mesures 2D et 3D Polycopié de cours— 2002/2003

Optique C1— 18851
Images optiques; mesures 2D et 3D
Polycopié de cours— 2002/2003
Conservatoire National des Arts et Métiers
Yves Surrel, chaire d’instrumentation

Table des matières
I Diffraction et formation des images 11
1 Diffraction de Fraunhofer 13
1.1 Amplitude complexe d’une onde monochromatique . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Développement limité de l’onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Transparence en amplitude - Cas de la lentille . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Principe d’Huygens - Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Conditions d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Amplitude diffractée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3 Fente unique et fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Formation des images en éclairage cohérent 33
2.1 Double diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Filtrage des fréquences spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Strioscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Contraste de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Détramage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Reconnaissance de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Fonction de transfert de modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Formation des images en éclairage incohérent 41
II Mesures 2D et 3D 45
4 Traitement des franges et détection numérique de phase 47
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 L’importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Le décalage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Nombre d’inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3

4 TABLE DES MATIÈRES
4.3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.4 Diagramme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.5 Algorithme N-pas ou TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.6 Sources d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.7 Algorithme TFD-fenêtré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.8 Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Méthodes géométriques de mesures 55
5.1 Lumière structurée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Le dépliement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.2 Dépliement spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3 Dépliement temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Méthode de la grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Petits déplacements, grands déplacements, déformations . . . . . . 64
5.3.3 Mesure des deux composantes du déplacement . . . . . . . . . . . . 65
5.3.4 Moiré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Déflectométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Méthodes interférométriques 73
6.1 Vecteur sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 Rappel sur les interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2 Interactions lumière-surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3 Vecteur sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Interférométrie type Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Interférométrie holographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.1 Principe de l’holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.2 Interférométrie holographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Moiré interférométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.1 Réseau de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.2 Montage du moiré interférométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.3 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Interférométrie différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Techniques basées sur le speckle laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.1 Speckle objectif et speckle subjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.2 Interférométrie de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6.3 Corrélation de speckle (Speckle photography) . . . . . . . . . . . . . 99
6.7 Photoélasticimétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7.1 Description de la lumière polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7.2 Déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.7.3 La photoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7.4 Lames d’onde et polariseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

TABLE DES MATIÈRES 5
6.7.5 Isochromatiques et isoclines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.7.6 Décalage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 TABLE DES MATIÈRES

Table des figures
1.1 Onde sphérique divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Image d’un point par une lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Construction d’Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Conditions d’observation de la diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . 18
1.5 Calcul de l’amplitude diffractée (diffraction de Fraunhofer) . . . . . . . 19
1.6 Diffraction par un trou rectangulaire, de hauteur deux fois plus grande que
la largeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Amplitude diffractée par un système de deux fentes d’Young, avec e = 5a 23
1.8 Intensité diffractée par un système de deux fentes d’Young, avec e = 5a . 23
1.9 Diffraction par deux trous rectangulaires, de hauteur b deux fois plus grande
que la largeur a, et séparées par une distance égale à e = 5a. . . . . . . . . 24
1.10 Tache d’Airy : figure de diffraction d’un trou circulaire. . . . . . . . . . . 25
1.11 Amplitude diffractée par un réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Intensité diffractée par un réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13 Illustration du critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.14 Coupe d’un réseau miroitant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.15 Intensité diffractée par un réseau miroitant, pour la longueur d’onde pour
laquelle il concentre la lumière dans l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Montage de double diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Tramage d’une photographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Reconnaissance de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 FTM en éclairage cohérent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Pupilles d’entrée et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Représentation de la fonction K(w) donnée par l’équation (3.7) . . . . . . 42
3.2 Représentation de la FTM en éclairage incohérent. . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Diagramme caractéristique correspondant au polynôme 4.11 (a) Décalage
de phase arbitraire b) Décalage de phase optimum. . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Fenêtrage triangulaire opéré par l’algorithme TFD fenêtré . . . . . . . . . 52
5.1 Principe de la profilométrie par projection de lumière structurée (a) Projection
parallèle (b) Projection conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7

8 TABLE DES FIGURES
5.2 Mise en œuvre de la profilométrie par projection avec un projecteur vidéo. 57
5.3 Propagation d’une erreur de dépliement de phase. Le cercle est centré à
l’origine de l’erreur (pixel bruité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Dépliement de phase par lissage spatial. À gauche, des coupes horizontales.
(a) image de phase bruitée (b) image de phase après un lissage spatial (c)
image de phase lissée dépliée (d) Image de phase bruitée et dépliée . . . . . 59
5.5 Numérotation des franges par projection de masques successifs . . . . . . . 60
5.6 Dépliement temporel de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7 Dépliement de phase en utilisant le concept de longueur d’onde synthétique 62
5.8 Déplacements directs et inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.9 Translations du spectre dûs à l’effet de moiré . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 Augmentation des déformations par le moiré . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.12 Déflectométrie : remplacement de la fente par une grille (l’éclairage de l’objet
n’est plus représenté). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.13 Cartographie du champ de pentes pour une pièce de germanium usinée avec
un outil diamant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.11 Montage de déflectométrie, utilisant une fente. S : source ponctuelle, BS :
lame semi-réfléchissante, FL : lentille de champ, IL : lentille d’imagerie . . 71
6.1 Différents modes d’interaction de la lumière sur une surface . . . . . . . . . 74
6.2 Définition du vecteur sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Principe de la mesure interférométrique de formes de surfaces . . . . . . . 77
6.4 Montage interférométrique de Twymann-green pour l’étude interférométrique
de la géométrie des surfaces réfléchissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Image interférométrique d’une cale étalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6 Carte des écarts d’épaisseur pour la cale de la Fig. 6.5. . . . . . . . . . . . 78
6.7 Montage d’enregistrement holographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.8 Restitution holographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.9 Deux états de la surface d’un objet vibrant correspondant aux deux positions
extrêmes de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.10 Vecteurs sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.11 Intensité des franges de Bessel (trait plein) observées en temps moyenné.
En pointillé, l’intensité fictive correspondant aux franges d’interférence entre
les deux positions extrêmes des vibrations de la surface. . . . . . . . . . . . 83
6.12 Diffraction par un réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.13 Principe du moiré interférométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.14 Vecteurs sensibilité pour le moiré interférométrique . . . . . . . . . . . . . 85
6.15 Effet de relief créé par la présence de grains métalliques aux endroits exposés. 86
6.16 Montage à trois miroirs pour le moiré interférométrique . . . . . . . . . . . 87
6.17 Techniques de dédoublement de l’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.19 Configuration de quatre vecteurs d’onde d’éclairage possibles . . . . . . . . 90
6.18 Déplacement différentiel de deux points voisins. . . . . . . . . . . . . . . . 90

TABLE DES FIGURES 9
6.20 Nouveaux vecteurs sensibilité résultant de combinaisons linéaires sur les
cartes de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.21 Diffusion aléatoire de la lumière par la micro-rugosité d’une surface . . . . 94
6.22 Speckle subjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.23 Montage d’interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements hors
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.24 Montage d’interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements plans. 99
6.25 Dépouillement ponctuel dans le cas d’une mesure de déplacement par photographie
de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.26 Signification des composantes du tenseur des déformations . . . . . . . . . 102
6.27 Lame biréfringente sous incidence normale. Les directions 1 et 2 sont celles
des directions principales simultanées du tenseur des déformations et du
tenseur permittivité diélectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.28 Lame d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.29 Polariseur circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.30 Passage de la lumière « circulaire » à la lumière « rectiligne » . . . . . . . 107
6.31 Directions de polarisation et directions principales de déformation . . . . . 110

10 TABLE DES FIGURES

Première partie
Diffraction et formation des images
11

Chapitre 1
Diffraction de Fraunhofer
On considère dans tout ce chapitre que la lumière est monochromatique.
1.1 Amplitude complexe d’une onde monochromatique
Pour une lumière monochromatique, l’expression du champ est :
f r ( −→ r , t) = R[f( −→ r ) exp(−i 2πνt)] (1.1)
où f( −→ r ) est l’amplitude complexe de l’onde (ce n’est autre que le « vecteur de Fresnel »
bien connu des électriciens). Une onde plane correspond à une amplitude complexe :
f( −→ r ) ∝ exp[i ( −→ k . −→ r + φ)] (1.2)
où φ est un constante et où :
−→ 2π k =
−→ n (1.3)
λ
est le vecteur d’onde ( −→ n est le vecteur unitaire de la direction de propagation de l’onde).
La surface d’onde (ou surface équiphase) est définie par la relation :
−→ k .
−→ r + φ = cte (1.4)
ce qui est l’équation d’une famille de plans perpendiculaires à −→ k .
Si l’on prend l’origine des phases à l’origine des coordonnées, on a φ = 0 dans les
formules ci-dessus.
Une onde sphérique divergente correspond à une amplitude complexe :
f( −→ exp[i kr + φ)]
r ) ∝ (1.5)
r
où −→ r est le rayon vecteur allant de la source de l’onde vers le point d’observation. Le
flux lumineux de l’onde varie en 1/r 2 . Il y a donc conservation de l’énergie à travers toute
sphère centrée sur la source. Une onde convergente a l’amplitude complexe conjuguée.
Si l’on prend l’origine des phases à l’origine des coordonnées, on a φ = 0 dans la formule
ci-dessus.
13

14 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
1.2 Développement limité de l’onde sphérique
Pour mener à bien le calcul de la superposition des ondes sphériques émises par les
sources secondaires d’Huygens considérées sur l’objet diffractant, il est utile au préalable
de réaliser un développement limité de l’amplitude complexe d’une onde sphérique au
voisinage de son axe (Figure 1.1) :
PSfrag replacements
α
ξ, η
M
Σ
C
d
P
S
Fig. 1.1 – Onde sphérique divergente
D’après la formule (1.1), l’amplitude complexe en M de l’onde sphérique divergente
représentée sur la Figure 1.1 est, si l’origine des phases est prise en C :
f( −→ r ) =
exp(i kr)
r
=
exp(i k CM)
CM
(1.6)
avec −→ r = −−→ CM.
Il est clair que la variation d’amplitude due à la présence de CM au dénominateur est
négligeable devant la variation de phase de l’exponentielle complexe, puisque d ≫ λ. Au
dénominateur, on posera donc CM ≈ d.
Pour x et η très petits devant d, on peut poser pour le point M de coordonnées (ξ, 0)
dans le plan frontal passant par P :
et :
Soit :
CM = CP + P S = d + CM [1 − cos(α)] ≈ d + d α2
2
α ≈ ξ d
CM = d + ξ2
2d
(1.7)
(1.8)
(1.9)

1.3. TRANSPARENCE EN AMPLITUDE - CAS DE LA LENTILLE 15
Pour un point M de coordonnées (ξ, η), on trouve de même :
CM = d + ξ2 + η 2
L’amplitude complexe de l’onde au point M est donc :
)
exp(i kd)
f(ξ, η) ≈ exp
(i k ξ2 + η 2
d
2d
En appelant −→ ρ le vecteur de coordonnées (ξ, η), on a :
f( −→ ρ ) =
exp(i kd)
d
2d
exp
) (i k ρ2
2d
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Le premier facteur du deuxième membre de l’équation (1.12) est l’amplitude complexe d’un
plan d’onde Π, affecté d’un coefficient de décroissance dû à la distance d. Le deuxième terme
est un facteur de phase quadratique, caractéristique de l’onde sphérique. Il est facile de voir
qu’une onde convergente aura un facteur de phase quadratique conjugué.
En général, le terme de propagation exp(i kd) est de peu d’intérêt. On prend alors
l’origine des phases au niveau de l’axe où l’on travaille, c’est-à-dire en P sur la Figure 1.1.
Dans ce cas, l’amplitude complexe d’une onde sphérique divergente se réduit à :
f( −→ )
ρ ) = exp
(i k ρ2
(1.13)
2d
et celle d’une onde sphérique convergente à :
f( −→ ρ ) = exp
) (−i k ρ2
2d
(1.14)
1.3 Transparence en amplitude - Cas de la lentille
L’effet d’une lentille convergente ou divergente peut se décrire très simplement dans le
cadre de ces approximations. Tout d’abord, considérons un objet plan transparent éclairé
par une onde incidente d’amplitude complexe f i . Appelons f e l’amplitude complexe de
l’onde émergente. Les fonctions f i et f e désignent ces amplitudes respectivement juste
avant et juste après l’objet. On appellera transparence en amplitude de l’objet et l’on
notera t le rapport :
de sorte que l’onde émergente a l’amplitude complexe :
t = f e
f i
(1.15)
f e = t f i (1.16)

16 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
Une lentille divergente transforme une onde plane en une onde divergente. Si l’on prend
l’origine des phases au niveau du plan de la lentille, l’amplitude complexe d’une onde
incidente plane est :
f i = 1
et l’amplitude complexe de l’onde émergente est :
)
f e = exp
(i k ρ2
2f
(1.17)
où f est la distance focale de la lentille. Donc, la transparence en amplitude d’une lentille
divergente est :
)
t(ρ) = exp
(i k ρ2
(1.18)
2f
De la même façon, celle d’une lentille convergente est :
)
t(ρ) = exp
(−i k ρ2
2f
(1.19)
Prenons maintenant une lentille convergente éclairée par une onde sphérique issue d’un
point source A (Figure 1.2) situé à une distance d avant la lentille. L’amplitude complexe
PSfrag replacements
A
d d ′
B
Fig. 1.2 – Image d’un point par une lentille
de l’onde incidente est, dans le plan de la lentille :
f i (ρ) = exp
et celle de l’onde émergente est égale à :
) (i k ρ2
2d
)
f e (ρ) = exp
(−i k ρ2
2d ′
(1.20)
(1.21)

1.4. PRINCIPE D’HUYGENS - FRESNEL 17
mais elle est aussi égale à :
f e (ρ) = t(ρ) f i (ρ) = exp
) (−i k ρ2
exp
2f
) (i k ρ2
2d
(1.22)
On en déduit que nécessairement :
1
f = 1 d + 1 (1.23)
d ′
ce qui n’est rien d’autre que la loi de conjugaison des lentilles simples.
1.4 Principe d’Huygens - Fresnel
C’est en 1818 qu’Augustin Jean Fresnel (1788-1827) remporte le prix de l’Académie
des Sciences de Paris avec un mémoire où, pour expliquer les phénomènes de diffraction qui
constituaient le thème du concours, il fait la synthèse du principe de construction de surfaces
d’ondes d’Huygens et du principe d’interférences d’Young. Le principe d’Huygens
pose que tout élément d’une surface d’onde Σ(t) peut être considérée comme une source
élémentaire émettant des ondelettes sphériques centrées sur cet élément, et que la surface
d’onde Σ(t + dt) à un instant ultérieur n’est autre que l’enveloppes de ces ondelettes
élémentaires à cet instant (Figure 1.3). Le principe d’interférences d’Young est simple-
Σ(t)
P ¥
Σ(t + dt)
¥ M
Fig. 1.3 – Construction d’Huygens
ment le fait que les champs émis par les différentes ondelettes vont interférer, c’est-à-dire
s’ajouter.
Nous nous bornerons ici à l’énoncé du « principe » d’Huygens-Fresnel énoncé de la
manière suivante : un élément dS centré au point P de la surface d’onde Σ(t) où la champ
incident a l’amplitude A émet une onde sphérique dont l’amplitude du en un point M de
la surface d’onde Σ(t + dt) est :
du = − i λ
exp(i kr)
r
K(θ) A dS (1.24)
où K(θ) est un facteur d’inclinaison dépendant de l’angle entre la normale à Σ(t) en P
et la direction du vecteur P −−→ M et où r = P M. L’interférence (c’est-à-dire la somme) de
toutes ces ondes reconstitue les surfaces d’ondes ultérieures. On supposera en outre que le
facteur d’inclinaison K(θ) est très voisin de 1 quand θ est petit.

18 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
1.5 Diffraction de Fraunhofer
Nous allons maintenant retrouver à l’aide de ce principe que dans le cas des conditions
de Fraunhofer, il existe une relation de transformée de Fourier entre la transparence
en amplitude de l’écran diffractant et l’amplitude diffractée.
1.5.1 Conditions d’observation
Pour observer une figure de diffraction de Fraunhofer, if faut que la source
soit ponctuelle, c’est-à-dire que l’on soit dans le cas de cohérence spatiale
parfaite.
Dans ce cas, on observe la diffraction de Fraunhofer :
– soit lorsque l’onde d’éclairage est plane et l’observation de la figure de diffraction
se fait à une distance grande devant la taille de l’ouverture diffractante (Figure 1.4
haut) ;
– soit lorsque l’on observe dans un plan où se forme l’image de la source, c’est-à-dire
au niveau d’un point de convergence du faisceau (Figure 1.4 bas) ;
Onde plane
plan diffractant
ξ
M
α
d « grande »
PSfrag replacements
Onde sphérique
plan diffractant
ξ
M
α
d
Fig. 1.4 – Conditions d’observation de la diffraction de Fraunhofer

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 19
On a dans ces cas :
α ≈ ξ (1.25)
d
et les formules respectives avec les variables β et η définies dans le plan perpendiculaire à
celui de la Figure 1.4 contenant l’axe optique. On suppose que les angles α et β sont petits
devant 1.
Le premier cas où intervient une onde plane nécessite évidemment une source ponctuelle
; en effet, une onde plane s’obtient en mettant une source ponctuelle au foyer d’une
lentille.
1.5.2 Amplitude diffractée
Appelons −→ r le vecteur de coordonnées (x, y) dans le plan de l’objet diffractant, et t( −→ r )
la fonction de transparence en amplitude de celui-ci, à support borné. Supposons cet objet
éclairé par une onde sphérique convergeant au centre Ω du plan d’observation (Q) (Figure
1.5). Ceci correspond aux conditions de Fraunhofer de la Figure 1.4c.
r()
x y
(P)
C
O
M
(Q)
ρ()
ξ η
Ω
d
Fig. 1.5 – Calcul de l’amplitude diffractée (diffraction de Fraunhofer)
L’amplitude complexe incidente f i sur le plan (P ) où se trouve l’objet diffractant est,
si l’on prend l’origine des phases en O :
f i ( −→ ( −→ ) r
2
r ) ∝ exp −i k
(1.26)
2d
L’amplitude émergente au niveau de (P ) est donc :
f e ( −→ r ) ∝ t( −→ ( −→ ) r
2
r ) exp −i k
2d
(1.27)
Les sources élémentaires d’Huygens de surface dS = dx dy vont émettre des ondes
sphériques d’amplitude du xy proportionnelles à dS et à f e (formule (1.24) :
du xy ( −→ ρ ) ∝ − i exp(i ks)
K(θ) t( −→ ( −→ ) r
2
r ) exp −i k dS (1.28)
λ s
2d

20 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
avec s = CM. Les variations de l’angle θ entre la normale à la surface d’onde primaire et
la direction d’observation sont supposées être suffisamment faibles dans les conditions de
Fraunhofer pour que les variations de K(θ) soient négligées. On posera donc K(θ) ≈ 1.
Au voisinage du point M, l’amplitude complexe reçue est, en faisant le développement
limité (1.12) de l’onde sphérique et en appelant −→ ρ le vecteur de coordonnées (ξ, η) :
du xy ( −→ ρ ) ∝ − i
λd t(−→ r ) exp(i kd) exp
[i k (−→ r − −→ ] (
ρ ) 2
−→ ) r
2
exp −i k dS
2d
2d
= − i
) ( −→ (i k ρ2
r .
−→ ) ρ
exp −i k dS (1.29)
λd t(−→ r ) exp(i kd) exp
= − i
λd t(−→ r ) exp(i kd) exp
2d
(i k ρ2
2d
)
exp
(
−i 2π
d
−→ r .
−→ ρ
λd
)
dS
Si l’on pose :
exp(iφ) = exp
) (i k ρ2
2d
l’amplitude totale recueillie en M peut alors s’écrire :
u( −→ ρ ) = ∫ (P ) du xy( −→ ρ )
∝ − i
λd exp(i kd) exp(iφ) ∫ t(−→ r ) exp
(P )
= − i
( −→ρ )
λd exp(i kd) exp(iφ) ̂t
λd
( −→ r .
−→ ) ρ
−i 2π dx dy
λd
(1.30)
(1.31)
On retrouve donc le fait que l’amplitude diffractée est proportionnelle à la transformée
de Fourier de la transparence de l’objet diffractant. Il y a en plus un facteur de phase
d’onde sphérique centrée sur l’objet diffractant, accompagné d’un facteur d’amplitude
d’onde sphérique en 1/d, un facteur de phase de quadrature avance (le facteur −i), et
un facteur de phase exp(i kd) introduit par la propagation de l’onde sur une distance d. Si
l’on ne tient compte que des variations en fonction de ρ , on obtient finalement :
( −→ρ )
u(ρ) ∝ exp(iφ) ̂t
λd
(1.32)
Si l’on travaille avec les coordonnées, donc avec une fonction transparence t(x, y), l’amplitude
diffractée au point (ξ, η) s’écrit de façon analogue :
( ) ξ
u(ξ, η) ∝ exp(iφ) ̂t
λd , η
λd
(1.33)
Cette formule s’étend naturellement aux autres cas de diffraction de Fraunhofer signalés
sur la Figure 1.4.
De manière plus générale, on peut dire que :

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 21
l’amplitude diffractée, débarrassée du facteur de phase d’onde sphérique
divergente, est la transformée de Fourier de l’amplitude émergente f e ( −→ r )
débarrassée du facteur de phase d’onde sphérique convergente.
1.5.3 Fente unique et fentes d’Young
Il est maintenant très simple d’obtenir les figures de diffraction créées par quelques
objets diffractants simples.
Une fente de largeur a et de hauteur b a une fonction de transparence :
( x
) ( y
)
t(x, y) = Π Π
(1.34)
a b
où Π est la fonction rectangle définie par :
⎧
⎨ Π(u) = 1 si − 1 2 ≤ u ≤ 1 2
⎩
Π(u) = 0 sinon
(1.35)
L’amplitude diffractée en un point de coordonnées (ξ, η) d’un plan situé à une distance d
est, compte non tenu du facteur de phase sphérique (n’intervenant pas dans l’intensité) :
( ) ( ) ( )
ξ
f(ξ, η) ∝ ̂t
λd , η
aξ bη
= ab sinc sinc
(1.36)
λd
λd λd
Le carré du module de cette expression, c’est-à-dire l’intensité diffractée est :
( ) ( )
aξ bη
I(ξ, η) = I(0, 0)sinc 2 sinc 2
λd λd
(1.37)
Cette intensité ressemble à un « pavage » dont l’allure est représentée sur la Figure 1.6.
L’annulation de la fonction sinus cardinal se faisant pour les arguments entiers, les abscisses
ξ k d’intensité nulle sur l’axe des ξ sont :
ξ k = k λd
a
et les ordonnées η m d’intensité nulle sur l’axe des η sont :
η m = m λd
b
k ∈ Z (1.38)
m ∈ Z (1.39)
La tache centrale est donc deux fois plus large et haute que les taches secondaires. D’autre
part, plus la fente est allongée dans une direction, plus la figure de diffraction sera allongée
dans la direction orthogonale.
Le cas de deux fentes parallèles décalées d’une quantité e s’en déduit. La transparence
de l’objet diffractant est dans ce cas :
t(x, y) =
[
Π
( x
) ( y
)]
Π ⋆
a b
[ (
δ x − e ) (
+ δ x + e )]
2 2
(1.40)

22 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
Fig. 1.6 – Diffraction par un trou rectangulaire, de hauteur deux fois plus grande que la
largeur.
L’amplitude diffractée par une fente est donc simplement multipliée par la transformée de
Fourier (pour la variable ξ/λd) de la somme de fonctions de Dirac apparaissant dans
le deuxième facteur de cette expression, soit :
(
exp i 2π e 2
) (
ξ
+ exp −i 2π e λd
2
) (
ξ
= 2 cos π eξ )
λd
λd
(1.41)
On obtient donc pour l’amplitude diffractée :
(
f(ξ, η) = f(0, 0) cos π eξ )
sinc
λd
( ) ( )
aξ bη
sinc
λd λd
(1.42)
Une coupe de cette amplitude pour η = 0 est représentée sur la Fig. 1.7.

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 23
1
Amplitude diffractée
0.5
0
-0.5
-1
-3
-2
-1
0
aξ/λd
1
2
3
Fig. 1.7 – Amplitude diffractée par un système de deux fentes d’Young, avec e = 5a
L’intensité détectée sera, elle, multipliée par le carré de cette fonction, donc :
[ (
I(0, 0)
I(ξ, η) = 1 + cos 2π eξ )] ( ) ( )
aξ bη
sinc 2 sinc 2
2
λd λd λd
Une coupe de cette intensité pour η = 0 est représentée sur la Fig. 1.8.
1
Intensité diffractée
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
aξ/λd
1
2
3
Fig. 1.8 – Intensité diffractée par un système de deux fentes d’Young, avec e = 5a
Elle montre des battements dont la période égale à λd/e. L’aspect de la figure de

24 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
diffraction est représenté sur la Fig. 1.9 ; la Fig. 1.8 correspond à une coupe horizontale au
centre.
Fig. 1.9 – Diffraction par deux trous rectangulaires, de hauteur b deux fois plus grande
que la largeur a, et séparées par une distance égale à e = 5a.
Si la largeur des fentes tend vers 0, la largeur du sinus cardinal dépendant de ξ tend
vers l’infini, et le résultat pour la figure de diffraction devient ce que l’on trouve lorsque
l’on traite le problème dans le cadre des interférences. En effet, si les fentes sont infiniment
étroites, il n’y a plus « que deux ondes », et le traitement général des interféromètres à
deux ondes s’applique.
Il faut remarquer l’espèce de superposition qui existe entre la figure de diffraction
d’une fente unique et les franges d’interférence liées à la présence de deux objets identiques
décalés, qui modulent cette figure de diffraction.
1.5.4 Ouverture circulaire
La transparence t(x, y) d’une ouverture circulaire de rayon a est la suivante :
( x
t(x, y) = D
a , y a)
(1.43)
où la fonction D est la fonction disque définie par :
D(x, y) = Π( √ x 2 + y 2 /2) (1.44)
où Π est la fonction rectangle définie par (1.35), page 21. L’amplitude diffractée dans les
conditions de Fraunhofer par une telle ouverture est :
f(ξ, η) ∝ 2J 1(Z)
Z
(1.45)

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 25
avec :
Z = 2π a ρ avec ρ = √ ξ
λd
2 + η 2 (1.46)
La tache de diffraction ayant une symétrie circulaire, elle se présente donc comme une
série d’anneaux concentriques, appelée tache d’Airy. L’allure de la figure de diffraction est
représentée sur la Fig. 1.10.
Fig. 1.10 – Tache d’Airy : figure de diffraction d’un trou circulaire.
Signalons pour terminer que la figure de diffraction de deux trous d’Young est une
tache d’Airy modulée par des franges d’interférence dont la direction est orthogonale au
vecteur déplacement permettant de passer d’un trou à l’autre, et la période égale à λd/e,
où e est l’écartement entre les trous. La démonstration et les calculs sont identiques à ceux
effectués dans le cas des franges d’Young au paragraphe précédent.
1.5.5 Réseaux
Introduction En tant qu’éléments dispersifs, les réseaux présentent par rapport aux
prismes l’avantage d’être plus dispersifs s’ils sont utilisés dans un ordre élevé ; par contre
ils ont eu longtemps l’inconvénient d’être moins lumineux. Aussi pendant longtemps les
astronomes ont-ils préféré étudier les spectres des sources lumineuses peu intenses avec
des spectromètres à prisme. Maintenant les réseaux miroitants (« blazés ») pallient cet
inconvénient et tendent à remplacer de plus en plus les prismes puisqu’ils sont à la fois
plus dispersifs et aussi lumineux.
Un réseau est un objet diffractant dont la transparence est périodique. La période p
s’appelle le pas du réseau. L’inverse du pas est la fréquence spatiale du réseau ; celle-ci
s’exprime souvent en « traits par millimètre », ce qui correspond à l’unité : mm −1 . Bien
sûr, du fait de la largeur finie L de cet objet, la périodicité n’existe qu’à l’intérieur d’une

26 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
« fenêtre » de largeur L. On appelle motif la description de la transparence de l’objet sur
une longueur égale au pas. La transparence τ(x) du réseau est donc la répétition périodique
du motif, tronquée par une fonction rectangle de largeur L :
[
τ(x) = m(x) ∗ 1 ( )] x
( x
p pgn .Π
(1.47)
p L)
où la fonction Π(s) vaut 1 si s est compris dans l’intervalle [−1/2, 1/2] et 0 sinon. Il
est important de voir que la fonction motif m(x) est identiquement nulle en dehors d’un
intervalle de largeur p.
Le motif peut être « plus étroit » que p. Par exemple, si le réseau est constitué d’un
ensemble de fentes fines parallèles de largeur a < p, le motif est :
( x
m(x) = Π
(1.48)
a)
Si la transparence du réseau a un profil sinusoïdal, le motif est :
m(x) = 1 [ (
1 + cos 2π x )] ( ) x
.Π
2
p p
(1.49)
Le pas p est en général très inférieur à la longueur L. Le motif peut modifier l’amplitude
ou la phase de la lumière incidente, ou encore les deux à la fois. Dans le premier cas, on
dit que le réseau est un réseau d’amplitude ; la fonction τ(x) est réelle. Dans le second
cas, on parle de réseau de phase ; la transparence τ(x) est à l’intérieur de la fenêtre de
largeur L une fonction complexe unimodulaire : τ(x) = exp[i φ(x)]. Le nombre de motifs
par millimètre dans un réseau est toujours élevé, il est couramment de l’ordre de 100 à 1
000 mais il peut atteindre 5 000 pour des réseaux holographiques utilisés dans l’ultra-violet.
Amplitude et intensité diffractée Dans le conditions de Fraunhofer, l’amplitude
diffractée f(u) est la transformée de Fourier de la transparence de l’objet diffractant.
Pour le cas d’un réseau dont la transparence est décrite par l’équation (1.47), on obtient :
f(u) ∝ ̂τ(u) = [ ̂m(u) pgn(pu)] ⋆ L sinc(Lu) (1.50)
où u est la variable de Fourier conjuguée à x, qui peut être :
– α/λ si l’on fait une observation à l’infini dans la direction repérée par l’angle α par
rapport à l’axe du faisceau d’éclairage du réseau ;
– x/λf si l’on fait une observation au foyer d’une lentille de distance focale f, le réseau
étant placé dans le faisceau de lumière parallèle avant la lentille ;
– x/λd si le réseau est éclairé en lumière convergente et qu’on observe au niveau du
point de convergence situé à la distance d.
Cette équation donne en toute généralité l’amplitude diffractée par un réseau (Fig. 1.11).
On y voit apparaître les principales caractéristiques de cette figure de diffraction.

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 27
|̂τ(u)/̂τ(0)|
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
| ̂m(u)|
−2/p −1/p 0 1/p 2/p
u
Fig. 1.11 – Amplitude diffractée par un réseau
1. La périodicité du réseau génère une périodicité au niveau du spectre, décrite par la
fonction pgn(pu) dans l’équation (1.50). Les différents maxima d’amplitude que l’on
observe sont appelés les ordres.
2. La répartition de l’amplitude dans les différents ordres dépend de la fonction ˆm(u),
donc du profil du motif. En jouant sur la fonction m(x), il est possible de jouer sur
cette répartition (cf ci-dessous, réseau miroitant).
3. Au niveau de chaque ordre, la figure de diffraction observée est celle du diaphragme
limitant le réseau, sinc(Lu). C’est cette figure de diffraction qui va déterminer principalement
le pouvoir de résolution d’un spectromètre à réseau.
L’intensité diffractée est la carré du module de l’amplitude (1.50). En faisant l’hypothèse
que les amplitudes des différents ordres ne se recouvrent pas, autrement dit : en négligeant
au voisinage de l’ordre k les amplitudes correspondant aux ordres k ′ ≠ k, on peut obtenir :
|f(u)| 2 ∝ [ | ̂m(u)| 2 pgn(pu) ] ⋆ L 2 sinc 2 (Lu) (1.51)
Pour l’amplitude représentée sur la Fig. 1.11, on obtient l’intensité représentée sur la Fig.
1.12.
Pouvoir de résolution Si la lumière incidente est composée de deux radiations λ et
λ ′ = λ + ∆λ, les maxima du k eme ordre se trouvent respectivement en α k = kλ et p
α′ k = kλ′ . p
Suivant le critère de Rayleigh, on considère que deux raies de longueur d’onde λ et λ ′
sont séparées l’une de l’autre dans l’ordre k si le maximum de l’une des taches de diffraction
coïncide avec le minimum de l’autre (Fig. 1.13) . Les positions angulaires des maxima de
cet ordre doivent donc vérifier :

28 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
1.2
1
| ̂m(u)| 2
|̂τ(u)/̂τ(0)| 2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
−2/p −1/p 0 1/p 2/p
u
Fig. 1.12 – Intensité diffractée par un réseau
k
p (λ − λ′ ) ≥ λ L
À la limite de résolution, le plus petit écart en longueur d’onde correspond à :
d’où un pouvoir de résolution :
(λ − λ ′ ) min = p λ
L k
R =
λ
(λ − λ ′ ) min
= kN
N représentant le nombre total de motifs du réseau.
Le pouvoir de résolution augmente avec l’ordre k et le nombre de motifs. Deux réseaux
de même pas p peuvent ne pas avoir le même pouvoir de résolution. Celui de plus grande
dimension aura une meilleure résolution, N étant plus grand.
Pour un réseau de longueur L, il n’est pas possible d’augmenter infiniment la résolution
en diminuant le pas p. En effet pour un réseau éclairé par une onde plane d’incidence α i
la relation entre l’angle d’incidence α i et les angles diffractés α d :
sin α d − sin α i = k λ d
donne les positions angulaires α d des maxima lumineux en fonction des caractéristiques
du réseau. Or la différence des sinus est au plus égale à 2 (1 si α i = 0). Le pouvoir de
résolution est donc borné par :

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 29
Intensité somme
∆α
PSfrag replacements
λ λ ′
kλ
p kλ ′
Fig. 1.13 – Illustration du critère de Rayleigh
p
α
ou kλ
p + λ L
R max = 2L λ
Avec un réseau donné, pour augmenter le pouvoir de résolution on a intérêt à choisir
un ordre d’interférence k élevé mais dans ce cas l’intensité de la lumière analysée chute
très rapidement (Fig. 1.12). Un compromis « pouvoir de résolution - luminosité » est donc
à faire. Pour remédier à cet inconvénient on utilise des réseaux miroitant où pratiquement
toute l’énergie lumineuse diffractée est concentrée dans un seul ordre. Ces réseaux sont des
réseaux de phase. En effet, on montre facilement qu’avec un réseau d’amplitude, l’intensité
diffractée ne peut être maximum ailleurs que pour u = 0.
Réseaux miroitant Ces réseaux (appelés souvent réseaux « blazés », de l’anglais to
blaze : scintiller, miroiter) sont constitués par exemple d’une succession de petits prismes
d’indice n et de hauteur p (Fig : 1.14). La section droite d’un de ces prismes est un triangle
rectangle d’angle au sommet ψ faible.
Il existe un déphasage ϕ entre le rayon passant au sommet d’un des prismes et le rayon
situé à l’abscisse x du sommet de ce même prisme :
ϕ = 2π λ (n − 1)xψ = 2πu 0x

30 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
x
A
0
A’
D
PSfrag replacements
Onde incidente
p
ψ
Rayon réfracté
z
Fig. 1.14 – Coupe d’un réseau miroitant
avec :
(n − 1)ψ
u 0 =
λ
La fonction décrivant le motif est donc :
( ) x
m(x) = exp(i 2πu 0 x).Π
p
(1.52)
donc l’enveloppe de l’intensité diffractée dans les différents ordres est :
| ˆm(u)| 2 ∝ sinc 2 [p(u − u 0 )]
C’est précisément une enveloppe de ce type qui a été utilisée pour tracer les Figs. 1.11 et
1.12, avec u 0 = 1, 5/p.
On remarque que si on choisit l’indice n et l’angle ψ du prisme de telle façon que :
u 0 =
(n − 1)ψ
λ
= k p
alors pratiquement toute l’intensité diffractée est concentrée dans le seul ordre d’interférence
k ; on obtient ainsi simultanément une bonne résolution et une grande luminosité. La Fig.
1.15 montre l’intensité obtenue dans la figure de diffraction pour k = 2. Il faut cependant
noter que cette condition dépend de la longueur d’onde. Un réseau miroitant est prévu
pour être utilisé au voisinage d’une longueur d’onde précise.

1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 31
1.2
1
| ̂m(u)| 2
|̂τ(u)/̂τ(0)| 2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
−2/p −1/p 0 1/p 2/p
u
Fig. 1.15 – Intensité diffractée par un réseau miroitant, pour la longueur d’onde pour
laquelle il concentre la lumière dans l’ordre 2

32 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER

Chapitre 2
Formation des images en éclairage
cohérent
2.1 Double diffraction
En éclairage temporellement et spatialement cohérent, c’est-à-dire si la source est ponctuelle
et monochromatique, on a vu au paragraphe précédent que l’amplitude diffractée par
un objet placé dans le faisceau est proportionnelle à la transformée de Fourier de la transparence
en amplitude de cet objet. Or, la transformation de Fourier et son inverse sont
très semblables. N’est-il pas possible d’illustrer ceci en faisant une double diffraction ? La
réponse est que cette double diffraction n’est autre que le montage élémentaire de projection
d’un objet à travers une lentille simple (Figure 2.1). Un objet de transparence t( −→ r )
est situé dans un faisceau convergent. Dans le plan du point de convergence, on a pour
l’amplitude complexe de l’onde :
f( −→ ( −→ρ )
ρ ) ∝ ̂t exp
(i
λd)
kρ2
(2.1)
2d
où l’on a fait apparaître le facteur de phase sphérique d’onde divergente centrée au centre
de l’objet. La lentille de projection, de distance focale f, va modifier cette onde sphérique divergente
en une onde sphérique convergente selon la loi bien connue de l’optique géométrique
(cf § 1.3, page 15) :
1
f = 1 d + 1 d ′ (2.2)
L’amplitude complexe émergente juste après la lentille de projection est donc :
( −→ρ )
)
̂t exp
(−i kρ2 = τ( −→ )
ρ ) exp
(−i kρ2
λd
kd ′ kd ′
(2.3)
en posant :
τ( −→ ( −→ρ
ρ ) = ̂t
λd)
(2.4)
33

eplacements
34 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT
−→ ρ
−→ r
′
−→ r
d d ′
t( −→ ( ) −ikr
2
r )× exp
2d
( −→ρ ) ( ) ikρ
2
̂t × exp
λd 2d
( −→ρ
̂t
λd)
= τ( −→ ρ )× exp
( −ikρ
2
× exp
( −ikρ
2
2d ′ )
2d ′ )
̂τ
( −→r ) ( )
′ ikr
′2
× exp
λd ′ 2d ′
Fig. 2.1 – Montage de double diffraction
Du fait du facteur de phase d’onde convergente, on se trouve au niveau de l’écran dans les
conditions de Fraunhofer. L’amplitude complexe s( −→ r ′ ) dans ce plan est donc la transformée
de Fourier pour la variable −→ r ′ /λd ′ de τ( −→ ρ ) (cf la dernière remarque du § 1.5.2,
page 19), affectée d’un facteur de phase d’onde sphérique divergente. En tenant compte
du fait que le carré de la transformation de Fourier est l’opérateur parité transformant
f(x) en f(−x), on obtient :
s( −→ ( −→ ) ( r
r ′ ′
) ∝ λd t −λd ∝ t − d )
−→ r
′
λd ′ d ′
(2.5)
où l’on retrouve que l’on obtient sur l’écran l’image de l’objet avec un grandissement −d ′ /d.
Les conditions de projection montrées sur la Figure 2.1 correspondent en plus au montage
correct pour projeter un objet. Il y a en effet une règle pratique simple spécifiant que
pour minimiser les aberrations géométriques dues à la lentille de projection, il convient de
faire dans son plan l’image de la source lumineuse, afin que le maximum d’énergie traverse
la lentille en son centre et non pas près des bords.
Cette disposition en double diffraction permet d’obtenir un résultat tout à fait remarquable
: on est en présence d’un système où le signal d’entrée et le spectre sont de même
nature physique (une répartition spatiale de luminance). Autrement dit, le spectre est apparent
dans un espace « concret », et il est très facile de modifier ce spectre, c’est-à-dire
d’effectuer un filtrage au niveau de la lentille de projection.

2.1. DOUBLE DIFFRACTION 35
2.1.1 Filtrage des fréquences spatiales
Une décomposition de Fourier est essentiellement une décomposition suivant les
fréquences ; un signal temporel est décomposé en ses composantes monochromatiques, et
un signal spatial est décomposé suivant ses fréquences spatiales. Cela signifie qu’il est
décomposé en une superposition de réseaux élémentaires de fréquence spatiale −→ f , où le
vecteur −→ f 0 a pour norme l’inverse du pas du réseau (de la même manière que la fréquence
d’un signal temporel est l’inverse de sa période) et pour direction la normale aux « traits ».
Ce réseau élémentaire est un réseau de phase de transparence sinusoïdale :
dont la transformée de Fourier est :
t−→ f 0
( −→ r ) = exp(i 2π −→ f 0 . −→ r ) (2.6)
̂t−→ f 0
( −→ g ) = δ( −→ g − −→ f 0 ) (2.7)
L’objet élémentaire correspondant à ce réseau va donner un point lumineux dans le spectre
au point −→ ρ tel que :
−→ g =
−→ ρ
λd = −→ f 0 (2.8)
Un point du spectre correspond donc à une fréquence spatiale de l’objet. Mettre un objet
de transparence s( −→ ρ ) dans le plan spectral va permettre de réaliser un filtrage de ces
fréquences spatiales.
2.1.2 Strioscopie
On sait que le plan spectral se trouve au niveau d’un point de convergence. Le point
lumineux central du spectre n’est autre que le « pic de Dirac » correspondant lors de la
transformation de Fourier à la valeur moyenne de la transparence de l’objet. Une pastille
opaque interceptant la lumière à cet endroit va permettre d’observer l’objet débarrassé d’un
éclairement moyen qui peut être gênant. Cette technique est très utilisée en microscopie
où elle porte le nom d’observation en champ sombre, très utile dans le cas d’objet très
transparents et peu contrastés, dont la transparence est donc :
t = 1 − ɛ (2.9)
dont le contraste (amplitude de la modulation sur valeur moyenne) est de l’ordre de ɛ/(1 −
ɛ) ≈ ɛ. Dans le plan spectral l’amplitude diffractée est proportionnelle à :
̂t = δ − ̂ɛ (2.10)
La suppression de la tache centrale intense fait que l’on retrouve au niveau de l’image une
amplitude proportionnelle à ɛ, de contraste unité.

36 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT
2.1.3 Contraste de phase
Un autre filtrage très utile en microscopie concerne l’observation d’objets de phase.
Beaucoup de tissus biologiques sont formés avec une très grosse proportion d’eau, et leur
indice ne diffère que très peu de celui du milieu où ils baignent. C’est le cas de beaucoup
de cellules, qui n’apparaissent pas si l’on ne fait pas appel à des techniques de coloration
sélective ou à la technique du contraste de phase.
On considère donc un objet de phase, c’est à dire dont la transparence t( −→ r ) est donnée
par :
t( −→ r ) = exp[i Φ( −→ r )] (2.11)
On suppose de plus que la variation de phase est très petite devant 2π. On a donc :
t( −→ r ) ≈ 1 + i Φ( −→ r ) (2.12)
Si l’on met au niveau du pic central de diffraction dans le plan spectral une lame déphasant
le champ de π/2, l’amplitude complexe de celui-ci va être juste après égale à :
f( −→ ρ ) ∝ i δ( −→ ρ ) + i ̂Φ( −→ ρ ) (2.13)
Dans le plan d’observation, on voit que les deux termes sont maintenant susceptibles d’interférer.
L’intensité observée I( −→ r ′ ) est au grandissement géométrique près :
I( −→ r ′ ) ∝ 1 + Φ( −→ r ′ ) (2.14)
ce qui montre que l’observation de l’objet de phase est possible.
2.1.4 Détramage
Un autre exemple simple de filtrage est celui du détramage de photographies. Les photographies
paraissant dans les journaux sont tramées, c’est-à-dire que la répartition continue
de gris constituant l’original de la photo est en fait remplacée par un motif périodique de
pas p de points noirs et blancs, telle que le niveau de gris moyenné sur un motif soit égal
au niveau de gris sur la photo originale. Lors de l’observation visuelle de la photographie
tramée dans le journal, l’oeil va se comporter comme un filtre passe-bas et ignorer la haute
fréquence spatiale correspondant au pas de la trame. Si t(x, y) est la transparence d’une
diapositive noir et blanc originale, et t t (x, y) celle d’une diapositive tramée, on peut faire
l’approximation :
[ ( ) ( x y
t t (x, y) ∝ t(x, y) pgn pgn ⋆ m(x, y) (2.15)
p p)]
où la répartition continue de transparence est remplacée par une répétition périodique de
motifs de transparence m(x, y), affectés d’un coefficient proportionnel à la transparence de
la diapositive initiale au point correspondant au centre du motif (Figure 2.2). Dans le plan

2.1. DOUBLE DIFFRACTION 37
m(x,y)
t(x,
y
).pgn()
x p
pgn()
y p
y
y
p/2
p/2
0 x
x
Fig. 2.2 – Tramage d’une photographie
spectral, le champ f(ξ, η) sera donc :
f(ξ, η) ∝ [̂t(u, v) ⋆ pgn(pu) pgn(pv) ] ̂m(u, v) (2.16)
avec u = ξ/λd et v = η/λd.
La fonction motif m(x, y) est une fonction étroite dont la transformée de Fourier,
large, va lentement moduler le spectre f(ξ, η). Le point important est que celui-ci est
constitué du spectre de la photographie initiale répété aux noeuds d’un maillage carré de
pas λd/p. Pour détramer la diapositive, il suffira donc de placer un diaphragme ne laissant
passer que le spectre central correspondant à l’ordre 0 des réseaux orthogonaux de tramage.
2.1.5 Reconnaissance de formes
Le filtrage linéaire que l’on peut effectuer dans le plan spectral permet de faire une
opération de convolution d’un objet avec un autre. Soit t( −→ r ) la transparence d’un objet
donné, une empreinte digitale, par exemple. Soit s( −→ r ) un objet comportant une série
d’empreintes digitales dont chacune a la transparence t i ( −→ r ), à comparer avec la première :
s( −→ r ) = ∑ i
t i ( −→ r − −→ r i ) (2.17)
où −→ r i repère la position du centre de chacune des empreintes. Supposons que l’on ait réalisé
un filtre de transparence ̂t − , où t − ( −→ r ) = t(− −→ r ). Placé dans le plan spectral, ce filtre va
réaliser le produit ŝ, ̂t − qui par transformation de Fourier va donner dans le plan image
l’amplitude h( −→ r ) :
h( −→ r ) = s( −→ r ) ⋆ t(− −→ r ) = ∑ i
[t i ( −→ r − −→ r i ) ⋆ t(− −→ r )] (2.18)
Si l’une des empreintes t i est égale à t, le produit de convolution (qui devient à ce moment
un produit d’autocorrélation) va avoir un maximum très net pour −→ r = −→ r i . Dans les
autres cas, le maximum est très peu marqué (Figure 2.3). Sur l’écran, on observe une série

38 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT
t
^-
Fig. 2.3 – Reconnaissance de formes
de taches brillantes centrées aux différents points repérés par −→ r i , c’est-à-dire à l’endroit
où l’on observerait point central de l’image géométrique de t i s’il n’y avait pas le filtre
adapté. La tache correspondant à la bonne empreinte est beaucoup plus intense que les
autres. On peut ainsi localiser l’empreinte digitale à reconnaître dans une série d’empreintes
ressemblantes.
2.2 Fonction de transfert de modulation
Nous allons faire dans ce paragraphe le lien avec ce qui a été vu dans la première partie,
à savoir la relation de convolution qui existe entre l’objet et l’image dans un instrument
d’optique linéaire et invariant par translation. Chaque point objet donne au niveau du plan
image une tache de diffraction liée à la forme du diaphragme d’ouverture, généralement
circulaire. Dans le cas d’un éclairage cohérent temporellement et spatialement, les figures de
diffraction correspondant à tous les points objets vont s’additionner en amplitude. L’amplitude
d(x ′ , y ′ ) dans la tache de diffraction d’un point unique est donc la réponse impulsionnelle
ou fonction de Green du système. Si l’on néglige le grandissement transversal
inessentiel du système (et donc si l’on confond x, y et x ′ , y ′ ), on a entre l’amplitude objet
Ω(x, y) et l’amplitude image i(x, y) la relation de convolution suivante :
i = Ω ⋆ d (2.19)
Dans le cas d’une ouverture circulaire, la fonction de Green d(x, y) (bizarrement appelée
par les opticiens réponse percussionnelle) est la fonction 2J 1 (Z)/Z dont le carré va donner
la tache d’Airy caractéristique des systèmes à symétrie circulaire. Nous avions signalé que
cette propriété de convolution peut aussi se traduire dans l’espace des fréquences spatiales

2.2. FONCTION DE TRANSFERT DE MODULATION 39
par une relation de filtrage linéaire :
î = ̂Ω ̂d (2.20)
Si l’on reprend l’exemple d’un système à symétrie circulaire limité par un diaphragme de
rayon a, on sait que l’amplitude diffractée d(x, y) est proportionnelle à la transformée de
Fourier de la fonction disque D(ξ/a, η/a)pour les variables de Fourier x/λd et y/λd,
soit :
d(x, y) ∝ ̂D
( ax
λd , ay )
(2.21)
λd
donc :
( λdu
̂d(u, v) = D
a , λdv )
(2.22)
a
La fonction de filtrage ̂d intervenant dans la formule (2.19) prend un sens tout à fait concret.
Elle exprime que la transformée de Fourier de la répartition d’amplitude de l’objet est
« tronçonnée » par un diaphragme circulaire (Figure 2.4). L’instrument d’optique joue le
rôle d’un filtre passe-bas, et la fréquence spatiale maximale de l’objet u c (l’indice c étant
la pour indiquer une fréquence de coupure) qui peut traverser l’instrument est égale à :
u c = a λd
(2.23)
Les fréquences spatiales inférieures sont transmises sans altérations. On voit que, comme il
se doit, l’instrument d’optique est entièrement caractérisé par la donnée de sa fonction de
Green d, ou ce qui revient au même, par sa transformée de Fourier ̂d, qui n’est autre que
le « gain » de l’instrument. On appelle ̂d : fonction de transfert de modulation (en abrégé
FTM). En éclairage cohérent, la FTM est donc réduite à une fonction cercle (Figure 2.4).
Toutes les fréquences spatiales sont donc transmises sans distorsion jusqu’à une certaine
1
PSfrag replacements
a
λd
Fig. 2.4 – FTM en éclairage cohérent.
valeur. Toutes les fréquences spatiales supérieures à cette valeur sont coupées. Il s’agit donc
d’un filtre passe-bas idéal. (Notons pour mémoire que ce filtre idéal n’a pas d’analogue dans

40 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT
un système temps/fréquence. On montre en effet qu’un tel filtre n’est pas causal, c’est-àdire
qu’il correspond à un système qui ne respecte pas le principe d’antériorité de la cause
sur l’effet).
La fréquence spatiale maximale transmissible u c = 1/p min où p min est la période minimale
d’un réseau élémentaire, donc pratiquement la taille minimale d’un détail visible.
Cette fréquence de coupure est calculable connaissant la position et la taille du diaphragme
d’ouverture ramené à l’espace objet, c’est-à-dire de la pupille d’entrée. Alternativement,
on peut la calculer à partir de la position et de la taille de la pupille de sortie. Si l’on se
réfère au montage de double diffraction de la Figure 2.1, page 34, on a :
p ′ min = λd′
n ′ a ′ (2.24)
où l’on a fait intervenir le grandissement géométrique, et où l’on « prime » les grandeurs
se référant à l’espace image. On fait intervenir l’indice n ′ et le rayon a ′ de la pupille de
sortie, et la distance d ′ entre cette pupille et le plan d’observation (Figure 2.5).
PSfrag replacements
p min
α a
a ′ α ′
d
d ′
p max
Fig. 2.5 – Pupilles d’entrée et de sortie.
En posant :
on obtient :
sin α ≈ a′
d ′ (2.25)
n ′ p ′ min sin α ′ = λ (2.26)
On reconnaît dans le premier membre l’invariant de la relation des sinus d’Abbe. On en
déduit :
np min sin α = n ′ p ′ min sin α ′ = λ (2.27)

Chapitre 3
Formation des images en éclairage
incohérent
Nous abordons ici le cas de l’éclairage en lumière spatialement incohérente. Il n’y a
donc nulle part dans le système considéré de point de convergence image d’une source
ponctuelle. C’est le cas par exemple de l’observation d’objets lumineux par eux-mêmes.
Ici, chaque point source donne lui aussi une tache de diffraction (tache d’Airy dans le cas
d’une ouverture circulaire) d’intensité :
D(x ′ , y ′ ) = |d(x ′ , y ′ )| 2 (3.1)
où d(x ′ , y ′ ) est l’amplitude diffractée par la pupille de sortie, image dans l’espace image
du diaphragme d’ouverture. La différence avec le cas de l’éclairage cohérent est que maintenant,
toutes ces taches vont s’ajouter en intensité pour former l’image. Soit Ω(x, y)
l’amplitude objet, et :
O(x, y) = |Ω(x, y)| 2 (3.2)
l’intensité émise par l’objet. En prenant ici aussi égal à 1 le grandissement transversal, on
a pour l’intensité I dans l’image :
I = O ⋆ D (3.3)
à comparer avec la formule (2.19) dans le cas de l’éclairage cohérent. Une différence essentielle
est aussi qu’il n’y a pas de plan spectral accessible. La relation de convolution
s’interprète aussi dans l’espace des fréquences spatiales, mais celui-ci est un espace abstrait
qui n’est pas réalisé physiquement comme dans le cas cohérent. En particulier, il
n’est pas question de faire du filtrage de fréquences spatiales de manière aussi pratique. La
transformation de Fourier de la formule (3.3) donne :
Î = Ô ̂D (3.4)
Dans le cas de l’ouverture circulaire, il est facile de déterminer quelle est la fonction de
transfert dans l’espace des fréquences spatiales. On a :
d(x, y) ∝ 2J 1(Z)
Z
41
(3.5)

42 CHAPITRE 3. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE INCOHÉRENT
avec Z = 2πa √ x 2 + y 2 /λd, ce qui est la transformée de Fourier de la transparence D(x/a, y/a)
représentant le trou de rayon a qu’est la pupille de sortie. Donc :
( ) ( )
λdw λdw
̂D(u, v) = K(w) = F(|d| 2 ) = D ⋆ D
(3.6)
a a
où w = √ u 2 + v 2 est le module du vecteur fréquence spatiale. Il s’agit donc de l’autoconvolution
de la fonction de transfert de modulation en éclairage cohérent. Il s’agit
d’une fonction radiale représentée par une surface de révolution dont la génératrice a pour
équation :
K(w) = 2 [arccos(t) − t √ ]
1 − t
π
2 avec t = λdw
(3.7)
2a
dont le développement limité au voisinage de 0 est :
Ceci est illustré sur les Figures 3.1 et 3.2.
1
K(w) ≈ 1 − 2t
π
(3.8)
On voit que si la FTM en éclairage cohérent
0.8
K(w)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Fig. 3.1 – Représentation de la fonction K(w) donnée par l’équation (3.7)
est avec des unités ad hoc représentée par une fonction cercle de rayon unité, la FTM
en éclairage incohérent est représentée par une fonction dont l’extension est double : la
fréquence de coupure est double dans le cas incohérent. Il faut néanmoins remarquer que
maintenant les fréquences voisines de la fréquence de coupure sont fortement atténuées.
Le résultat précédent ne veut donc pas dire que le pouvoir de résolution d’un instrument
d’optique est double en éclairage incohérent par rapport à l’éclairage cohérent.
Signalons pour clore ce sujet que le contrôle des objectifs d’appareils d’optique se fait en
prenant comme objet des mires de type réseau, et donc ne contenant qu’une seule fréquence

43
̂D(u, v)
v
u
Fig. 3.2 – Représentation de la FTM en éclairage incohérent.
spatiale. On peut mesurer dans ce cas la valeur de la fréquence de coupure et l’atténuation
propre à chaque fréquence.

44 CHAPITRE 3. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE INCOHÉRENT

Deuxième partie
Mesures 2D et 3D
45

Chapitre 4
Traitement des franges et détection
numérique de phase
4.1 Introduction
Les méthodes optiques de mesure de champs cinématiques (champs de déplacement, de
déformation, de pente, de courbure, d’élévation. . . ) connaissent une grande effervescence
depuis 10 ans, grâce à la diminution du coût des ordinateurs, à la diminution du coût de
l’acquisition vidéo (caméras CCD analogiques et numériques), et grâce à l’augmentation
des puissances de traitement.
On assiste à un véritable renouveau de méthodes « classiques », comme l’interférométrie
ou le moiré, que le traitement manuel et laborieux des images qu’elles fournissent cantonnait
dans une utilisation qualitative.
Les progrès récents sont liés à l’automatisation intensive des procédures de dépouillement
de franges, qui permettent d’obtenir des cartographies pleinement quantitatives en quelques
secondes. La quantité d’information obtenue est énorme, et une taille d’image de 1024 × 1024
est aujourd’hui courante, ce qui correspond à plus d’un million de points de mesures.
L’abondance de ces points de mesure fait que de nombreux post-traitements comme
des lissages spatiaux sont possibles. Les systèmes commerciaux utilisent bien entendu ces
possibilités, sans que l’utilisateur sache toujours très bien la nature exacte de ces posttraitements.
Cela explique qu’actuellement la plus grande faiblesse des systèmes commerciaux
soit leur manque de traçabilité (impossibilité d’évaluer correctement une incertitude
de mesure).
4.2 L’importance de la phase
Les méthodes optiques que nous considérerons par la suite fournissent des figures de
franges (holographie, interférométrie, moiré, speckle) ou de lignes (méthode de la grille).
Fondamentalement, l’image que va pouvoir acquérir une caméra et qui va être numérisée
47

48CHAPITRE 4. TRAITEMENT DES FRANGES ET DÉTECTION NUMÉRIQUE DE PHASE
se présente sous la forme d’un champ d’intensité :
I(φ, A, γ) = A [1 + γ frgn(φ)] , (4.1)
où A est l’intensité moyenne et γ est le contraste (ou la visibilité). Ces deux grandeurs
ne sont jamais strictement constantes, mais lentement variables sur l’ensemble du champ.
La fonction frgn est 2π-périodique et représente le profil des franges. Dans les cas les plus
simples, comme l’interférométrie à deux ondes, cette fonction se réduit à un cosinus, et l’on
retrouve la formule classique :
I(φ, A, γ) = A [1 + γ cos(φ)] , (4.2)
Dans d’autres cas, comme le moiré, les variations d’intensité n’ont pas un profil sinusoïdal,
et la fonction frgn admet un développement en série de Fourier qui n’est pas limité à son
premier terme.
Pour toutes les méthodes que nous allons considérer, le mesurande (déplacement, déformation,
forme, etc.) est directement relié à la phase φ. Cette dépendance peut prendre la forme
d’une simple relation de proportionnalité, comme dans le cas d’un contrôle d’épaisseur par
interférométrie Michelson, ou peut être plus complexe. Néanmoins, le premier paramètre
à extraire de l’image est la phase.
Le traitement des franges est le processus permettant de passer du champ d’intensité
décrit par l’équation 4.1 au champ de phase correspondant. Cette première étape ne donne
que la phase modulo 2π, il faut souvent continuer le traitement par un « dépliement de
phase » visant à rétablir la continuité du champ de phase en supprimant les sauts de 2π.
4.3 Le décalage de phase
4.3.1 Nombre d’inconnues
Dans l’équation 4.1, il y a un nombre infini d’inconnues, puisque la forme de la fonction
frgn, déterminée par une infinité de coefficients de Fourier, n’est pas connue a priori.
L’intensité moyenne A et le contraste γ sont également inconnus, ainsi que, bien entendu,
la phase φ que l’on cherche. Par ailleurs, A et γ peuvent varier d’un point à un autre.
Dans le cas idéalement simplifié d’un champ d’intensité décrit par l’équation 4.2, il
y a trois inconnues. L’enregistrement du seul champ d’intensité ne permet donc pas de
remonter à la phase, puisqu’il n’y a qu’une équation pour trois inconnues. Il est donc
nécessaire d’avoir d’autres équations pour résoudre le problème. Ces autres informations
sont à chercher soit au voisinage du pixel où l’on cherche à évaluer la phase (approche
spatiale), soit au niveau du même pixel mais sur des enregistrements différents (approche
temporelle). Pour obtenir ces informations supplémentaires, une des méthodes les plus
efficaces qui est maintenant adoptée par les systèmes de mesures disponibles aujourd’hui
est le décalage de phase.
Avant d’en présenter le principe, signalons qu’il y aura toujours un choix à faire par
l’utilisateur du degré de simplification de ce problème à nombre infini d’inconnues. Ce

4.3. LE DÉCALAGE DE PHASE 49
choix concerne principalement le profil des franges : jusqu’à quel ordre les harmoniques
indésirables (c’est-à-dire autres que l’ordre +1) doivent-ils être éliminés ?
4.3.2 Principe
Le décalage de phase consiste à disposer de plusieurs échantillons I k , k = 0, 1,. . . , M-1,
séparés par un déphasage constant δ :
I k = I(φ + kδ), (4.3)
Ces points d’échantillonnages permettent de déterminer la meilleure sinusoïde les interpolant,
et donc le déphasage φ. La formule permettant de passer de l’ensemble des intensités
{I k } à la phase φ s’appelle l’algorithme. La forme générale des algorithmes de détection de
phase est :
⎡
M−1 ∑
˜φ = arctan ⎢
⎣ ∑
k=0
M−1
k=0
⎤
b k I k
⎥
⎦ , (4.4)
a k I k
où ˜φ est la phase mesurée, dans l’intervalle [−π, π]. L’équation (4.4) peut également être
interprétée comme le calcul de l’argument de la combinaison linéaire complexe :
S(φ) =
M−1
∑
k=0
c k I k , (4.5)
où c k = a k + i b k . L’intensité I peut être développée en série de Fourier comme suit :
I(φ) =
+∞∑
m=−∞
α m exp(i mφ), (4.6)
et par conséquent la somme S(φ) peut elle aussi être développée pour donner :
S(φ) =
L’intensité est réelle, et donc :
+∞∑
m=−∞
s m exp(i mφ) =
+∞∑
m=−∞
S m (φ). (4.7)
α m = α ∗ −m (4.8)
Sans perte de généralité, on peut supposer que α 1 = α −1 est un réel positif. Cela signifie
simplement que l’origine des phases est prise au niveau d’une frange brillante, et donc
l’harmonique fondamental de l’intensité s’écrit cos φ comme dans la formule 4.2.
Pour déterminer le bon algorithme, l’idée est de choisir l’ensemble des coefficients {c k ,
k = 0 . . . M − 1} de telle sorte que toutes les composantes S m s’annulent, sauf S 1 . Dans ce
cas, prendre l’argument de S(φ) donnera directement φ.

50CHAPITRE 4. TRAITEMENT DES FRANGES ET DÉTECTION NUMÉRIQUE DE PHASE
4.3.3 Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est défini à partir des coefficients {c k } par :
P (x) =
M−1
∑
k=0
c k x k . (4.9)
À partir de là, il est facile d’écrire le m-ième coefficient de Fourier de S(φ) :
M−1 ∑
S m (φ) = α m
k=0
c k exp[im(φ + kδ)]
= α m exp(imφ) M−1 ∑
c k [exp(imδ)] k
k=0
= α m exp(imφ)P (ζ m ),
(4.10)
où ζ = exp(iδ). Sur cette expression, on peut voir qu’annuler S m (φ) implique que P (ζ m ) =
0. Donc la factorisation du polynôme caractéristique contient le monôme x − ζ m .
Prenons un exemple, et supposons que l’on veuille éliminer les harmoniques m = 0,
m = −1, m = ±2 et m = ±3. Dans ce cas, le polynôme caractéristique va s’écrire
P (x) = c M−1 (x − 1)(x − ζ −1 )(x − ζ 2 )(x − ζ −2 )(x − ζ 3 )(x − ζ −3 ), (4.11)
où c M−1 est une constante que l’on peut choisir arbitrairement.
Jusqu’à présent, nous n’avons pas mentionné de condition sur la valeur du décalage de
phase δ. Cependant, un choix judicieux va permettre de minimiser le nombre d’échantillons
nécessaires à la détermination de la phase. Pour le montrer, il est pratique d’introduire la
notion de diagramme caractéristique.
4.3.4 Diagramme caractéristique
Le diagramme caractéristique est la représentation des racines du polynôme caractéristique
sur le cercle unité du plan complexe. L’emplacement de ces racines est conventionnellement
représenté par un point (racine simple) ou un point entouré d’un ou plusieurs cercles (racines
multiples).
En reprenant l’exemple du paragraphe précédent, si la valeur de δ est arbitraire on
obtient pour le polynôme caractéristique correspondant à l’équation (4.11 ) un diagramme
du type de celui représenté sur la Fig. 4.1 (a). Dans ce cas, il y a 6 racines, le degré du
polynôme est égal à 6 et il a 7 coefficients. Il faut donc 7 échantillons déphasés de l’intensité.
Si δ = 2π/5, le diagramme caractéristique correspond à celui représenté sur la Fig. 4.1
(b) qui montre que le polynôme caractéristique a deux racines de moins. Ce choix de la
valeur de δ ramène le nombre d’échantillons nécessaires de 7 à 5.

4.3. LE DÉCALAGE DE PHASE 51
PSfrag replacements
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3
m = −1
m = −2
m = −3
Fig. 4.1 – Diagramme caractéristique correspondant au polynôme 4.11 (a) Décalage de
phase arbitraire b) Décalage de phase optimum.
4.3.5 Algorithme N-pas ou TFD
En règle générale, si l’on veut éliminer les harmoniques jusqu’à l’ordre j, il faut choisir
δ = 2π/N avec N = j +2. L’algorithme obtenu est appelé « algorithme N-pas » (N-bucket
algorithm). On a :
P N (x) = ζ N−1 ∏
(x − ζ k )
k=0
k≠1
= ζ xN −1
x−ζ
= 1 + ζ −1 x + ζ −2 x 2 + . . . + ζ −(N−1) x N−1 .
(4.12)
Cette équation montre que c k = ζ −k = exp(−i 2kπ/N), c’est-à-dire a k = cos(2kπ/N) et
b k = − sin(2kπ/N). Ainsi l’algorithme final est :
⎡
⎤
N−1 ∑
I k sin(2kπ/N)
k=0
˜φ = − arctan ⎢
⎥
⎣ N−1 ∑
⎦ . (4.13)
I k cos(2kπ/N)
k=0
Il est immédiat de voir que cet algorithme correspond en fait au calcul de l’argument du
premier coefficient de la transformée de Fourier discrète du jeu des valeurs {I k }.
Le nombre total d’échantillons requis par cet algorithme pour un décalage de 2π/N est
M = N.
4.3.6 Sources d’erreur
La non-linéarité du détecteur introduit des harmoniques dans un signal a priori sinusoïdal,
comme un signal d’interférence à deux ondes. Il suffit dans ce cas de prendre un
nombre suffisant d’échantillons avec un algorithme N-pas.

52CHAPITRE 4. TRAITEMENT DES FRANGES ET DÉTECTION NUMÉRIQUE DE PHASE
0
π
2π
Fig. 4.2 – Fenêtrage triangulaire opéré par l’algorithme TFD fenêtré
Une autre source d’erreur importante peut être une mauvaise calibration du dispositif
de décalage de phase, c’est-à-dire que le décalage réel est δ ′ = δ(1 + ɛ).
Par ailleurs, l’intensité moyenne A peut varier légèrement au cours d’un décalage de
phase.
L’effet de ces deux dernières causes d’erreur est minimisée par l’utilisation de l’algorithme
TFD-fenêtré.
4.3.7 Algorithme TFD-fenêtré
On peut montrer que le moyen de réduire les effets d’une mauvaise calibration du
décaleur de phase et d’une variation de l’intensité moyenne est de doubler toutes les racines
du polynôme caractéristique. Le polynôme que l’on obtient ainsi à partir de celui de
l’algorithme N-pas est donc proportionnel à P N (x) 2 , où P N (x) est le polynôme de l’algorithme
N-pas. Il est commode de choisir comme facteur de proportionnalité la quantité
ζ −1 pour obtenir une symétrie hermitique des coefficients. On obtient tous calculs faits :
P (x) = ζ −1 P N (x) 2 =
3π
2N−2
∑
k=0
4π
t k ζ −k−1 x k , (4.14)
où {t k , k = 0, . . . , 2N −2} = {1, 2, . . . , N −1, N, N −1, . . . , 2, 1}. Ces coefficients peuvent se
comprendre comme un fenêtrage triangulaire de la série d’échantillons de l’intensité (Fig.
4.2). À partir de (4.14), on trouve que l’algorithme s’écrit :
⎡
⎤
N−1 ∑
k(I k−1 − I 2N−k−1 ) sin(2kπ/N)
φ = arctan ⎢
⎣ − k=1
⎥
NI N−1 + N−1 ∑
⎦ . (4.15)
k(I k−1 + I 2N−k−1 ) cos(2kπ/N)
k=1
Il est immédiat de voir que cet algorithme correspond en fait au calcul de l’argument du
deuxième coefficient de la transformée de Fourier discrète du jeu des valeurs {I k } fenêtré
par les coefficients {t k }.
Le nombre total d’échantillons requis par cet algorithme pour un décalage de 2π/N est
M = 2N − 1.

4.3. LE DÉCALAGE DE PHASE 53
4.3.8 Bruit
L’enregistrement d’une image d’intensité s’accompagne toujours de bruit. Pour évaluer
le rapport signal sur bruit, il faut considérer que le signal est la partie modulée de l’intensité,
c’est-à-dire le terme Aγ cos φ. La puissance locale du signal est donc A 2 γ 2 cos 2 φ et donc la
puissance moyenne P s est :
P s = A2 γ 2
(4.16)
2
Pour un bruit additif sur l’intensité, c’est-à-dire si l’intensité enregistrée s’écrit :
I enreg = A(1 + γ cos φ) + b (4.17)
où b est un bruit dont la puissance est donnée par la variance σ 2 :
P b = σ 2 (4.18)
Le rapport signal sur bruit SNR au niveau de l’enregistrement de l’intensité est donc :
SNR = P s
P b
= A2 γ 2
2σ 2 (4.19)
On peut montrer que la variance du bruit sur la phase obtenue par détection avec un
algorithme employant M échantillons est :
σ 2 φ =
1
Mη 2 SNR = 2σ 2
Mη 2 A 2 γ 2 (4.20)
où η est un coefficient numérique compris entre 0 et 1 et caractéristique de l’algorithme
employé. Pour l’algorithme N-pas, on a :
et pour l’algorithme TFD-fenêtré, on a :
√
3
η =
2
η = 1
√ (
1 − 1
2N
1
) (
1 + 1 )
2N 2
Les premières valeurs de η correspondantes sont regroupées dans la Table 4.1. La mesure
expérimentale du bruit sur l’intensité peut se faire en enregistrant deux images successives
de la même scène. La soustraction de ces deux images ne comporte que la différence des
bruits présents dans chacune d’elles, dont la variance est égale à 2σ 2 puisque les bruits sur
deux images successives sont statistiquement indépendants.
La mesure expérimentale du bruit sur la phase peut se faire de la même manière, en
dépouillant deux mesures indépendantes de la phase si cela est possible.
Une autre méthode est envisageable pour évaluer le bruit sur la phase, qui consiste à
faire un lissage spatial (filtrage passe-bas) sur le champ de phase, et à soustraire les champs
de phase lissés et non lissés. Ceci ne donnera le bon résultat que s’il n’y a pas de « bruit
spatial », comme dans une technique de speckle, par exemple.

54CHAPITRE 4. TRAITEMENT DES FRANGES ET DÉTECTION NUMÉRIQUE DE PHASE
Tab. 4.1 – Premières valeurs de η pour l’algorithme TFD-fenêtré
N η
3 0,923381
4 0,911685
5 0,903877
6 0,898317
7 0,894167
8 0,890954
∞ √ 3/2 = 0, 86603

Chapitre 5
Méthodes géométriques de mesures
5.1 Profilométrie par projection de lumière structurée
La profilométrie par projection de lumière structurée consiste à éclairer un objet dont
on veut connaître la forme par un système de traits parallèles alternativement lumineux
et sombres (Fig. 5.1). Sur l’objet, l’information de hauteur z par rapport à une surface de
référence est transformée en une information de déplacement u x de la frange, et on a dans
le cas le plus simple de la projection collimatée (Fig. 5.1a),) :
z =
u x
tan(θ)
(5.1)
en considérant que la direction des franges est parallèle à l’axe y. L’intensité recueillie par
une caméra est
{
[ ]}
2πx
I(x, y) = A(x, y) 1 + γ(x, y)frgn
p + ψ(x, y)
(5.2)
oùp est la période initiale des franges et ψ(x, y) est la modulation de phase causée par les
variations de hauteur :
ψ(x, y) = 2πu x 2πz tan θ
= (5.3)
p p
Les techniques de détection de phase vues en première partie permettent d’évaluer le champ
de phase modulo 2π, c’est-à-dire qu’elles fournissent :
ϕ(x, y) = ψ(x, y) MOD 2π (5.4)
soit la phase repliée dans l’ intervalle ] − π, π]. Pour obtenir la hauteur z(x, y) à partir de
ϕ(x, y), un dépliement de phase est nécessaire.
55

56 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
Sfrag replacements
observation
source
u x
θ
franges projetées
z
surface de l’objet
surface de référence
(a)
(b)
Fig. 5.1 – Principe de la profilométrie par projection de lumière structurée (a) Projection
parallèle (b) Projection conique
5.2 Le dépliement de phase
5.2.1 Introduction
Une fois que la phase est détectée, il faut procéder au dépliement de phase pour
représenter le mesurande physique (longueur, déplacement, pente, etc. . . ). déplier la phase
signifie supprimer les sauts de 2π présents, en ajoutant ou supprimant localement le multiple
de 2π adéquat. La procédure est triviale dans le cas unidimensionnel : il suffit de
contrôler la différence de phase entre deux pixels voisins. Si cette différence est en valeur
arithmétique plus grande que π, par exemple, on rajoute (ou soustrait, selon le signe de
cette différence) 2π à la valeur de la phase du deuxième pixel et à tous les pixels suivants.
Cette procédure est beaucoup plus difficile à appliquer au cas bidimensionnel, pour
plusieurs raisons. Une des principales est que certaines fois, il n’y a pas suffisamment d’information
dans l’image pour réaliser le dépliement de phase. C’est le cas lorsque différentes
zones de l’image sont déconnectées, c’est-à-dire séparées par une zone de pixels invalides
(où n’apparaît aucune frange, et donc où la phase n’est pas calculable). Il n’y a donc pas de
chemin qui relie les zones, et donc aucun moyen de connaître le multiple de 2π à introduire
dans une zone par rapport à l’autre. Un autre cas où le dépliement spatial devient impossible
est celui où les objets étudiés en profilométrie comportent des variations de hauteur
par sauts.
Deux stratégies existent pour le dépliement de phase : spatiale et temporelle. Il faut
cependant noter que la stratégie temporelle n’est pas toujours possible.
5.2.2 Dépliement spatial
On parle de dépliement spatial de phase quand une seule carte de phase est utilisée.
Les problèmes rencontrés sont évoqués dans le paragraphe précédent. Comme la procédure

5.2. LE DÉPLIEMENT DE PHASE 57
Projecteur vidéo
Sfrag replacements
P
Surface de référence
A
C
θ
S
O
Caméra CCD
Fig. 5.2 – Mise en œuvre de la profilométrie par projection avec un projecteur vidéo.
B
de dépliement suit un chemin, les erreurs dues par exemple au bruit (un saut de 2π n’est
pas détecté ou à l’inverse un saut est détecté alors qu’il n’a pas lieu d’être) se propagent
le long du chemin (Fig. 5.3).
Fig. 5.3 – Propagation d’une erreur de dépliement de phase. Le cercle est centré à l’origine
de l’erreur (pixel bruité)
Diverses stratégies existent pour tenter de remédier à ce type de problèmes. Une des

58 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
méthodes les plus simples est la suivante. Le processus de lissage spatial est un processus
local qui peut donc réaliser un dépliement local, sur les quelques pixels de largeur du filtre.
Il doit même l’être pour que les sauts ne soient pas arrondis. Dans ce cas, il est possible
de soustraire la phase bruitée à la phase lissée spatialement, de conserver en mémoire le
résultat de cette soustraction, et de déplier le champ de phase lissé, ce qui est bien plus
facile. Après, il suffit de rajouter la différence gardée en mémoire pour obtenir le dépliement
de la carte de phase bruitée. Ce processus est illustré sur la Fig. 5.4.

5.2. LE DÉPLIEMENT DE PHASE 59
(a)
(b)
(c)
PSfrag replacements
(d)
Fig. 5.4 – Dépliement de phase par lissage spatial. À gauche, des coupes horizontales. (a)
image de phase bruitée (b) image de phase après un lissage spatial (c) image de phase
lissée dépliée (d) Image de phase bruitée et dépliée

60 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
5.2.3 Dépliement temporel
Codes de Gray
Un code de Gray 1 est une série de 2 n nombres ordonnés de manière telle que seul un
bit change dans leur représentation en binaire lorsque l’on passe successivement de l’un à
l’autre ; exemple pour n = 3 : 000, 001, 011, 010, 110, 111,101,100. L’intérêt de n’avoir
qu’un seul bit qui change lors d’une transition permet de stabiliser la détection de celle-ci.
Pour le dépliement de phase, le processus est illustré sur la Fig. 5.5.
PSfrag replacements
décimal
binaire
0
000
1
2 3 4 5 6 7
001 011
010
110
111 101
100
masque #3
0
0 0
0
1
1 1
1
masque #2
0
0 1 1 1 1 0
0
masque #1
0
1 1 0 0 1 1
0
franges
Fig. 5.5 – Numérotation des franges par projection de masques successifs
C’est actuellement la procédure la plus utilisée dans les systèmes commerciaux. Le
nombre total de masques à projeter est égal à INT(log 2 F ) + 1, où F est le nombre total de
franges dans le champ. Par exemple, si le décalage de phase temporel nécessite 5 images et
si F = 240, un total de 13 images est nécessaire (5 images décalées en phase et 8 masques,
2 8 = 256).
Dépliement multifréquence
Dans cette approche, plusieurs images avec différentes fréquences de franges sont utilisées.
Pour chaque fréquence spatiale, un décalage de phase temporel est réalisé pour
évaluer le champ de phase modulo 2π. Le nombre total de franges dans le champ est
augmenté 1 par 1 de 1 à F , la frange centrale restant au centre du champ. On voit
qu’il est donc impossible de travailler en décalage de phase spatial puisque les premières
fréquences spatiales sont très basses. La phase dépliée est obtenue en faisant les différences
ϕ i+1 (x, y) − ϕ i (x, y) entre les phases détectées pour les fréquences spatiales de i et i + 1
1 Du nom de Franck Gray des Bell Labs, qui a déposé un brevet à ce sujet en 1953. À noter que le
Français Émile Baudot a utilisé un système analogue en télégraphie en 1878.

5.2. LE DÉPLIEMENT DE PHASE 61
franges dans le champ. En effet, le fait que la variation du nombre de franges ne dépasse
pas 1 et que la frange centrale reste au même endroit permet d’assurer que la différence de
phase entre deux pas successifs est dans l’intervalle [−π, π]. La procédure est illustrée sur
la Fig. 5.6. Comme on peut voir, le nombre total d’images d’intensité requises est MF , où
M est le nombre d’images pour l’algorithme de décalage de phase choisi.
Sfrag replacements
Intensité
Somme des différences de phase
5π
4π
3π
2π
π
0
−π
−2π
−3π
−4π
−5π
Phase
π
0
−π
π
0
−π
π
0
−π
Différences de phase
π
0
−π
π
0
−π
π
0
−π
π
π
0
0
−π
−π
π
π
0 0
−π
−π
Fig. 5.6 – Dépliement temporel de phase
Longueur d’onde synthétique
Il est finalement possible d’employer le concept de « longueur d’onde synthétique »,
en utilisant simplement deux fréquences spatiales (hautes, donc autorisant le décalage de
phase spatial) légèrement différentes. Si chacun des champs de phase correspondant est
obtenu par décalage de phase spatial, le nombre d’images d’intensité nécessaires tombe à

62 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
2.
Plus précisément, le champ de phase obtenu par soustraction des deux champs de phase
correspondant aux deux fréquences spatiales légèrement différentes va être à variation
spatiale lente. On peut donc s’en servir pour numéroter les franges. Le pas des franges est
modifié par un rapport (L − 1)/L entre les deux images, c’est-à-dire qu’on règle ce pas de
manière à avoir L franges dans la largeur du champ sur la première image et L − 1 sur la
deuxième. Donc la différence des champs de phase correspondants va varier de 2π toutes
les L franges. En divisant cette phase par 2π/L, on obtient un champ qui varie de L toutes
les L franges. La partie entière de ce champ permet donc de numéroter chaque frange. À
cause du bruit, il y a quelques problèmes au voisinage des sauts de 2π. Il suffit alors de
numéroter les demi-franges d’abord paires, puis impaires selon le processus indiqué sur la
Fig. 5.7.
PSfrag replacements
phase no 1
π
−π
-4
numéro de demi-frange
-3 -2 -1 0 1 2 3
4
phase no 2
π
−π
différence de phaseπ
+2π/L −π
partie entière de la
division par π/L
multipliée par 2
π
phase #1 −π
−π
-4
-2
0
2
4
π
différence de phase
−π
partie entière de la
division par π/L
multipliée par 2, plus 1
-3
-1
1
3
point central
Fig. 5.7 – Dépliement de phase en utilisant le concept de longueur d’onde synthétique

5.3.
MÉTHODE DE LA GRILLE 63
5.3 Mesure de déplacements : méthode de la grille
5.3.1 Principe
Le phénomène fondamental dans les méthodes de grille ou de moiré est la déformation
solidaire d’une grille collée, déposée ou gravée sur la surface d’un échantillon. On supposera
que la grille suit fidèlement les déplacement et les déformations du substrat sur lequel
elle est déposée. La grille joue le rôle d’une porteuse ayant un vecteur fréquence spatiale
−→ F =
−→ n /p, où
−→ n est le vecteur unitaire normal aux traits et p est la période (pas) de la
grille. L’intensité I( −→ R ) réfléchie au point −→ R = (X, Y ) par cette grille dans l’état initial
non déformé peut être décrite par :
I i ( −→ [
R ) = A 1 + γ frgn(2π −→ F . −→ ]
R )
(5.5)
Le profil du trait est décrit par la fonction frgn.
La déformation de la structure étudiée est décrite mathématiquement par le champ
des déplacements −→ U ( −→ R ). Une particule matérielle située au point géométrique −→ R sera
emmenée au point −→ r = −→ R + −→ U ( −→ R ) par la déformation. On peut considérer le champ des
déplacements directs −→ U ( −→ R ), mais aussi le champ des déplacements inverses −→ u ( −→ r ) défini
sur la configuration déformée, et ramenant la structure dans son état initial. La relation
entre ces deux champs est :
PSfrag replacements
−→ −→ U ( R ) = −
−→ u (
−→ r ) = −
−→ −→ −→ −→ u [ R + U ( R )] (5.6)
et est illustrée sur la Figure 5.8.
−→ u (
−→ r )−→U
(
−→ R )
−→ −→ −→ −→
• r = R + U ( R )
−→ R =
−→ r +
−→ u (
−→ r )
•
Fig. 5.8 – Déplacements directs et inverses
L’intensité du signal lumineux observé dans l’état déformé au point −→ r sera celle observée
au point −→ R dans l’état non déformé, parce que la particule matérielle est la même,
donc la partie de grille qui y est accolée n’a pas changé. Ainsi, l’intensité I f ( −→ r ) réfléchie
par la grille déformée dans l’état final est :
I f ( −→ r ) = I i ( −→ R ) = I i [ −→ r + −→ u ( −→ r )] (5.7)
soit :
avec :
I f ( −→ {
r ) = A 1 + γ frgn[2π −→ F . −→ r + φ n ( −→ }
r )]
φ i ( −→ r ) = 2π −→ F . −→ u ( −→ r ) = 2π u i
p
(5.8)
(5.9)

64 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
où u i , i = x, y est la composante du déplacement suivant la direction x ou y selon que
les traits sont alignés suivant y ou x respectivement. Donc, le champ des déplacements
inverses apparaît comme un signal de modulation de phase de la porteuse.
Cette modulation peut donc être évaluée par les méthodes de détection de phase vues
précédemment. Vu la présence d’une porteuse, la technique de décalage spatial de phase
est ici évidemment une méthode à utiliser préférentiellement. Il faudra dans ce cas régler
le grandissement de l’objectif de la caméra de manière à ce qu’un nombre entier de pixels
correspondent à l’intervalle entre deux traits. l’algorithme à choisir sera l’algorithme TFDfenêtré,
puisqu’au fur et à mesure des déplacements et des déformations, le pas de la grille
va varier et que la condition d’un décalage de 2π/N entre pixels ne sera pas toujours
vérifiée.
Si la caméra comporte P pixels suivant une direction, et que l’on a choisi un algorithme
avec un décalage de phase de 2π/N, il faudra P/N traits au total dans la largeur L du
champ suivant cette direction. Une période p correspond donc à une longueur égale à NL/P
de la largeur totale du champ. Si la détection de phase se fait avec une sensibilité de 2π/S,
la sensibilité sur la mesure du déplacement est :
δU = p S = NL
P S
Rapporté à la dimension du champ visé, cela donne :
δU
L = N P S
(5.10)
(5.11)
Pour une caméra de 1024 pixels, un algorithme décalant à π/2 et un niveau de bruit
permettant une détection de phase à 2π/100, on obtient une résolution sur les déplacements
de 4/100 000 = 1/25 000 du champ, soit 40 µm pour un champ de 1 m ou 4 µm pour un
champ de 100 mm.
On rappelle que dans le cas du décalage spatial de phase avec l’algorithme TFD-fenêtré
utilisant 2N − 1 pixels, la résolution spatiale est également de 2N − 1 pixels.
5.3.2 Petits déplacements, grands déplacements, déformations
Il n’a pas été fait pour le moment d’hypothèse sur l’amplitude du champ de déplacement.
Si les déplacements sont grands, la phase mesurée est directement proportionnelle au
déplacement inverse, et c’est au mécanicien d’appliquer les formules ad hoc pour calculer
par dérivation les déformations.
Dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacements et des petites déformations, on
peut faire l’approximation :
−→ u (
−→ r ) =
−→ u (
−→ R ) = −
−→ U (
−→ r ) = −
−→ U (
−→ R ) (5.12)
et on obtient alors :
φ i (x, y) = − 2π p U i(x, y) (5.13)

5.3.
MÉTHODE DE LA GRILLE 65
faisant intervenir les composantes du déplacement direct.
Dans le cas des petits déplacements, il importe de ne pas mélanger les déformations
réelles avec les déformations liées à des aberrations géométriques de l’objectif de prise de
vue. Un moyen simple d’éliminer ces aberrations est de prendre une image dans l’état
initial, et de soustraire les champs de phase détectés dans les états final et initial.
Dans le cas des petites déformations, le tenseur des déformations de Cauchy ɛ ij peut
être évalué par différentiation numérique, selon :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ɛ xx = ∂U x
∂x = − p ∂φ x
2π ∂x
ɛ yy = ∂U y
∂y = − p ∂φ y
2π ∂y
ɛ xy = 1 ( ∂Ux
2 ∂y + ∂U )
y
∂x
= − p ( ∂φx
4π ∂y + ∂φ )
y
∂x
(5.14)
À cause du bruit inévitable présent dans les images de phase, la différentiation numérique
doit s’accompagner d’un lissage spatial pour pouvoir obtenir des résultats exploitables.
L’expérience montre que ce nombre K doit être très important (20 à 40, voire plus). Il faut
cependant se rendre compte qu’un lissage spatial sur un rayon de K pixels réduit d’autant
la résolution spatiale. Il s’agit là de la principale limitation de la méthode de grille.
5.3.3 Mesure des deux composantes du déplacement
La méthode de la grille ne permet a priori de mesurer qu’une seule composante du
déplacement. Il est cependant possible d’utiliser une grille croisée pour permettre la mesure
simultanée des deux composantes. Dans ce cas, un traitement d’image simple va permettre
de séparer les informations suivant x et suivant y.
Supposons que l’algorithme utilisé utilise un décalage de 2π/N. L’idée est de faire un
moyennage glissant sur une longueur égale à la période du signal que l’on cherche à éliminer.
En effet, considérons le signal :
f(x) = A + B cos(2πfx) (5.15)
Une moyenne spatiale glissante suivant la direction x correspond à faire un produit de
convolution avec la fonction 1/p × Π(x/p). Dans l’espace de Fourier, cela revient à multiplier
le spectre de f(x) par sinc(pu) qui s’annule pour la fréquence f = 1/p qui est celle
présente dans le signal f(x), où il ne restera plus que la valeur moyenne A.
Pour éliminer les traits verticaux (respectivement : horizontaux), on fait donc avec
l’image un produit de convolution avec un noyau constitué de N pixels égaux à 1/N ,
disposés sur une ligne horizontale (respectivement : verticale).

66 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
5.3.4 Moiré
On présente l’effet de moiré dans cette section, bien que les concepts présentés soient
communs à toutes les techniques où une porteuse spatiale est présente.
Le moiré n’est pas en lui-même une technique de mesure. C’est simplement un effet qui
vient ou non se surajouter à la technique de la grille, et qui modifie le contenu spectral des
informations délivrées par cette technique.
Le moiré est l’effet non-linéaire de battement entre deux signaux de fréquences spatiales
voisines. Cet effet non-linéaire peut être obtenu de différentes façons (multiplication,
opération XOR, etc). Prenons l’exemple de la superposition de deux transparents de transparence
t 0 ( −→ r ) et t 1 ( −→ r ) :
t i ( −→ r ) = 1 2 [1 + cos(2π−→ f i . −→ r )] (5.16)
où les vecteurs fréquence spatiale −→ f 0 et −→ f 1 sont voisins. Les spectres correspondants sont :
̂t i ( −→ u ) = 1 2 δ(−→ u ) + 1 4 [δ(−→ u + −→ f i ) + δ( −→ u − −→ f i )] (5.17)
La transparence résultante sera :
soit au niveau spectral :
t = t 0 t 1 (5.18)
̂t = ̂t 0 ⋆ ̂t 1 (5.19)
ce qui donne :
̂t( −→ u ) = 1 4 δ(−→ u )
+ 1 8 [δ(−→ u + −→ f 0 ) + δ( −→ u + −→ f 1 ) + δ( −→ u − −→ f 0 ) + δ( −→ u − −→ f 1 )]
+ 1 16 [δ(−→ u + −→ f 0 − −→ f 1 ) + δ( −→ u − −→ f 0 + −→ f 1 )
(5.20)
+ 1 16 [δ(−→ u + −→ f 0 + −→ f 1 ) + δ( −→ u − −→ f 0 − −→ f 1 )
où l’on retrouve les fréquences −→ 0 , −→ f 0 et −→ f 1 , mais également la fréquence −→ f 0 + −→ f 1 qui est
approximativement double de −→ f 0 ou −→ f 1 , et surtout la fréquence −→ f 0 − −→ f 1 qui elle est proche
de zéro. On appellera signal de moiré la composante basse fréquence correspondant à cette
différence :
I m ( −→ r ) = A + B cos[2π( −→ f 0 − −→ f 1 ). −→ r ] (5.21)
L’intérêt du moiré réside précisément dans cette translation qui est réalisée dans l’espace
des fréquences. Si la grille 1 est la grille déformée (c’est-à-dire que dans l’espace de Fourier
il y a un lobe élargi autour de la fréquence nominale −→ f 1 ), et la grille 0 une référence non
déformée, l’effet de la multiplication va être une translation de l’information contenue dans

5.3.
MÉTHODE DE LA GRILLE 67
les lobes autour de −→ f 1 et − −→ f 1 vers l’origine. Cet effet est représenté sur la Fig. 5.9. Sur cette
figure est aussi représenté un cercle représentant le pouvoir de résolution de l’instrument
d’optique faisant l’acquisition de l’image. Dans le cas présenté, le moiré permet à cet
appareil de voir une information qui correspond au départ à des fréquences spatiales trop
élevées pour lui : il ne « résout » pas les traits, alors qu’il voit bien les franges de moiré.
Sfrag replacements
Vecteurs de translation
− −→ f 0
−→
f0 − −→ f 0
−→
f0
Spectre des franges
spectre des traits de moiré spectre des traits
(fréquences négatives − −→ f (fréquences positives −→ 1 )
f 1 )
Pouvoir de résolution de l’instrument
Fig. 5.9 – Translations du spectre dûs à l’effet de moiré
Cela permet d’utiliser des grilles de pas très fin (jusqu’à 40 traits par millimètre), ce
qui augmente la sensibilité de la mesure des déplacements. Par contre, la mise en œuvre
est compliquée par l’emploi d’une grille de référence qui doit être mise soigneusement en
contact avec la grille se déformant, pour éviter l’apparition de franges parasite liées au non
parallélisme des deux grilles.
Un des effets spectaculaires du moiré est de magnifier considérablement les déformations,
c’est-à-dire que la déformation des franges de moiré est très supérieure à la déformation
des traits de la grille active. Cet effet est expliqué par la Fig. 5.10, où l’on voit qu’une
variation de fréquence spatiale liée à la déformation de la grille va donner une beaucoup
plus grande variation du pas des franges de moiré que des traits de la grille.

68 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
période spatiale
PSfrag replacements
p = 1 f
f 1 − f 0
f 1
fréquence spatiale
Fig. 5.10 – Augmentation des déformations par le moiré
5.4 Mesure de pentes : déflectométrie
La déflectométrie est une méthode de mesure de champs de pente sur un objet quasi
plan. Son principe est représenté sur la Fig. 5.11. L’objet est illuminé avec un faisceau
de lumière collimaté sous incidence normale, à partir d’une source S placée au foyer de la
lentille de champ FL. Après réflexion, tous les rayons ayant une direction de propagation
donnée (par exemple, les rayons réfléchis aux points A et B, où la pente locale θ est
identique) convergent dans le plan focal au même point situé à la distance d de l’axe
optique. Si une fente est positionnée à cet endroit, l’écran ne recevra de lumière qu’en
provenance des points ayant cette même pente θ : une ligne d’isovaleur de pentes est
observée sur l’écran.
La forme de la surface est décrite par la fonction w(x, y) où w est la distance (flèche) par
rapport à un plan de référence. La pente locale a deux composantes : ∂w/∂x et ∂w/∂y.
Dans le cas de la Fig. 5.11, ce qui est observé sur l’écran est la ligne d’isovaleur de la
composante y de la pente : θ = ∂w/∂y. Si une fente alignée avec l’axe y est utilisée, c’est
l’autre composante de la pente, ∂w/∂x qui sera observée.
La relation entre d et la distance focale f est :
et donc la composante y de la pente est donnée par :
2θ ≈ tan(2θ) = d/f (5.22)
∂w
∂y
≈ θ = d/2f (5.23)
Pour avoir en une seule fois un ensemble plus important d’informations, la fente peut être
remplacée par un ensemble de fentes, donc une grille, comme indiqué sur la Fig. 5.12. Sur

5.4.
DÉFLECTOMÉTRIE 69
cette figure, les traits de la grille sont supposés être orientés parallèlement à l’axe des x,
de manière à ce que les pentes suivant y soient mesurées. Ce qui est observé sur l’écran
ressemble à des franges d’interférence, à la différence que ces franges sont incomparablement
plus stables vis-à-vis des vibrations parasites. En effet, ces vibrations n’induisent que des
translations de corps solide au niveau de l’objet, qui ne modifient pas les pentes.
PSfrag replacements
Grille
Décalage de phase
Écran dépoli
Fig. 5.12 – Déflectométrie : remplacement de la fente par une grille (l’éclairage de l’objet
n’est plus représenté).
En pratique, c’est une bonne idée de remplacer la grille d’analyse alternativement
opaque et transparente (motif binaire) par un objet de transparence sinusoïdale. Dans
ce cas, l’intensité observée sur l’écran sera modulée par les valeurs des pentes :
I(x, y) = I 0 {1 + γ cos [ϕ(x, y)]} (5.24)
où I 0 est l’intensité moyenne, γ est toujours le contraste, et ϕ(x, y) la phase donnée par :
ϕ(x, y) = 2π d p
= 2π
2θf
p
(5.25)
où p est le pas de la grille. L’expression ci-dessus est valable quand une ligne transparente
de la grille est placée au niveau de l’axe optique. Si la grille est déplacée de u, la phase est
modifiée comme suit :
ϕ(x, y) −→ ϕ(x, y) + 2π u (5.26)
p
Donc un décalage de phase peut être réalisé simplement par translation de la grille d’analyse
dans le plan focal de la lentille de champ. Le champ de phase obtenu peut être relié au
champ des pentes locales à l’aide des équations (5.23) and (5.25) :
∂w
∂y = θ = ϕ 2π × p
2f
(5.27)
Un exemple de résultat sur la mesure du champ de pentes pour une pièce de germanium de
100 mm de diamètre usinée avec un outil diamant est présenté sur la Fig. 5.13. Rappelons

70 CHAPITRE 5.
MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES
qu’une pente de 1 microradian correspond à une variation d’altitude de 1 nanomètre par
millimètre.
Fig. 5.13 – Cartographie du champ de pentes pour une pièce de germanium usinée avec
un outil diamant.
Par rapport à la technique de l’interférométrie, l’intérêt de la déflectométrie est :
– l’insensibilité aux vibrations, dont il a déjà été fait mention ;
– la possibilité de régler la sensibilité. En effet, celle-ci dépend du pas p de la grille
d’analyse. On peut donc augmenter cette valeur si la surface présente des variations
de hauteurs et donc des pentes importantes, pour diminuer le nombre de franges observées.
Ceci n’est pas possible en interférométrie où la distance entre deux franges
dépend de la longueur d’onde et n’est donc pas modifiable dans de grandes proportions.

5.4.
DÉFLECTOMÉTRIE 71
PSfrag replacements
θ
2θ
y
A
FL
IL
A ′
Observation
x
B
Objet
f
S
BS
B ′
Écran dépoli
Fig. 5.11 – Montage de déflectométrie, utilisant une fente. S : source ponctuelle, BS : lame
semi-réfléchissante, FL : lentille de champ, IL : lentille d’imagerie

72 CHAPITRE 5. MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE MESURES

Chapitre 6
Méthodes interférométriques
6.1 Interférences à deux ondes et vecteur sensibilité
6.1.1 Rappel sur les interférences
La phase ψ(t) = ωt + φ d’une onde électromagnétique, dans le domaine visible, oscille à
une fréquence de l’ordre du térahertz (10 14 Hz). Aucun récepteur n’est capable d’enregistrer
les variations temporelles de cette phase à des fréquences aussi élevées. C’est pourquoi on
a recours au phénomène des interférences, dont le but principal est d’éliminer par un
phénomène de battement le terme en ωt présent dans ψ.
Considérons deux ondes électromagnétiques d’amplitudes E 1 (t) = A 1 cos(ωt + φ 1 ) et
E 2 (t) = A 2 cos(ωt + φ 2 ). L’intensité mesurée par un détecteur ne recevant que l’onde 1
seule est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ E 1 (t) :
I 1 ∝ E1(t) 2 = A2 1
2 [1 + cos(2ωt + 2φ 1)] = A2 1
2
(6.1)
et de même pour I 2 , d’où l’on déduit A 1 ∝ √ 2I 1 et A 2 ∝ √ 2I 2 . Si les deux ondes interfèrent,
on a :
E 2 (t) = [E 1 (t) + E 2 (t)] 2
= A2 1
soit pour l’intensité I détectée :
2 [1 + cos(2ωt + 2φ 1)] + A2 2
2 [1 + cos(2ωt + 2φ 2)]
+A 1 A 2 [cos(2ωt + φ 1 + φ 2 ) + cos(φ 1 − φ 2 )]
(6.2)
soit :
I ∝ E 2 (t) = A2 1
2 + A2 2
2 + A 1A 2 cos(φ 1 − φ 2 ) (6.3)
I = I 0 (1 + γ cos Φ) (6.4)
73

74 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
θ
PSfrag replacements
PSfrag replacements
PSfrag replacements
Réseau
θ
Réseau
θ
Réseau
(a) Réflection spéculaire
(b) Diffusion
(c) Diffraction sur un réseau
Fig. 6.1 – Différents modes d’interaction de la lumière sur une surface
où I 0 = I 1 + I 2 et où le contraste γ est donné par :
et la phase Φ des franges d’interférences est :
γ = 2√ I 1 I 2
I 1 + I 2
(6.5)
Φ = ψ 1 − ψ 2 = φ 1 − φ 2 (6.6)
Dans la suite, nous noterons toujours ψ la phase d’une onde électromagnétique, y compris
le facteur temporel ωt, φ cette phase débarrassée de ce facteur temporel, et Φ la phase
d’une frange d’interférence. On notera avec la lettre ∆ la variation d’une grandeur entre
deux états ; par exemple, ∆Φ désignera la variation de la phase d’une frange d’interférence
entre deux états.
6.1.2 Interactions lumière-surface
Selon le mode d’interaction entre la lumière incidente et la surface, l’interférométrie
peut se mettre en œuvre de différentes manières, mises en évidence sur la Fig. 6.1.
Dans le premier cas (Fig. 6.1(a)), la surface est un miroir. Toute l’énergie incidente sur la
surface repart dans une direction bien déterminée, donnée par la loi de Snell-Descartes
(angle de réflexion égal à l’angle d’incidence). Si la surface d’onde incidente est « lisse »,
c’est-à-dire sans variation spatiale aléatoire (typiquement : plane ou sphérique), la surface
d’onde réfléchie est lisse elle aussi.
Dans le deuxième cas (Fig. 6.1(b)), la lumière est diffusée dans tout un demi-espace.
L’observateur peut se trouver n’importe où. Comme l’énergie est répartie dans une grande
zone, un système d’observation situé au voisinage d’une direction donnée recueillera peu

6.1. VECTEUR SENSIBILITÉ 75
d’énergie. Cette configuration (§ 6.6), qui correspond à ce qu’il est coutume d’appeler l’interférométrie
de speckle (plus correctement : l’interférométrie en lumière diffuse), nécessite
donc une source laser de puissance importante. Le gros intérêt de cette configuration est
qu’aucune préparation de la surface est nécessaire ; il suffit qu’elle soit suffisamment diffusante
; si ce n’est pas le cas, une simple pulvérisation de peinture blanc mat est suffisante.
Un inconvénient d’opérer ainsi en lumière diffuse est que les surfaces d’onde diffusées sont
aléatoires, c’est-à-dire que leur surface est très accidentée. Cela se traduira par un bruit
spatial très important lors des mesures de champ de phase de franges d’interférences.
Dans le troisième cas (Fig. 6.1(c)), un réseau de diffraction est déposé par moulage sur
la surface, de manière à ce que le premier ordre diffracté soit normal à la surface. Cela se
produit quand :
sin θ = λ p
(6.7)
où p est la période du réseau. Dans ce cas, une fraction importante de l’énergie repart
vers un observateur situé dans la direction normale, et les surfaces d’ondes diffractées dans
cette direction sont lisses. L’intérêt de cette configuration se révèlera après que nous ayons
introduit le vecteur sensibilité.
Pour un angle de 45˚et une longueur d’onde de 633 nm, on obtient avec l’équation
(6.7) une fréquence spatiale du réseau égale à f = 1/p = 1117 traits par millimètre.
6.1.3 Vecteur sensibilité
Lorsqu’un point d’une surface éclairée par de la lumière monochromatique est soumis
PSfrag replacements
à un petit déplacement caractérisé par un vecteur −→ u , la variation de phase du faisceau
provenant de la source et renvoyé vers l’observateur est calculée par la variation du chemin
optique entre la source S et l’observateur T (Fig. 6.2).
P
S
−→ k e
−→ u
− −→ −→ g
k o
M
−→ k o
T
Fig. 6.2 – Définition du vecteur sensibilité

76 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
Le chemin optique l entre la source et le point d’observation est :
l = n(SM + MT ) ≈ SM + MT (6.8)
si l’on considère que la propagation a lieu dans l’air d’indice n ≈ 1. La variation de ce
chemin optique est :
∆l = ∆SM + ∆MT (6.9)
correspondant à une variation de phase :
∆φ = 2π λ
∆l (6.10)
Or on peut écrire :
SM 2 = −−→ SM 2 (6.11)
soit : {
SM.∆SM = −−→ SM.∆ −−→ SM = −−→ SM. −→ u
SM.∆T M = −−→ T M.∆T −−→ M = −−→ T M. −→ u
(6.12)
d’où l’on tire : ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
∆SM =
∆T M =
−−→ SM
SM .−→ u
−−→ T M
T M .−→ u
(6.13)
Comme les vecteurs d’onde du faisceau d’éclairage −→ k e et celui du faisceau d’observation −→ k o
ont pour expression : ⎧⎪ ⎨
−→
ke = 2π −−→ SM
λ SM
⎪ ⎩
−→
ko = − 2π −−→ T M
λ T M
le résultat pour la variation de phase ∆φ est donc :
(6.14)
∆φ = ( −→ k e − −→ k o ). −→ u (6.15)
On pose :
−→ g =
−→ k e − −→ k o (6.16)
et on appelle ce vecteur le vecteur sensibilité . Il est aligné selon la bissectrice des directions
des vecteurs −→ k e et −→ k o . On a avec cette notation :
∆φ = −→ g . −→ u (6.17)
Donc le vecteur sensibilité indique la composante du déplacement à laquelle la méthode de
mesure sera sensible : la composante parallèle à −→ g .

6.2.
INTERFÉROMÉTRIE TYPE MICHELSON 77
PSfrag Surface replacements de référence
−→ k o
−→ g
−→ k e
Surface testée
Fig. 6.3 – Principe de la mesure interférométrique de formes de surfaces
Lame semi-réfléchissante
Surface de référence
PSfrag replacements Surface testée
Source ponctuelle
Observation
Fig. 6.4 – Montage interférométrique de Twymann-green pour l’étude interférométrique
de la géométrie des surfaces réfléchissantes
6.2 Interférométrie type Michelson
On appelera Interférométrie type Michelson un montage où des ondes d’éclairage et
d’observation sont planes, et où l’interaction avec la surface étudiée est une réflexion. La
séparation des faisceaux d’éclairage et de référence se fait avec une lame semi-réfléchissante.
Le principe en est représenté sur la Fig. 6.3. Le montage classique de Twymann-Green
est représenté sur la Fig. 6.4. La norme du vecteur sensibilité est g = 2k = 4π/λ. On a une
variation de phase φ lorsque ge = φ, où e est l’écart de la surface par rapport au plan de
référence. On en tire :
e = φ
2π × λ (6.18)
2
Il y a donc une frange à chaque variation de λ/2 de la hauteur par rapport à la surface de
référence. Rappelons qu’il faut déplier la phase pour avoir la cartographie des hauteurs.

78 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
Pour une longueur d’onde λ = 633 nm et une mesure de phase à λ/100, la résolution
sur la mesure de hauteur sera donc de 3 nm.
Un exemple de résultat sur une mesure de cale étalon est présenté sur les Figs. 6.5 et
6.6. Des franges de coin d’air (inclinaison du miroir de référence) ont été introduites pour
servir de porteuse pour la mise en œuvre du décalage de phase spatial. La phase dépliée a
été directement graduée en écart d’épaisseur en utilisant la formule 6.18, après soustraction
de la variation de phase linéaire correspondant aux franges de coin d’air.
Fig. 6.5 – Image interférométrique d’une cale étalon
Fig. 6.6 – Carte des écarts d’épaisseur pour la cale de la Fig. 6.5.

6.3.
INTERFÉROMÉTRIE HOLOGRAPHIQUE 79
6.3 Interférométrie holographique
6.3.1 Principe de l’holographie
L’holographie consiste à enregistrer sur un support photographique à grain très fin les
interférences entre deux ondes : une onde d’éclairage direct, dite onde de référence, et
PSfrag replacements
une onde correspondant à la lumière diffusée par l’objet holographié, dite onde objet. Le
montage expérimental est représenté sur la Fig. 6.7.
Faisceau de référence
Miroir
Objet
Lumière diffusée :
onde objet
Laser
Lame semi-réfléchissante
Miroir
Hologramme
PSfrag replacements
Fig. 6.7 – Montage d’enregistrement holographique
Après développement de la plaque holographique, celle-ci est éclairée par l’onde de
référence qui a servi à l’enregistrement (Fig. 6.8).
Miroir
Image virtuelle
B
M
M
Laser
Miroir
A
Observateur
Fig. 6.8 – Restitution holographique
6.3.2 Interférométrie holographique
L’holographie, par la reconstruction parfaite des ondes électromagnétique qu’elle permet,
ouvre la possibilité d’un type particulier d’interférométrie : l’interférométrie à divi-

80 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
sion temporelle, en faisant interférer deux ondes ayant existé à des moments différents. On
peut par exemple faire interférer la lumière issue d’un objet et celle issue du même objet
déformé. Il y a deux manières de réaliser ceci : l’interférométrie par double exposition où
deux hologrammes successifs de l’objet sont réalisés avant et après modification de l’objet,
et où les deux images virtuelles obtenues interfèrent à la restitution, et l’interférométrie
en temps réel, où l’image virtuelle obtenue à la restitution de l’hologramme interfère avec
l’objet lui-même. Dans ce dernier cas, on observe les franges d’interférence « en temps
réel », c’est-à-dire qu’une modification de l’objet va se répercuter instantanément au niveau
de l’interférogramme observé. Signalons que l’interférogramme des objets peut se
faire à travers des vitres ou des hublots présentant des défauts, puisque les distorsions de
phase introduites seront identiques lors des deux expositions, et se compenseront lors des
interférences. En effet, soit ψ la phase introduite par un hublot d’observation, et A et A’
les amplitudes complexes qu’on recueillerait venant de l’objet sans hublot. On reconstruit
en holographie interférométrique l’amplitude complexe :
B = A exp(i ψ) + A ′ exp(i ψ) = (A + A ′ ) exp(i ψ)
Or, le système d’observation n’étant pas sensible à la phase, l’effet du hublot est éliminé.
C’est toujours le vecteur sensibilité qui détermine en un point la composante du déplacement
pouvant être mesurée. On voit que pour avoir accès aux trois composantes du déplacement,
il faut faire au moins trois mesures, c’est-à-dire en pratique qu’il faut observer l’objet selon
trois points de vue différents, ce qui donne trois valeurs différentes connues −→ g 1 , −→ g 2 et −→ g 3
de −→ g . Cela donne pour chaque point où l’on a repéré l’ordre de la frange d’interférence
observée en ce point trois valeurs de la phase φ 1 , φ 2 et φ 3 de la phase φ. On obtient donc
un système linéaire de trois équations à trois inconnues :
⎧
⎨
⎩
φ 1 = −→ g 1 . −→ u
φ 2 = −→ g 2 . −→ u
φ 3 = −→ g 3 . −→ u
permettant de déterminer les composantes inconnues de −→ u . Plusieurs remarques s’imposent
ici. Tout d’abord, la différence des points de vue que l’on peut avoir sur l’objet est limitée
en pratique par la taille de l’hologramme, puisque l’on regarde en fait l’image virtuelle de
l’objet à travers celui-ci. Les valeurs −→ g 1 , −→ g 2 et −→ g 3 sont donc peu différentes et le système
ci-dessus est « mal conditionné », c’est-à-dire que la précision sur la solution u est très
fortement tributaire de celle sur les mesures de −→ g 1 , −→ g 2 et −→ g 3 . On peut améliorer ceci en
faisant plus de trois mesures et en obtenant un système « sur-déterminé » (ou redondant)
qui se résout par minimisation d’une certaine fonction d’erreur. La deuxième remarque est
que cette méthode nécessite de connaître l’ordre absolu des franges, ce qui nécessite de
connaître un point de l’objet dont le déplacement est nul, ce qui est très souvent illusoire
en réalité. La troisième remarque est que l’exploitation quantitative tridimensionnelle de
l’interférométrie holographique ne peut s’envisager qu’avec l’aide de systèmes informatisés
d’acquisition et de dépouillement d’images.

6.3.
INTERFÉROMÉTRIE HOLOGRAPHIQUE 81
Interférométrie holographique en temps réel
Le principe est de faire interférer l’onde diffusée par l’objet dans un état non déformé,
ayant été enregistrée par holographie, avec l’onde diffusée par l’objet réel déformé. La
procédure est la suivante :
– on réalise un hologramme de l’objet dans un état non déformé ;
– on développe cet hologramme ;
– on le repositionne dans la position exacte qu’il avait lors de l’enregistrement, avec
une précision inférieure au micromètre ;
– on opère la restitution de l’hologramme en gardant l’éclairage de l’objet.
On observe donc simultanément à travers l’hologramme l’objet réel et son image restituée ;
si l’objet est déformé, on verra apparaître en temps réel des franges d’iso-déplacement (en
fait : d’iso-composante du déplacement le long du vecteur sensibilité).
Interférométrie holographique par double exposition
On fait interférer dans ce cas deux images de l’objet prises à des instants différents. La
procédure est la suivante :
– on réalise un hologramme de l’objet dans un état non déformé ;
– sans déplacer la plaque holographique, on réalise un deuxième exposition pour enregistrer
l’hologramme dans l’état déformé ;
– on développe cet hologramme ;
– on opère la restitution de l’hologramme.
On voit apparaître des franges statiques liées aux déplacements de l’objet entre les deux
expositions, dont la position peut néanmoins varier en fonction de la position de l’œil de
l’observateur, dans la mesure où le vecteur sensibilité dépend de cette position.
Interférométrie holographique en temps moyenné
La technique en temps moyenné est une technique d’étude des vibrations
De la même manière que pour une corde tendue, certaines fréquences d’excitation
donnent lieu pour une structure vibrante à un phénomène de résonance. Pour les fréquences
de résonance, l’amplitude des vibrations de la plaque passe par un maximum ; on parle de
mode propre ou simplement de mode de la structure. L’étude des modes propres d’une
plaque permet entre autres de déterminer de manière simple les propriétés élastiques
et/ou viscoélastiques du matériau constituant cette plaque (modules de rigidité, absorption
mécanique...). Un mode propre est caractérisé par sa fréquence (fréquence modale) et la
forme de la plaque lorsqu’elle atteint son extremum de déformation. Plus précisément, la
flèche z( −→ r , t) en chaque point −→ r en fonction du temps t est de la forme :
z( −→ r , t) = a( −→ r ) sin(ωt + ψ)
où ψ ne dépend pas de −→ r : tous les points de la plaque vibrent en phase. La déformée
extrême décrite par a( −→ r ) s’appelle le mode. Les courbes a( −→ r ) = 0 s’appellent lignes

82 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
nodales. Elles sont l’extension au cas des surfaces des nœuds apparaissant sur une corde
vibrante en résonance.
Comme la vitesse des points de la surface est minimale lorsque la flèche est maximale,
la plaque passe plus de temps au voisinage des deux déformées extrêmes que dans les
positions intermédiaires. Un hologramme de la plaque, exposé pendant un temps grand
devant la période de vibration, va donner une figure de franges d’interférence correspondant
approximativement PSfrag replacements à une double exposition qui aurait été réalisée avec les deux déformées
extrêmes (Fig. 6.9).
Franges A d’isovaleur de la flèche, peu brillantes
B
Lignes nodales : franges brillantes
Fig. 6.9 – Deux états de la surface d’un objet vibrant correspondant aux deux positions
extrêmes de vibration
Plus précisément, l’intensité enregistrée sera la moyenne temporelle de l’intensité instantanée
:
I( −→ r , t) ∝ 1 + cos[φ(t)] (6.19)
où φ(t) est la phase des franges d’interférences. Dans un montage d’étude de vibrations,
on a en général un éclairage oblique à un angle α et une observation normale à la surface
(Fig. 6.10) ṖSfrag replacements
α
−→ k o
z
−→ k e
La phase des franges est dans ce cas :
φ( −→ r , t) = −→ g . −→ u ( −→ r , t) =
Surface
Fig. 6.10 – Vecteurs sensibilité
2π(1 + cos α)
λ
u z ( −→ r , t) = 2π u z( −→ r , t)
u 0
(6.20)
où l’on a noté u z ( −→ r , t) le déplacement normal à la surface et u 0 = λ/(1 + cos α). Lors de
la vibration, ce déplacement est donné par :
u z ( −→ r , t) = U( −→ r ) sin(ωt) (6.21)

6.3.
INTERFÉROMÉTRIE HOLOGRAPHIQUE 83
où U( −→ r ) est l’amplitude de la vibration au point −→ r . Dans la moyenne temporelle de
l’équation 6.19 apparaît donc la moyenne de la fonction cos[2πU( −→ r ) sin(ωt)/u 0 ]. En se
servant de l’identité :
∫
1 2π
cos[a sin(x)]dx = J 0 (a) (6.22)
2π 0
on obtient pour l’intensité moyenne observée :
I( −→ [
r , t) ∝ 1 + J 0 2π U(−→ ]
r )
u 0
(6.23)
On a représenté cette intensité, normalisée, sur la Fig. 6.11, et en pointillés l’intensité
sinusoïdale des franges qui correspondrait à l’interférence entre les deux positions extrêmes
de la vibration, comme cela est suggéré sur la Fig. 6.9. On voit d’une part que le contraste
des franges de Bessel est plus faible que celui des franges sinusoïdales, et d’autre part
que la position des maxima est légèrement différente. Le passage d’une frange à l’autre ne
correspond donc plus tout-à-fait à une variation d’amplitude de λ/(1 + cosα).
1
0.8
I/I0
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
2π U( −→ r )/u 0
4
5
6
Fig. 6.11 – Intensité des franges de Bessel (trait plein) observées en temps moyenné. En
pointillé, l’intensité fictive correspondant aux franges d’interférence entre les deux positions
extrêmes des vibrations de la surface.

84 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
6.4 Moiré interférométrique
6.4.1 Réseau de diffraction
Le moiré interférométrique utilise comme capteur un réseau de diffraction déposé sur
la surface dont on veut connaître les déformations.
La formule de la diffraction par un réseau (« formule des réseaux ») est :
sin θ 1 − sin θ 2 = m λ p
(6.24)
où m est un nombre entier appelé ordre de diffraction, et p est le pas du réseau (Fig. 6.12).
On peut écrire l’équation précédente :
k(sin θ 1 − sin θ 2 ) = m 2π p
= 2πmf (6.25)
où k = 2π/λ est la norme du vecteur d’onde et f = 1/p est la fréquence spatiale du réseau.
Cela s’écrit encore :
∆k t = 2πmf (6.26)
où ∆k t est la différence des composantes tangentielles des vecteurs d’onde incidents et
diffractés. Cela peut s’interpréter en disant que la différence des composantes tangentielles
des vecteurs d’onde appartient au réseau réciproque.
PSfrag replacements
θ 1
θ 2
Réseau de diffraction
Fig. 6.12 – Diffraction par un réseau
6.4.2 Montage du moiré interférométrique
La surface sur laquelle on a déposé un réseau de fréquence f 0 est éclairée par deux
faisceaux collimatés de telle manière que l’ordre 1 du premier faisceau et l’ordre -1 du
deuxième soient diffractés selon la normale à la surface (Fig. 6.13).

6.4. MOIRÉ INTERFÉROMÉTRIQUE 85
PSfrag replacements
x
Faisceau collimaté incident 2
α
Écran
α
Faisceaux diffractés
(ordres +1 et -1)
Cela se traduit par la condition :
Faisceau collimaté incident 1
Réseau
Fig. 6.13 – Principe du moiré interférométrique
k sin α = 2πf 0 (6.27)
Quand l’objet se déforme, une différence de marche va être introduite entre les deux rayons
diffractés en un point donné. Soit −→ u le vecteur déplacement de ce point. La variation de
phase pour le premier rayon diffracté va être :
et celle pour le deuxième rayon va être :
∆φ 1 = −→ g 1 . −→ u (6.28)
∆φ 2 = −→ g 2 . −→ u (6.29)
où l’on fait intervenir les vecteurs sensibilité de la même manière que pour l’interférométrie
holographique (Fig. 6.14). La variation de la différence de phase est donc :
∆(φ 2 − φ 1 ) = −→ g . −→ u = ( −→ k 2 − −→ k 1 ). −→ u = 2k sin α u x = 4πf 0 u x (6.30)
en tenantPSfrag compte replacements de relation (6.27). La géométrie de ces différents vecteurs est indiquée
sur la Fig. 6.14. Le vecteur de sensibilité global −→ g est donc dans le plan du réseau. La
composante du déplacement qui est mesurée est donc la composante u x du déplacement.
−→ k 1
−→ g 1
α
−→ k 0
−→ −→ k 2 g 2
−→ g
Fig. 6.14 – Vecteurs sensibilité pour le moiré interférométrique

86 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
L’intensité sur l’écran est donc au niveau de l’image du point considéré :
I ∝ 1 + cos[∆(φ 2 − φ 1 )] = 1 + cos(4πf 0 u x ) = 1 + cos(φ) = 1 + cos(4πf 0 u x ) (6.31)
Les franges qui sont observées correspondent aux lignes d’isophase φ = cte, avec :
φ = 4π u x
p
(6.32)
6.4.3 Mise en œuvre
Dépôt du réseau
Le réseau est déposé par moulage.
D’abord, un réseau maître est réalisé en relief. Cela peut être fait en exposant une
émulsion photosensible dans un champ de franges d’interférences rectilignes. Lors du développement,
la précipitation des grains d’argent métallique aux endroits exposés fait que lors du séchage
de l’émulsion, le retrait y sera moindre (Fig. 6.15).
Fig. 6.15 – Effet de relief créé par la présence de grains métalliques aux endroits exposés.
Le moulage se fait après avoir déposé une couche réfléchissante (en aluminium, par
exemple) sur le réseau maître. Une couche de colle époxyde est déposée sur le substrat, puis
le réseau maître aluminisé est placé au-dessus cette couche et pressé. Après polymérisation
de la colle, le réseau maître est retiré. La couche d’aluminium reste collé sur le substrat,
réalisant un réseau réfléchissant en relief.
Le réseau utilisé est souvent un réseau à traits croisés orthogonaux, qui permettra de
déterminer les deux composantes du vecteur déplacement en tout point.
Montage typique
Un montage typique dit « à trois miroirs » est représenté sur la Fig. 6.16. Dans ce
montage, on occulte d’abord les parties C et D du faisceau d’éclairage pour avoir sur
l’échantillon deux faisceaux d’éclairage dans un plan vertical, ce qui permettra de faire
apparaître les lignes d’isodéplacement vertical. Ensuite, on occulte les parties A et B du
faisceau pour avoir deux faisceaux incidents sur l’échantillon dans le plan horizontal, ce
qui permettra d’observer les franges d’isodéplacement horizontal.

6.4. MOIRÉ INTERFÉROMÉTRIQUE 87
Sfrag replacements
Échantillon testé
Réseau
y
z
x
z
y
x
Miroirs
A
L 1
Miroirs
Réseau
B
L 2
C
A
D
B
Écran
Laser
Fig. 6.16 – Montage à trois miroirs pour le moiré interférométrique

88 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
Sensibilité et champ de la mesure
Les ordres de grandeur sur la sensibilité peuvent être trouvés rapidement. Pour un faisceau
d’éclairage à 45˚, l’ordre 1 de diffraction normal à la surface correspond à la relation
sin(π/4) = λ/p. Avec λ = 500 nm, on obtient p = 707 nm soit une fréquence spatiale du
réseau à réaliser de 1400 traits/mm. Une variation de phase de 2π correspond d’après la
formule (6.32) à un déplacement p 2π = 350 nm. Si l’on utilise le balayage de phase, cette
sensibilité peut descendre dans le domaine nanométrique. Il faut cependant signaler la
sensibilité du montage aux vibrations. Un déplacement du réseau causé par des vibrations
dans le champ des ondes incidentes va rajouter un terme de phase de l’ordre de u/λ où u
est l’amplitude du déplacement. Les variations d’indice (causées par des effets thermiques
ou des déplacement d’air) le long du chemin de propagation des faisceaux d’éclairage va
également perturber la mesure. Notons que cette sensibilité n’est pas adaptable, puisqu’intervient
au premier chef la longueur d’onde de la lumière. Des déplacement de quelques
micromètres donnent naissance à des figures de franges extrêmement serrées.
Le champ de la mesure maximum que l’on peut obtenir de manière économique est de
l’ordre de 50 mm × 50 mm.
6.5 Interférométrie différentielle
Le principe de l’interférométrie différentielle est de faire interférer la lumière venant de
deux points voisins de l’objet, séparés par un vecteur de translation δ −→ r . Le système d’observation
de la zone étudiée comporte à cet effet un dispositif dédoubleur, qui fait interférer
la lumière venant du point −→ r avec celle venant du point −→ r + δ −→ r . Ce dispositif peut être
un biprisme placé devant l’objectif de la caméra d’observation, soit un interféromètre de
Michelson. La Fig. 6.17(a) montre le principe du dédoublement par biprisme. La partie
du faisceau passant par la partie supérieure du biprisme est déviée vers le bas. L’image
des points A et B est A 1 et B 1 ; inversement, la partie du faisceau passant par la partie
inférieure du biprisme forme l’image A 2 B 2 .
La Fig. 6.17(b) montre comment un interféromètre de Michelson dédouble géométriquement
une image. Il est pratique de mettre le miroir mobile sur un dispositif à trois cales
piézoélectriques : celui-ci permettra en effet de choisir une direction de dédoublement (selon
x ou y) et éventuellement de réaliser le décalage de phase temporel par un mouvement de
piston.

6.5.
INTERFÉROMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE 89
PSfrag replacements
B
A 2
A 1
A
B 1
B 2
PSfrag replacements
A
B
B 1
(a) Utilisation d’un biprisme
Miroir mobile
Lame séparatrice
B 2
A 1
A
A 2
A 1 A 2
Miroir fixe
(b) Utilisation d’un interféromètre de Michelson
Fig. 6.17 – Techniques de dédoublement de l’image

90 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
PSfrag replacements
y
y
x
x
θ
−→ k D
θ
−→ k H
−→ −→ k 0
k 0
−→ k G
PSfrag replacements
−→ k B
Fig. 6.19 – Configuration de quatre vecteurs d’onde d’éclairage possibles
δl
r + u
r
•
r + δr + u + δu
δr
r + δr
•
1
2
3
4
Fig. 6.18 – Déplacement différentiel de deux points voisins.
Si le vecteur déplacement au point −→ r est égal à −→ u et celui au point −→ r + δ −→ r à −→ u + δ −→ u
(Fig. 6.18), la variation de la phase des franges d’interférences est :
soit :
∆Φ = ∆φ 2 − ∆φ 1 = −→ g .( −→ u + δ −→ u ) − −→ g . −→ u (6.33)
∆Φ = −→ g .δ −→ u (6.34)
On peut éclairer la zone d’étude avec des faisceaux ayant successivement différentes orientations,
comme par exemple celles indiquées sur la Fig. 6.19. Dans ce cas, on enregistre
quatre cartes de phase de franges d’interférences dans l’état initial, puis quatre cartes dans
l’état final. On en déduit quatre cartes de variations de phase, que l’on peut appeler ∆Φ G ,
∆Φ D , ∆Φ H , ∆Φ B , indicées par la direction du faisceau d’éclairage (G : gauche, D : droite,
H : haut et B : bas).

6.5.
INTERFÉROMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE 91
PSfrag replacements
−→ k H
−→ g H
θ
−→ g y
−→ k B
−→ g B
PSfrag replacements
(a) Soustraction des vecteurs sensibilité
−→ k H
−→ g H
θ
θ
−→ g z
−→ k B
−→ g B
(b) Addition des vecteurs sensibilité
Fig. 6.20 – Nouveaux vecteurs sensibilité résultant de combinaisons linéaires sur les cartes
de phase
Des combinaisons linéaires numériques de ces cartes permettent de découpler les informations
planes et hors-plan. Par exemple :
∆Φ G − ∆Φ D = ( −→ g G − −→ g D ).δ −→ u (6.35)
Cette différence fait apparaître un nouveau vecteur sensibilité égal à la différence des
vecteurs sensibilité correspondant à chacune des cartes de phases.
De manière générale, on a (Fig. 6.20) :
⎧
−→ g G − −→ g D = −→ k G − −→ k D = −→ g x
⎪⎨ −→ g B − −→ g H = −→ k B − −→ k H = −→ g y
−→ g G +
⎪⎩
−→ g D = −→ k G + −→ k D − 2 −→ k 0 = −→ (6.36)
g z
−→ g B + −→ g H = −→ k B + −→ k H − 2 −→ k 0 = −→ g z
On voit donc que par combinaison linéaire des cartes de phase, on peut faire apparaître
des vecteurs sensibilités orientés selon les axes x, y et z. Si l’on note ̂x, ŷ et ẑ les vecteurs

92 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
unitaires portés par les axes x, y et z, on a :
⎧
⎨
−→ g x = s ‖̂x
−→ g y = s ‖ ŷ
⎩ −→ g z = s ⊥ ẑ
(6.37)
Les sensibilités correspondantes sont :
⎧
⎪⎨ s ‖ = 2k sin θ = 4π λ sin θ
⎪⎩
s ⊥ = −2k(1 + cos θ) = − 4π λ (1 + cos θ) (6.38)
Par ailleurs, il y a au moins deux possibilités pour orienter δ −→ r , vecteur de translation
entre les deux images : soit parallèlement à l’axe des x, soit parallèlement à l’axe des y.
On a dans le premier cas δ −→ r = δl ̂x et :
⎧
δu x = ∂u x
∂x δl
⎪⎨
δu y = ∂u y
∂x δl
(6.39)
⎪⎩ δu z = ∂u z
∂x δl
Dans le deuxième cas, on a δ −→ r = δl ŷ et :
⎧
δu x = ∂u x
∂y δl
⎪⎨
δu y = ∂u y
∂y δl
(6.40)
⎪⎩ δu z = ∂u z
∂y δl
Donc finalement si l’on fait huit mesures dans l’état initial (quatre orientations pour l’illumination
et deux orientations pour le dédoublement de l’image), on a avec les vecteurs sensibilité
−→ g x , −→ g y et −→ g z la possibilité de mesurer toutes les dérivées ∂u i /∂j, avec j = x, y, z.
Donc on pourra en déduire les composantes du tenseur de déformations ɛ ij (cf § 6.7.2) :
⎧
ɛ xx = ∂u x
∂x
⎪⎨
ɛ yy = ∂u y
⎪⎩
ɛ xy = 1 2
∂y
[ ∂ux
∂y + ∂u y
∂x
]
(6.41)
On pourra également en déduire les deux composantes des pentes ∂u z /∂x et ∂u z /∂y, cellesci
pouvant être obtenues de deux manières indépendantes.
L’interférométrie différentielle est finalement une technique qui possède plusieurs avantages
:

6.6. TECHNIQUES BASÉES SUR LE SPECKLE LASER 93
1. C’est une technique complète, qui donne des informations sur la cinématique dans le
plan et la cinématique hors-plan.
2. C’est une technique insensible aux vibrations. En effet des vibrations parasites vont
générer des translations identiques pour deux points voisins.
3. C’est une technique qui donne directement des grandeurs dérivées. En effet, les
déformations sont d’habitude les grandeurs recherchées. Si l’on ne dispose que d’une
méthode de mesure de déplacements, la dérivation numérique de ceux-ci, qui sont
bruités, va introduire un niveau de bruit inacceptable. La quantité de bruit augmente
en effet considérablement lors d’une dérivation numérique.
Pour terminer, signalons que les montages différentiels peuvent également être mis en
œuvre dans le cas de l’interférométrie en lumière diffuse, c’est-à-dire en interférométrie
de speckle (section ci-dessous). On parle alors souvent de shearographie, d’après le terme
anglais. Le terme français correct est évidemment : interférométrie différentielle en lumière
diffuse.
6.6 Techniques basées sur le speckle laser
6.6.1 Speckle objectif et speckle subjectif
Le speckle
Le speckle (ou granularité laser) est un bruit spatial présent dans l’intensité lumineuse
diffusée par une surface matérielle « rugueuse », c’est-à-dire non polie, lorsque la source
est monochromatique. Le speckle donne un aspect granulaire à cette surface.
Au niveau microscopique, une surface présente en général des irrégularités de forme
d’amplitude supérieure ou égale à la longueur d’onde de la lumière visible. Quand une
surface de ce type est éclairée par de la lumière laser, c’est-à-dire parfaitement monochromatique,
la lumière d’onde diffusée subit un déphasage aléatoire spatialement à cause de
la différence de chemin optique liée à la micro-rugosité (Fig. 6.21).

94 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
onde d’éclairage
¡ ¡
PSfrag replacements
P
¡ ¡
¡ ¡
M
•
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
surface
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
Fig. 6.21 – Diffusion aléatoire de la lumière par la micro-rugosité d’une surface
En un point quelconque d’observation M, les amplitudes des contributions venant de
tous les points P de la surface vont s’additionner. L’amplitude complexe du champ observé
en M sera la superposition des contributions de toutes les sources diffusantes élémentaires
sur la surface. La surface d’onde diffusée par la surface a une forme très torturée correspondant
à des variations de phase importantes et de hautes fréquences spatiales.
Speckle objectif
Quand le speckle est considéré au niveau d’un plan situé dans le même espace que la
surface diffusante, par exemple en exposant une plaque holographique à la lumière diffusée,
on a un speckle objectif.
On peut montrer dans ces conditions que la loi de probabilité de l’intensité dans le
champ de speckle est :
P (I) = 1 exp
(− I )
I 0 I 0
où I 0 est une constante. L’intensité la plus probable est donc le noir. Il est immédiat de
vérifier que :
〈I〉 = I 0
où les crochets angulaires désignent l’opération de moyenne statistique.
La variance de l’intensité se trouve en calculant (avec deux intégrations par parties) :
〈 〉 I
2
= 1 ∫ ∞
I 2 exp
(− I )
dI = 2I0
2 I 0 I 0
et donc :
0
σ 2 I = 〈 I 2〉 − 〈I〉 2 = 2I 2 0 − I2 0 = I2 0
Le rapport signal sur bruit du speckle objectif est donc égal à 1, si l’on considère la valeur
moyenne comme le signal et les fluctuations aléatoires centrées comme le bruit.

6.6. TECHNIQUES BASÉES SUR LE SPECKLE LASER 95
Dans le cas du speckle objectif, la taille caractéristique des grains de speckle est donnée
par :
σ s ∼ λd
(6.42)
a
où a est la taille de la surface diffusante et d la distance d’observation
Speckle subjectif
Le speckle subjectif est celui qui s’observe au niveau d’une image du diffuseur qui est
formée à travers un système optique (Fig 6.22).
Source
PSfrag replacements
D
Fig. 6.22 – Speckle subjectif
La différence principale avec le speckle objectif est que la taille du grain de speckle est
cette fois-ci déterminée par l’ouverture de la pupille de sortie. En fait, la taille de ce grain
est celui de la tache de diffraction correspondant à cette pupille de sortie, soit :
σ s ∼ λd
Φ
(6.43)
où cette fois d est la distance entre la pupille de sortie et le plan image et Φ le diamètre
de cette pupille.
L’enregistrement d’une figure de speckle s’accompagne toujours de la formation d’une
image sur un récepteur, et donc ce qui est enregistré est toujours une figure de speckle
subjectif. Dans le cas de l’emploi de capteurs matriciels (capteurs CCD, par exemple), il
est convenable de choisir l’ouverture de l’objectif de prise de vue de manière à avoir une
taille de grain de speckle de la taille d’un pixel.
6.6.2 Interférométrie de speckle
Mesure de déplacements hors plan
Un montage classique pour cette mesure est représenté sur la Fig. 6.23. c’est en fait
un montage très semblable à celui de l’holographie, en ce sens que l’on fait interférer une

96 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
onde objet et une onde de référence. L’onde de référence est envoyée directement dans
PSfrag replacements
caméra par l’intermédiaire des lames semi-réfléchissantes BS1 et BS2. L’onde objet est
l’onde diffusée par l’objet. Dans le cas présenté sur la Fig. 6.23, on voit que la composante
mesuréeD
du déplacement n’est pas tout-à-fait la composante normale mais la composante
u g dirigée suivant la bissectrice des directions d’observation et d’éclairage.
Source
Surface
testée
BS1
Laser
−→ k e
−→ k o
− −→ k o
α
Caméra
BS2
−→ k e
−→ g
Fig. 6.23 – Montage d’interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements hors
plan
Les surfaces d’ondes qui interfèrent au niveau du capteur sont :
– une surface d’onde plane ou faiblement sphérique correspondant à l’onde de référence ;
– une surface d’onde aléatoire correspondant à l’onde objet
L’intensité reçue par le capteur dans l’état initial, non déformé, de l’objet est de la forme :
I i (x, y) = I 0(x, y)
{1 + m(x, y) cos[ψ(x, y)]} (6.44)
2
où ψ(x, y) est la phase aléatoire de haute fréquence résultant de ces interférences.
Lorsque l’objet se déplace ou se déforme, les points de sa surface se déplacent. L’une
des ondes participant aux interférences se déphase. L’intensité reçue dans cet état final est
alors :
I f (x, y) = I 0(x, y)
{1 + m(x, y) cos[ψ(x, y) + φ(x, y)]} (6.45)
2
où φ(x, y) est le déphasage créé par le déplacement du point objet (x o , y o ) correspondant
aux coordonnées (x, y) sur le capteur. Ce déphasage est donné par :
φ(x, y) = −→ g . −→ u (x o , y o ) = 4π ( α
)
λ u g cos
(6.46)
2

6.6. TECHNIQUES BASÉES SUR LE SPECKLE LASER 97
où −→ u (x o , y o ) est le vecteur déplacement en ce point. Les deux intensités I i (x, y) et I f (x, y)
correspondent chacune à un champ de speckle.
La différence de ces deux intensités est (on n’écrit plus la dépendance en (x, y) pour
simplifier) :
(
I f − I i ∝ m sin ψ + φ ) ( ) φ
sin
(6.47)
2 2
Le premier terme sinusoïdal de ce produit varie avec une haute fréquence : c’est encore
une fois un terme de speckle. Le deuxième terme varie lui avec une basse fréquence ; c’est
le terme d’interférence que l’on observerait en interférométrie holographique par double
exposition, par exemple. Ce terme basse fréquence vient moduler le contraste du speckle.
Le résultat est que l’on observe des franges d’interférences « bruitées par le speckle »
La période du terme de contraste est celle de la fonction | sin(φ/2)|, soit 2π. D’après
la formule (6.46), on a donc une frange chaque fois que la composante u g du déplacement
varie de λ/[2 cos(α/2)]. Si α ≈ 0, u g ≈ u z où z est la coordonnée normale à la surface de
l’objet et on retrouve bien une frange pour un déplacement normal égal à λ/2 comme en
interférométrie de type Michelson.
En résumé, cette technique est très similaire à la technique d’interférométrie type
Michelson, sauf que l’une des surfaces d’onde qui interfèrent est aléatoire, et que la
conséquence est un aspect très bruité des franges d’interférence que l’on obtient. Le gros
intérêt est cependant que cette méthode de mesure de déplacement hors-plan est applicable
à toute surface non parfaitement polie, ce qui est le cas de la majorité des surfaces d’objets
industriels et qu’aucune préparation de ces surfaces n’est nécessaire en général.
Cette technique peut également s’utiliser en temps moyenné pour l’étude des vibrations
(cf § 6.3.2). C’est d’ailleurs l’une des principales applications de la méthode.
Décorrélation
En faisant la différence I f − I i dans l’équation (6.47), on a supposé que le terme ψ(x, y)
ne variait pas. Cela suppose que le déplacement latéral des points de la surface est bien plus
petit que la taille caractéristique des grains de speckle. Dans le cas contraire, le contraste des
franges chute très vite puisque l’on soustrait des intensités qui ne sont plus corrélées. On
parle de décorrélation des figures de speckle. C’est un des points qui limitent l’application
de cette méthode.
Mesure de déplacements plan
Pour mesurer une composante dans le plan de la surface de l’objet du vecteur déplacement,
une disposition des vecteurs sensibilité du type de celle utilisée pour le moiré interférométrique
(Fig. 6.14) est nécessaire. On utilise donc une disposition analogue à celle indiquée sur la
Fig. 6.24. L’équation reliant l’amplitude du déplacement et la phase des franges d’interférence
est la même que pour le moiré interférométrique. En quelque sorte, il s’agit ici
de moiré interférométrique avec des surface d’onde aléatoires issues de la diffusion sur la

98 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
surface, au lieu de surfaces d’onde quasi planes issues de la diffraction par un réseau sur la
surface. Encore une fois, l’intérêt est l’absence de préparation de surface.

6.6. TECHNIQUES BASÉES SUR LE SPECKLE LASER 99
Surface
testée
Laser
Caméra
PSfrag replacements
D
Source
Fig. 6.24 – Montage d’interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements plans.
Pour les raisons de décorrélation de speckle indiquées ci-dessus, il ne faut pas que
les déplacements excèdent le rayon de corrélation du champ de speckle. Dans les cas de
déplacements plus importants, une autre technique évoquée ci-dessous doit être utilisée.
6.6.3 Corrélation de speckle (Speckle photography)
Nous avons choisi de présenter cette technique de mesure de déplacement ici alors que
ce n’est pas une technique interférométrique, mais géométrique.
Quand une surface diffusante est éclairée par un laser, elle apparaît donc revêtue d’un
motif aléatoire de grains lumineux. Quand elle se déplace, ces grains se déplacent et peuvent
ainsi constituer un marquage de la surface. Cela peut servir à mesurer un déplacement par
une méthode de corrélation.
On considère donc un objet diffusant éclairé, et on enregistre sur une diapositive son
image revêtue d’un speckle subjectif. Ensuite, on déforme cet objet. Les points de la surface
se déplacent donc légèrement. On enregistre alors le nouveau motif de speckle sur la même
photographie. Localement, c’est-à-dire dans une zone où le vecteur déplacement est à peu
près constant et égal à −→ u = (u x , u y , u z ) mais où il y a beaucoup de grains de speckle, la
transparence en amplitude de la diapositive une fois développée est :
t(x, y) = sp(x, y) ⋆ [δ(x, y) + δ(x − u x , y − u y )]
où sp(x, y) est l’intensité de la figure de speckle dans la première exposition, x et y étant
les coordonnées dans le plan de l’objet. Chaque grain de speckle est donc dédoublé.

100 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
Quand la diapositive est placée dans un faisceau laser (Fig 6.25), l’amplitude diffractée
a(ξ, η) par cette petite zone dans les conditions de Fraunhofer est proportionnelle à
la transformée de Fourier de sa transparence en amplitude. En notant u = ξ/λD et
v = η/λD, on a :
a(ξ, η) ∝ ̂t(u, v)
= ̂f(u, v){1 + exp[−i 2π(uu x + vu y )]}
= 2 ̂f(u, v) exp[−i π(uu x + vu y )] cos[π(uu x + vu y )]
PSfrag replacements
D
M
Source
faisceau laser
écran d’observation
Fig. 6.25 – Dépouillement ponctuel dans le cas d’une mesure de déplacement par photographie
de speckle
L’intensité diffractée est ainsi :
I(ξ, η) = | ̂f(u, v)| 2 × 1 2 {1 + cos[2π(uu x + vu y )]}
On obtient une modulation par la fonction {1 + cos[2π(ξu x + ηu y )/λD]}/2 de la tache de
diffraction large de la figure de speckle non dédoublée. On peut alors mesurer les périodes
spatiales p ξ et p η de cette modulation, et remonter aux composantes du déplacement par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u x = λD
p ξ
u y = λD
p η
On peut ainsi dépouiller point par point la photographie et obtenir le champ de déplacement
sur l’objet.

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 101
6.7 Photoélasticimétrie
6.7.1 Description de la lumière polarisée
La description des phénomènes liés à la polarisation fait intervenir la nature vectorielle
du champ électromagnétique, qui implique que le vecteur champ électrique peut avoir
différentes orientations dans l’espace. Les composantes du vecteur champ électrique d’une
onde plane monochromatique sont, dans un repère orthonormé situé dans le plan d’onde :
] [
=
E y
[
Ex
E x0 cos( −→ k . −→ r − ωt)
E y0 cos( −→ k . −→ r − ωt + φ)
]
{[
= R
Le vecteur de composantes complexes :
[
E x0
E y0 exp(i φ)
E x0
E y0 exp(i φ)
}]
exp[i ( −→ k . −→ r − ωt)] (6.48)
]
exp(i −→ k . −→ r ) (6.49)
est la représentation complexe de l’onde polarisée. Très souvent, la dépendance de phase
de type onde plane donnée par le facteur exp(i −→ k . −→ r ) est inessentielle, et on s’intéresse
uniquement à la représentation réduite :
−→ E =
[
E x0
E y0 exp(i φ)
]
(6.50)
Pour une position −→ r donnée dans l’espace, la formule (6.48) décrit de manière paramétrique
la « trajectoire » décrite par l’extrémité du vecteur champ électrique dans le
plan d’onde. Selon les valeurs de E x0 , E y0 et φ, cette trajectoire va être un segment de droite
(φ = 0), un cercle (E x0 = E y0 , et φ = π/2) ou une ellipse. L’onde sera respectivement dite
polarisée linéairement, circulairement ou elliptiquement.
Dans le cas général d’une lumière non monochromatique, du fait de la succession
aléatoire de trains d’ondes dont la polarisation peut varier, la lumière est un mélange
statistique d’états de polarisation. La lumière dite naturelle est non polarisée. Tous les
cas intermédiaires sont possibles entre la lumière naturelle et la lumière complètement
polarisée.
Pour la lumière parfaitement polarisée ou parfaitement monochromatique, la description
par l’amplitude complexe vectorielle est suffisante. En ne s’intéressant qu’au rapport
des intensités suivant les axes x et y, nous décrirons une onde polarisée rectilignement
suivant l’axe des x par le vecteur : [ ] 1
0
et une onde polarisée rectilignement suivant l’axe des y par le vecteur :
[ ]
0
1

102 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
La polarisation dite « circulaire gauche » où l’extrémité du vecteur champ électrique décrit
un cercle (dans le sens trigonométrique ¡¡ lorsqu’on voit le plan d’onde venir vers soi »)
sera décrite par :
[ ] 1
i
et la polarisation « circulaire droite » par :
[ 1
−i
]
Tout état de polarisation parfaite décrit par un vecteur colonne à deux composantes complexes
peut être considéré soit comme la superposition de deux états de polarisations rectilignes
orthogonales, soit comme la superposition de deux états de polarisations circulaires
gauche et droite, avec des coefficients complexes intervenant dans la combinaison linéaire
des états de base.
6.7.2 Déformations
La déformation d’un milieu sous l’effet d’un chargement est décrite par le tenseur des
déformations ɛ ij dont la définition est :
ɛ ij = 1 ( ∂ui
+ ∂u )
j
(6.51)
2 ∂x j ∂x i
où le champ de vecteurs −→ u = (u x , u y ) est le champ des déplacements sous l’effet du
chargement. On voit que la matrice des composantes du tenseur des déformations ɛ ij est
symétrique. La signification physique des différentes composantes du tenseur des déformations
est présentée sur la Fig. 6.26 montrant la déformation d’un carré de côté unité, à une « rotation
solide » près.
PSfrag replacements
D
Source
ɛ yy
1
1
ɛ xy
ɛ xx
ɛ xy
1
Fig. 6.26 – Signification des composantes du tenseur des déformations

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 103
Les composantes ɛ xx et ɛ yy sont les extensions dans les directions x et y respectivement.
La composante ɛ xy s’appelle la déformation de cisaillement dans le repère Oxy. En fait, la
variation totale de l’angle du repère indiqué sur la Fig. 6.26 est en fait le double ; c’est pourquoi
les mécaniciens travaillent souvent avec la déformation de cisaillement « d’ingénieur »
ɛ s = 2ɛ xy .
La Fig. 6.26 montre la signification des composantes du tenseur ɛ ij dans un repère
particulier. Dans un autre repère, les composantes changent, de la même manière que les
composantes cartésiennes d’un vecteur dépendent du repère où elles sont exprimées. En
particulier, il existe un repère orthonormé où la matrice des composantes ɛ ij est diagonale :
c’est le repère principal des déformations. Dans ce repère, le cisaillement est nul ; l’un des
axes du repère principal est indiqué sur la Fig. 6.26 : c’est l’axe 1. Les valeurs propres
ɛ 11 = ɛ 1 et ɛ 22 = ɛ 2 correspondantes sont appelées les déformations principales. D’autre
part, dans un repère situé à 45˚du repère principal, la déformation de cisaillement est au
contraire maximale. Notons ɛ smax cette déformation. On montre que :
ɛ smax = |ɛ 2 − ɛ 1 | (6.52)
6.7.3 La photoélasticité
La photoélasticimétrie est une méthode de mesure qui permet de déterminer en tout
point de la surface d’une pièce soumise à des efforts :
– les directions principales de déformation ;
– la valeur de la déformation maximale ɛ smax .
Elle est basée sur le phénomène de biréfringence provoquée (ou artificielle). Un milieu
transparent optiquement isotrope devient optiquement anisotrope si il est soumis à une
déformation. Tous les matériaux sont a priori susceptibles de présenter ce phénomène, mais
certains ont une sensibilité très supérieure aux autres. Ces matériaux sont dits photoélastiques.
L’anisotropie optique se manifeste par le fait que les vecteurs champ et induction électrique
−→ E et
−→ D ne sont plus toujours colinéaires, c’est-à-dire que l’on a :
−→ D = ɛ(
−→ E ) = ɛ0 ɛ r ( −→ E ) (6.53)
où les tenseurs permittivité diélectrique ɛ et permittivité diélectrique relative ɛ r ne sont
plus proportionnels au tenseur identité.
On s’intéressera ici uniquement au cas où une lame de matériau anisotrope est soumise
à une déformation dans son plan, et éclairée par une onde plane sous incidence normale
(Fig. 6.27).

104 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
PSfrag replacements
D
Source
O
2
O
1
Fig. 6.27 – Lame biréfringente sous incidence normale. Les directions 1 et 2 sont celles des
directions principales simultanées du tenseur des déformations et du tenseur permittivité
diélectrique.
On peut montrer que la lumière incidente va être décomposée en deux polarisations qui
vont se propager avec des vitesses différentes, correspondant à des indices n 1 et n 2 . Ces
polarisations orthogonales sont parallèles aux directions des vecteurs propres du tenseur
permittivité diélectrique, directions qui sont elles-mêmes confondues avec les directions
principales des déformations.
Le déphasage entre les composantes émergentes 2 et 1 de l’onde est :
φ = φ 2 − φ 1 = 2π (n 2 − n 1 )e
λ
(6.54)
où n 1 et n 2 sont les indices correspondant aux directions principales des tenseurs diélectriques
et de déformation, e est l’épaisseur traversée et λ est la longueur d’onde dans le vide de la
lumière utilisée. Par des considérations de symétrie, on peut montrer que :
n 2 − n 1 = A(ɛ 2 − ɛ 1 ) (6.55)
où ɛ 1 et ɛ 2 sont toujours les valeurs principales des déformations, et A est une constante
ne dépendant que de la nature du matériau. À partir des équations (6.54) et (6.55), on
obtient donc :
φ = 2π Ae
λ (ɛ 2 − ɛ 1 ) = 2π Ae
λ ɛ s max
(6.56)
Pour un milieu mécaniquement isotrope, les déformations sont reliées aux contraintes σ ij
par les relations valables dans le repère principal :
⎧
ɛ 1 = 1 E (σ 1 − νσ 2 − νσ 3 )
⎪⎨
ɛ 2 = 1 E (σ 2 − νσ 3 − νσ 1 )
(6.57)
⎪⎩
ɛ 3 = 1 E (σ 3 − νσ 1 − νσ 2 )

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 105
où E et ν sont respectivement le module d’Young et le coefficient de Poisson du matériau.
La différence des contraintes ɛ smax = ɛ 2 − ɛ 1 est :
ɛ smax = 1 + ν
E
(σ 2 − σ 1 ) = σ s max
G
où :
σ smax = σ 2 − σ 1
2
est la contrainte maximale de cisaillement, et où :
G =
E
2(1 + ν)
(6.58)
est le module de cisaillement.
On voit à partir des équations (6.56) et (6.58) que dans un milieu mécaniquement
isotrope, le déphasage φ peut aussi s’exprimer en fonction de la contrainte maximale de
cisaillement par :
φ = 2π Ae
λG σ s max
(6.59)
6.7.4 Lames d’onde et polariseurs
Une lame d’onde est réalisée avec une lame biréfringente uniaxe à face parallèles, dont
les faces sont taillées parallèlement à l’axe optique (Fig. 6.28). Pour une incidence normale,
il existe deux directions orthogonales de polarisation pour la lumière incidente, qui vont se
propager à des vitesses différentes. Les indices correspondant sont notés n o et n e et appelés
indices ordinaire et extraordinaire.
PSfrag replacements
D
Source
axe lent
axe rapide
Fig. 6.28 – Lame d’onde
La polarisation parallèle à l’axe optique correspondant au rayon extraordinaire va se
propager à la vitesse c/n e , et la polarisation orthogonale va se propager à la vitesse c/n o .
Selon les valeurs respectives de c/n e et c/n o , les axes sont appelés axe lent et axe rapide.
Les deux rayons ne se propageant pas à la même vitesse dans la lame, il apparaît à la sortie
un déphasage égal à :
φ = 2π (n e − n o )h
(6.60)
λ

106 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
PSfrag où hreplacements
est l’épaisseur de la lame. Quand φ = π/2+kπ, k entier, on parle de lame quart d’onde.
Quand φ = (2k + 1)π, on parle de lame demi-onde. Noter qu’une lame n’est demi-onde
ou quart d’onde
D
que pour une longueur d’onde donnée. Cette dépendance vis-à-vis de la
longueur d’onde Sourcesera d’autant plus faible que l’épaisseur de la lame sera faible, c’est-à-dire
que l’ordre k dans la formule ci-dessus sera petit, puisque ∂φ/∂λ est proportionnel à h.
L’ensemble formé par un polariseur suivi d’une lame quart d’onde dont les axes sont à
45˚de l’axe du polariseur réalise un polariseur circulaire (Fig.).
a) A axe lent b)
2
1
1
2
polariseur
P
P
Fig. 6.29 – Polariseur circulaire
[
−→ 1 A 0 ∝
0
]
(P,A)
=
Après passage d’une lumière non polarisée à travers le polariseur, l’amplitude complexe
−→ A 0 de l’onde est la suivante dans les repères (P, A) et (1, 2) :
√
2
2
[ 1
−1
]
(1,2)
(6.61)
Après traversée de la lame quart-d’onde, elle devient −→ A 1 . Pour fixer les idées, on suppose
qu’il s’introduit sur la direction 2 un retard de phase égal à +π/2 à 2π près), c’est-à-dire
que la composante complexe suivant l’axe 2 est multipliée par i. Dans ce cas, on obtient :
−→ A 1 ∝
√
2
2
[
1
−i
]
(1,2)
(6.62)
ce qui est bien la représentation d’une onde polarisée circulairement. Il s’agit plus précisément
d’une polarisation circulaire droite.
Si l’on place maintenant la même lame avant le polariseur, on va obtenir un analyseur
circulaire, qui ne laissera passer que la lumière polarisée circulaire gauche. En effet,
considérons une lumière polarisée circulaire droite :
[ ]
−→ 1 A 0 ∝
(6.63)
−i
Après traversée de la lame quart d’onde, son amplitude complexe est :
[ ]
−→ 1 A 1 ∝ = √ [ ]
1
2
1
0
(1,2)
(1,2)
(P,A)
(6.64)

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 107
Elle est donc éteinte par le polariseur aligné avec la direction P . Inversement, une onde
polarisée circulaire gauche d’amplitude :
[ ]
−→ 1 A 0 ∝
(6.65)
i
a après la lame l’amplitude :
−→ A 1 ∝
[
1
−1
]
(1,2)
(1,2)
= √ [
0
2
1
]
(P,A)
(6.66)
qui correspond à une polarisation rectiligne alignée avec P .
On peut tourner d’un angle arbitraire un polariseur circulaire : cela ne change en rien
ses propriétés. On peut donc tourner d’un quart de tour l’analyseur circulaire ci-dessus.
On obtient finalement les configurations (Fig. 6.30, en haut) :
– polariseur suivi d’une lame quart d’onde orientée à 45˚: polariseur circulaire droit ;
– lame quart d’onde tournée de 90˚ suivie d’un polariseur tourné de 90˚ : analyseur
circulaire gauche.
1
2
1
A
P
PSfrag replacements
2
D
1
2
A
Source
P
2
1
Fig. 6.30 – Passage de la lumière « circulaire » à la lumière « rectiligne »
Si aucun objet biréfringent n’est placé entre ces deux polariseurs circulaires, la lumière ne
traverse pas le deuxième. On a une configuration analogue au « polariseur et analyseur
rectilignes croisés » utilisée pour observer des objets polarisants sur fond noir.
Si l’on fait maintenant basculer simultanément les deux lames quart d’onde de 45˚, la
lumière ne passe toujours pas. En effet, on se retrouve dans la configuration « polariseur

108 CHAPITRE 6.
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
et analyseur rectilignes croisés », puisque les lames quart d’onde n’interviennent plus (Fig.
6.30, en bas).
6.7.5 Isochromatiques et isoclines
La photoélasticimétrie peut être utilisée en transmission ou en réflexion. Le premier cas
consiste en la réalisation d’un modèle de la structure à étudier dans une plaque de matériau
photoélastique, qui sera observé en transmission ; le deuxième cas correspond au collage sur
cette structure (en général opaque) d’une feuille de matériau photoélastique, en utilisant
une colle métallisée. Il faut noter qu’on peut travailler sur des surfaces planes ou gauches,
en utilisant la technique du galbage d’une feuille souple de polymère photoélastique en
cours de polymérisation. L’exploitation est la même, à condition de tenir compte du fait
que l’épaisseur traversée dans la technique par réflexion est égale à deux fois l’épaisseur de
la feuille photoélastique.
L’idée de la photoélasticimétrie est de créer en tout point des interférences entre les
deux composantes émergentes qui sont déphasées.
Deux types d’observation sont possibles : en polarisation rectiligne et en polarisation
circulaire. En pratique, on passe d’un type d’observation à l’autre en basculant solidairement
les lames quart d’onde constituant les polariseurs circulaires comme suggéré sur la
Fig. 6.30.
La photoélasticimétrie a été très utilisée dans l’industrie, en particulier aéronautique.
Cependant, la difficulté de la préparation de la surface et le développement des techniques
de speckle nettement plus faciles à mettre en œuvre en ont fortement réduit l’usage. Par
contre, et pour des raisons évidentes (matériau transparent), elle est toujours utilisée dans
l’industrie du verre pour la détection de contraintes résiduelles après cuisson.
Polarisation circulaire — franges isochromatiques
En polarisation circulaire gauche, l’amplitude complexe de l’onde incidente est en un
point donné :
[ ]
−→ 1 A 0 ∝
(6.67)
i
Après traversée du matériau, où un déphasage φ est introduit sur la composante 2, elle
devient :
[ ] [ ] [ ]
−→ 1
1 1 A 1 ∝
= g + d
(6.68)
i exp(i φ) i −i
où l’on a décomposé −→ A 1 en somme de deux polarisations circulaires droite et gauche. L’analyseur
circulaire complémentaire (donc droit) ne laissera passer que la deuxième composante,
et l’on détectera une intensité I proportionnelle au carré du module de d. On a le
système : {
g + d = 1
(6.69)
g − d = exp(i φ)
(1,2)

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 109
On en déduit facilement :
d = 1 (
2 [1 − exp(i φ)] = −i exp i φ ) ( ) φ
sin
2 2
(6.70)
Par conséquent, l’intensité reçue est :
I = I 0 sin 2 ( φ
2
)
= I 0
(1 − cos φ) (6.71)
2
On retrouve l’expression habituelle pour l’interférométrie à deux ondes, sauf que l’origine
des phases correspond à une frange noire.
Une observation en lumière blanche permet de déterminer la frange d’ordre 0, seule
frange vraiment obscure. En effet, en lumière blanche, on observe en fait la superposition
de réseaux de franges qui ne coïncident pas, puisque le déphasage φ dépend de la longueur
d’onde. Seule le frange d’ordre 0 a une position indépendante de celle-ci, et donc correspond
à une frange noire pour toutes les longueurs d’onde.
Les franges obtenues s’appellent franges isochromatiques, ce qui fait allusion justement
à l’observation en lumière blanche où les franges d’ordre non nul sont irisées.
Le réseau des isochromatiques visualise le lieu des points où la déformation de cisaillement
maximal est constante. Ceci peut paraître une limitation de la technique, puisqu’on
n’a pas accès aux composantes ɛ xx ou ɛ yy , mais en fait la déformation maximale de cisaillement
est une grandeur dimensionnante, c’est-à-dire que le dimensionnement d’une
structure doit entre autres vérifier que cette déformation de cisaillement n’excède pas une
valeur limite de rupture. La visualisation et la mesure expérimentale de cette déformation
est donc extrêmement utile.
Polarisation rectiligne — franges Isoclines
En polarisation rectiligne maintenant, l’amplitude complexe de l’onde incidente est :
[
−→ 1 A 0 ∝
0
]
(P,A)
(6.72)
On note α l’angle entre la direction du polariseur et la direction principale de déformation
1 (Fig 6.31).

110
PSfrag replacements
CHAPITRE 6.
D
Source
2
A
MÉTHODES INTERFÉROMÉTRIQUES
1
α
P
Fig. 6.31 – Directions de polarisation et directions principales de déformation
Dans le repère principal des déformations, cette amplitude complexe est donc :
[ ]
−→ cos α
A 0 ∝
− sin α
(1,2)
Après traversée du matériau, elle devient :
[
]
−→ cos α
A 1 ∝
− sin α exp(i φ)
(1,2)
(6.73)
(6.74)
L’analyseur effectue une projection sur la direction A, ce qui donne une amplitude complexe
:
⎡
⎤
[
]
0
−→ 0
(
A 2 ∝
= ⎣
cos α sin α − sin α cos α exp(i φ) −i sin(2α) exp i φ ) ( ) φ ⎦
sin
(1,2)
2 2
(1,2)
(6.75)
L’intensité détectée I est proportionnelle au carré du module de la composante suivant A,
soit :
( ) φ
I = I 0 sin 2 (2α) sin 2 (6.76)
2
On obtient donc finalement :
I = I 0 × 1 2 (1 − cos φ) × 1 [1 − cos(4α)] (6.77)
2
Par comparaison avec l’équation 6.71, on voit qu’au réseau des isochromatiques se superpose
un réseau de franges sombres : il s’agit du réseau des franges isoclines, lieu des points
où cos(4α) = 1, et donc où α = k π/2.
Le réseau des isoclines matérialise donc le lieu des points où les directions principales
de déformation sont parallèle et perpendiculaire à la direction du polariseur.
Ce sont les points où la lumière ne « voit » pas la biréfringence du matériau, puisque
la direction de la polarisation coïncide précisément avec une direction principale optique.
Entre polariseur et analyseur croisés, ces points font donc partie d’une frange sombre.

6.7.
PHOTOÉLASTICIMÉTRIE 111
6.7.6 Décalage de phase
Un décalage de phase est très facile à faire sur le réseau de franges isoclines. En effet,
si l’on tourne solidairement l’ensemble polariseur et analyseur croisés, on fait varier l’angle
α.
On peut donc réaliser un décalage de phase temporel de pas δ = 2π/N en prenant
plusieurs images avec une rotation de cet ensemble d’un angle π/2N entre chaque image.
Le décalage de phase sur les franges isochromatiques est plus délicat, puisqu’il n’y a
aucun moyen de faire varier φ de manière contrôlée. Il existe cependant des solutions, mais
qui ne seront pas considérées ici.