Corrigé

I Banque PT 2009 A (Extrait)
A I Distributions orthoradiales de courant électrique
1° Distribution volumique : j 1 r u
Arguments de symétrie :
u r , u : plans de symétrie B 1 pseudo-vecteur B 1 fMu z
j 1 M r u jr u fM fr puisque / 0 ; / z 0 invarience par translation et par
rotation
Théorème de Stokes
Sous sa forme intégrale : B 1 .d Rot B 1 .S o j 1 .S puisque j d : o E/t 0
Contour rectangulaire : Ar, 0, 0; Br, 0, H; CR, 0, H; DR, 0, 0 avec r a ; R a
B
La circulation se limite au seul terme : B 1 .d fr H
A
ua
Le flux de j 1 ( courant enlacé ) se limite à : j 1 .S u Hdu a 2 r 2 ur
H/2
B 1 fr o a2 r 2
2
Remarque :Si l’on avait donné l’expression du rotationnel en coord cylindrique, on aurait pu utiliser la
forme locale du théorème :
Rot B
o j
En coordonnées cylindriques r, , z :
Rot B
B z zrB / r
z B r r B z
rrB B r / r
symétries :
r B z o j o r
que l’on intègre avec la CL B z a 0
2° Distribution surfacique
Un champ uniforme possède des dérivées spatiales nulles Rot B 0 ; Div B 0 ”satisfaisant”
Le champ uniforme est ”satisfaisant” , maintenant on n’a absolument pas montré que c’était LA bonne
solution ...
Dans ce type de problème ce sont justement les CL ( courant surfacique cylindrique uniforme ici ) qui
justifient LA solution.
La relation de passage B 2 B 1 o j s u 12 donne B o o j s u z r a
A II Four à induction
1°
B o o j s u z
o
N
H
it u z o K I m cost u z
2°Arguments de symétrie :
u r , u z : plans d’antisymétrie E 1 vrai-vecteur E 1 fM, tu fr, tu
On applique donc ”Maxwell- Faraday” intégral : cercle d’axe Oz et de rayon r
On peut à nouveau appliquer la forme locale avec le rotationnel en coord cylindriques :
Rot E
B /t
On trouve :
E 1 r, t K I m
2
rsint j 1r, t
Banque PT 2009 A Réponses - 1 -

3° Bilan de puissance : effet Joule local puis intégré : chauffage par courants de Foucault
p J j 1 2 r, t
P J p J d
W.m 3
P J t K 2 I 2 m 2 a 2
8
P J K 2 I 2 m 2 a 2
16
avec (symétrie) d 2rHdr et 0 r a
V sin 2 t
avec V a 2 H
V puisque sin 2 t 1 2
Fusion du matériau
La chaleur nécessaire à la fusion du matériau ( y compris les pertes ) vaut Q M fus h 1
Elle est fournie par la ”chaleur Joule” Q P Jt f t f 335 s
Question annexe :
Il est intéressant de contrôler ici l’hypothèse : champ magnétique induit par les courants de Foucault
négligeable devant le champ inducteur.
En effet, nous nous trouvons précisément dans le cas étudié en I 1° avec le coefficient :
K I m
2
sint
On en déduit alors facilement le champ B 1 r , il est maximum sur l’axe r 0
B 1m o a2
2
Que l’on peut comparer au champ B o K I m cost
Ces champs sont en quadrature, comparons leurs amplitudes :
B 1Max
B oMax
o
2
a2
2 1 2
Où l’on a introduit l’épaisseur de peau ( cf sujet Banque PT 2009 B partie I B ) :
a
2
2
o
6, 3 mm a 150 mm 280 !!
On en conclut qu’il n’est absolument pas possible ici de négliger les effets des courants induits.
En pratique, l’autoinduction limite la pénétration du champ B o sur une couche superficielle d’épaisseur
de l’ordre de
Le cylindre ne fondra donc pas ”en masse” mais plutôt en surface.
La résolution ”exacte” nécessite l’usage des équations de Maxwell et aboutit à des fonctions de type
Bessel (harmoniques cylindriques)
III Alimentation électrique du four
1° Questions élémentaires ne nécessitant pas de remarques particulières. On trouve :
i u Z U m
Z
expjt
Z R jL; Z ModZ R 2 2 L 2 ; ArgZ arctg L
R
I m
U m
R 2 2 L ; I : 2 i2 I m
en régime sinusoïdal
2
la puissance moyenne transférée ( puissance active) est la puissance Joule dissipée par R
Banque PT 2009 A Réponses - 2 -

P Ri 2 RI 2 2
R U m
R 2 2 L 2 2
TP P
P0 1 1
1 L/R 2 17
2° Amélioration du facteur de puissance
Il suffit de modifier la partie imaginaire de Z : L L 1/C
TP 1
1 L 1/C/R 2
2 LC o 1 C o 100 nF ; TP 1
5, 88 %
Z R 0 j 0 I m U m
R
B Effets thermiques
Illustrons l’élégance de l’approche locale des lois de la physique
Au sein du ruban :
- régime permanent /t 0
- transfert thermique unidirectionnel (x) Tx , j th dT/dx u x j th xu x
-source de chaleur uniforme et permanente ( effet Joule ) de densité : p j 2 o / W.m 3
Bilan énergétique sur un domaine quelconque : flux de chaleur sortant puissance interne
Traduction volumique
Div j th p d dx j thx p j th p x Cste
j th e 0 (isolant) j th p x e
j th 0 : p e
Continuité
hT p T e T p T0 T e p e
h
L’axe x a été orienté de manière à avoir j th x 0 (it’s a pity... )
Intégrons l’expression de j th x pour obtenir Tx dans le câble :
dT j th
dx
Tx T0 x
p x e
o
dx T e j o 2 e
h j o 2
T e j o 2 e
h
x 2
2 x e
La température est maximale en x e
T max Te T e j o 2 e
Problème équivalent mais de présentation plus élégante.
Soit une tranche infinie selon y et z de matériau conducteur, d’épaisseur 2e . La tranche s’étend sur
l’intervalle e x e
Cette tranche est parcourue selon z par un courant électrique de densité uniforme j o j o u z A.m 2
L’effet Joule provoque une production de chaleur de densité uniforme d’expression p J j 2 o / W.m 3
La tranche possède une conductivité thermique constante W.m 1 .K 1
Elle est plongée dans l’air de température T ext , sur les faces x e et x e on tient compte d’une
convection caractérisée par un coefficient de Newton h W.m 2 .K 1
On cherche la répartition de température Tx en régime permanent.
Par raison de symétrie j th x j th x et Tx Tx, donc :
1
h
e
2
j th p x puis T T0 p
2 x2 Te T0
convection en x e Te T ext j the
h
température maximale : T0 T ext p e
h p
2 e2
Banque PT 2009 A Réponses - 3 -
T ext p e
h
p
2 e2 : profil parabolique