Comportement routier d'une automobile - s.o.s.Ryko

DM16 • Comportement Routier d’une Automobile
Origine de l’épreuve : Concours EIA 1999 [ATS et TSI]
I Modèle simplifié de la suspension
Lasuspensiond’uneautomobileesthabituellementassurée
par quatre systèmes identiques indépendants montés entre
lechâssisduvéhiculeetchaquearbrederoue,etconstitués
chacun :
- d’un ressort métallique hélicoïdal de constante de raideur
k et de longueur à vide L 0 ;
- d’un amortisseur tubulaire à piston à huile fixé parallèlement
au ressort, exerçant une force résistante de
frottement visqueux de coefficient d’amortissement a.
On suppose que la masse M du châssis est également
répartie entre les quatre systèmes. Donc une suspension
n’agit que sur le quart de la masse totale du châssis.
Les pneus, de rayon extérieur R, sont considérés comme
entièrement rigides et n’interviennent pas dans l’étude.
Tous les déplacements verticaux seront comptés
algébriquement vers le haut ( −→ e z est le vecteur unitaire
vertical).
L
automobile
k
A
C
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
1) Le véhicule étant immobile, sans freins, sur un sol horizontal, quelle est la longueur L e des
ressorts au repos et la garde au sol z 0 du véhicule correspondante?
2) Lorsd’unessai dynamique à vide,lechâssisestabaisséd’unehauteurh,puisbrusquement
libéré sans vitesse initiale.
2.a) Établir l’équation différentielle de la position verticale z(t) du châssis par rapport au sol
sous la forme :
¨z +αż +βz = δ (E)
α, β et δ étant des constantes que l’on exprimera en fonction de a, k, M et z 0 .
2.b) On usine l’amortisseur de manière à obtenir un retour à la position d’équilibre final le plus
bref possible.
Quelle doit être alors la valeur de α en fonction de β?
En déduire celle de a en fonction de M et k.
2.c) Déterminer alors l’expression complète de la solution z(t) en fonction de z 0 , h et ω 0 =
a
z
e z
DM16 • M5
2√
k
M .
2.d) Tracer avec soin le graphe z(t). (On prendra pour échelle z 0 = 1; h = z 0
4 ; ω 0 = 1).
3) On effectue de nouveau le même essai (c’est-à-dire avec les mêmes conditions initiales), mais
cette fois on fait un essai en charge nominale : le véhicule contient quatre masses identiques
m également réparties sur les quatre systèmes {ressort-amortisseur}.
À cause de cette masse m au niveau de chaque suspension, la garde au sol n’est plus z 0 mais z 0 ′.
De même la longueur correspondante du ressort n’est plus L e mais L ′ e.
3.a) Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t), et l’écrire sous la forme :
¨z +α ′ ż +β ′ z = δ ′ (E ′ )

Comportement routier d’une automobile 2012-2013
en exprimant les nouvelles constantes α ′ , β ′ et δ ′ en fonction de a, k, M, m et z ′ 0 .
3.b) Montrer que, dans ces conditions, le véhicule oscille.
3.c) Déterminer l’expression de la (pseudo-)période T des oscillations autour de la position
d’équilibre final en fonction de k, M et m.
3.d) On souhaite obtenir T = π s pour M = 1000 kg et m = 100 kg. En déduire la valeur de
3
k puis de a.
Indications et réponses partielles
1) L e = L 0 − Mg
4k .
2.a) α a = β k = δ
3.a) α′
a = β′
k = δ′
kz ′ 0
= 4 kz 0 M . – 2.b) a = √ kM. – 2.c) z(t) = z 0 −h(1+ω 0 t)exp(−ω 0 t).
4
=
M +4m . – 3.c) T = π M +4m
√ . – 3.d) k = 44100 N.m −1 .
2 km
II Étude de la réponse harmonique
1) On étudie maintenant le comportement sur une route difficile du véhicule avec ses quatre
passagers de masse m chacun (soit une masse m et le quart de la masse M du châssis pour
chaque suspension).
z ′ 0 = s 0 note toujours la garde au sol du châssis chargé par 4m sur un sol horizontal.
DM16 • M5
1.a) On modélise la route rectiligne dans la direction
x par un sol ondulé sinusoïdalement autour de
la côte de référence horizontale 0 suivant la relation
:
e(x) = e m cos(γx)
Quelle est la distance λ entre deux bosses exprimée
en fonction de γ?
Quelle est la pulsation ω des oscillations verticales
imposées aux roues si le véhicule roule sur cette
route à une vitesse constante V ?
1.b) On repère maintenant le châssis par sa position
s(t) par rapport à la côte de référence 0 liée au
référentiel terrestre supposé galiléen.
Exprimer, selon −→ e z , la force de frottement due à l’amortisseur en fonction de a, ṡ et ė.
Montrer que l’équation différentielle vérifiée par s(t) du châssis est de la forme :
L
0
k
e
a
s
e z
x
¨s+α ′ ṡ+β ′ s = f +δ ′
(⋆)
où f est une fonction du temps que l’on exprimera en fonction de e et de ė.
2) On étudie le régime forcé permanent.
2.a) Quelle est la signification de cette expression?
2.b) On utilise les notations complexes : e = e m e jωt et s = Se jωt , s étant la solution de
l’équation :
¨s+α ′ ṡ+β ′ s = f.
Expliquer pourquoi on ne tient pas compte du terme δ ′ dans (⋆) pour étudier les oscillations du
châssis autour de sa position d’équilibre s 0 .
Exprimer l’amplitude complexe S des oscillations du châssis en fonction de e m , ω, α ′ et β ′ .
Puis, l’écrire sous la forme :
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Comportement routier d’une automobile
S = e m
1+j Ω Q
1−Ω 2 +j Ω Q
où Ω ≡ ω ω 0
′ est la pulsation réduite, ω 0 ′ et Q étant les constantes que l’on exprimera en fonction
de α ′ et β ′ , puis de a, k, M et m.
2.c) En déduire l’amplitude S des oscillations en fonction de Ω et Q. Que vaut-elle si Ω = 1?
2.d) MontrerqueS atteintunmaximumS m pourunepulsationréduiteΩ m quel’ondéterminera
√
en fonction de Q, et démontrer que S m 1
=
e m 1−Ω 4 .
m
2.e) Calculer Q, Ω m et S m
e m
.
2.f) Tracer avec soin le graphe (ou l’allure du graphe si la question précédente n’a pas été faite)
donnant S
e m
en fonction de Ω dans la plage 0 ≤ Ω ≤ 10.
2.g) Calculer la pulsation propre ω ′ 0 . En déduire la distance λ m entre les ondulations du sol provoquant
la résonance des oscillations du châssis si le véhicule roule à une vitesse V de 90 km.h −1 .
Comment réagit le châssis sur des déformations plus rapprochées passées à la même vitesse?
Indications et réponses partielles
1.a) λ = 2π γ ; ω = γV – 1.b) f(t) = α′ ė(t)+β ′ e(t)
2.b) ω 0 ′ = √ √ √
4k M +4m
β ′ =
M +4m ; Q = 4M
( ) √
S
2 √
2.d) Poser u ≡ Ω 2 et dériver par rapport à u ...→ Ω m = Q 1+ 2 e m Q 2 −1
III Analogie électrique
1) Le comportement du véhicule peut être simulé par un circuit électrique. On se propose, ici,
d’étudier celui qui représente au mieux la réponse harmonique du véhicule sur route dégradée
du II.
1.a) Rappeler les équations différentielles reliant
le courant u(t) et l’intensité i(t) dans
chacun des trois dipôles ci-dessous.
i(t)
R
i(t)
L
i(t)
u(t) u(t) u(t)
C
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1.b) En déduire les relations entre leurs amplitudes complexes U et I en régime sinusoïdal de
pulsation ω imposée.
2) Le circuit ci-contre est alimenté par
un générateur de tension parfait délivrant
une tension sinusoïdale u e de pulsation ω.
U e
I 1
R
I
U s
2.a) Déterminer l’impédance équivalente
Z de ce circuit.
I 2
L
C
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
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2.b) Quellesgrandeursd’entréeG e etdesortieG s doiventêtrechoisiespourobtenirunefonction
de transfert harmonique équivalente à la question II.2.b), c’est-à-dire telles que :
G s
G e
=
1+j Ω Q
1−Ω 2 +j Ω Q
où Ω ≡ ω ω 0
est la pulsation réduite, ω 0 une pulsation propre et Q
un rapport caractéristique dont on déterminera les expressions
en fonction de R, L et C.
3) Pour préciser l’analogie électrique au modèle mécanique, il faut établir l’équivalence des
paramètres mécanique m+ M , k, a et électriques R, L, C.
4
3.a) Quelle est la puissance moyenne dissipée dans la résistance R en fonction de l’amplitude
U e , de R, L, C et ω?
3.b) On note V e l’amplitude de la vitesse ė verticale de la roue dans III.2) due à la déformation
sinusoïdale de la route, et V s celle de la vitesse ṡ du châssis. On donne également l’expression de
la puissance moyenne dissipée par frottement dans l’amortisseur en fonction de a, k, M et m :
< P f >= 1 2 aV 2
e
ω 4
(β ′ −ω 2 ) 2 +α ′2 ω 2
En comparant les expressions des deux puissances moyennes, ainsi que celles des deux fonctions
de transfert II.2.b) et III.2.b), trouver les équivalents électriques de a, k, m+ M 4 et V s.
Indications et réponses partielles
2.a) Z = R−RCLω2 +jLω
jCω(R+jLω)
avec ω 0 = √ 1 ; Q = R .
LC Lω 0
3.a) < P J >= 1 2 RI2 1 = 1 2
– 2.b) Diviseur de tension entre U s et U e . → d’où le résultat,
U 2 R
R = ... = 1
2R
L 2 C 2 ω 4
(1−LCω 2 ) 2 + L2 ω 2
R 2 U 2 e.
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Solution
I Modèle simplifié de la suspension
1) À l’équilibre, la tension du ressort d’une des quatre suspensions compense le quart du poids
du châssis (le châssis n’est soumis a aucun frottement visqueux puisque la vitesse relative d’un
amortisseur est nulle à l’équilibre) :
−→ 0 =
−→ T +
−→ P
4
⇒ selon −→ e z : 0 = −k(L e −L 0 )− Mg
4
(1)
Soit : L e = L 0 − Mg et z 0 = L e +R = L 0 − Mg
4k
4k +R .
2.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au quart du châssis associé à une
suspension :
M
4
−−−−−−→
a chassis/R = −→ T +
−→ P
4 +−→ F frot
avec −−−−−−→ a chassis/R = ¨z −→ e z (mouvement vertical), −→ T = −k(L−L 0 ) −→ e z et −→ F frot = −a(ż C −ż A ) −→ e z =
−aż C
−→ ez = −aż −→ e z . Soit, en projection selon −→ e z :
M
4 ¨z = −k(L−L 0)− Mg −aż (2)
4
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Soit, en faisant (2)−(1) :
Comportement routier d’une automobile
M
4 ¨z = −k(L−L e)−aż = −k(z −z 0 )−aż; d’où :
¨z +αż +βz = δ (E) avec α = 4a
M
β = 4k
M
δ = 4k
M z 0
2.b) Pour que le retour à la position d’équilibre soit le plus rapide possible, il faut qu’il corresponde
à un régime libre critique.
Le régime critique est obtenu lorsque le discriminant de l’équation caractéristique associé à
l’équation différentielle (E) est nul :
δ = α 2 −4β = 0 ⇐⇒ α = 2 √ β ⇐⇒ 16a2
M 2 = 4 4k
M ⇐⇒ a = √ kM
2.c) La solution z(t) de (E) se décompose en une solution particulière de l’équation avec second
membre (z P ) et de la solution générale de l’équation homogène (z G (t)).
• z P = z 0 .
• L’équation caractéristique de (E) (r 2 +αr+β = 0) admet, pour le régime critique, une racine
double :
Alors, z G (t) = (A+Bt)e −ω 0t
r = − α 2 = −2a M = −2 √
k
M ≡ −ω 0
• Ainsi : z(t) = z G (t)+z P = (A+Bt)e −ω 0t +z 0 .
Les constante d’intégration se déduisent des conditions initiales :
◦ z(t = 0) = z 0 −h = A+z 0 ⇒ A = −h;
◦ ż(t = 0) = 0 = −Aω 0 +B ⇒ B = Aω 0 = −hω 0 .
.
z(t) = z 0 −h(1+ω 0 t)e −ω 0t
2.d) z(t) = z 0 −h(1+ω 0 t)e −ω 0t
⇒ ż(t) = hω 2 0 te−ω 0t > 0 ⇒ ¨z(t) = hω 0 (1−ω 0 t)e −ω 0t .
Ainsi, z(t) est une fonction croissante dont la courbe
admet :
◦ une tangente horizontale en t = 0 (car ż(0) = 0),
◦ un point d’inflexion M 1 pour ¨z(t 1 ) = 0, soit
M 1
(
t 1 = 1 ω 0
, z 1 = z 0 − 2h e
)
,
◦ une asymptote horizontale d’équation z = z 0
(retour à l’équilibre).
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
3.a) La nouvelle équation traduisant l’équilibre du véhicule en charge nominale est :
0 = −k(L ′ e −L 0 )−
1.2
1
0.8
z0.6
0.4
0.2
0
(M +4m)g
4
(en introduisant la nouvelle longueur à l’équilibre L ′ e du ressort correspondant à la nouvelle
garde au sol z 0 ′ du châssis chargé par 4m).
Tandis que l’équation du mouvement du châssis chargé selon −→ e z devient :
(M +4m)
4
¨z = −k(L−L 0 )−
Soit, en faisant (2’)−(1’), avec L−L ′ e = z −z ′ 0 :
(M +4m)g
4
(1’)
−aż (2’)
DM16 • M5
¨z +α ′ ż +β ′ z = δ ′ (E ′ ) avec α ′ =
4a
M +4m β′ =
4k
M +4m δ′ =
4k
M +4m z′ 0
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Comportement routier d’une automobile 2012-2013
3.b) Le discriminant de l’équation caractéristique associée à (E ′ ) est (en se souvenant que
a = √ kM !) :
∆ ′ = α ′2 −4β ′ =
( ) 4a 2
4k
−4
M +4m M +4m = 16a2 −16k(M +4m)
(M +4m) 2 = − 64km
(M +4m) 2 < 0
Ceci correspond à des racines complexes de l’équation caractéristiques, donc à une solution
pseudo-périodique de (E ′ ), c’est-à-dire à une oscillation sinusoïdale amortie exponentiellement.
3.c) Pour déterminer la pseudo-période, il faut déterminer la pseudo-pulsation qui est la partie
imaginaire commune aux deux racines r 1/2 de l’équation caractéristique :
Soit : ω ≡ 2π
T = 4√ km
M +4m . Donc : T = π 2
√
r 1/2 = − α′ |∆
2 ±j ′ |
= − α′
2 2 ±jω
M +4m
√
km
3.d) On veut T = π 2
M +4m
√
km
= π 3
s, soit :
k = 9 4
(M +4m) 2
m
= 44100 N.m −1 et donc : a = √ kM = 6600 kg.s −1
DM16 • M5
II Étude de la réponse harmonique
Remarquonsquesurleschémaetdansl’énoncé,lacôtez parrapportàl’horizontaleestdésormais
notée s!
1) Comportement sur une route difficile du véhicule chargé.
1.a) • la période spatiale (‘distance entre deux bosses’) correspond à γλ = 2π → λ = 2π γ
• Le véhicule roule selon (Ox) à la vitesse V = cte, donc, (avec un choix judicieux de l’origine
des temps), x = Vt et e(x) peut s’écrire explicitement en fonction du temps t :
e(t) = e m cos(γx) = e m cos(γV t) = e m cos(ωt) ⇒ ω = γV = 2π V λ
Ce qui se retrouve en écrivant que la durée de parcours entre deux bosses est T = λ V = 2π ω .
1.b) • La force de frottement exercée par l’amortisseur sur le châssis est proportionnelle à la
différence de vitesse de ses extrémités : −→ F frot = −a(ż C −ż A ) −→ e z = −a(ṡ−ė) −→ e z .
Donc, selon −→ e z : F frot = −a(ṡ−ė)
• L’équation traduisant l’équilibre du véhicule en charge nominale est toujours :
0 = −k(L ′ e −L 0 )−
(M +4m)g
4
(1 ′′ )
Tandis que l’équation du mouvement du châssis chargé selon −→ e z devient :
(M +4m)
4
¨s = −k(L−L 0 )−
(M +4m)g
4
−a(ṡ−ė) (2 ′′ )
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Comportement routier d’une automobile
Soit, en faisant (2 ′′ )−(1 ′′ ), avec L−L ′ e = s−e−z ′ 0 :
¨s+α ′ ṡ+β ′ s = f +δ ′ (⋆) avec α ′ =
4a
M +4m β′ =
4k
M +4m δ′ =
4k
M +4m z′ 0
et
f = α ′ ė+β ′ e
2) Régime forcé permanent.
2.a) Lerégimeforcépermanentestlerégimedesoscillationssinusoïdalesdepulsationω imposées
au système une fois que le régime transitoire a disparu.
Il correspond à la solution particulière de l’équation différentielle. Il est de forme sinusoïdale et
de pulsation ω.
2.b) • On cherche à résoudre, en notation complexes (e = e m e jωt et s = Se jωt ), l’équation :
¨s+α ′ ṡ+β ′ s = f.
• On ne tient pas compte du terme δ ′ dans (⋆) parce que seules les oscillations du châssis nous
intéresse;orδ ′ n’intervientqueparl’ajoutd’uneconstante(z ′ 0 = s 0)danslasolutionparticulière.
(Négliger δ ′ revient, finalement, à translater le repère à la position d’équilibre s 0 .)
• En complexes, il vient : S(β ′ −ω 2 +jωα ′ ) = e m (β ′ +jωα ′ ), soit :
S = e m
β ′ +jωα ′
β ′ −ω 2 +jωα ′ qui peut s’écrire : S = e m
1+j Ω Q
avec : Ω = ω ω ′ 0
ω ′ 0 = √ β ′ =
2.c) Donc : S = |S| = e m
√ √√√√√√
√
4k
M +4m
1+ Ω2
Q 2
Q = ω′ 0
α ′ =
1−Ω 2 +j Ω Q
√
M +4m
4M
(1−Ω 2 ) 2 + Ω2
Q 2 . Et lorsque Ω = 1, S (Ω=1) = e m
√
1+Q 2 .
2.d) • On pose u = Ω 2 et on dérive g(u) =
( S
e m
) 2
=
1+ u Q 2
dg
du = ... → cette dérivée s’annule pour : 1
2Q 2 u2 +u−1 = 0.
Or, ce polynôme n’a qu’une seule racine positive (u > 0!) qui est :
u m = Q 2 (√
1+ 1
2Q 2 −1 )
(1−u) 2 + u Q 2 par rapport à u :
√ √
=⇒ Ω m = Q 1+ 1
2Q 2 −1
DM16 • M5
Ω m est la pulsation réduite de résonance correspondant à une résonance des oscillations du
châssis roulant sur la route ondulée.
(
Sm
e m
) 2
=
•
1+ u m
Q 2
(1−u m ) 2 + u m
Q 2 , avec, par définition de u m :
Soit : u m
Q 2 = 2−2u m
. Donc :
u m
(
Sm
e m
) 2
=
2−u m
u m
(1−u m ) 2 +2 1−u m
u m
=
2−u m
u m (1−u m ) 2 +2(1−u m ) =
1
2Q 2 u2 m +u m −1 = 0
2−u m
(1−u m )(u m −u 2 m +2)
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Comportement routier d’une automobile 2012-2013
Soit :
(
Sm
e m
) 2
=
2−u m
(1−u m )(2−u m )(1+u m ) = 1
1−u 2 m
⇒
S m
e m
=
√
1
1−Ω 4 m
2.e) AN : Q = 0,59 Ω m = 0,75
S m
e m
= 1,2 .
Rq : Situation où le facteur de qualité est faible, pour avoir une faible acuité à la résonance S m
e m
.
2.f) Cf. graphe ci-contre.
2.g) • Valeur de la pulsation propre du système :
ω ′ 0 =
√ √
4k 44100
M +4m = 2 = 11,2 rad.s−1
1400
1.4
1.2
1
0.8
0.6
• Pour être à la résonance, il faut que
ω = ω m = Ω m ω ′ 0 = 0,75ω ′ 0 = 8,4 rad.s −1 0.2
0.4
0 2 4 6 8 10
Omega
Or, λ = VT = V 2π ω , donc, la distance λ m entre les ondulations du sol qui commande la
résonance des oscillations du châssis si le véhicule roule à vitesse V constante est :
λ m = V 2π
ω m
= V
2π
0,75ω ′ 0
= 18,7 m
• Si les déformations sont plus rapprochées, λ < λ m , soit ω > ω m ; on sort donc de la zone de
S
résonance et les oscillations de la route sont alors mieux absorbées par le véhicule : < S m
.
e m e m
III Analogie électrique
1.a) En convention récepteur :
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u R = Ri R
u L = L di L
dt
i C = dq
dt = C du C
dt
1.b) Aux trois relations précédentes correspondent les relations entre amplitudes complexes (en
posant i = Ie jωt et u = U e jωt ) :
U R = RI R U L = jLωI L U C = 1
jCω I C
2.a) L’impédance du circuit est : Z = Z R //Z L +Z C = jLRω
R+jLω + 1
jCω .
2.b) Diviseur de tension entre U s et U e :
Z = R−RCLω2 +jLω
jCω(R+jLω)
U s
U e
= Z C
Z =
R+jLω
R−RCLω 2 +jLω =
1+j Lω
R
1−CLω 2 +j Lω
R
Soit :
U s
U e
=
1+j Ω Q
1−Ω 2 +j Ω Q
avec : Ω = ω ω 0
ω 0 =
√
1
LC
Q = R
Lω 0
= R√
C
L
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2012-2013
Comportement routier d’une automobile
3.a) La puissance dissipée par effet Joule est en moyenne :
< P J >= 1 T
∫ T
0
Ri 2 dt = 1 2 RI2 1 = 1 2
U 2 R
R = 1
2R
< P J >= 1
2R
L 2 ω 2
1+ L2 ω 2 I 2 = 1
2R
R 2
L 2 C 2 ω 4
(1−LCω 2 ) 2 + L2 ω 2
R 2 U 2 e
(
L 2 ω 2 C 2 ω 2 1+ L2 ω 2 )
R 2
1+ L2 ω 2
R 2 (1−LCω 2 ) 2 + L2 ω 2 Ue
2
R 2
3.b) La puissance dissipée par frottement visqueux dans l’amortisseur est en moyenne :
< P f >= 1 T
∫ T
0
| −→ F frot (ṡ−ė) −→ e z |dt = 1 T
∫ T
0
a(ṡ−ė) 2 dt = a < (ṡ−ė) 2 >.
Pour calculer (ṡ−ė), il faut prendre la partie réelle de (ṡ−ė), avec, d’après II.2.b) :
s = e
ce qui donne : ṡ−ė = ė
Et donc : Re(ṡ−ė) = ṡ−ė =
β ′ +jωα ′
β ′ +jωα ′
β ′ −ω 2 +jωα ′ et donc : ṡ = ė
β ′ −ω 2 +jωα ′
ω 2
β ′ −ω 2 +jωα ′ = ė ω2 (β ′ −ω 2 −jωα ′ )
(β ′ −ω 2 ) 2 +α ′2 ω 2 .
V e ω 2
(β ′ −ω 2 ) 2 +α ′2 ω 2 ((β′ −ω 2 )cosωt+α ′ ωsinωt).
Alors : < P f >= a < (ṡ−ė) 2 >, ce qui donne :
Ve 2 ω 4
< P f >=
((β ′ −ω 2 ) 2 +α ′2 ω 2 ) 2 ((β′ −ω 2 ) 2 }
< cos
{{ 2 ωt >
}
+α ′2 ω 2 }
< sin
{{ 2 ωt >
}
1 1
2 2
+2(β ′ −ω 2 )α ′ ω< cos(ωt)sin(ωt) > ).
} {{ }
( ) m+M/4 2
ω 4
0
Finalement : < P f >= 1 2 aV 2
e
ω 4
(β ′ −ω 2 ) 2 +α ′2 ω 2 = 1 2 aV e
2
k
(
1− m+M/4 ) 2
ω 2 + a2
k k 2 ω2
3.c) la comparaison des deux expressions des puissances moyennes dissipées par le système
mécaniqueensuspensionetlecircuitélectriquepermetd’identifierleséquivalencesélectromécaniques
suivantes :
a ←→ 1 R
k ←→ 1 L
m+ M 4 ←→ C V s ←→ U s
DM16 • M5
Rq : Pour la dernière analogie, comparer s e avec U s
U e
.
Qadri J.-Ph. | PTSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 9