1 M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011 Magist`ere de ... - IPN

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2 dI dt = I [ ] ∆N − 1 τ c ∆N S (2) avec pour ce système 1 τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ) σ , τ c = d α P c 0 l et ∆N S = α P σ . 1. Questions préliminaires : déterminer en régime stationnaire les valeurs de ∆N et de I. Donner la valeur de I L0 , intensité extraite du laser en fonctionnement continu, en fonction de T , I s , ∆N 0 et ∆N S . 2. Première phase : au temps t = 0, on a ∆N = 0 et on pompe le milieu avec un taux de pompage important et constant en maintenant des pertes très élevées dans la cavité (facteur de qualité Q c faible) : l’oscillation laser ne peut avoir lieu, I = 0. Déterminer et étudier la fonction ∆N(t). Calculer numériquement la durée t i après laquelle ∆N(t i ) = ∆N i = 0, 95 ∆N 0 sachant que τ = 0,5 ms. 3. Deuxième phase : au temps t = t i , on déclenche le retour brusque aux pertes minimales dans la cavité caractérisées par τ c . On étudie le démarrage de l’impulsion laser en supposant que la différence de population initiale ∆N i reste d’abord constante et que l’intensité initiale (dûe à l’émission spontanée dans la direction résonnante) est notée I i . Calculer la durée t D − t i du démarrage de l’impulsion, définie comme le temps nécessaire pour que l’intensité passe de I i à I s . Calculer numériquement t D − t i pour ∆N i /∆N S = 10, I i /I s = 10 −10 , τ c = 10 ns ; comparer les durées t D − t i et t i . 4. Troisième phase : on étudie les caractéristiques de l’impulsion laser à forte intensité. On suppose alors que I est suffisamment importante pour pouvoir négliger ∆N 0 − ∆N dans l’équation (1). Cette phase commence avec I = I i et ∆N = ∆N i . (a) En éliminant le temps entre les équations (1) et (2), et en intégrant par séparation des variables, déterminer l’expression de I(t) en fonction de ∆N(t). (b) Soit I L (t) l’intensité laser extraite de la cavité. Pour quelle valeur de ∆N l’intensité I L (t) est-elle maximum ? Interpréter physiquement ce résultat. Quelle est alors la valeur de l’intensité maximum I Lmax sortant du laser ? Calculer numériquement I Lmax /I L0 en considérant que, pour le laser fonctionnant en continu, on aurait ∆N 0 c = 2 ∆N S . (c) Pour aller plus loin : trouver l’équation implicite qui donne la différence de population finale ∆N f après l’impulsion laser (on définit cette fin comme le moment où I(t) est redescendue à la valeur I s . Calculer numériquement ∆N f /∆N S en supposant ∆N f ≪ ∆N i . (d) Calculer l’énergie totale E = ∫ t f t i S I L (t) dt délivrée par l’impulsion sortant du laser en intégrant la forme simplifiée de (1). Montrer que si la seule perte dans la cavité provient du miroir de sortie (faible pouvoir de transmission), E est comparable à l’énergie disponible pour l’onde qui a été stockée dans le milieu amplificateur en portant des atomes sur le niveau 2. (e) Calculer la largeur temporelle ∆t de l’impulsion, définie comme le rapport de l’énergie E à la puissance maximum P max de l’impulsion sortant du laser. Calculer numériquement ∆t. 5. Dernière phase : on étudie la décroissance de l’intensité à la fin de l’impulsion laser, lorsque ∆N = ∆N f pour ∆N f /∆N S ≪ 1. Quelle en est la constante de temps ? Commenter. 6. Schématiser qualitativement les évolutions temporelles de I(t) et ∆N(t) sur un même graphe où l’on reportera les différentes quantités et notations introduites dans les questions précédentes. 7. Révisions : retrouver pour le système ouvert à deux niveaux les expressions des paramètres 1 τ = A + Γ, ∆N 0 = Rτ, I s = hν 0(A+Γ) σ , τ c = d α P c 0 l , ∆N S = α P σ et α P = T l (si l’on suppose que les seules pertes de la cavité viennent des photons extraits au niveau du miroir de sortie).
3 M1 Physique Fondamentale (PF) 2010-2011 Magistère de Physique Fondamentale Travaux Dirigés Lasers n ◦ 7, corrigé succinct Exercice I : Fonctionnement multimode d’un laser Hélium-Cadmium continu 1. [ ( ) ν − 2 α 0 ν0 (ν) 2l = 0, 05 exp − ln 2] ∆ν D /2 La largeur à mi-hauteur de cette fonction est ∆ν D , largeur Doppler fonction des caractéristiques de l’atome actif et de la température par la relation ∆ν D = ν 0 c 0 √ 8 ln 2 RT M = 1,13 10 9 Hz (exprimer M en kg) 0 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 ∆νL -4 -2 0 2 4 2. La fréquence de l’onde doit correspondre à celle d’un mode de la cavité, ν = ν q = (q + 1) c 0 2d . Pour l’amorçage d’une onde laser, il faut avoir α 0 (ν) > α P . Graphiquement, cette condition est réalisée dans la gamme de fréquences sur laquelle la courbe α 0 (ν) 2l est au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 2α P l. En régime stationnaire, le gain total G pour une double traversée de l’amplificateur doit compenser exactement les pertes, G = exp 2α P l. En régime pertes faibles-gain faible, cette dernière expression devient exp 2 α l = exp 2 α P l ⇔ α = α P . ∆νD / 2 ∆νD / 2 ∆νD ∆νD / 2 0 2α (ν)" ∆νD / 2 2α " P ν − ν0 3. La courbe α 0 (ν) est symétrique de part et d’autre de ν 0 , on définit ∆ν L de manière à avoir α 0 (ν)2l ≥ α P 2l sur l’intervalle [ν 0 − ∆ν L /2, ν 0 + ∆ν L /2], ce qui revient à avoir α 0 (ν 0 ± ∆ν L /2)2l = α P 2l sur les bords de cet intervalle. √ ( ) α 0 ∆νL /2 2 0, 03 (ν 0 ±∆ν L /2) 2l = α P 2l ⇔ exp − ln 2 = ∆ν D /2 0, 05 ⇔ ∆ν ln 5/3 L = ∆ν D ln 2 = 9, 66 108 Hz 4. Pour une cavité linéaire, δν = c 0 2d 5. On compare graphiquement la largeur de la plage de fonctionnement laser aux écarts entre 2, 3 ou plus modes spectraux consécutifs (a) toujours monomode : il ne doit pas y avoir plus d’un mode dans la fenêtre de fonctionnement (il n’y en a parfois aucun). Si un mode est sur le bord intérieur de cette fenêtre, le mode suivant doit être en dehors (partie inférieure du graphe). Il faut pour cela avoir δν > ∆ν L ⇔ d < c 0 2∆ν L = 15, 5 cm ∆νL δν δν au plus 1 mode δν > ∆νL L’intensité sur ce mode spectral est maximale s’il se situe au maximum de la courbe de gain, ce qu’on peut obtenir en ajustant d. δν ∆νL δν δν au plus 2 modes 2 δν > ∆νL au moins 1 mode δν < ∆νL 2 modes ou plus 2 δν < ∆νL δν ∆νL δν δν (b) on a au moins un mode si δν < ∆ν L ⇔ d > c 0 2∆ν L tous les cas en dehors de la fenêtre de fonctionnement si 2δν > ∆ν L ⇔ d < c 0 ∆ν L (c) on a au moins deux modes si 2δν < ∆ν L ⇔ d > c 0 ∆ν L = 15, 5 cm. Un troisième mode est dans = 31 cm = 31 cm
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Page 5: 5 On choisit comme référence d’

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