1 M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011 Magist`ere de ... - IPN

2
dI
dt
= I [ ] ∆N
− 1
τ c ∆N S
(2)
avec pour ce système 1 τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ)
σ
, τ c =
d
α P c 0 l et ∆N S = α P
σ
.
1. Questions préliminaires : déterminer en régime stationnaire les valeurs de ∆N et de I. Donner
la valeur de I L0 , intensité extraite du laser en fonctionnement continu, en fonction de T , I s ,
∆N 0 et ∆N S .
2. Première phase : au temps t = 0, on a ∆N = 0 et on pompe le milieu avec un taux de pompage
important et constant en maintenant des pertes très élevées dans la cavité (facteur de qualité
Q c faible) : l’oscillation laser ne peut avoir lieu, I = 0. Déterminer et étudier la fonction ∆N(t).
Calculer numériquement la durée t i après laquelle ∆N(t i ) = ∆N i = 0, 95 ∆N 0 sachant que
τ = 0,5 ms.
3. Deuxième phase : au temps t = t i , on déclenche le retour brusque aux pertes minimales dans
la cavité caractérisées par τ c . On étudie le démarrage de l’impulsion laser en supposant que
la différence de population initiale ∆N i reste d’abord constante et que l’intensité initiale (dûe
à l’émission spontanée dans la direction résonnante) est notée I i . Calculer la durée t D − t i
du démarrage de l’impulsion, définie comme le temps nécessaire pour que l’intensité passe de
I i à I s . Calculer numériquement t D − t i pour ∆N i /∆N S = 10, I i /I s = 10 −10 , τ c = 10 ns ;
comparer les durées t D − t i et t i .
4. Troisième phase : on étudie les caractéristiques de l’impulsion laser à forte intensité. On
suppose alors que I est suffisamment importante pour pouvoir négliger ∆N 0 − ∆N dans
l’équation (1). Cette phase commence avec I = I i et ∆N = ∆N i .
(a) En éliminant le temps entre les équations (1) et (2), et en intégrant par séparation des
variables, déterminer l’expression de I(t) en fonction de ∆N(t).
(b) Soit I L (t) l’intensité laser extraite de la cavité. Pour quelle valeur de ∆N l’intensité
I L (t) est-elle maximum ? Interpréter physiquement ce résultat. Quelle est alors la valeur
de l’intensité maximum I Lmax sortant du laser ? Calculer numériquement I Lmax /I L0 en
considérant que, pour le laser fonctionnant en continu, on aurait ∆N 0 c = 2 ∆N S .
(c) Pour aller plus loin : trouver l’équation implicite qui donne la différence de population
finale ∆N f après l’impulsion laser (on définit cette fin comme le moment où I(t) est
redescendue à la valeur I s . Calculer numériquement ∆N f /∆N S en supposant ∆N f ≪
∆N i .
(d) Calculer l’énergie totale E = ∫ t f
t i
S I L (t) dt délivrée par l’impulsion sortant du laser
en intégrant la forme simplifiée de (1). Montrer que si la seule perte dans la cavité
provient du miroir de sortie (faible pouvoir de transmission), E est comparable à l’énergie
disponible pour l’onde qui a été stockée dans le milieu amplificateur en portant des
atomes sur le niveau 2.
(e) Calculer la largeur temporelle ∆t de l’impulsion, définie comme le rapport de l’énergie E
à la puissance maximum P max de l’impulsion sortant du laser. Calculer numériquement
∆t.
5. Dernière phase : on étudie la décroissance de l’intensité à la fin de l’impulsion laser, lorsque
∆N = ∆N f pour ∆N f /∆N S ≪ 1. Quelle en est la constante de temps ? Commenter.
6. Schématiser qualitativement les évolutions temporelles de I(t) et ∆N(t) sur un même graphe
où l’on reportera les différentes quantités et notations introduites dans les questions précédentes.
7. Révisions : retrouver pour le système ouvert à deux niveaux les expressions des paramètres
1
τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ)
σ
, τ c = d
α P c 0 l , ∆N S = α P
σ
et α P = T l
(si l’on suppose que
les seules pertes de la cavité viennent des photons extraits au niveau du miroir de sortie).