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DM27 • Moteur et détente de l’hélium<br />
I Cycle moteur [Véto 2001]<br />
Attention : une grande attention sera portée à la qualité des applications numériques (les donner<br />
avec 3 ou 4 chiffres significatifs)<br />
Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostats<br />
selon un cycle constitué de deux transformations adiabatiques<br />
P<br />
réversibles et de deux transformations isochores. Les<br />
températures des thermostats sont T FR (source froide) et<br />
T CH (source chaude) avec T FR < T CH . Le cycle est décrit<br />
C<br />
T CH<br />
par n moles de gaz supposé parfait de capacité thermmique<br />
molaire à volume constant C Vm constante. Pour ce gaz, B<br />
D<br />
le rapport γ de la capacité thermique molaire à pression<br />
constante C Pm et de C Vm est égal à 1,4.<br />
A<br />
Les différentes transformations du cycle sont :<br />
T FR<br />
- A → B : compression adiabatique réversible de durée ∆t;<br />
- B → C : compression isochore par contact du gaz avec la<br />
source chaude par l’intermédiaire des parois du cylindre qui<br />
V B =V C V A =V D V<br />
le contient pendant une durée ∆t 1 ;<br />
- C → D : détente adiabatique réversible de durée ∆t;<br />
- D → A : détente isochore par contact du gaz avec la source froide par l’intermédiaire des parois<br />
du cylindre qui le contient pendant une durée ∆t 2 .<br />
On ne tiendra pas compte de la capacité thermique du cylindre contenant le gaz.<br />
Chaque grandeur pression P, volume V et température T du gaz en un point du cycle sera<br />
indicée par la lettre de ce point.<br />
On notera α le rappport volumétrique V A<br />
V B<br />
= V D<br />
V C<br />
= α.<br />
Données : T FR = 350 K; T CH = 1100 K; α = 10.<br />
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K −1 .mol −1 ; n = 0,05 mol.<br />
∆t = 1,00.10 −2 s; ∆t 1 = 4,43.10 −2 s; ∆t 2 = 3,45.10 −2 s.<br />
1) Établir la relation de Mayer. En déduire les expressions de C Vm et C Pm en fonction de R et<br />
de γ.<br />
A.N. : calculer C Pm et C Vm .<br />
2) Montrer que pour une transformation isentropique réversible d’un gaz parfait de rapport γ<br />
constant, on a la relation PV γ = Cte.<br />
En déduire l’expression littérale de T B en fonction de T A , α et γ, ainsi que celle de T D en fonction<br />
de T C , α et γ.<br />
A.N. : calculer T B et T D sachant que T A = 390 K et T C = 1000 K.<br />
DM27 • T5<br />
3) Déterminer, en fonction de n, R, T A , T C , α et γ, les expressions littérales :<br />
- du transfert thermique Q C reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source<br />
chaude;<br />
- du transfert thermique Q F reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source<br />
froide.<br />
A.N. : calculer Q C et Q F .<br />
4) Déterminer, en fonction de n, R, T A , T C , α et γ, l’expression littérale du travail W reçu par
Cycle moteur et détente de l’hélium 2011-2012<br />
le gaz pendant la durée d’un cycle.<br />
Quelle est la puissance moyenne P de ce moteur?<br />
A.N. : calculer W et P.<br />
5) Définir le rendement η de ce cycle moteur. Déterminer l’expression littérale de η en fonction<br />
uniquement de α et de γ.<br />
A.N. : calculer η.<br />
6) Démontrer l’expression littérale de la valeur maximale η max du rendement prévue par le<br />
théorème de Carnot?<br />
A.N. : calculer η max . Comparer η et η max . Que peut-on en conclure?<br />
7) Déterminer, en fonction de n, R, T A , T C , α et γ, les expressions littérales ∆S AB , ∆S BC ,<br />
∆S CD et ∆S DA , de la variation d’entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle.<br />
A.N. : calculer ∆S DA et ∆S BC .<br />
8) Quelle est la variation d’entropie du gaz au cours d’un cycle?<br />
9) Déterminer, en fonction de n, R, T A , T C , T CH , α et γ, la variation d’entropie ∆S CH de la<br />
source chaude.<br />
A.N. : calculer ∆S CH .<br />
10) Déterminer, en fonction de n, R, T A , T C , T FR , α et γ, la variation d’entropie ∆S FR de la<br />
source froide.<br />
A.N. : calculer ∆S FR .<br />
11) Quelle est la variation d’entropie ∆S ∞ , au cours d’un cycle, du système constitué de<br />
l’ensemble des sources de chaleur et du gaz?<br />
A.N. : calculer ∆S ∞ . Commenter le résultat.<br />
12) Que les transferts thermiques aient lieu avec l’une ou l’autre des sources, on suppose que,<br />
à partir de l’instant t et pendant une durée infinitésimale dt, ils sont de la forme :<br />
DM27 • T5<br />
{ δQC = λ(T CH −T(t)).dt au cours de la transformation B → C<br />
δQ F = λ(T FR −T(t)).dt au cours de la transformation D → A<br />
T(t) étant la température du gaz, supposée uniforme, à la date t et λ une constante positive.<br />
On prendra λ = 4,5 uSI.<br />
12.a) Quelle est l’unité de λ, exprimée en fonction des unités de travail, de température et de<br />
temps du système international?<br />
12.b) Quelle est l’unité de λ, exprimée en fonction des unités fondamentales du système international?<br />
13) On pose τ = nC Vm<br />
λ . Déterminer la relation entre T FR, T A , T D , τ et ∆t 2 .<br />
Quelle est l’unité fondamentale de τ ? Que représente τ ?<br />
14) Déterminer la relation entre T CH , T B , T C , τ et ∆t 1 .<br />
15) Déterminer les valeurs limites T A,lim et T C,lim de T A et T C lorsque ∆t 1 et ∆t 2 tendent vers<br />
l’infini.<br />
16) Représenterlecyclemoteurétudiédanslediagrammeentropiqueenjustifiantthéoriquement<br />
les allures des courbes représentatives de chaque transformation. Y faire également apparaître<br />
les isothermes T CH et T FR .<br />
2 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI
2011-2012<br />
Cycle moteur et détente de l’hélium<br />
II Détente de l’hélium [ENAC 2006, q. 19-24]<br />
Une enceinte cylindrique fermée par un piston, mobile<br />
sans frottement, contient 500g d’hélium gazeux,<br />
monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol −1 .<br />
Dans l’état (1) initial, le volume de l’enceinte est<br />
V 1 = 100 L, et le gaz, supposé parfait, est à la<br />
température T 1 = 600 K.<br />
On rappelle que l’énergie interne de n moles de gaz<br />
parfait monoatomique à la température T s’écrit :<br />
U = 3 2 nRT, où R = 8,31 J.K−1 .mol −1 désigne la constante des gaz parfaits.<br />
1) Calculer la capacité thermique massique à volume constant c V de l’hélium :<br />
A) c V = 1,38 kJ.K −1 .kg −1 B) c V = 2,91 kJ.K −1 .kg −1<br />
C) c V = 3,12 kJ.K −1 .kg −1 D) c V = 5,19 kJ.K −1 .kg −1<br />
2) Par déplacement du piston, le gaz subit une détente isotherme, supposée réversible, qui le<br />
conduit à l’état (2) caractérisé par un volume V 2 = 250 L.<br />
Calculer la pression P 2 du gaz dans ce nouvel état :<br />
A) P 2 = 2,49.10 6 Pa B) P 2 = 2,49.10 3 Pa<br />
C) P 2 = 9,97.10 6 Pa D) P 2 = 9,97.10 3 Pa<br />
3) Quel est le travail W 12 reçu par le gaz au cours de cette évolution isotherme?<br />
A) W 12 = −2280 kJ B) W 12 = −571 kJ<br />
C) W 12 = 571 kJ D) W 12 = 2280 kJ<br />
4) On envisage une nouvelle évolution réversible, constituée d’une détente adiabatique entre<br />
l’état (1) et un état intermédiaire (3) de volume V 3 = V 2 , suivie d’un chauffage isochore entre<br />
l’état (3) et l’état final (2), défini précédemment. Déterminer la température T 3 de l’état intermédiaire<br />
:<br />
A) T 3 = 326 K B) T 3 = 416 K C) T 3 = 866 K D) T 3 = 1105 K<br />
5) CalculerletravailW 132 reçuparlegazaucoursdesévolutionsuccessives:(1) → (3) → (2):<br />
A) W 132 = −287 kJ B) W 132 = −427 kJ<br />
C) W 132 = 414 kJ D) W 132 = 787 kJ<br />
6) Déterminer la variation d’entropie ∆S du gaz entre l’état (1) et l’état (2) :<br />
A) ∆S = −3807 J.K −1 B) ∆S = −952 J.K −1<br />
C) ∆S = 952 J.K −1 D) ∆S = 0 J.K −1<br />
DM27 • T5<br />
7) Représenter dans le diagramme de Watt les trois états thermodynamiques ((1), (2) et (3))<br />
ainsi que les courbes des trois évolutions étudiées ((1) → (2), (1) → (3) et (3) → (2)). On<br />
prendra soin de faire apparaître P 1 , P 2 , V 1 et V 2 .<br />
8) Établir, pour un état intermédiaire {S, T} de la transformation isochore réversible entre (3)<br />
et (2), l’expression donnant la température T en fonction de l’entropie S, de S 1 , de T 3 et de C V<br />
(capacité thermique à volume constant).<br />
9) Représenter dans le diagramme entropique les trois états thermodynamiques ainsi que les<br />
courbes des trois évolutions étudiées. On prendra soin de faire apparaître T 1 , T 3 , S 1 et S 2 .<br />
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Cycle moteur et détente de l’hélium 2011-2012<br />
Solution<br />
I. Cycle moteur – 1) ➜ Cf Cours : C Pm −C Vm = R (relation de Mayer, pour un<br />
GP).<br />
C Pm = γR<br />
γ −1 = 29,10 J.K−1 .mol −1<br />
et C Vm = R<br />
γ −1 = 20,78 J.K−1 .mol −1 .<br />
2) Une transformation isentropique réversiblé étant une transformation quasi-statique, à entropie<br />
constante, on peut appliquer la première identité thermmodynamique, pour un gaz parfait<br />
(vérifiant⎧donc la premier loi de Joule) :<br />
⎨ 0<br />
dS = dU GP +PdV dT<br />
⎩ = nC Vm<br />
T T +nRdV V = nR (dlnT +(γ −1)dlnV) ⋆<br />
γ −1<br />
On én déduit un des trois relation de Laplace pour un gaz parfait subissant une isentropique<br />
réversible<br />
⎧<br />
(=adiabatique réversible) : TV γ−1 = Cte ; soit, puisque PV = nRT : PV γ = Cte<br />
⎨ comme T A V γ−1<br />
A<br />
= T B V γ−1<br />
B<br />
Donc,<br />
, on en déduit : T B = T A α γ−1 = 979,6 K<br />
⎩<br />
et comme T D V γ−1<br />
D<br />
= T C V γ−1<br />
C<br />
, on en déduit : T D = T C α 1−γ = 398,1 K<br />
3) La transformation B → C étant une isochore et concernant un gaz parfait (qui vérifie donc<br />
la première loi de Joule) : Q C = Q B→C,V = ∆U B→C,GP = nC Vm (T C −T B ) soit :<br />
Q C = nR<br />
γ −1 (T C −T A α γ−1 ) = 21,16 J<br />
De même : Q F = Q D→A,V = ∆U D→A,GP = nC Vm (T A −T D ) soit :<br />
Q F = nR<br />
γ −1 (T A −T C α 1−γ ) = −8,43 J<br />
4) D’après le premier principe de la Thermodynamique appliqué au gaz subissant un cycle,<br />
l’énergie interne étant fonction d’état : ∆U =<br />
{ 0<br />
W +Q C +Q F<br />
soit : W = −Q C −Q F , d’où :<br />
DM27 • T5<br />
W = nR [ (<br />
TA α γ−1 −1 ) (<br />
+T C α 1−γ −1 )] = −12,74 J et P =<br />
γ −1<br />
5) η =<br />
grandeur utile<br />
grandeur investie = − W Q C<br />
W<br />
2∆t+∆t 1 +∆t 2<br />
= −128,9 W<br />
Soit, d’après le premier principe : η = 1+ Q F<br />
Q C<br />
, ce qui conduit à : η = 1−α 1−γ = 60,2%<br />
6) ➜ Cf Cours : Pour le cycle de Carnot entre deux thermostats T CH et T FR le rendement s’écrit :<br />
η max = 1− T FR<br />
T CH<br />
= 68,2%<br />
Commentaire : η max > η. On vérifie que le cycle réel est un cycle irréversible et que le cycle<br />
de Carnot correspond au rendement maximal d’un cycle moteur fonctionnant entre les deux<br />
thermostats considérés.<br />
7) • ∆S AB = ∆S CD = 0 (transformations isentropiques)<br />
• La transformation B → C étant une isochore<br />
- concernant un gaz parfait (qui vérifie donc la première loi de Joule)<br />
- quasi-statique (puisque représentable dans le diagramme de Clapeyron),<br />
on peut appliquer Premier<br />
∫<br />
Identité Thermodynamique ⋆.<br />
C ∫ C<br />
dT<br />
On obtient : ∆S BC = dS = nC Vm<br />
T +nR✟✟ dV<br />
V = nR<br />
γ −1 ln T C<br />
= nR ( )<br />
T B γ −1 ln TC<br />
T A α γ−1<br />
B<br />
B<br />
4 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI
2011-2012<br />
Cycle moteur et détente de l’hélium<br />
[ ( ) ] 1<br />
∆S BC = nR<br />
γ −1 ln TC<br />
−lnα = 2,138.10 −2 J.K −1<br />
T A<br />
De même, pour la transformation D → A, on a : ∆S DA = nR ( )<br />
γ −1 ln TA<br />
T C α 1−γ<br />
[ ( ) ] 1<br />
∆S DA = nR<br />
γ −1 ln TA<br />
+lnα = −2,138.10 −2 J.K −1<br />
T C<br />
8) Par propriété d’une fonction d’état, sur un cycle : ∆S = S A −S A = 0 .<br />
Les expressions littérales précédents permettent de le vérifier puisque :<br />
∆S = ❳ ∆S ❳❳ A→B ❳ + ✘ ∆S ✘ ✘✘ B→C + ❳ ∆S ❳❳ C→D ❳ + ✘ ∆S ✘✘ ✘ D→A = 0<br />
9) Puisqu’un thermostat subit une transformation réversible, par application du deuxième<br />
principe :<br />
∆S CH = éS<br />
CH = Q SC<br />
= − Q C<br />
= nR<br />
T CH T CH γ −1 .T Aα γ−1 −T C<br />
= −1,924.10 −2 J.K −1 .<br />
T CH<br />
10) De même : ∆S FR = éS<br />
FR = Q SF<br />
T FR<br />
= − Q F<br />
T FR<br />
= nR<br />
γ −1 .T Cα 1−γ −T A<br />
T FR<br />
= 2,407.10 −2 J.K −1 .<br />
11) L’entropie étant une fonction d’état extensive, elle est également, en thermodynamique<br />
classique, additive. Donc : ∆S ∞ =✟∆S ✟ +∆S FR +∆S CH = 4,83.10 −3 J.K −1<br />
Commentaire : On vérifie que le cycle étudié est irréversible puisque ∆S ∞ = ✚<br />
✚ é<br />
S∞ + p S ∞ > 0.<br />
12) u(λ) = J.K −1 .s −1 = kg.m 2 .s −3 .K −1<br />
13) δQ F = δQ F,V = dU GP = nC Vm dT = λ(T FR −T).dt, soit : dT<br />
dt + T τ = T FR<br />
τ<br />
∫ TA<br />
T D<br />
nC Vm<br />
λ . dT<br />
T FR −T = ∫ ∆t2<br />
0<br />
( )<br />
TFR −T A<br />
dt ⇔ −τ ln<br />
T FR −T D<br />
ou encore :<br />
( )<br />
TD −T FR<br />
= ∆t 2 ⇔ ∆t 2 = τ ln<br />
T A −T FR<br />
Commentaire : L’équation différentielle qu’on a pu écrire faire apparaître τ = nC Vm<br />
comme<br />
λ<br />
homogène à un temps (unité : la seconde), plus précisément il s’agit de la durée caractéristique<br />
de la transformation étudiée.<br />
( )<br />
TCH −T B<br />
14) De même δQ C = nC Vm dT = λ(T CH −T).dt, soit : ∆t 1 = τ ln<br />
T CH −T C<br />
DM27 • T5<br />
15) T A,lim = T RF et T C,lim = T CH<br />
T<br />
T CH<br />
16) La première identité thermodynamique pour une<br />
TéQS isochore d’un GP s’écrit :<br />
dS = dU T + PdV dT<br />
= C V<br />
T T +nR✟✟ dV<br />
⎧ ( ) V ( , soit )<br />
:<br />
S −SB S<br />
⎪⎨ T = T B exp = Kexp pour B → C<br />
( nC Vm ) ( C V )<br />
S −SD S<br />
⎪⎩ T = T D exp = K ′ exp pour D → A<br />
nC Vm C V<br />
Ainsi, les courbes représentatives de transformations isochores<br />
sont des portions d’exponentielles croissantes dans<br />
le diagramme entropique.<br />
B<br />
A<br />
S A =S B<br />
C<br />
D<br />
S C =S D<br />
T FR<br />
S<br />
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Cycle moteur et détente de l’hélium 2011-2012<br />
II. Détente de l’hélium – Rq : n = m M<br />
= 125 mol<br />
1) U = 3 2 .nRt = C V.T (1 e loi de Joule) ⇒ d’où C V = m.c V = 3 2 .nR<br />
Soit : c V = C V<br />
m = 3 2 . R M = 3,12 kJ.K−1 .kg −1 Rép. 1.C)<br />
2) P 2 = nRT 2<br />
V 2<br />
= m M .RT 1<br />
V 2<br />
= 24,9 bar = 2,49.10 6 Pa Rép. 2.A)<br />
3) W 1→2 =<br />
∫ 2<br />
1<br />
δW =<br />
∫ 2<br />
(a) : TQS* car réversible, donc P ext = P<br />
(b) : car GP<br />
(c) : car isotherme T = Cte = T 1<br />
( )<br />
V2<br />
Soit W 12 = −nRT 1 .ln = −P 2 V 2 .ln<br />
V 1<br />
1<br />
∫ 2 ∫ 2<br />
−P ext .dV = (a) −P.dV = (b)<br />
1<br />
(<br />
V2<br />
)<br />
= −571 kJ Rép. 3.B)<br />
V 1<br />
1<br />
− nRT<br />
V .dV =(c) −nRT 1<br />
∫ 2<br />
1<br />
dV<br />
V<br />
4) • Pour un Gaz Parfait Monoatomique, connaissant la Relation de Mayer :<br />
γ = C P<br />
C V<br />
= C V +nR<br />
C V<br />
=<br />
5<br />
2 nR<br />
3<br />
2 nR = 5 3 ≃ 1,67<br />
• Pour la transformation (1) → (3), le système étant un Gaz Parfait subissant une adiabatique<br />
réversible (donc isentropique), on peut lui appliquer les lois de Laplace, soit : TV γ−1 = Cte,<br />
i.e. : T 1 V γ−1<br />
1 = T 3 V γ−1<br />
3<br />
( ) γ−1 V1<br />
D’où : T 3 = .T 1 = 326 K Rép. 4.A)<br />
V 3<br />
DM27 • T5<br />
5) W 132 = W 13 +W 32 , avec :<br />
⎧ ∫ 2 ∫ 2<br />
⎪⎨ W 32 = δW = −Pext.✟dV ✟ = 0 isochore<br />
⎪⎩<br />
3 3<br />
W 13 = (a) ∆U 13 − ✟<br />
✟<br />
Q 13 = (b) C V .(T 3 −T 1 ) = (c) 3 2 .nR.(T 3 −T 1 )<br />
Donc : W 132 = W 13 = 3 2 .m M .(T 3 −T 1 ) = −427 kJ Rép. 5.B)<br />
(a) : 1 e Principe + adiabatique<br />
(b) : GP et 1 e loi de Joule<br />
(c) : GPM<br />
6) ∆S = ∆S rév =<br />
( )<br />
V2<br />
nR.ln<br />
V 1<br />
∫ 2<br />
1<br />
dS rév = (a) ∫ 2<br />
1<br />
dU +P.dV<br />
T<br />
Car :<br />
(a) : 1 e Identitté Thermodynamique<br />
(b) : 1 e loi de Joule et Équation d’état d’un GP<br />
= (b) ∫ 2<br />
1<br />
C V .dT<br />
T<br />
∫ 2<br />
nR.dV<br />
+<br />
1 V<br />
= 3 ( ✚)<br />
2 .nR. T2<br />
ln<br />
✚ ✚✚✚ +<br />
T 1<br />
( )<br />
V2<br />
D’où : ∆S 1→2 = nR.ln = 952 J.K −1 Rép. 6.C)<br />
V 1<br />
6 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI
2011-2012<br />
7)<br />
9)<br />
Cycle moteur et détente de l’hélium<br />
P 1<br />
P<br />
(1)<br />
T 1<br />
(2)<br />
T 1<br />
T<br />
(1)<br />
isentr.<br />
isotherme<br />
(2)<br />
isentr.<br />
isoch.<br />
isoch.<br />
T 3<br />
S 1 S 2<br />
P 2<br />
V 1 V 2<br />
(3)<br />
(3)<br />
V<br />
S<br />
8) • Pour une transformation isochore élémentaire, la 1 e Identité Thermodynamique donne, pour<br />
un GP vérifiant la 1 e dU +P.✟✟ dV dT<br />
loi de Joule : dS = = C V<br />
T T<br />
• Donc, en sommant entre l’état (3) {S 3 , T 3 } et un état thermodynamique ( ) intermédiaire {S, T}<br />
T<br />
sur l’isochore réversible (3) → (2), on obtient : S −S 3 = C V .ln<br />
T 3<br />
Or, comme S 3 = S 1 ((1) → (3) est une adiabatique réversible, donc une isentropique), on<br />
( ) S −S1<br />
obtient : T = T 3 .exp<br />
C V<br />
DM27 • T5<br />
Qadri J.-Ph. | PTSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 7