Corrigé

PT 2008 Physique B Réponses
Il ne s’agit pas à proprement parler d’un ”corrigé” mais plutôt d’un cours dont le sujet proposé constitue
une application numérique. Les notations et les variables utilisées dans le cours s’éloignant (pour des
raisons didactiques) assez fort de celles demandées au concours !
Boule électrostatique uniformément chargée
Charge totale Q, rayon R.
Champ EMet potentiel VMcréés en M distant de r OM de son centre O.
Soit la distance réduite r r/R , d’après le théorème de Gauss, on obtient facilement :
E r M
E r M
Q
r pour r 1
4 o R 2
Q 1 pour r 1
4 o R 2 r 2
on en déduit V(r)
VM
VM
par dV E.d E r rdr R E r r dr
Q 1
4 o R r pour r 1 avec V 0 pour r
Q
4 o R 3 r 2
pour r
2
1 avec Vr 1
Graphe de E r et V en unités réduites, cad avec les unités respectives :
Q
4 o R continu
distance : R
Q
Champ électrique :
4 o R ; Potentiel : Q
2 4 o R
On ”visualise” que V(r) mesure (au signe près et à une constante près...) l’aire sous la courbe E(r)
Energie d’une charge ponctuelle q en M dans le champ de la boule :
On a ajouté l’indice p pour ne pas confondre une énergie E p1 avec un champ électrique ...
E p1 q VM
Energie propre de la boule chargée
u e oE 2
2
dE p oE 2
2
q Q
4 o R
d oE 2
2
1
r
q Q
4 o r
4r 2 dr R 3 o E 2
2
En intégrant dans tout l’espace r 1 et r 1 on trouve :
E p2
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pour r 1 r R
4r 2 dr
Q 2
8 o R 1
r 4 dr dr
3
0
1 r 2 5 Q 2
4 o R
(symétrie sphérique)

On pourrait vérifier (mais ce n’est plus au programme) que cette énergie propre peut se calculer ”à la
manière de” E p1 mais avec un facteur 1/2 :
E p2 1 V dq
2 1 Boule 2
Q
1
3 r 2
4 o R 0 2
dQ avec dQ d Q 3r 2 dr
(Justifiez!)
Analogie Electrostatique - Gravitation
Soit la masse M en A soumise au champ de gravitation gA créé par m en O
F Gm M u
r 2 r M gA ( signe - : attraction )
m q ; G
4 1
o
gr E r r
GM
R 2
Q
4 o R 2
Il est étrange de demander de calculer le champ de gravitation d’un astre ” à la surface” d’un autre
puisque les différents points de la surface ne sont pas équidistants de l’astre attracteur ( effets de marée) nous
considérerons les centres des astres ! (rayons distance mutuelle)
g ST GM S
L 2
E pTS GM SM T
L
5, 93.10 3 m.s 2 ; g TS GM T
L 2
5, 336.10 33 J
E pS 3 5 GM S 2
R S
2, 2810 41 J ; E pT 3 5 GM T 2
R T
E totale E pTS E pS E pT E pS
1, 78.10 8 m.s 2
2, 25.10 32 J
Calculs effectués en considérant ces astres comme homogènes ! Ces résultats montrent que la Terre ne
”pèse” pas lourd devant le Soleil...
II Stabilité d’une étoile sphérique
II. 1Stabilité thermique
Energie totale : E S E pS E cS
On suppose cette énergie totale négative pour que le système soit stable ( cf énergie des planètes...)
E cS 3 2 k T
M S
M H /N a
3 2
Cette énergie équilibre l’énergie potentielle pour Tmax :
T max E pS
nR
M S
M H
R T 3 2 nR T 2, 49.1034 T
2
3 9, 15.106 K
La température de surface du Soleil est de seulement 5 800 K ( au coeur du Soleil la température est
supérieure à T max ! )
II.2 Stabilité dynamique
Il faut que la vitesse de rotation à l’équateur reste inférieure à la vitesse de libération. Sinon de la matière
s’échappe de l’étoile depuis cet équateur
Une autre façon de le dire est que la pesanteur ( gravitation ET inertie d’entraînement) serait nulle à
l’équateur
Vitesse de libération : 1
2
mv L 2 E p R GmM
R
v L
2 GM
R
Vitesse de rotation ”équatoriale” : v r R 2
S
R S 1692 m/s v L (pour le soleil)
617367 m/s
Rayon de Schwarzschild v L c , (horizon d’un trou noir) et masse volumique correspondante :
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R o 2 GM
c 2 2964 mSoleil o 3c 2
8R 2 G
1, 611.1026
R 2 oR S 3, 28.10 8 kg.m 3 328 kg/cm 3 !!
Remarquons que ce calcul ”classique” est confirmé dans la théorie de la relativité
La masse volumique moyenne du Soleil vaut ”seulement” :
S
M s
4/3R S
3
1393 kg.m 3
II. 3 Aspect hydrostatique
GradP g dP
dr
dP
dr
T c
P c
R
III Evolution du Soleil
1 Puissance rayonnée :
G Mr
r
r 2
S G 2 M S
R S
P c 3 GM S 2
R S
4
P
S r avec r R M H
8310 J.K 1 .kg 1 T c 2GM S
r R S
P S p 4L 2 3, 8.10 26 W
2 Test de l’hypothèse : énergie produite par la contraction du Soleil :
P S t o 3 5 GM S 2
R S
t o
5, 3.10 14 Pa ”Calculs” forts grossiers...
4, 58.10 7 K
2, 281041
3, 8.10 26 6.10 14 s 19.10 6 ans
Valeur beaucoup trop faible (19 millions d’années) devant l’âge estimé du Soleil ( 4 milliards d’années)
L’origine de l’énergie solaire est nucléaire : fusion de l’hydrogène en hélium
3 Evolution en naine blanche
4
3 R 3
NB M S R NB 1, 684.10 7 m 0, 024 R S
I Cste R2
Cste : conservation du moment cinétique NB S
III 3.5. Reprenons le critère de stabilité dynamique, on trouve à la limite R R min:
R NB
R S
2
1505 s
v r v L
2 R min
S R min /R S 2
R min 22 R S
4
GM S S
2
5, 3 km
2 GM S
R min
Nous ne sommes plus très loin du rayon de Schwarzschild calculé en II 2 v L c R o 2964 m
IV Lunette astronomique
Un critère très utile ici :
Depuis le centre optique d’une lentille mince plongée dans l’air : l’objet et l’image sont vus sous des
angles égaux.
Si l’objet (l’image) est à l’infini de taille angulaire , alors l’image (l’objet) est dans le plan focal de taille
linéaire h f
En considérant ici l’image intermédiaire située simultanément dans les plans focaux de l’objectif et de
l’oculaire :
h f 1 f 2 G :
f 1
f 2
Attention au renversement, en toute rigueur : G f 1
f 2
Remarquons que le diamètre d’un faisceau cylindrique est au contraire réduit d’un facteur G
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V Mesure d’une distance angulaire
Nombreuses questions de cours, donnons seulement les résultats essentiels
Interfrange, cas de Young
i f e
50 m
Distance entre les images géométriques des deux étoiles (séparation angulaire )
d f
Brouillage des franges
Les intensités des deux figures d’interférences se somment ( sources incohérentes) le brouillage est total
si frange brillante d’une figure confondue avec frange sombre de l’autre, soit :
d i 2
2 e 4, 22.106 rad 0, 87”
VI Pouvoir séparateur de l’objectif
Il s’agit de la théorie de la diffraction de Fraunhoffer par une ouverture circulaire, totalement hors
programme !
L’étude est néanmoins reprise dans les notes de cours : diffraction
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