Interaction Fluide Structure : Modélisation et ... - Université Lille 1
Interaction Fluide Structure : Modélisation et ... - Université Lille 1
Interaction Fluide Structure : Modélisation et ... - Université Lille 1
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Interaction</strong> <strong>Fluide</strong> <strong>Structure</strong> :<br />
Modélisation <strong>et</strong> Simulation Numérique<br />
Editeur : M’hamed SOULI
<strong>Interaction</strong> <strong>Fluide</strong> <strong>Structure</strong> :<br />
Modélisation <strong>et</strong> Simulation Numérique<br />
Editeur : M’hamed SOULI<br />
Co-éditeur : Jean-François SIGRIST
Table des matières<br />
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
Chapitre 1. Couplage d’éléments finis en interaction fluide/structure . . . 15<br />
Jean-François SIGRIST<br />
1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.1.1. Un exemple élémentaire de système couplé fluide-structure . . . 16<br />
1.1.2. Contenu du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.1.3. Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.2. Méthode éléments finis pour un problème de dynamique vibratoire<br />
d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.2.1. Contexte d’étude <strong>et</strong> hypothèses générales . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.2.2. Formulation forte <strong>et</strong> formulation faible du problème structure . . 22<br />
1.2.3. Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . 23<br />
1.2.4. Formulation discrète du problème aux valeurs propres . . . . . . 26<br />
1.2.5. Exemple : modes de flexion d’une poutre élastique encastrée/libre 27<br />
1.2.5.1. Définition du problème, équations continues <strong>et</strong> solution analytique<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.2.5.2. Discrétisation éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
1.2.5.3. Calcul des modes propres <strong>et</strong> des fréquences propres . . . . . 33<br />
1.3. Méthode éléments finis pour un problème de dynamique vibratoire<br />
d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
1.3.1. Contexte d’étude <strong>et</strong> hypothèses générales . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
1.3.2. Formulation forte <strong>et</strong> formulation faible du problème fluide . . . . 39<br />
1.3.2.1. Problème d’acoustique fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
1.3.2.2. Problème de ballottement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
1.3.3. Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . 40<br />
1.3.3.1. Problème d’acoustique fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
1.3.3.2. Problème de ballottement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
1.3.4. Formulation discrète du problème aux valeurs propres . . . . . . 42<br />
9
10 <strong>Interaction</strong> fluide structure<br />
1.3.4.1. Problème d’acoustique fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
1.3.4.2. Problème de ballottement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
1.3.5. Exemple n˚2 : modes acoustiques d’une cavité fluide cylindrique 44<br />
1.3.5.1. Définition du problème, équations continues <strong>et</strong> solution analytique<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
1.3.5.2. Discrétisation éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
1.3.5.3. Calcul des modes propres <strong>et</strong> des fréquences propres . . . . . 51<br />
1.3.6. Exemple n˚3 : modes de ballottement d’un réservoir cylindrique . 52<br />
1.3.6.1. Définition du problème, équations continues <strong>et</strong> solution analytique<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
1.3.6.2. Discrétisation éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
1.3.6.3. Calcul des modes propres <strong>et</strong> des fréquences propres . . . . . 56<br />
1.4. Méthode éléments finis pour l’analyse vibratoire d’une structure couplée<br />
avec un fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
1.4.1. Contexte d’étude <strong>et</strong> hypothèses générales . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
1.4.2. Formulation forte <strong>et</strong> formulation faible du problème fluide/structure 59<br />
1.4.3. Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . 60<br />
1.4.4. Formulation discrète du problème aux valeurs propres fluide/structure 62<br />
1.4.5. Exemple n˚4 : poutre élastique couplée avec un fluide contenu<br />
dans une cavité cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
1.4.5.1. Définition du problème <strong>et</strong> équations continues . . . . . . . . 63<br />
1.4.5.2. Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
1.4.5.3. Discrétisation éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
1.4.5.4. Calcul des modes propres <strong>et</strong> des fréquences propres . . . . . 70<br />
1.5. Couplage éléments finis-éléments finis pour l’étude vibratoire d’un<br />
système couplé fluide-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
1.5.1. Contexte d’étude <strong>et</strong> hypothèses générales . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
1.5.2. Formulation couplée fluide/structure non symétrique . . . . . . . 74<br />
1.5.2.1. Couplage élasto-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
1.5.2.2. Couplage hydro-élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
1.5.3. Formulation couplée fluide/structure symétrique . . . . . . . . . . 76<br />
1.5.3.1. Couplage élasto-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
1.5.3.2. Couplage hydro-élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
1.5.4. Exemple n˚5 : poutre élastique couplée avec un fluide compressible<br />
contenu dans une cavité cylindrique sans surface libre . . . . 82<br />
1.5.5. Exemple n˚6 : poutre élastique couplée avec un fluide incompressible<br />
contenu dans une cavité cylindrique avec surface libre . . . . 84<br />
1.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
Chapitre 2. Traitement numérique des interfaces . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
Elisab<strong>et</strong>h LONGATTE <strong>et</strong> Michaël SCHAEFER<br />
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
2.2. Méthodes numériques en mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . 94
Table des matières 11<br />
2.2.1. Equations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
2.2.1.1. Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
2.2.1.2. Ecoulements de fluides incompressibles . . . . . . . . . . . 95<br />
2.2.1.3. Ecoulements de fluides non visqueux . . . . . . . . . . . . . 97<br />
2.2.2. Formulation volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
2.2.2.1. Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
2.2.2.2. Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
2.3. Méthodes numériques en mécanique des structures . . . . . . . . . . . 102<br />
2.3.1. Equations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
2.3.1.1. Elasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
2.3.1.2. Problèmes en état de contraintes planes . . . . . . . . . . . . 105<br />
2.3.1.3. Hyper-élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
2.3.2. Formulation éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
2.4. Méthodes numériques en interaction fluide structure . . . . . . . . . . . 112<br />
2.4.1. Gestion d’interfaces mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
2.4.1.1. Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
2.4.1.2. Formulation mixte lagrangienne eulérienne . . . . . . . . . . 114<br />
2.4.1.3. Cadre de la méthode des volumes finis . . . . . . . . . . . . 119<br />
2.4.2. Dynamique de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
2.4.2.1. Approches algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
2.4.2.2. Approches elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
2.4.3. Procédures de couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
2.4.3.1. Stratégies de couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
2.4.3.2. Conservation de l’énergie à l’interface . . . . . . . . . . . . 127<br />
2.4.3.3. Couplage partitionné explicite synchrone . . . . . . . . . . . 128<br />
2.4.3.4. Couplage partitionné explicite asynchrone . . . . . . . . . . 129<br />
2.4.3.5. Couplage partitionné semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
2.4.4. Projection de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
2.4.4.1. Données à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
2.4.4.2. Interpolation de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
2.4.4.3. Forme des interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
2.4.4.4. Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
2.5. Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
2.5.1. Lame flexible soumise à un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
2.5.1.1. Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
2.5.1.2. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
2.5.2. Lame flexible avec contrepoids soumise à un écoulement . . . . . 139<br />
2.5.2.1. Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
2.5.2.2. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
2.5.3. Conduit souple bi-encastré parcouru par un écoulement . . . . . . 142<br />
2.5.3.1. Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
2.5.3.2. Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />
2.5.4. Ecoulement autour d’un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12 <strong>Interaction</strong> fluide structure<br />
2.5.4.1. Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
2.5.4.2. Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
2.5.5. Conduit souple encastré-libre parcouru par un écoulement . . . . 147<br />
2.5.5.1. Description de la configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
2.5.5.2. Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
2.5.6. Faisceau de tubes soumis à un écoulement transverse . . . . . . . 151<br />
2.5.6.1. Description de la configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
2.5.6.2. Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br />
2.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
Chapitre 3. Calculs éléments finis multidomaines . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
Thierry COUPEZ , Hugues DIGONNET , Patrice LAURE , Luisa SILVA , Rudy<br />
VALETTE<br />
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
3.1.1. Une classification des approches multidomaines . . . . . . . . . . 166<br />
3.1.2. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />
3.2. Caractérisation des différentes phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
3.2.1. La fonction distance signée ou level s<strong>et</strong> . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />
3.2.2. Raffinement du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170<br />
3.2.3. Le déplacement de la level s<strong>et</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
3.2.3.1. La réinitialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173<br />
3.2.3.2. La réinitialisation convective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
3.2.3.3. Le limiteur <strong>et</strong> la troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
3.2.3.4. Les paramètres de l’équation de transport tronquée <strong>et</strong> régularisée<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
3.3. La résolution éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
3.3.1. Les équations en vitesse-pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
3.3.2. Formulation variationnelle pour les équations de Navier-Stokes . 178<br />
3.3.3. La méthode RFB pour l’équation de transport . . . . . . . . . . . 179<br />
3.3.4. La méthode RFB pour les équations de Navier-Stokes . . . . . . . 180<br />
3.4. Interface fluide-air ou fluide-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181<br />
3.4.1. L’écoulement gravitationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182<br />
3.4.2. La prise en compte de la tension de surface . . . . . . . . . . . . . 183<br />
3.5. L’immersion de corps solides dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . 187<br />
3.5.1. L’immersion d’obj<strong>et</strong> dans un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br />
3.5.2. Formulation en vitesse-pression pour les corps solides dans un<br />
fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190<br />
3.5.3. Formulation variationnelle du système fluide solide . . . . . . . . 191<br />
3.5.4. Formulation discrète <strong>et</strong> algorithme d’Uzawa . . . . . . . . . . . . 192<br />
3.5.5. Déplacement lagrangien des particules . . . . . . . . . . . . . . . 193<br />
3.5.6. Une sphère dans un champ de cisaillement . . . . . . . . . . . . . 194<br />
3.5.7. Deux sphères rigides dans un écoulement de Stokes . . . . . . . . 195<br />
3.5.7.1. Influence du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Table des matières 13<br />
3.5.7.2. Déplacements des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<br />
3.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200<br />
3.7. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201<br />
Chapitre 4. Réduction de modèle en IFS par POD . . . . . . . . . . . . . . . 205<br />
Aziz Hamdouni, Francisco Chinesta <strong>et</strong> Erwan Liberge<br />
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<br />
4.2. Présentation générale de la POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206<br />
4.2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206<br />
4.2.2. Formulation de la POD continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<br />
4.2.3. Formulation discrète du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210<br />
4.2.4. La snapshot POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212<br />
4.2.5. Ecriture matricielle du modèle réduit ( a postériori) . . . . . . . . 213<br />
4.2.6. Systèmes dynamiques pour l’équation de Navier-Stokes obtenus<br />
à partir de la formulation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214<br />
4.2.6.1. Système dynamique basé sur le champ de vitesse instantané 214<br />
4.2.6.2. Sytème dynamique basé sur le champ de vitesse fluctuant . 215<br />
4.2.6.3. Traitement du terme de pression . . . . . . . . . . . . . . . . 217<br />
4.2.6.4. Stabilisation correction du système dynamique . . . . . . . 218<br />
4.3. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220<br />
4.3.1. Illustration sur une équation linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . 220<br />
4.3.2. Illustration de l’approche sur des problèmes non linéaires . . . . 224<br />
4.3.2.1. Test sur une configuration monodimensionnelle . . . . . . . 224<br />
4.3.2.2. Ecoulement autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . 227<br />
4.3.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231<br />
4.4. Vers une stratégie adaptative : enrichissement de la base . . . . . . . . 232<br />
4.4.1. A partir de la formulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br />
4.4.2. Illustration de la méthode d’enrichissement de la base . . . . . . . 234<br />
4.5. Application de la POD en interaction fluide structure . . . . . . . . . . 241<br />
4.5.1. Etat de l’art de l’utilisation de la POD en interaction fluide structure 241<br />
4.5.2. Application de la réduction de modèle à l’interaction fluide structure<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243<br />
4.5.2.1. Illustration de la problématique . . . . . . . . . . . . . . . . 243<br />
4.5.2.2. Solution proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br />
4.5.3. Système dynamique POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249<br />
4.5.3.1. Méthode des domaines fictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 249<br />
4.5.3.2. Système dynamique POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257<br />
4.5.3.3. Principe de l’algorithme de résolution . . . . . . . . . . . . . 258<br />
4.5.4. Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259<br />
4.5.4.1. Cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259<br />
4.5.4.2. Cavité annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262<br />
4.5.4.3. Cylindre en oscillation forcée dans un canal . . . . . . . . . 265<br />
4.5.4.4. Cylindre en oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
14 <strong>Interaction</strong> fluide structure<br />
4.5.5. Système dynamique sur champ fluctuant . . . . . . . . . . . . . . 274<br />
4.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275<br />
Chapitre 5. <strong>Interaction</strong> fluide-structure pour les problèmes de dynamique<br />
rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br />
Nicolas AQUELET <strong>et</strong> Mhamed SOULI<br />
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br />
5.2. Formulation ALE multiphases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284<br />
5.2.1. Forme forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286<br />
5.2.2. Forme faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288<br />
5.2.3. Discrétisation en éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291<br />
5.2.4. Viscosité de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293<br />
5.2.5. Calcul de l’énergie interne <strong>et</strong> de la pression . . . . . . . . . . . . . 294<br />
5.2.6. Méthodes d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296<br />
5.2.6.1. Schéma décentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297<br />
5.2.6.2. Algorithme de Van Leer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297<br />
5.2.6.3. Advection de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . 299<br />
5.2.6.4. Calcul de l’interface dans des problèmes multiphasiques . . 300<br />
5.2.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301<br />
5.3. Couplage Euler/Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301<br />
5.3.1. Conditions d’interaction fluide/structure . . . . . . . . . . . . . . 302<br />
5.3.2. Couplage par pénalité <strong>et</strong> multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . 303<br />
5.3.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307<br />
5.4. Applications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307<br />
5.4.1. Etude du piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307<br />
5.4.1.1. Origine des oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308<br />
5.4.1.2. Amortissement numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309<br />
5.4.2. Entrée dans l’eau d’un dièdre à vitesse constante . . . . . . . . . . 313<br />
5.4.2.1. Théorie asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313<br />
5.4.2.2. Eff<strong>et</strong> de l’amortissement numérique . . . . . . . . . . . . . . 316<br />
5.4.2.3. Ajustement de la pénalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318<br />
5.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319<br />
5.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Préface<br />
La simulation numérique de problèmes multiphysiques a connu un essor constant<br />
ces dernières années. Ce développement est dû à la fois à l’accroissement permanent<br />
des moyens informatiques <strong>et</strong> aux progrès considérables réalisés dans la modélisation,<br />
l’analyse mathématique <strong>et</strong> numérique de nombreux problèmes en mécanique<br />
des fluides <strong>et</strong> en mécanique des solides.<br />
Ces progrès ont permis à leur tour de réaliser des simulations numériques convaincantes<br />
dans de multiples domaines autrefois inaccessibles. On pourrait presque dire<br />
que les développements numériques en mécanique des fluides <strong>et</strong> en mécanique des<br />
solides ont déjà atteint un haut niveau perm<strong>et</strong>tant de résoudre les problèmes posés par<br />
différentes applications industrielles, ce qui est loin d’être le cas pour les méthodes<br />
numériques en interaction fluide/structure, où de nombreux problèmes restent encore<br />
ouverts, essentiellement par manque de méthodes numériques fiables <strong>et</strong> robustes pour<br />
la résolution de ces problèmes.<br />
Ces méthodes doivent être validées par confrontation avec des solutions analytiques<br />
ou avec des tests expérimentaux ; dans ce second cas, la simulation numérique<br />
perm<strong>et</strong> d’alléger le plan d’expérience en ciblant les essais les plus pertinents <strong>et</strong> en identifiant<br />
les données primordiales à analyser. Depuis quelque temps, on voit apparaître<br />
un certain nombre de problèmes en mécanique des structures, qui se démarquent assez<br />
n<strong>et</strong>tement des simulations habituelles où le chargement de la structure dû au fluide<br />
pouvait être approché par des modèles empiriques. Dans ces situations nouvelles, la<br />
prise en compte de l’eff<strong>et</strong> du fluide nécessite la résolution des équations de conservation<br />
dans le fluide (équations de Navier-Stokes), ce qui perm<strong>et</strong> de déterminer le<br />
chargement hydrodynamique sur la structure.<br />
Actuellement de multiples problèmes de couplage fluide/structure nouveaux se<br />
posent par exemple en génie environnemental dans le cas du transport de produits<br />
toxiques fluides dans le cas de l’écoulement autour des pales d’éolienne ; dans l’industrie<br />
automobile, on pourrait également citer les problèmes posés par la dynamique de<br />
15
16 <strong>Interaction</strong> fluide structure<br />
gonflement des airbags, de ballottement de fluide dans les réservoirs ; dans le domaine<br />
aéronautique, le phénomène du flottement des ailes d’avion implique un couplage<br />
entre la dynamique vibratoire d’une structure avec l’écoulement d’une fluide. De façon<br />
plus générale dans l’industrie de transport, les études de réduction de bruit à l’intérieur<br />
des véhicules (automobiles, trains, avions, hélicoptères, <strong>et</strong>c.), nécessitent des analyses<br />
vibro-acoustiques; ceci a engendré des recherches spécifiques sur le comportement à<br />
moyennes <strong>et</strong> hautes fréquences dans les structures. Dans l’industrie nucélaire, la rupture<br />
de tubes de générateurs de vapeur par vibration induite par les écoulements diphasiques<br />
eau/vapeur, ou par écoulements monophasiques à grand nombre de Reynolds,<br />
pose un nouveau problème de couplage fluide/structure. Des problèmes impliquant le<br />
couplage entre un écoulement de fluide <strong>et</strong> les déformations d’une structure élastique se<br />
posent également dans le domaine de la recherche en biomécanique, par exemple dans<br />
le cas des déformations des vaisseaux sanguins en liaison avec le battement cardiaque.<br />
En industrie navale, l’étude de la réponse des structures sous sollicitations hydrodynamiques<br />
reste un suj<strong>et</strong> délicat <strong>et</strong> encore peu maîtrisé : les questions de la pertinence<br />
du couplage <strong>et</strong> de des échelles de temps <strong>et</strong> d’espaces caractéristiques de la dynamique<br />
couplée se posent de façon cruciale.<br />
C<strong>et</strong> ouvrage ce propose de faire un état de l’art relatif à différentes techniques numériques<br />
qu’il est possible de m<strong>et</strong>tre en œuvre pour réaliser des études industrielles<br />
de problèmes impliquant la prise en compte des eff<strong>et</strong>s de couplage fluide/structure.<br />
Certaines techniques (par exemple les méthodes de couplage éléments finis/éléments<br />
finis) sont maintenant bien maîtrisées <strong>et</strong> sont implémentées dans des codes de calcul<br />
à vocation industrielle ; dans ce cas, l’exposé proposé perm<strong>et</strong>tra de donner des bases<br />
pour l’ingénieur désireux de prendre en main un code de calcul. D’autres techniques<br />
(par exemple les méthodes multidomaines ou les méthodes d’ordre réduit) sont encore<br />
en cours de développement <strong>et</strong> restent d’utilisation assez rare dans l’industrie ; dans ce<br />
cas, l’exposé proposé sera plus centré sur les principes de la méthode <strong>et</strong> sur l’identification<br />
des difficultés qu’il reste à surmonter avant d’envisager une généralisation à<br />
l’échelle industrielle.<br />
L’ouvrage est ainsi structuré en cinq chapitres. Dans le chapitre 1, on s’intéresse<br />
aux problèmes de l’interaction dynamique entre une structure <strong>et</strong> un fluide au repos, en<br />
se limitant dans ce type de problème à une description du mouvement du fluide <strong>et</strong> de<br />
la structure basée sur la théorie des vibrations ; on considère ainsi les p<strong>et</strong>ites vibrations<br />
de la structure, <strong>et</strong> les fluctuations de la pression du fluide autour d’un état d’équilibre<br />
stable. La formalisation des équations est conduite dans un cadre linéaire, pour lequel<br />
les notions de modes propres de la structure, du fluide ou de l’ensemble fluide structure<br />
perm<strong>et</strong>tent de décrire la dynamique du système considéré. L’obj<strong>et</strong> de ce chapitre est<br />
donc d’exposer la technique éléments finis structure, éléments finis fluide perm<strong>et</strong>tant<br />
de calculer les modes propres du système couplé fluide structure.
Préface 17<br />
Dans le chapitre 2, les principales méthodes numériques utilisées en couplage<br />
fluide structure sont exposées, méthode des volumes finis, méthodes des éléments finis.<br />
Un état d’art des avancées numériques récentes pour le traitement des problèmes<br />
IFS est dressé. Après une revue des principes fondamentaux de la mécanique des<br />
fluides <strong>et</strong> des structures <strong>et</strong> des méthodes numériques associées, les différents algorithmes<br />
<strong>et</strong> schémas de couplages, méthodes ALE, traitement numérique des interfaces<br />
<strong>et</strong> couplage de codes fluide <strong>et</strong> structure sont abordés. Un certain nombre de problèmes<br />
physiques restent difficiles à comprendre à cause de couplages du comportement du<br />
fluide <strong>et</strong> de la structure. L’énergie se transfère de manière complexe d’un système<br />
à l’autre. Ces échanges d’énergie entre les systèmes peuvent parfois conduire à des<br />
instabilités qu’il convient de comprendre puis de maîtriser. La modélisation de ces<br />
échanges <strong>et</strong> transformations d’énergie se fait soit par des approches « modales », soit<br />
par des approches éléments finis détaillés. Dans ce chapitre, les schémas numériques<br />
tenant compte de la minimisation des erreurs sur les échanges d’énergie entre le fluide<br />
<strong>et</strong> la structure sont décrits <strong>et</strong> appliqués pour des cas académiques <strong>et</strong> industriels.<br />
Dans le chapitre 3, l’approche monolithique pour les problèmes multiphysiques<br />
<strong>et</strong> multi-échelles est adoptée. C<strong>et</strong>te méthode est utilisée pour étudier les écoulements<br />
de fluide complexes, faisant intervenir les couplages forts entre les différents matériaux<br />
<strong>et</strong> composantes du problème, ainsi que les différentes interactions liquide-solide,<br />
gaz-solide, <strong>et</strong> liquide-liquide. On r<strong>et</strong>rouve l’application de ces méthodes dans les problèmes<br />
de remplissage de moules par des fluides complexes en prenant compte des<br />
mouvements <strong>et</strong> orientation des charges fibres longues <strong>et</strong> des changements de phase.<br />
Le principe est de travailler sur un maillage eulerien fixe qui englobe toutes les composantes<br />
<strong>et</strong> les sous-domaines du problème. En utilisant une formulation eulerienne,<br />
pour un problème multimateriaux, les interfaces entre les différents matériaux sont<br />
transportées ou advectés par une équation de transport type level-s<strong>et</strong>, <strong>et</strong> ne sont connus<br />
qu’implicitement à travers les valeurs de la fonction caractéristique définie sur tout le<br />
domaine.<br />
Il est envisageable de construire des modèles d’ordre réduit pour les problèmes<br />
d’interaction fluide/structure en s’appuyant sur les techniques de réduction développées<br />
dans chacun des deux domaines (vibration des structures <strong>et</strong> écoulement du fluide).<br />
La construction de ces modèles réduits perm<strong>et</strong>tra d’envisager le développement du calcul<br />
en temps réel. Il perm<strong>et</strong> aussi l’étude des phénomènes physiques des instabilités<br />
de couplage qui sont souvent difficiles à prédire. Le chapitre 4 traite la réduction de<br />
modèles en interaction fluide structure via la décomposition orthogonale aux valeurs<br />
propres, connu sous le nom de POD (Proper Orthogonal Decomposition). L’intérêt<br />
pour la réduction de modèles s’est accru ces dernières années, dû essentiellement au<br />
fait que ces modèles sont plus simples à utiliser pour des études paramétriques ou le<br />
contrôle actif, voire pour le calcul en temps réel. La procédure consiste à remplacer le<br />
modèle continu initial, impliquant un problème aux dérivées partielles, par un modèle<br />
discr<strong>et</strong>, basé sur système d’équations différentielles ordinaires.
18 <strong>Interaction</strong> fluide structure<br />
Le chapitre 5 porte sur les problèmes d’interaction fluide/structure en dynamique<br />
rapide. Le phénomène de dynamique rapide regroupe des phénomènes physiques en<br />
grandes déformations <strong>et</strong> de courte durée. Ces problèmes sont généralement résolus par<br />
des méthodes explicites. Le déploiement d’un airbag, le tossage d’un navire sont autant<br />
d’exemples d’interaction fluide structure dont la durée est de l’ordre de quelques<br />
millisecondes. La première partie de ce chapitre présente les équations mathématiques<br />
décrivant les lois de conservation (masse, quantité de mouvement <strong>et</strong> énergie), ainsi que<br />
les méthodes explicites pour la résolution temporelle, d’un point de vue spatial une<br />
méthode éléments finis est décrite pour les équations Lagrangiennes, <strong>et</strong> une méthode<br />
de volumes finis (méthodes de flux) pour les équations de transport. Dans la deuxième<br />
partie, la méthode de couplage, méthode de pénalité, est décrite. La précision de la<br />
méthode dépend du choix de la raideur de pénalité. Pour pallier les eff<strong>et</strong>s d’oscillations<br />
générés par des phénomènes numériques de grande fréquence, un amortissement<br />
est alors ajouté à la formulation numérique du couplage.<br />
C<strong>et</strong> ouvrage est le fruit d’une collaboration entre les différents membres du Groupe<br />
de Recherche « <strong>Interaction</strong>s <strong>Fluide</strong>-<strong>Structure</strong> » (GdR IFS), qu’ils soient issus du monde<br />
académique ou du monde industriel, <strong>et</strong> des travaux qui ont été présentés lors de rencontres<br />
scientifiques, de journées thématiques <strong>et</strong> de l’école d’été du GdR IFS. Les<br />
éditeurs <strong>et</strong> les auteurs remercient l’ensemble des participants du GdR IFS, qui sont<br />
donc les contributeurs directs ou indirects de c<strong>et</strong> ouvrage.<br />
Jean-François SIGRIST<br />
M’hamed SOULI