1 M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011 Magist`ere de ... - IPN

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M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011
Magistère de Physique Fondamentale
Travaux Dirigés Lasers n ◦ 7
Exercice I : Fonctionnement multimode d’un laser Hélium-Cadmium continu
On considère un laser Hélium-Cadmium linéaire, fonctionnant à la longueur d’onde λ 0 =441,6 nm
(fréquence ν 0 ). Le milieu amplificateur est pompé par une décharge électronique (collisions électrons
atomes) sur une longueur utile l. On peut faire varier la longueur optique d de la cavité. Ce laser
est continu (fonctionnement en régime stationnaire). Pour ce milieu amplificateur gazeux basse
pression-haute température, l’élargissement spectral est dominé par l’effet Doppler (élargissement
spectral inhomogène). Dans ces conditions, la dépendance en fréquence du coefficient d’amplification
non saturée s’écrit :
[ ( ) ν − 2
α 0 (ν) = α 0 ν0
(ν 0 ) exp −
ln 2]
∆ν D /2
et α 0 (ν 0 )2l = 0,05. La largeur Doppler ∆ν D correspond à une température de 600 K à l’intérieur
de la décharge. La masse molaire du Cadmium qui est l’atome actif a pour valeur 112 g·mol −1 .
Les pertes dans la cavité sont indépendantes de la fréquence. Le coefficient de pertes par unité de
longueur du milieu amplificateur est noté α P , avec α P 2l = 0,03.
1. Représenter α 0 (ν)2l en fonction de (ν − ν 0 ). Calculer numériquement la largeur totale à
mi-hauteur de cette fonction, faire apparaître cette quantité sur le schéma.
2. Rappeler les conditions de fonctionnement laser dans le cas général, en régime stationnaire,
en régime stationnaire pour des pertes faibles. Pour le système décrit ici, faire apparaître la
condition ’gain > pertes’ sur le graphe de la question précédente.
3. Calculer la largeur ∆ν L du domaine de fréquences sur lequel l’oscillation laser est possible en
régime continu (on pourra écrire que le gain non saturé compense exactement les pertes pour
ν = ν 0 ± ∆ν L /2).
4. Que vaut l’écart δν entre deux modes spectraux consécutifs de la cavité ?
5. En reportant sur un même graphe ∆ν L et δν, déterminer les domaines de longueur de la
cavité pour lesquels l’oscillation laser est : (a) toujours monomode si elle est possible. (b)
monomode ou bimode suivant la position des modes par rapport au centre de la raie. (c)
toujours multimode. Dans le cas du (a), comment procéder pour obtenir l’intensité maximum ?
Exercice II : Laser en fonctionnement déclenché (Q-switching)
On étudie le fonctionnement déclenché d’un laser à cavité en anneau dont le milieu amplificateur,
de longueur l, fonctionne comme un système ouvert à deux niveaux non dégénérés, avec un
élargissement spectral homogène (voir figure ci-contre).
Les caractéristiques sont les suivantes : R taux de pompage
(m −3·s−1 ) du niveau 2 ; A , Γ, W , γ respectivement probabilités
par seconde d’émission spontanée 2 → 1, d’émission spontanée
Pompage
depuis 2 vers d’autres niveaux, d’émission stimulée (et d’absorption),
de désexcitation du niveau 1 (on suppose que γ ≫ A et
g 1 = g 2 = 1) ; σ section efficace de la transition laser, d’énergie
Γ
hν 0 ; c célérité de la lumière dans le milieu amplificateur ; on
supposera que N 1 ≪ N 2 à tout instant et que la différence de
population est : ∆N ≃ N 2 ; T pouvoir de transmission du miroir
de sortie (T ≪ 1) ; τ c durée de vie des photons dans la cavité ; I
hν 0
A
RW W
et I L intensité de l’onde plane progressive dans la cavité et à la
γ
sortie ; S section du faisceau.
A un instant donné, la différence de population et l’intensité sont supposées uniformes sur tout
l’amplificateur et notées ∆N(t), I(t). Leurs évolutions temporelles sont données par les équations
de Statz et De Mars
d∆N
dt
= 1 τ
[
∆N 0 − ∆N − I ]
∆N
I s
E 2
N 2
E 1
N 1
(1)
g 2
g 1

2
dI
dt
= I [ ] ∆N
− 1
τ c ∆N S
(2)
avec pour ce système 1 τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ)
σ
, τ c =
d
α P c 0 l et ∆N S = α P
σ
.
1. Questions préliminaires : déterminer en régime stationnaire les valeurs de ∆N et de I. Donner
la valeur de I L0 , intensité extraite du laser en fonctionnement continu, en fonction de T , I s ,
∆N 0 et ∆N S .
2. Première phase : au temps t = 0, on a ∆N = 0 et on pompe le milieu avec un taux de pompage
important et constant en maintenant des pertes très élevées dans la cavité (facteur de qualité
Q c faible) : l’oscillation laser ne peut avoir lieu, I = 0. Déterminer et étudier la fonction ∆N(t).
Calculer numériquement la durée t i après laquelle ∆N(t i ) = ∆N i = 0, 95 ∆N 0 sachant que
τ = 0,5 ms.
3. Deuxième phase : au temps t = t i , on déclenche le retour brusque aux pertes minimales dans
la cavité caractérisées par τ c . On étudie le démarrage de l’impulsion laser en supposant que
la différence de population initiale ∆N i reste d’abord constante et que l’intensité initiale (dûe
à l’émission spontanée dans la direction résonnante) est notée I i . Calculer la durée t D − t i
du démarrage de l’impulsion, définie comme le temps nécessaire pour que l’intensité passe de
I i à I s . Calculer numériquement t D − t i pour ∆N i /∆N S = 10, I i /I s = 10 −10 , τ c = 10 ns ;
comparer les durées t D − t i et t i .
4. Troisième phase : on étudie les caractéristiques de l’impulsion laser à forte intensité. On
suppose alors que I est suffisamment importante pour pouvoir négliger ∆N 0 − ∆N dans
l’équation (1). Cette phase commence avec I = I i et ∆N = ∆N i .
(a) En éliminant le temps entre les équations (1) et (2), et en intégrant par séparation des
variables, déterminer l’expression de I(t) en fonction de ∆N(t).
(b) Soit I L (t) l’intensité laser extraite de la cavité. Pour quelle valeur de ∆N l’intensité
I L (t) est-elle maximum ? Interpréter physiquement ce résultat. Quelle est alors la valeur
de l’intensité maximum I Lmax sortant du laser ? Calculer numériquement I Lmax /I L0 en
considérant que, pour le laser fonctionnant en continu, on aurait ∆N 0 c = 2 ∆N S .
(c) Pour aller plus loin : trouver l’équation implicite qui donne la différence de population
finale ∆N f après l’impulsion laser (on définit cette fin comme le moment où I(t) est
redescendue à la valeur I s . Calculer numériquement ∆N f /∆N S en supposant ∆N f ≪
∆N i .
(d) Calculer l’énergie totale E = ∫ t f
t i
S I L (t) dt délivrée par l’impulsion sortant du laser
en intégrant la forme simplifiée de (1). Montrer que si la seule perte dans la cavité
provient du miroir de sortie (faible pouvoir de transmission), E est comparable à l’énergie
disponible pour l’onde qui a été stockée dans le milieu amplificateur en portant des
atomes sur le niveau 2.
(e) Calculer la largeur temporelle ∆t de l’impulsion, définie comme le rapport de l’énergie E
à la puissance maximum P max de l’impulsion sortant du laser. Calculer numériquement
∆t.
5. Dernière phase : on étudie la décroissance de l’intensité à la fin de l’impulsion laser, lorsque
∆N = ∆N f pour ∆N f /∆N S ≪ 1. Quelle en est la constante de temps ? Commenter.
6. Schématiser qualitativement les évolutions temporelles de I(t) et ∆N(t) sur un même graphe
où l’on reportera les différentes quantités et notations introduites dans les questions précédentes.
7. Révisions : retrouver pour le système ouvert à deux niveaux les expressions des paramètres
1
τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ)
σ
, τ c = d
α P c 0 l , ∆N S = α P
σ
et α P = T l
(si l’on suppose que
les seules pertes de la cavité viennent des photons extraits au niveau du miroir de sortie).

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M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011
Magistère de Physique Fondamentale
Travaux Dirigés Lasers n ◦ 7, corrigé succinct
Exercice I : Fonctionnement multimode d’un laser Hélium-Cadmium continu
1.
[ ( ) ν − 2
α 0 ν0
(ν) 2l = 0, 05 exp −
ln 2]
∆ν D /2
La largeur à mi-hauteur de cette fonction est ∆ν D , largeur
Doppler fonction des caractéristiques de l’atome
actif et de la température par la relation ∆ν D =
ν 0
c 0
√ 8 ln 2 RT
M
= 1,13 10 9 Hz (exprimer M en kg)
0
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
∆νL
-4 -2 0 2 4
2. La fréquence de l’onde doit correspondre à celle d’un mode de la cavité, ν = ν q = (q + 1) c 0
2d .
Pour l’amorçage d’une onde laser, il faut avoir α 0 (ν) > α P . Graphiquement, cette condition
est réalisée dans la gamme de fréquences sur laquelle la courbe α 0 (ν) 2l est au-dessus de la
droite horizontale d’ordonnée 2α P l.
En régime stationnaire, le gain total G pour une double traversée de l’amplificateur doit
compenser exactement les pertes, G = exp 2α P l. En régime pertes faibles-gain faible, cette
dernière expression devient exp 2 α l = exp 2 α P l ⇔ α = α P .
∆νD / 2
∆νD / 2
∆νD
∆νD / 2
0
2α (ν)"
∆νD / 2
2α " P
ν − ν0
3. La courbe α 0 (ν) est symétrique de part et d’autre de ν 0 , on définit ∆ν L de manière à avoir
α 0 (ν)2l ≥ α P 2l sur l’intervalle [ν 0 − ∆ν L /2, ν 0 + ∆ν L /2], ce qui revient à avoir α 0 (ν 0 ±
∆ν L /2)2l = α P 2l sur les bords de cet intervalle.
√
( )
α 0 ∆νL /2 2
0, 03
(ν 0 ±∆ν L /2) 2l = α P 2l ⇔ exp −
ln 2 =
∆ν D /2 0, 05 ⇔ ∆ν ln 5/3
L = ∆ν D
ln 2
= 9, 66 108 Hz
4. Pour une cavité linéaire, δν = c 0
2d
5. On compare graphiquement la largeur de la plage de fonctionnement laser
aux écarts entre 2, 3 ou plus modes spectraux consécutifs
(a) toujours monomode : il ne doit pas y avoir plus d’un mode dans la
fenêtre de fonctionnement (il n’y en a parfois aucun). Si un mode est sur le
bord intérieur de cette fenêtre, le mode suivant doit être en dehors (partie
inférieure du graphe). Il faut pour cela avoir
δν > ∆ν L ⇔ d < c 0
2∆ν L
= 15, 5 cm
∆νL
δν
δν
au plus
1 mode
δν > ∆νL
L’intensité sur ce mode spectral est maximale s’il se situe au maximum de
la courbe de gain, ce qu’on peut obtenir en ajustant d.
δν
∆νL
δν
δν
au plus
2 modes
2 δν > ∆νL
au moins
1 mode
δν < ∆νL
2 modes
ou plus
2 δν < ∆νL
δν
∆νL
δν
δν
(b) on a au moins un mode si δν < ∆ν L ⇔ d > c 0
2∆ν L
tous les cas en dehors de la fenêtre de fonctionnement si 2δν > ∆ν L ⇔ d < c 0
∆ν L
(c) on a au moins deux modes si 2δν < ∆ν L ⇔ d > c 0
∆ν L
= 15, 5 cm. Un troisième mode est dans
= 31 cm
= 31 cm

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Exercice II : Laser en fonctionnement déclenché (Q-switching)
1. ∆N = ∆N 0
1+ I
Is
et ∆N
∆N s
− 1 = 0 ⇔ ∆N = ∆N S d’où I L0 = T I = T I s ( ∆N 0
∆N S
− 1).
2. Durant cette phase, les atomes sont portés sur le niveau 2 ce qui accumule de l’énergie dans
le milieu amplificateur. Les pertes élevées empêchent l’onde laser de se former : il n’y a pas
d’émission induite donc l’énergie stockée dans le milieu amplificateur y reste. La variation de
la différence de population s’écrit
d∆N
dt
= 1 τ
[
]
∆N 0 − ∆N ⇔ ∆N(t) = ∆N 0 (1 − exp − t τ )
∆N(t i ) = ∆N i = 0, 95 ∆N 0 donc t i = −τ ln(1 − 0, 95)= 1,5 ms.
3. Les pertes de la cavité sont[ désormais ] faibles donc l’onde laser se forme à partir de l’intensité
résiduelle I i avec dI
dt
= I ∆N
τ c ∆N S
− 1 . Pour ∆N supposé constant (égal à ∆N i ) jusqu’à t D
[ ]
défini par I(t D ) = I s , l’équation s’intègre en I(t D ) = I(t i ) exp − t D−t i ∆Ni
τ c ∆N s
− 1 d’où la durée
de démarrage t D −t i =
τc Is
∆N i
ln
−1 I i
= 25 ns. La phase de démarrage est quasi instantanée par
∆N S
rapport à la précédente. On peut montrer que l’énergie dS Is−I i
c 0
nécessaire pour faire passer
l’onde de I i à I s est totalement négligeable par rapport à l’énergie ∆N i hν S l stockée dans
l’amplificateur (voir 4(d)), ce qui justifie que ∆N = ∆N i pendant toute cette phase.
4. (a) d∆N
dt
≃ − 1 τ
I
I s
∆N (équation (1’)) avec maintenant ∆N fonction du temps.
dI
dt
d∆N
dt
=
[ ]
I ∆N
τ c ∆N S
− 1
− 1 τ
I
I s
∆N
dI
d∆N = − τ [ 1
I s − 1
τ c ∆N S ∆N
dI = τ τ c
I s
[
− 1
∆N S
+ 1
∆N
]
]
d∆N
On intègre par séparation des variables entre la situation ] initiale ∆N i , I s et la situation
∆N(t), I(t), soit I(t) − I s = τ τ c
I s
[− ∆N(t)−∆N i
∆N S
+ ln ∆N(t)
∆N i
(b) I(t) est maximum lorsque dI L
dt
= 0 et dI
dt
= 0 c’est-à-dire pour ∆N(t) = ∆N S . Pour
∆N(t) > ∆N S , α = σ∆N > α P = σ∆N S donc l’amplificateur transmet plus de puissance
à l’onde qu’il n’y a de pertes, l’intensité lumineuse augmente. C’est l’inverse lorsque
∆N(t) < ∆N S . On remplace ∆N(t) par ∆N S dans l’expression précédente pour obtenir
l’intensité au maximum de l’impulsion
I Max = I s + τ [ ∆Ni − ∆N S
I s + ln ∆N ]
S
τ c ∆N S ∆N i
L’intensité maximum I Lmax sortant du laser est I Lmax = T I Max .
Pour ∆N 0 c = 2 ∆N S , I Lmax /I L0 = 3,3 10 5 .
(c) La fin de l’impulsion est caractérisée par I(t) = I s , ∆N = ∆N f d’où ∆N f −∆N i
∆N S
= ln ∆N f
∆N i
.
Pour ∆N f ≪ ∆N i , ln[ ∆N f ∆N S
∆N S ∆N i
] = ∆N f −∆N i
∆N S
≃ −10 d’où ∆N f = 4, 5 10 −4 ∆N S ≃
4, 5 10 −5 ∆N i . A la fin de l’impulsion, ∆N f ≪ ∆N i donc toute l’énergie stockée initialement
dans l’amplificateur en y plaçant les atomes sur le niveau 2 a été dissipée (on
vérifie à la question suivante que c’est par transfert à l’onde).
(d) E = ∫ P L (t)dt = ∫ T I(t) S dt. Pendant la durée de l’impulsion, on a d∆N
dt
donc
∫ tfin
∫ ∆Nf
d∆N
I(t) dt = (−τ)I s
t i
∆N
= (−τ)I s ln ∆N f
∆N i
On en déduit E = T S(−τ)I s ln ∆N f
∆N i
∆N i
= T SτI s
∆N i −∆N f
∆N S
≃ 1 τ
I
I s
∆N

5
On choisit comme référence d’énergie celle des atomes sur le niveau 1. L’énergie disponible
pour l’onde correspond à hν pour chaque atome sur le niveau 2. La quantité
stockée à t i dans le milieu amplificateur est ∆N i hν Sl, celle restant à t f vaut
∆N f hν S l. Si les seules pertes de la cavité linéaire sont celles dues au couplage de
sortie, exp −α P l = 1 − T ⇔
α P = T l et ∆N S = α P
σ
= T σl . L’énoncé indique I s = hν
στ .
E = T S τI s
∆N i −∆N f
∆N S
∆N i −∆N f
∆N S
hν
= (σl ∆N S ) S
σ
= l S hν (∆N i − ∆N f )
donc l’énergie disponible dans l’amplificateur sous forme d’inversion de population sur
la transition 2-1 a bien été transférée à l’onde.
(e) E = ∫ P L (t) dt ≃ P max ∆t = T SI Max ∆t d’où ∆t ≈ T SτI s ∆N i
∆N S
T SI Max
= τ I s ∆N i
I Max ∆N S
= 15 ns.
5. Dernière phase : l’intensité décroît avec dI
dt
= − I τ c
, comme pour une cavité sans aucune
amplification.
6. Synthèse
∆N0
∆Ni
∆N(t)
1-exp -t / τ
pompage
optique
Q switching
IMax
∆NS
I(t)
temps
intensité
résiduelle
∆t
exp -t / τc
Is
Ii
ti
tD
temps
7. Révisions : voir cours