vecteur −−→ OK perpendiculaire à la droite D, dont les composantes ne dépendent que de a.
Examen d’Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) - Session 1 04/01/2011