Introduction aux problèmes mal posés. - LAAS CNRS

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Introduction aux problèmes mal posés.
Lionel Ségui
GdT Ignotus LAAS-CNRS
18 janvier 2007

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Qu’est-ce qu’un problème bien posé ?
La notion de problème bien posé (Hadamard).
Soit A : U ⊂ X → Y un opérateur, X et Y espaces normés.
L’équation
Aϕ = f
est dite bien posée si :
la solution ϕ existe pour tout f de Y (surjectivité de A),
elle est unique (injectivité de A),
elle dépend continûment de la donnée f :
∀ε > 0, ∃δ tel que ∣ ∣f − f ′∣ ∣
Y
< δ ⇒ ∣ ∣ϕ − ϕ ′∣ ∣
X
< ε, avec Aϕ ′ = f ′ .
Sinon, on dit que l’équation est mal posée.

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Exemple typique : les opérateurs compacts en dimension
infinie.
Opérateur compact : l’image d’un borné est relativement compacte
(i.e. d’adhérence compacte).
Théorème
Soit A : U ⊂ X → Y opérateur compact continu, X et Y espaces
normés. Alors si U est de dimension infinie, l’équation Aϕ = f est
mal posée.
En dimension ∞, l’inverse d’un opérateur compact n’est pas
continu.
Conséquence : lorsqu’on recherche une solution approchée, plus on
va rechercher une approximation de qualité (dimension finie
d’espace ↗), plus le problème approché va être mal conditionné
(instabilités rédhibitoires)⇒ nécessité de régulariser.

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Construire des solutions approchées stables aux problèmes
mal posés.
A injectif ; connaissant un second membre perturbé f δ avec un
niveau d’erreur connu ∣ ∣∣f δ − f ∣ ≤ δ,
Y
on souhaite approximer la solution ϕ de Aϕ = f .
f ∈ A(X ) = Im(A) := {Aϕ : ϕ ∈ X } ⇒ ∃! solution de Aϕ = f
Par contre rien ne dit que f δ ∈ A(X ) ! Connaissant f δ , on souhaite
contruire ϕ δ approximation stable de ϕ solution de Aϕ = f : il faut
approximer l’opérateur inverse non borné A −1 : A(X ) → X par
l’opérateur borné R : Y → X .

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Définition
Soit A : X → Y (espaces normés) un opérateur linéaire borné
injectif. La famille des opérateurs linéaires bornés R α : Y → X ,
α > 0, telle que
lim
α→0 R αAϕ = ϕ
pour tout ϕ ∈ X (convergence simple) est appelée "schéma
régularisant de l’opérateur A".
α : paramètre de régularisation.
Si A est un opérateur compact en dimension ∞, alors la
convergence simple
R α f α→0 −→ A −1 f
ne peut pas être uniforme.

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
On approxime la solution ϕ de Aϕ = f par la solution régularisée
Alors
ϕ δ α = R α f δ .
ϕ δ α − ϕ = R α f δ − R α f + R α Aϕ − ϕ
⇒ ∣ ∣ϕ δ α − ϕ ∣ ∣
X
≤ δ ‖R α ‖ + |R α Aϕ − ϕ| X
.
Le premier terme croît lorsque α → 0 alors que le deuxième décroît.
Pour que le schéma soit optimal, on choisit α(δ) minimisant
∣ ϕ
δ
α − ϕ ∣ X
.
Définition
Le schéma régularisant R α , α > 0 est dit régulier si pour tout
f ∈ A(X ) et f δ ∈ Y tels que ∣ ∣f − f δ∣ ∣
Y
≤ δ on a
R α(δ) f δ → A −1 f lorsque δ → 0.

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Principe de décalage de Morozov.
Principe
Si l’on considère des données bruitées, le résidu ‖Aϕ − f ‖ Y ne peut
être inférieur à la précision de mesure δ de f : le paramètre α est
ainsi choisi de sorte que
‖AR α f δ − f δ ‖ Y = γδ, avec γ ≥ 1.
Ce principe est théoriquement essentiel, mais d’un intérêt pratique
limité : il permet, lors de la recherche (souvent empirique) de la
régularisation optimale à niveau de bruit δ fixé de définir un critère
"quantitatif" d’arrêt.

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Généralisation de la décomposition spectrale des opérateurs
compacts autoadjoints.
Théorème
X espace de Hilbert. Soit A : X → X opérateur compact
autoadjoint
(Aϕ, ψ) = (ϕ, Aψ) , ∀ϕ, ψ ∈ X ,
avec A ≠ 0. Alors les valeurs propres de A sont réelles. L’opérateur
A possède au moins une valeur propre non nulle, et au plus un
ensemble dénombrable de valeurs propres de point d’accumulation
zéro.
Ces valeurs propres ≠ 0 ont une multiplicité finie, i.e. leurs
sous-espaces propres associés sont de dimension finie, et les
vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont
orthogonaux entre eux.

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
On ordonne ces v.p. non nulles de la manière suivante :
|λ 1 | ≥ |λ 2 | ≥ |λ 3 | ≥ ...,
chaque valeur propre étant répétée selon sa multiplicité. On pose
(ϕ n ) n
la suite orthonormale des vecteurs propres correspondants.
Chaque ϕ ∈ X peut s’écrire
ϕ =
∞∑
(ϕ, ϕ n ) ϕ n + Qϕ,
n=1
où Q : X → N(A) désigne la projection orthogonale de X sur
N(A) = {ϕ ∈ X : Aϕ = 0}. Alors (décomposition spectrale de A)
Aϕ =
∞∑
λ n (ϕ, ϕ n ) ϕ n .
n=1

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Opérateurs compacts quelconques
A : X → Y opérateur borné, X et Y Hilberts.
Définition
Il existe un unique opérateur borné A ∗ : Y → X (adjoint de A) tel
que
(Aϕ, ψ) Y
= (ϕ, A ∗ ψ) X
, ∀ϕ ∈ X et ψ ∈ Y
Propriétés :
A(X ) ⊥ = N(A ∗ ) et N(A ∗ ) ⊥ = A(X ).
Si A : X → Y est un opérateur compact linéaire, alors A ∗ est
également compact.
l’opérateur A ∗ A : X → X est un opérateur compact
autoadjoint positif :
(A ∗ Aϕ, ϕ) X
= (Aϕ, Aϕ) Y
= (ϕ, A ∗ Aϕ) X
≥ 0

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Les racines carrées (réels positifs) des valeurs propres de A ∗ A sont
appelées valeurs singulières de A, ordonnées de la manière suivante :
µ 1 ≥ µ 2 ≥ µ 3 ≥ ...,
en répétant les multiplicités conformément à dim ( µ 2 nI − A ∗ A ) .
Alors il existe des suites orthonormales (ϕ n ) n
de X et (g n ) n
de Y
telles que
Aϕ n = µ n g n et A ∗ g n = µ n ϕ n , ∀n ∈ N
Pour tout ϕ ∈ X , on a la décomposition en valeurs singulières
∞∑
ϕ = (ϕ, ϕ n ) ϕ n + Qϕ,
n=1
où Q désigne la projection de X sur N(A) noyau de A, et
∞∑
Aϕ = µ n (ϕ, ϕ n ) g n .
n=1
(µ n , ϕ n , g n ) : système singulier de A.

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Le théorème de Picard
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur compact linéaire de système singulier
(µ n , ϕ n , g n ) n
. L’équation
Aϕ = f
peut être résolue ssi f ∈ N(A ∗ ) ⊥ = A(X ), et vérifie
∞∑
1
µ 2 n=1 n
Une solution est alors donnée par
ϕ =
∞∑
n=1
|(f , g n ) Y
| 2 < ∞.
1
µ n
(f , g n ) Y
ϕ n .

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
En effet, µ n (ϕ, ϕ n ) X
= (ϕ, A ∗ g n ) X
= (Aϕ, g n ) Y
= (f , g n ) Y
.
Le théorème de Picard illustre bien la nature mal posée de
l’équation Aϕ = f : un second membre perturbé f δ = f + δg n
donne la solution perturbée ϕ δ = ϕ + δϕ n /µ n . Alors le rapport
∣
∣ϕ δ − ϕ ∣ ∣
X
|f δ − f | Y
= 1 µ n
peut être rendu aussi grand que l’on veut puisque les valeurs
singulières tendent vers zéro ! Idée : régulariser en amortissant ou
en filtrant l’influence des 1/µ n de manière sélective.

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur injectif compact linéaire de système
singulier (µ n , ϕ n , g n ) n
, et soit q : (0, ∞) × (0, ‖A‖] → R une
fonction bornée telle que pour tout α > 0 il existe une constante
positive c(α) avec
|q (α, µ)| ≤ c(α)µ, 0 ≤ µ ≤ ‖A‖ ,
et lim α→0 q (α, µ) = 1, 0 ≤ µ ≤ ‖A‖. Alors les opérateurs linéaires
bornés R α : Y → X , α > 0, définis par
R α f :=
∞∑
n=1
1
µ n
q (α, µ n ) (f , g n ) Y
ϕ n , f ∈ Y
décrivent un schéma régularisant avec ‖R α ‖ ≤ c(α).

Généralités.
Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Pour α fixé, q(α, µ) représente une "unité approchée", qui
joue le rôle d’un filtre : on la souhaite proche de 1 si µ
"grand", et telle que q(α, µ)/µ reste borné lorsque µ → 0.
Deux exemples :
La coupure spectrale,
La régularisation de Tychonov.

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Soit α = 1/m ; on pose
( ) 1
q
m , µ n =
{ 1 si n ≤ m
0 si n > m.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur injectif compact linéaire de système
singulier (µ n , ϕ n , g n ) n
. Alors la coupure spectrale
R m f :=
∑
µ n≥µ m
1
µ n
(f , g n ) Y
ϕ n
décrit un schéma régularisant de paramètre m, et ‖R m ‖ = 1/µ m .

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Principe de décalage pour la coupure spectrale.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur compact linéaire injectif à image
dense dans Y . Soit f ∈ A(X ), f δ ∈ Y tels que ∣ ∣ f − f
δ ∣ ∣
Y
≤ δ, avec
δ > 0, et soit γ > 1. Alors il existe un plus petit entier m = m(δ)
tel que
∣ ∣∣ARm
f δ − f δ ∣ ∣∣Y
≤ γδ
soit vérifié, et
R m(δ) f δ → A −1 f , lorsque δ → 0 (alors m → ∞).

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Méthodes de régularisation.
Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur linéaire compact. Alors pour chaque
α > 0, l’opérateur αI + A ∗ A : X → X est bijectif et a un inverse
borné. De plus, si A est injectif, alors
R α := (αI + A ∗ A) −1 A ∗
décrit un schéma régularisant, avec ‖R α ‖ ≤ 1/(2 √ α).
L’opérateur A ∗ A étant autoadjoint positif, on a
(αϕ + A ∗ Aϕ, ϕ) X
≥ α |ϕ| 2 X
⇒ si α > 0, alors αI + A ∗ A est bijectif.

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Soit (µ n , ϕ n , g n ) n
le système singulier de A, Q : X → N(A) la
projection orthogonale. Alors T : X → X défini par
T ϕ :=
∞∑ 1
α + µ 2 (ϕ, ϕ n ) ϕ n + 1
n
α Q (ϕ)
n=1
est borné et vérifie
(αI + A ∗ A)T = T (αI + A ∗ A) = I ⇔ T = (αI + A ∗ A) −1 . Si A est
injectif, alors Q = 0, et on déduit pour l’unique solution ϕ α de
de (A ∗ f , ϕ n ) X
= µ n (f , g n ) Y
que
ϕ α =
αϕ α + A ∗ Aϕ α = A ∗ f ,
∞∑ µ n
α + µ 2 (f , g n ) Y ϕ n .
n
n=1

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Alors R α est bien un schéma régularisant, avec q(α, µ) = µ2
α+µ 2 . La
fonction q est bornée :
0 < q(α, µ) < 1,
et vérifie la condition q(α, µ) ≤ c(α)µ, avec c(α) = 1
2α (car
√ αµ ≤
α+µ 2
2
).

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Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Interprétation de la régularisation de Tychonov en terme de
problème d’optimisation sous contrainte.
Théorème
Soit A un opérateur compact linéaire et soit α > 0. Alors pour
chaque f ∈ Y il existe un unique ϕ α ∈ X tel que
|Aϕ α − f | 2 Y + α |ϕ α| 2 X = inf
ϕ∈X |Aϕ − f |2 Y + α |ϕ|2 X .
La valeur ϕ α est l’unique solution de
et dépend continûment de f .
αϕ α + A ∗ Aϕ α = A ∗ f ,

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Deux manières différentes d’interpréter ce problème d’optimisation :
Pour δ > 0 donné, minimiser la norme |ϕ| X
sous la contrainte
|Aϕ − f | Y
≤ δ (principe de décalage),
Pour ρ > 0 donné, minimiser |Aϕ − f | Y
sous la contrainte
|ϕ| X
≤ ρ (concept de quasi-solution).

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Le principe de décalage.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur compact linéaire injectif à image
∣dense dans Y . Soit f ∈ A(X ), f δ ∈ Y tels que
∣f − f δ∣ ∣
Y
≤ δ ≤ ∣ ∣f δ∣ ∣
Y
, avec δ > 0. Alors il existe un unique
paramètre α = α(δ) tel que
∣
∣
∣AR α f δ − f δ ∣∣Y
= δ,
et R α(δ) f δ → A −1 f lorsque δ → 0.

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Le concept de quasi-solution.
La coupure spectrale.
La régularisation de Tychonov.
Idée : restreindre l’ensemble des solutions à un sous-ensemble de X ,
et minimiser l’écart |Aϕ − f | Y
sur cet ensemble.
Théorème
Soit A : X → Y un opérateur compact linéaire injectif et soit
ρ > 0. Alors pour chaque f ∈ Y il existe un unique ϕ 0 ∈ X , avec
|ϕ 0 | X
≤ ρ, tel que
|Aϕ 0 − f | Y
≤ |Aϕ − f | Y
, pour tout |ϕ| X
≤ ρ.
ϕ 0 : quasi-solution de Aϕ = f avec contrainte ρ.

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Opérateurs non-linéaires.
Théorème
Soit A : U ⊂ X → Y un opérateur compact non-linéaire (aussi
désigné par opérateur complètement continu) d’un ouvert U d’un
espace normé X dans un espace de Banach Y . On suppose que A
est différentiable au sens de Fréchet en ψ ∈ U. Alors la dérivée A ′ ψ
est un opérateur compact.
Ce résultat illustre le fait que la linéarisation d’un problème
non-linéaire mal posé mène à un problème encore mal-posé.

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Décomposition en valeurs singulières.
Familles régularisantes.
Opérateurs non-linéaires.
Références.
D. COLTON et R. KRESS. Inverse Acoustic and
Electromagnetic Scattering Theory (Chapitre 4 : Ill-posed
problems), volume 93 of Applied Mathematical Sciences,
Springer Verlag.
A. KIRSCH. An Introduction to the Mathematical Theory of
Inverse Problems, volume 120 of Applied Mathematical
Sciences, Springer Verlag.
V. ISAKOV. Inverse Problems for Partial Differential
Equations, volume 127 of Applied Mathematical Sciences,
Springer Verlag.