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Exercice 3 – Instabilité d’un faisceau d’électrons<br />
On considère un faisceau électronique cylindrique de longueur infinie et de rayon R. On note<br />
n e le nombre d’électrons par unité de volume (densité électronique) et V = V ⋅ez<br />
la vitesse des<br />
électrons. n e et V sont uniformes à l’intérieur du faisceau et nulles en dehors. On utilisera un<br />
système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) et on se placera dans le régime non relativiste.<br />
1. Quelle est la densité volumique de charge du faisceau ?<br />
2. En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique à l’intérieur du<br />
faisceau en fonction de r. Faire de même pour r > R.<br />
3. Quelle est la densité volumique de courant du faisceau ?<br />
4. En appliquant le théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique à l’intérieur du<br />
faisceau en fonction de r. Faire de même pour r > R.<br />
5. Calculer la somme des forces s’exerçant sur un électron.<br />
6. Pour quelle valeur de V y a-t-il compensation de ces forces ? Commenter ce résultat.
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