Banque PT 2007 A

Banque PT 2007 A
1 Analogies électriques et magnétiques
1.1 Champs créés par un cylindre
1.1.1. Electrostatique
Cylindre circulaire et de longueur très grande, devant son rayon R, chargé uniformément
Gauss local :
en coord.cyl.r, , z :
r R divE 1 r
r R divE 1 r
0 ;
z 0 E E rru r et Vr
r rE r o
E r r
o
C 2 1
r rE r 0 E r C 2
r
Attention : traiter rE r fr comme une fonction à intégrer sans dériver le produit !
- La direction radiale n’étant pas définie en r 0 , on a C 1 0
- E r r étant continu en r R (pas de charge surfacique)
Potentiel électrique
C 2
R o
R
2
C 2 o
R 2
2 E r R2
2 o
1 r
Er GradVr
dV Erdr
r R dV R 2
o 2 dr r
Le potentiel pour r R se calcule selon :
dV
dr
r R
Vr R2
2 o
ln r
R
E r
2 o
r Vr R2 r 2
4 o
respectant VR 0
Graphes
”L’allure” des graphes s’obtient en travaillant en variables réduites ( de manière à rendre
cette ”allure” indépendante des valeurs numériques spécifiques à tel ou tel problème posé).
Rappelons qu’une variable réduite n’est rien d’autre que le rapport (sans dimension) entre la
grandeur physique dimensionnée et une valeur caractéristique.
- Coordonnée radiale réduite : r r/r o avec r o R
- Champ électrique réduit : E E/E o avec :
E o ER o
R
2
- Potentiel réduit : V V/V o avec :
V o E o r o o
R 2
2
On remarque que le choix de V o n’est pas libre, il est imposé dimensionnellement par les
choix de E o , r o ! Par ailleurs il ne correspond pas à VR
On obtient alors les expressions plus concises :
0 r 1 E r ; V 1 r2
2
r 1 E 1 r ; V lnr
PT 2007 Phys A - 1 - Ch PONTZEELE

On constate que l’usage de variables réduites, constituant un choix cohérents d’unités, ne
modifie pas l’écriture les lois fondamentales :
E r r dV
dr
E r r dV
dr
En revanche, pour l’équation de Poisson, il faut être prudent :
pour 0 r 1 : V o
V 2
or V V o
r o
2
V
Le facteur V o /r 2 o
nombre pur.
contient en effet les facteurs ”dimensionnels” assurant que V soit un
1.1.2. Magnétostatique
Les propriétés de symétrie changent , scalaire j vectoriel, B pseudo-vecteur :
en coord.cyl.r, , z :
Les nouvelles équations locales sont :
0 ;
z 0 B B ru et A A z u z
Rot B o j (Ampère) , Rot A B
On vérifie immédiatement que ces équations sont semblables à celle concernant E, V en
électrostatique. Elles deviennent complètement identiques en variables réduites, en posant,
par analogie :
E o ER o
R
2
B o BR o j z
R
2
A o B o R o j z
R 2
2
En particulier, à l’extérieur du fil cylindrique :
A z lnr A z A o ln
r R
A o o j z
R 2
2 oI
2
2 Action d’un champ extérieur sur le cylindre
2.1 Effet Joule
L’exercice a été entièrement traité en cours. On rappelle néanmoins l’expression de la
puissance volumique cédée par le champ à la matière :
PT 2007 Phys A - 2 - Ch PONTZEELE

p j E
en W.m 3
p J E E E 2
puissance Joule volumique 0
Le bilan électromagnétique revient à vérifier que le flux du vecteur de Poynting entrant dans
le cylindre est bien égal à la puissance Joule dissipée dans le cylindre. Le vecteur de Poynting
étant radial, cela revient à vérifier :
2Rh p J R 2 h
2.2. Conducteur cylindrique dans un condensateur plan
Le titre ( non donné dans l’énoncé) correspond à une situation qui en principe n’a plus à être
étudiée dans l’esprit des programmes actuels. L’exercice constitue néanmoins une riche
application de l’électrostatique.
a)
b)
c)
d) Loin du cylindre :
r R : E 0 et V Cste
Vr, gr cos
V 0
1 r
d
dr
r dg
dr
g r 2 cos 0
g r p p 2 1r p2 0 p 1
gr A r B r
E r V
r A B r 2 cos
E 1 r V
A B r 2 sin
E r E o u E o cos et
e) Traversée d’une surface chargée :
B
r 2
E o
u n o
u r pour r R :
0 donc : A E o
E 0 B A R 2 finalement : A E o ; B E o R 2
E r o
E o 1 R2
R 2
cos 2E o cos
En conclusion, et (pourquoi pas) en variables réduites, le champ électrique Et le potentiel
sont nuls pour r R. A l’extérieur du cylindre r R, r 1
E r 1
r 1 cos ; E 2 1 1 sin
2
r
V 1
r
r cos ; o E o cos avec :
E E E o
; r r R ; V V
Eo R
On vérifie bien que le potentiel est continu à la traversée de la surface chargée et que la
charge totale du cylindre reste nulle.
1.2.3 Cylindre supraconducteur
Quoique les équations locales de la manétostatique semblent assez différente de celles de
PT 2007 Phys A - 3 - Ch PONTZEELE

l’électrostatique, la situation est finalement mathématiquement la même. Si l’on admet la forme
de la solution pour le potentiel vecteur :
A r A 0 ; A z r p cos
L’application successive de deux fois l’opérateur rotationnel en coord. cyl. donne :
Rot A
B 0 B r 1 r A z
B A z
r
rp1 sin
p r p1 cos ; B z 0
Rot B o j 0 composante z : 1 r
p 2 1r p2 cos 0 p 1
r rB B r 0
Par superposition, il faut dans les expressions précédentes remplacer r p par A r B /r
La relation de passage pour le champ magnétique s’écrit :
B o j S u n avec u n u r en r R
Juste à l’extérieur, toujours en r R ,on en déduit que B r 0 composante continue, soit :
AR B
R
sin
R
0 B A R 2
Pour la composante selon , l’analogie avec l’électrostatique est également complète.
Explicitons-la directement :
E r o
2E o cos B o j S 2B o cos
Le champ magnétique a ne pas dépasser vaudra :
B c oj S
2
1.3 puissance dans un câble coaxial
1. Equation de d’Alembert dans le vide
Voir cours !
E 1 c 2
2 E
t 2 0 ; c 1
o o
2. Dans le câble :
DivE 0 E o r K r E 1 R 1
r
EM, t E 1 R 1
r cost kzu r
La suite est semblable aux calculs donnés dans le corrigé du sujet PT IB 2003. Nous ne
détaillerons donc que les réponses aux questions un peu originales.
B B o r cost kzu
RotE B E
t z
B
t
B o r k E or E or
c
kE o r sint kz B o r sint kz
Les conditions de passage en r R 1 , R 2 donnent les densités surfaciques de charge et de
courant :
PT 2007 Phys A - 4 - Ch PONTZEELE

Vecteur de Poynting :
1 o E 1 cost kz ; 2 o E 1
R 1
R 2
cost kz
j S1 B 1
o
cost kz ; j S2 B 1 R 1
o
cost kz avec B
R 1 E 1
2
c
E B
o
E 1B 1
o
R 1
r
1 2
E 1 B 1
o
R 1
r
2
2
cos 2 t kz
Puissance moyenne ”rayonnée” par l’onde ( ou plutôt transportée...)
il faut intégrer entre les deux cylindres, en utilisant dS 2rdr
P
R1
R2
dS 1
2
E 1 B 1
On peut introduire l’impédance du vide puisque :
o
R 1 2 2 dr r E 1B 1
o
R 1 2 ln R 2
R 1
A.N.:
E 1 B 1
o
E 1
o
E 1
c
o
o
E 2 1 E 1 2
Z o
Z o
o
o
377 ; P 84 mW
Quoique cela ne soit pas demandé, on peut calculer le courant transporté et la tension entre
les conducteurs :
I j S1 2R 1 B 1
o
2R 1 cost kz
I m B 1
o
2R 1 E 1
o c 2R 1 E 1
Z o
2R 1 83 mA
R 2 R 2
V Edr
R1
E1 R 1
R1
r cost kzdr E 1 R 1 ln R 2
R 1
V m E 1 R 1 ln R 2
R 1
2, 03 V
on vérifie alors que P I V soit, en moyenne temporelle :
cost kz
P I mV m
2
I eff V eff
2 Interférences et diffraction
2.1. Une ou plusieurs ouvertures rectangulaires
1. D’après le principe d’Huygens-Fresnel, l’amplitude complexe totale observée sera la
somme des amplitudes complexes élémentaires associées à des sources élémentaires recouvrant
l’ouverture étudiée de la forme :
ds da expi
- Le module de l’amplitude est simplement proportionnel à l’élément de surface
dS dx dy da Kdx dy
- L’argument est la phase de l’onde mesurée par rapport à une origine arbitraire.
2. On nous propose tout naturellement de prendre l’origine associée au point O. Le
déphasage entre une source O et une source M sur une onde caractérisée par le vecteur k vaut (
par définition du vecteur d’onde) :
PT 2007 Phys A - 5 - Ch PONTZEELE

k OM avec OMx, y, 0
Puisque l’on observe dans la direction u, , on a simplement :
k 2 u 2
, ,
2
x y
Finalement :
s o ds K exp i 2
x y dx dy
Conforme à l’expression proposée.
1.3 Considérons, pour simplifier le schéma y’0 , et l’on suppose x /L 1 (Conditions de
Gauss). Alors x /f . De même, y /f ( Faire le schéma ! ). On a donc finalement :
A 2
x
f
; B 2
y
f
On calcule l’intégrale :
s o ds K
L/2
L/2
expiAxdx
/2
/2
expiBydy K
Or :
L/2
expiAL/2 expiAL/2
expiAxdx
L/2
iA
On reconnaît la fonction sinus cardinal :
L
sin cu sinu
u
expiAL/2 expiAL/2
2i AL/2
L sinAL/2
AL/2
de valeur maxi à l’origine : sin c0 1 et s’annulant ensuite pour toute les valeurs entières
de u
Avec
Finalement :
u L f
s o K L sin c L f
x
x
sin c
L’amplitude est proportionnelle à la surface de l’ouverture et au produit de deux sinus
cardinaux.
L’intensité est mesurée par le carré module de s o . Si on note I max sa valeur maxi on a :
f
y
I I max sin c 2 L f
x
sin y
c2
f
Dans le cas d’une fente allongée selon Ox et de plus x 0, on a plus simplement :
I I max sin c 2 y
f
La largeur de la tâche centrale correspond à l’intervalle :
1 y
f 1 y 2 f
4 cm
PT 2007 Phys A - 6 - Ch PONTZEELE

4. Diaphragme constitué de deux fentes allongées : fentes de Young. L’expression de
l’intensité est maintenant multipliée par la fonction d’interférence à deux fentes d’expression :
I 2 1 cos2p
2
avec p
L’interfrange, valeur de y associée à p 1 mesure
2a sin
2a y
f
i f
2a
0, 5 cm
Soit x , l’ordre de diffraction, la courbe demandé dans l’intervalle 1.. 1 est d’équation :
I
sin x
x
2
1 cos8 x
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2 -1 0
1 2
x
Les ordres d’interférences entiers observables ( franges brillantes) ,dans la tâche centrale de
diffraction, vont de -3à 3.
En abscisse, on a porté l’ordre de diffraction P dif :
-
P itf itf
P dif dif
2a
pour
P itf
4
1 : sin y
5.Les fentes sont maintenant plus écartées et très fines : diffraction négligée ( parce que très
large ! ). L’intensité est donnée par :
I 1 cos2P itf
2
avec : P itf
2b
2b y
f
f
y
i
où i représente l’interfrange : variation de y associée à P itf 1
a) Lame d’air
On remplace le vide par de l’air sur une petite épaisseur. ( En pratique on réalise plutôt
l’inverse !! ) La variation de chemin optique vaut alors :
n 1e p
y i p i n 1e f n 1e
2b
La longueur d’onde n’intervient plus. On peut l’expliquer plus simplement :
Soit l’angle de déviation supposé petit , on a fondamentalement :
En différentiant la dernière égalité, on trouve :
dy
b) Spectre cannelé
2b f d
f
2b
2b y
f
n 1e n 1 2, 94.104
PT 2007 Phys A - 7 - Ch PONTZEELE

Pour y 1 cm et f 1m on a
y
f 0, 01
2b
10 m
Or p et les cannelures correspondent aux radiations ”éteintes” par interférence
destructive cad p demi-entier. Les valeurs extrêmes du spectre sont
p 0, 8m 12, 5 ; p 0, 4m 25
On voit donc 13 cannelures pour les longueurs d’ondes :
i
10 m
12, 5 i
avec i 0, 1, 2, ...12
L’examinateur espère-t-il que le candidat trouve le temps de faire les calculs au coeur d’un
sujet aussi pléthorique ?
1.6 Système de trois fentes (mini-réseau)
Il faut sommer trois amplitudes complexes. Les modules sont égaux, les arguments sont en
progression arithmétique. En prenant l’origine au niveau de la fente centrale on a :
s t aexpi 1 expi a1 2 cos
I I o1 2 cos 2
avec classiquement : 2p
I o étant l’intensité uniforme, d’une fente unique.
On vérifie facilement ( développer le carré PUIS calculer la moyenne sur ) :
I 3I o
Traçons cette intensité avec comme variable, l’ordre d’interférence p :
I/I o 1 2 cos2 p 2 0
8
6
4
2
-2 -1 1 2
p
Nous voyons apparaître la caractéristique générale du réseau à N fentes : les maxima
principaux, correspondant à des ordres entiers sont amplifiés (facteur N 2 en intensité) et
simultanément de largeur réduite (extension autour de p entier : p/N.. p/N. Maxima
secondaires très faibles.
Remarque :
Notons que dans le cas d’une interférence à trois fentes, le maximum secondaire peut être
annulé en doublant la largeur de la fente centrale.Le calcul devient :
s t aexpi 2 expi 2a 1 cos
I 4I o1 cos 2
avec 2p
PT 2007 Phys A - 8 - Ch PONTZEELE

Graphe : 4 1 cos2 p 2 0
16
14
12
10
8
6
4
2
-1 -0.5 0.5 1
p
2.2 Ouverture précédée par un prisme de verre
Sujet a priori délicat que l’on peut néanmoins essayer de présenter simplement...
Nous avons vu que lorsque le plan de l’ouverture est un plan d’onde ( onde plane d’incidence
normale), l’intensité diffractée dans la direction y /f est due à une différence de marche
”après l’ouverture” d’expression :
2 sin
l
f y
Le prisme introduit une différence de marche (différence de chemin optique) ”avant
l’ouverture”, d’expression :
1 n 1 e o y
Attention au risque de confusion : représente la direction d’observation alors que est le
”petit” angle au sommet du prisme !
La différence de marche totale à prendre en compte dans le calcul de l’amplitude complexe
vaut alors :
1 2 Cste
f
n 1 y Cste n 1y
En particulier le centre de la figure de diffraction 0 a simplement subi une rotation :
n 1 0, 025 rad
ce qui constitue la réponse à la dernière question (c)
La figure de diffraction n’est donc pas modifiée dans son aspect, mais simplement ”tourné”
de
d) D’un point de vue ”optique géométrique”, on montre que la déviation des rayons
lumineux par un prisme de petit angle est sensiblement indépendante de l’incidence et vaut
justement :
D n 1
(cf. montage du biprisme de Fresnel)
En conclusion, on peut retenir la règle générale :
La figure de diffraction causée par le passage dans un diaphragme est toujours centrée
sur l’image donnée par les règles de l’optique géométrique.
3. Mouvement d’une spire dans un champ B non
uniforme
1.a) Si b0 ( champ B uniforme) pas de variation de flux, pas de phénomène d’induction
b)
PT 2007 Phys A - 9 - Ch PONTZEELE

zt
zta
Bo bz adz
e d
dt
a 2 b dz
dt
On a utilisé la règle de dérivation sous le signe intégral, sans calculer explicitement cette
intégrale !
Une autre manière de se persuader du résultat est de calculer e à l’aide de la circulation du
champ électromoteur :
e Em d v e B
d
La fem induite est positive et va induire un courant positif. Cela est conforme à la loi de Lenz
: le champ propre associé B p sera lui-même ”positif”, plus exactement, créera un flux propre
positif, s’opposant à la diminution du flux inducteur dans la chute (dz/dt 0 )
2.
En projetant selon z avec v dz/dt
m dv mg F
dt
L mg i a 2 b
e Ri
On a admis ”implicitement” que l’autoinduction était négligeable L 0
La résolution est ultra-classique, on obtient :
m dv
dt
mg a2 b 2
R
dv
dt
v g avec
v
mR
a 2 b 2
v g 0, 24 m.s 1
24, 4 ms
3.
Cette fois le champ B varie à la fois dans l’espace ET au cours du temps.
A la nouvelle origine des temps, on a atteint la vitesse limite ( on notera t le temps avec la
nouvelle origine ! )
La variation de flux au cours du temps est simplement la somme des deux contributions, on
trouve :
e
d
dt
L’équ du mvt devient :
Lorentz
m dv
dt
d
dt
Neuman
a 2 b dz
dt
mg a2 b 2
R
b 1 a 2 a 2 bv b 1
v b 1
b
dv v dt g avec b b 1 a 4
mR
On va donc trouver une nouvelle vitesse limite
v g 0, 286 m.s 1
Deux phases du mouvement :
1° 0 t 10s : Passage ”exponentiel” de v 0 à v 1 g 0, 24 m.s 1
2° 10s t t : Passage ”exponentiel” de v 1 0, 24 m.s 1 à
v 2 g 0, 286 m.s 1
4.Oscillations amorties par les courants induits
On se retrouve dans la première situation avec en plus une force de rappel de ressort.
L’équ diff s’écrit :
PT 2007 Phys A - 10 - Ch PONTZEELE

m dv
dt
mg a2 b 2
R
v kz
On se retrouve avec une équ diff du second ordre en z et non plus du premier ordre en v !
Si l’on choisit comme origine des z , l’état d’équilibre statique, on peut ”oublier” la
pesanteur.
Normalisons cette équation:
d 2 z
dt 2
d 2 z
dt 2
avec les notations consacrées :
1 dz
dt
o dz
Q o dt
o 2 z 0 avec z z z 1
o 2 z 0
o 2
k m 103 o 31, 6 rad.s 1
1 o
Q o
Q o o 0, 77
Le temps d’amortissement est inchangé. Le facteur de qualité est très faible, néanmoins,
comme Q o 1/2 la solution est de type oscillatoire amortie.
c ) La résolution de l’équ caractéristique donnent des racines complexes conjuguées de la
forme :
La solution est de la forme :
r 1,2 o
2Q o
i o 1 1
4Q o
2
o 1 1
4Q o
2
T 2
0, 26 s
24 rad.s 1
1 2 i
z A cost B sint exp t
2
Les constantes d’intégration A et B se calculent à l’aide des CI
La constante A est immédiate :
La constante B se déduit de :
A z 0 3 cm
dz
dt
o
0 B
A
2
z A cost 1
2 sint
exp t
2 3
sin24 t
cos24 t
1.17
exp
t
0.0488
PT 2007 Phys A - 11 - Ch PONTZEELE

3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.05 0.1 0.15 0.2
x
Le décrément logarithmique, est défini selon :
ln
zt
zt T T 2 o 1
1 1/4Q o
2
4, 07
d) On remarque que le courant induit provoque un amortissement des oscillations. Référence
au freinage par courants de Foucault ( ralentisseur de camion)
FIN
PT 2007 Phys A - 12 - Ch PONTZEELE