Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la métrique ...

Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la
métrique hyperbolique
Erwann DELAY ∗
Université de Nice-Sophia Antipolis
Résumé. Sur la boule unité de R n , on considère la métrique hyperbolique standard H 0, dont la courbure
de Ricci vaut R 0 et la courbure de Riemann-Christoffel vaut R 0. Nous montrons que, pour tout tenseur
symétrique R voisin de R 0, il existe une unique métrique H voisine de H 0 dont la courbure de Ricci vaut
R. Nous en déduisons, dans le cadre C ∞ , que l’image de l’opérateur de Riemann-Christoffel est une sousvariété
au voisinage de R 0. Enfin, nous étudions plus précisément l’équation de Ricci en dimension 2.
Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric
Abstract. On the unit ball of R n , one considers the standard hyperbolic metric H 0 whose Ricci curvature
equals R 0 and Riemann-Christoffel curvature is R 0. We prove that, for any symetric tensor R near
R 0, there exists a unique metric H near H 0 whose Ricci curvature is R. We deduce in the C ∞ case that
the image of the Riemann-Christoffel operator is a submanifold in a neighborhood of R 0. Finally, we study
more precisely the Ricci equation in dimension 2.
Considérons une variété Riemannienne munie d’une métrique H. Pour p et q entiers naturels,
nous noterons Tp q , l’ensemble des tenseurs covariants de rang p et contravariants de rang q. Lorsque
q = 0 et p = 2, nous noterons S 2 le sous-espace des tenseurs symétriques qui se scinde en S 2 =
H ⊕ S 20 , où H sont les multiples de H et S 20 sont ceux de trace nulle (par rapport à H).
Tout comme [3], nous utiliserons les opérateurs div, Ricci et Bian ; nous noterons de plus Riem
l’opérateur de Riemann-Christoffel, Scal l’opérateur courbure scalaire et △ le laplacien brut.
Soit B la boule unitée de R n (munie de la métrique euclidienne standard E), soit ρ la fonction
définie sur B par ρ(x) = 1 2 (1 − |x|2 ) et soit H 0 = ρ −2 E la metrique hyperbolique standard sur B.
En général, H = H 0 + h désignera une métrique sur B voisine de H 0 . Dans le cas particulier
où H = H 0 (i.e. h = 0), toutes les notations et définitions précédentes seront indicées par 0. De
plus nous noterons R 0 =Ricci(H 0 ) = −(n − 1)H 0 et R 0 = Riem(H 0 ).
1 Courbure de Ricci prescrite
Pour r ∈ S 2 voisin de 0, on cherche h ∈ S 2 voisin de 0 tel que
Ricci(H 0 + h) = R 0 + r. (1)
∗ Moniteur-Allocataire MENESR 94-97, A.T.E.R. 97-98
1

2 E. DELAY
L’opérateur de Ricci n’est pas elliptique, c’est pourquoi, par une méthode dûe à DeTurck [3], on
introduit, pour H métrique de classe C 2 et un tenseur R ∈ C 2 (B, S 2 ), l’opérateur
Q(H, R) = RicciH − 1
n − 1 div∗ 0Bian(H, R) − R.
Nous travaillerons dans cet article avec les espaces de Banach Λ s k,α (B, T q p ) , munis de leurs
normes ‖ . ‖ (s)
k,α
, introduits dans [4]. Pour une fonction u : B −→ R cette norme s’écrit
‖ u ‖ (s)
k,α = ∑ |γ|≤k sup x∈B[ρ −s+|γ| (x)|∂ γ u(x)|]
+ ∑ |γ|=k
sup
x,y∈B
x≠y
min(ρ −s+k+α (x), ρ −s+k+α (y)) |∂γ u(x)−∂ γ u(y)|
|x−y| α .
Théorème 1 Soient k ∈ N, s ∈ R et α ∈]0, 1[. Si −2n > s(s − (n − 1)), alors l’équation
Q(H 0 + h, R 0 + r) = 0
pour r donné dans Λ s−2
k+2,α (B, S 2) voisin de zéro, possède une unique solution h voisine de zéro
dans Λ s−2
k+2,α (B, S 2) et l’application r −→ h ainsi définie entre voisinages de zéro est lisse. De plus,
lorsque k ≥ 1, quitte à réduire les voisinages de zéro, la solution vérifie (1).
Preuve : Posons
F (h, r) = Q(H 0 + h, R 0 + r).
On montre tout d’abord que F est à valeurs dans Λ s−2
k,α (B, S 2). Par ailleurs le linéarisé de F par
rapport à h (à r fixé) est donné par (cf. [2]) :
D h F (0, 0)δh = 1 2 [△ 0(uH 0 ) + (△ 0 − 2n)h 0 ],
où l’on a décomposé δh = uH 0 + h 0 à travers le scindage S 2 = H 0 + S 20 . D’après le théorème
d’isomorphisme de [4 p. 217], si −2n > s(s − (n − 1)) alors D h F (0, 0) est un isomorphisme de
Λ s−2
k+2,α (B, S 2) dans Λ s−2
k,α (B, S 2). Ainsi par le théorème des fonctions implicites, la première partie
du théorème est démontrée. Il reste à prouver que, pour ”r petit”, la solution vérifie (1). Ici notre
méthode diffère de celle de [3]. Nous montrons que ω :=Bian(H, R) = 0 en appliquant brutalement
l’opérateur Bian(H, .) à l’équation Q(H, R) = 0. Nous obtenons
Bian(H, div ∗ 0ω) + (n − 1)ω = 0. (2)
Considérons l’application linéaire L de Λ s−1
k+1,α (B, T 1) dans Λ s−1
k−1,α (B, T 1) définie par
Lω := Bian(H 0 , div ∗ 0ω) + (n − 1)ω = − 1 2 (△ 0 − (n − 1)ω).
D’après le Théorème d’isomorphisme de [4 p. 217], lorsque −(n − 1) > s(s − (n − 1)), L est un
isomorphisme et il existe C > 0 tel que ‖ ω ‖ (s−1)
k+1,α≤ C ‖ Lω ‖(s−1)
k−1,α
. Ici, ω vérifie (2) donc
Lω = Bian(H 0 , div ∗ 0ω) − Bian(H, div ∗ 0ω).
Pour ɛ tel que ɛC < 1, on montre qu’il existe ν tel que, si ‖ r ‖ (s−2)
k+2,α ≤ ν alors
‖ Lω ‖ (s−1)
k−1,α ≤ ɛ ‖ ω ‖(s−1) k+1,α
. Donc ‖ ω ‖(s−1)
k+1,α
= 0 puisque ɛC < 1 ; finalement ω = 0.

Courbure de Ricci sur H n (−1) 3
Le théorème 1 est applicable pour n ≥ 10. Il peut être vu comme le pendant hyperbolique du
résultat de Hamilton sur la sphère [5]. Pour n ≥ 2, nous obtenons un théorème analogue pour
le tenseur de Ricci contravariant. Enfin, au moyen d’un argument de continuité par rapport au
paramètre h 0 , nous traitons aussi l’équation Ricci(H 1 + h) =Ricci(H 1 ) + r, où H 1 = H 0 + h 0 est
prise voisine de H 0 dans Λ −2
k+4,α (B, S 2) (ce qui permet de déformer l’infinité conforme lim ρ→0 ρ 2 H,
qui vaut E pour H 0 ).
2 Image de l’opérateur de Riemann-Christoffel
Considérons R 1 3, le sous-espace de T 1
3 des tenseurs vérifiant
τ i ilm = 0, τ i klm = −τ i kml, τ i klm + τ i mkl + τ i lmk = 0.
Pour s ∈ R, nous dirons qu’un tenseur u ∈ C ∞ (B, Tq p ) est dans Λ s ∞(B, Tq p ) si il est dans
Λ s k,α (B, T q p ), pour tout k ∈ N ( α étant fixé dans ]0, 1[). On munit l’espace Λ s ∞(B, Tq p ) de la
famille de normes {‖ . ‖ (s)
k,α } k∈N . L’espace Λs ∞(B, Tq p ) est un espace de Fréchet. On définit les
applications lisses au voisinage de zéro :
r(.) ≡ Ricci(H 0 + .) − R 0 : Λ s−2
∞ (B, S 2 ) −→ Λ s−2
∞ (B, S 2 ),
h(.) l’application solution du théorème 1 (notons que h ◦ r = r ◦ h = Id Λ
s−2
∞ (B,S 2) ),
ρ(.) ≡ Riem(H 0 + .) − R 0 : Λ s−2
∞ (B, S 2 ) −→ Λ∞ s−2 (B, R 1 3).
Enfin, on définit l’application linéaire T r de Λ s−2
∞ (B, R 1 3) dans Λ∞ s−2 (B, S 2 ) qui à τklm i associe τ kim i .
Théorème 2 Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). On a
Λ s−2
∞ (B, R 1 3) = ImDρ(0) ⊕ KerT r.
Preuve
On a T r ◦ ρ ≡ r, donc T r ◦ Dρ(0) = Dr(0). Par ailleurs, on a
Le diagramme suivant est donc commutatif
Dh(0) ◦ Dr(0) ≡ Dr(0) ◦ Dh(0) ≡ Id Λ
s−2
∞ (B,S 2) .
Λ s−2
∞
(B, S 2 ) Dρ(0)
−→ Λ s−2
∞ (B, R 1 3) −→ T r
Λ s−2
∞ (B, S 2 )
| Dr(0) ↑
↑ Dh(0) |
Théorème 3 Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). Alors Imρ est une sous-variété de
(B, R 1 3), graphe de l’application de ImDρ(0) dans KerT r donnée par Ψ −→ (ρ◦h◦T r)(Ψ)−Ψ.
Λ s−2
∞
Preuve
On montre que l’application Φ de Λ s−2
∞ (B, R 1 3) dans Λ s−2
∞ (B, R 1 3) lisse au voisinage de zéro définie
par
Φ(τ) = [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ) + τ − (ρ ◦ h ◦ T r)(τ)
est un changement de coordonnées au voisinage de zéro qui redresse Imρ en ImDρ(0).

4 E. DELAY
3 Equation de Ricci en dimension 2
En dimension 2, la courbure de Ricci d’une métrique H est donnée par (cf. [5] par exemple) :
Ricci(H) = Scal(H)
2
H. Pour résoudre (1) on doit donc chercher H sous la forme H =e 2f (−R),
avec f fonction réelle sur B. L’équation (1) s’écrit △ (−R) f = 1 2 [ScalH 0 − Scal(H 0 − r)] =: u(r),
où u : Λ s−2
k+2,α (B, S 2) −→ Λ s k,α
(B) est lisse au voisinage de zéro pour s ≥ 0. Ainsi par le théorème
de [4 p. 217] et un argument de continuité par rapport à r on obtient le
Théorème 4 Si 0 < s < 1 alors l’équation (1) pour r donné dans Λ s−2
k+2,α (B, S 2) voisin de zéro,
possède une unique solution h voisine de zéro dans Λ s−2
k+2,α (B, S 2). De plus l’application solution
r → h est lisse au voisinage de zéro.
Lorsque r = λR 0 , avec λ réel donné quelconque, les solutions sont de la forme H = e 2g ρ −2λ H 0 , où
g est une fonction harmonique sur B. Ce qui nous permet de donner les résultas suivants : tout
d’abord la propriété de la valeur moyenne des fonctions harmoniques conduit au
Théorème 5 Soit λ ≠ 0 réel, r = λR 0 , alors il n’y a pas de solution de (1) dans Λ −2
0 ∩C2 loc (B, S 2).
Par ailleurs le résultat de [1], fournit le
Théorème 6 Soit λ ∈ R. Pour toute fonction f continue sur ∂B, le problème de Dirichlet
{ Ricci(H) = (1 + λ)R0 sur B
lim ρ→0 ρ 2λ+2 H = e 2f E sur ∂B
possède une solution unique H dans C ∞ (B, S 2 ), avec ρ 2λ+2 H ∈ C 0 (B, S 2 ).
Remerciements. Cette note résume une partie des résultats obtenus, sous la direction de Ph.
Delanoë, dans [2].
Références
[1] ANDERSON M. T., 1983. The Dirichlet problem at infinity for manifolds of negative
curvature, J. Differential Geometry, 18, p. 701-721.
[2] DELAY E., 1998. Prescription de courbures sur l’espace hyperbolique, thèse, Université de
Nice-Sophia Antipolis.
[3] DETURCK D., 1981. Existence of Metrics With Prescribed Ricci Curvature : Local Theory,
Invent. Math., 65, p. 179-207.
[4] GRAHAM C. R., LEE J. M., 1991. Einstein metrics with prescribed infinity on the ball,
Adv. in Math., 87, N 0 2 , p. 186-225.
[5] HAMILTON R., 1984. The Ricci Curvature Equation, Seminar on Nonlinear Partial Differential
Equation, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, p . 47-72.