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JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUE ET DE SCIENCES PHYSIQUES
DU PREMIER CYCLE DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
petit x
1986 n° 12
Comité de rédaction.
Nicolas Balacheff
Equipe de Recherche en Didactique
des Mathématiques
Université 1 de Grenoble
Antoine Bodin
Collège d'Ornans
I.R.E.M~ de Besançon
Bernard Capponi
Collège «Le Vergeron», Moirans
I.R.E.M. de Grenoble
Régis Gras
Mathématiques et 1nformatique
Université 1 de Rennes
Rirette Guillermard
Centre de formation P.E.G.C.
Nice
Samuel Johsua
Equipe de Recherche en Didactique
des Mathématiques
Université de Marseille
Colette Laborde
Equipe de Recherche en Didactique
des Mathématiques
Université 1 de Grenoble
Marc Legrand
Equipe de Recherche en Didactique
des Mathématiques
Université 1 de Grenoble
Alain Mercier
Lycée Technique «Jean Perrim)
I.R.E.M. de Marseille
René Métrégiste
Collège du Château de l'Hers
I.R.E.M: de Toulouse
Gilbert Primet
Centre de formation P.E.G.C.
Grenoble
André Tiberghien
Laboratoire 1nteruniversitaire
de Recherche sur l'Enseignement
des Sciences Physiques et de la Technologie
Université de Paris VII
Secrétariat de rédaction: Nicolas Balacheff
I.R.E.M. de Grenoble
B.P.41 - 38402 Saint Martin d'Hères Cedex
© 1986· I.R.E.M. de Grenoble· Tous droits réservés pour tous pays.
ISSN 0759·9188. Directeur de publication le Directeur de l'I.R.E.M. : Bernard CORNU.
Composition, A. Bicais, IREM de Grenoble.

'8fJNNEMENT
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1986 (3 numéros)
France et Communauté Européenne
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à l'ordre de Monsieur l'Agent comptable de l'U.S.T.M.G.

SOMMAIRE
• Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs
(G. Schubring) 05
• Symétrie orthogonale : des élèves français et japonais face à
une même tache de construction (B. Denys - D. Grenier)
33
• Peut-on corriger des devoirs par ordinateur ? (G. Lopata)
57
• Activité Magique (Ph. Clapponi) 71
• On l'a pas démontré, on a pas l'droit d'le faire.............................
76
• Activité Tourne (Ph. Clapponi) 80

4
UN JOURNAL POUR LE PREMIER CYCLE.
Le journal «petit x» a été créé par l'I.R .E.M. de Grenoble pour favoriser la diffusion des
réflexions, des comptes rendus de travaux et d'activités réalisés dans les classes. Ses princi­
paux objectifs sont:
- de constituer, en ouvrant largement les pages du journal à des approches diverses, un
lieu d'échanges et de débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignement
des sciences au premier cycle;
- d'ajouter un moyen nouveau de formation continue à ceux déjà utilisés par VI.R.E.M. ou
l'I.R.E.S.P. un complément aux stages de formation géographiquement et quantitativement
limités et à la publication de brochures spécialisées;
- enfin, alors que se développent largement les recherches sur l'enseignement, et en parti­
culier les recherches en Didactique des Mathématiques et en Didactique de la Physique,
«petit x» souhaite constituer un lieu de rencontre pour les enseignants et les chercheurs.
Les articles publiés dans «petit x» sont pour l'essentiel d'un des types suivants:
- Vécu dans les classes: il s'agit de la présentation et de la description de séquences d'ensei­
gnement effectivement réalisées dans une des classes du premier cycle.
- Outils et documents: proposition d'outils ou de documents d'enseignement.
- Recherches et réflexions : comptes rendus de travaux portant sur des problèmes d'enseignement
ou d'apprentissage en mathématiques, physique, chimie, informatique.
- Mathématiques, Physique: articles sur des questions de mathématique ou de physique
étroitement liées aux sujets abordés au niveau du premier cycle.
POUR PROPOSER UN ARTICLE•••
Pour proposer un article pour publication dans «petit x» nous vous demandons de l'envoyer,
si possible dactylographié, à :
I.R.E.M. de GRENOBLE «petit x»
B.P. 41 ·38402 Saint Martin d'Hères cedex
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Les articles soumis sont lus attentivement par quatre collègues membres du comité de
rédaction de «petit x» qui en font un compte rendu. Après discussion, le comité de rédaction
prend une décision de publication avec éventuellement une demande de modification.
(Les manuscrits ne sont pas renvoyés),
Copyright:
Le «copyright» de la revue est détenu par \'1 REM de Grenoble qui accordera cependant aux auteurs, sur demande et
sans frais, l'autorisation de faire ré-imprimer leurs articles. Ils devront mentionner «petit x» pour première publication,
ainsi que le fait que c'est 1'1 REM de Grenoble qui détient le Copyright.

RUPTURES DANS LE STATUT MATHEMATIQUE
DES NOMBRES NEGATIFS(1)
GertSCHUBRII\JG
1DM, Université de Bielefeld
INTRODUCTION.
Les nombres négatifs constituent un exemple instructif pour les processus
de développement des concepts mathématiques. A partir de notions empiriques, bien
adaptées à la pratique de la vie quotidienne, se sont formés des concepts théoriques
où on ne remarque plus une connection avec les débuts historiques et qui constituent
des outils scientifiques importants. Mais ces concepts présentent de grandes difficultés
d'apprentissage. Comme on le sait, alors qu'il est possible de représenter les nombres
naturels par des objets ou des modèles empiriques, les nombres négatifs n' «existent»
pas, dans le même sens, dans la vie quotidienne. Ainsi la didactique ne peut ignorer
le caractère théorique de cette notion mathématique dont presque toute la jeunesse
scolaire doit maintenant faire l'apprentissage. Les nombres négatifs présentent donc
un défi à la didactique. Comment envisager le passage des grandeurs aux nombres
dans le processus d'apprentissage scolaire?
En parcourant quelques publications récentes sur l'apprentissage des nombres
négatifs, il m'a semblé que la didactique obscurcit plus ou moins systématiquement
la présence d'un obstacle à vaincre. J'ai remarqué deux tendances pour tourner la
difficulté: - l'une nie le caractère théorique du concept de nombre négatif et réduit
ce concept à des notions empiriques, directement accessibles à l'expérience quotidienne
- l'autre ne parle que de grandeurs quand il s'agit de l'école élémentaire et
suppose l'existence des nombres négatifs à partir de l'école secondaire: ainsi, on iden-­
tifie le passage des notions concrètes aux notions abstraites soit avec la ségrégation
scolaire soit avec l'atteinte d'une certaine «maturité d'esprit» et en tous cas avec des
conditions vraiment externes au processus didactique.
Parmi les publications récentes(2), un cas révélateur pour la liaison de ces
deux tendances est un article par G. Bélanger (1984) : l'auteur refuse que l'introduction
des nombres négatifs soit reportée aux classes du secondaire - comme on le
«petit x» n° 12 pp. 5 à 32.1986

6
recommande dans le programme de son pays (le Canada), à cause du concept mathématique
assez exigeant (des classes d'équivalence), nécessaire pour justifier la nouvelle
opération - et soutient leur enseignement dès l'école primaire, mais en s'appuyant
sur un réductionnisme qu'il exprime bien dans l'énoncé de son objectif majeur:
«Permettre aux élèves de prendre conscience de l'existence des nombres entiers relatifs
dans la vie et d'en comprendre l'utilité» (p. 7 ; ital. par moi, G.S.I.
Que dit la recherche en didactique sur l'histoire des nombres négatifs ?
Glaeser (1981) a été le premier, à ma connaissance, à étudier la réfutation des nombres
négatifs comme un problème non de la «pré»-histoire mais comme un problème d'une
actualité assez récente: et pour la mathématique et pour la didactique(3). Bien qu'il
remarque des ruptures qui sont apparues dans le développement historique, Glaeser
s'étonne de constater que la règle des signes (sur laquelle il centre son étude) ait
pu poser de telles difficultés aux mathématiques et aux didacticiens.
J'aborderai ce sujet sous un autre angle : celui de controverses historiques
autour de l'existence des nombres négatifs. J'essaierai aussi de mettre en évidence
les enracinements culturels des épistémologies sous-jacentes à chaque position, afin
de mieux cerner la nature même des ruptures qui sont en cause
En effet, dans cette histoire, ce n'est pas tant la règle des signes que l'existence
même des nombres négatifs qui pose un problème, que ce soit en mathématique
ou en didactique(41. Par contre, la règle des signes a toujours constitué un obstacle
manifeste pour les élèves. S'il en est ainsi c'est sans doute parce que les enseignants
ont longtemps essayé (et qu'ils essaient encore) de démontrer cette règle. Rappelons
que ce n'est que vers la fin du 19ème siècle que la didactique a réalisé, à partir du
«principe de permanence» de H. Hankel(51, qu'on ne peut pas prouver cette règle
et qu'elle n'est rien d'autre qu'une convention.
Il importe d'illustrer brièvement la pertinence de l'histoire des nombres négatifs
en France en rappelant quelques faits de cette histoire. D'abord, le nom même de
nombres relatifs, qui est employé pour l'ensemble des nombres positifs et négatifs,
renvoie à L. Carnot et à sa réfutation du statut mathématique des nombres négatifs.
Position à laquelle s'est rallié, presque unanimement, l'ensemble du public français.
Par ailleurs, F.C. Busset (1843)(6>, se plaignant de l'échec de l'enseignement mathématique
en France et de la marginalisation des mathématiques dans la culture, en
trouve toutes les causes réunies en une seule : l'admission de l'existence des quantités
négatives. 1/ est même choqué de ce que l'on discute de savoir «s'il existe des
quantités plus petites que rien l>P>. Ainsi, dans le but d'améliorer l'enseignement
des mathématiques et les manuels, Busset préconise de réviser la «théorie des nombres»
et plus précisément tout ce qui touche à l'opération de soustraction. On trouve, dans
le livre de Busset, l'énoncé d'un critère de qualité pour la rédaction des manuels:

7
«Les traités de la science... (ne doivent pas être) en désaccord avec les notions communes»
(Busset 1843, p. 47). En somme, au lieu d'élever la culture générale, réduire
les concepts théoriques aux notions de la vie pratique. Voilà une expression sans
équivoque du réductionnisme dont il a été question plus haut.
Mon hypothèse principale est que les controverses autour de l'existence des
nombres négatifs s'expliquent surtout par l'obstacle qu'il y a à passer de la notion
de grandeur, qui est de nature substantielle (voir plus loin), à celle de nombre, qui
est essentiellement théorique(8). J'utilise ici la relation grandeur-nombre pour révéler
les raisons épistémologiques de la réfutation de l'existence des nombres négatifs.
J'ai analysé le développement des conceptions sur les nombres négatifs après
le 17ème siècle, l'époque d'acceptation de ces nombres dans les mathématiques (selon
les assertions de l'historiographie). J'ai mené l'analyse comme comparaison de l'Angleterre,
la France et l'Allemagne (les trois pays européens avec les plus grandes communautés
mathématiques), en utilisant un très grand nombre de documents: des monographies
de recherche mathématique, des traités sur la philosophie des mathématiques,
des traités historiques, des sources archivales, des réflexions didactiques, mais surtout
des manuels. En ce qui concerne les manuels, j'étais soucieux de ne pas me restreindre
aux parties traitant explicitement les nombres négatifs mais de considérer aussi les
parties renfermant leurs «applications», en analysant les manuels d'arithmétique,
d'algèbre, de géométrie analytique, de trigonométrie etc., dont je ne peux citer ici
que quelques ouvrages paradigmatiques. Je ne peux expliquer ici le problème assez
complexe d'analyser un si grand nombre des manuels et je renvoie aux publications
(Schubring 1986b, 1987). J'indique seulement que j'ai choisi pour la France comme
des données de base les manuels d'arithmétique et d'algèbre adoptés pour les écoles
secondaires entre 1795 et 1845. Dans le cadre de cet article je ne peux présenter
le cas anglais (voir pour une présentation d'introduction la thèse de Pycior 1976,
pp. 42-85) et je me restreins à présenter la discussion en France et en Allemagne sur
la nature des nombres négatifs, à partir du milieu du 18ème siècle jusqu'au milieu du
19ème siècle, et les diverses causes de la réfutation de ces nombres. Je commence par
un bref rappel de l'histoire, mathématique, de ces nombres.
UNE COURTE HISTOIRE DES NOMBRES NEGATIFS, DE LEURS ORIGINES
AU 18ème SIECLE(9).
On trouve dans l'Antiquité et dans le Moyen Age oriental des approches différentes
et une même résistance face aux nombres négatifs.
Chez les Grecs, Diophante parle de quantités soustraites et il explique la règle
des signes. Mais en même temps il n'admet pas les équations telles que 4 = 4x + 20
parce que leur solution est «absurde».

8
telle que
En 1nde, Bhaskara Il, au 12ème siècle, dit d'une équation du second degré
(2i. - 3)2 + 1 = x x = 50 x = 5
5 ' 1 ' 2
qu'elle n'est «pas consistante» parce que les gens n'acceptent pas de considérer les
nombres négatifs absolus comme -3. Les nombres positifs sont appelés «propriétés»
ou «biens» alors que les nombres négatifs sont nommés «dettes» ; une valeur négative
pour une partie d'une droite est associée à sa direction opposée.
Les mathématiciens chinois utilisaient les quantités négatives comme moyens
intermédiaires dans leur calcul pour résoudre des problèmes, mais ces quantités
n'étaient pas admises comme des solutions.
Chez les Arabes, non plus, on n'admet pas les quantités négatives; ou plutôt,
les mathématiciens choisissent, dans l'algèbre indéterminée, les constantes qui garantissent
l'obtention exclusive de solutions positives.
Dans l'Europe du Moyen Age, les nombres négatifs pouvaient apparaître
dans des systèmes d'équations linéaires. Ainsi dans son Liber Abaci Léonard de Pise
considère l'éventualité d'une solution négative mais il la rejette comme non valable. Par
contre, il utilise des valeurs intermédiaires négatives qu'il interprète comme des dettes.
En somme, il n'admet que les problèmes dans lesquels il est possible d'interpréter les
valeurs négatives comme quelque chose de positif.
Un manuscrit en provençal, datant d'environ 1430 et récemment découvert,
est le premier texte connu dans lequel un résultat négatif est admis sans réserves:
il s'agit de la résolution d'un problème parmi un système de cinq équations linéaires;
pour l'une des variables, le texte propose comme solution _10 3 / 4 (voir Sesiano 1984).
De son côté, Nicolas Chuquet (également français) admet des solutions négatives
à des problèmes abstraits (c'est-à-dire comprenant de purs nombres et pas de
grandeurs) où une valeur est considérée comme solution dans la mesure où elle satisfait
l'équation. Plus encore, il élabore même des procédures pour additionner et pour
soustraire de tels nombres(10).
Je passe au 18ème siècle pour donner quelques indications sur l'état le plus
avancé de la science de l'époque, comme point de départ des analyses que je développerai
ensuite. Le célèbre manuel d'Euler, composé en 1766, nous fournit un modèle
de l'admission pour les nombres négatifs d'un statut d'êtres mathématiques véritables.
Ici, la soustraction n'est pas restreinte au seul cas où le nombre à soustraire est plus
petit que celui dont il est soustrait; Eu 1er affirme sans réserve que 25 - 40 = -15 et

9
que les nombres négatifs sont plus petits que zéro (

10
«Les quantités algébriques sont ou positives ou négatives. On appelle quantité positive celle
qui est au·dessus de zéro, et qui est précédée, ou que l'on suppose d'être précédée du signe +,...
Ouantités négatives sont celles qui sont regardées comme moindres que rien, et qui sont précédées du
signe -» (ibid. vol. 13, p. 655).
On peut supposer que l'auteur de cet article, l'abbé de la Chapelle, qui était
professeur de philosophie, a enseigné les mathématiques selon cette conception dans
ses classes de philosophie des collèges. En fait, il y a au moins un manuel de mathématiques,
qui a été utilisé dans les classes de philosophie (où ont lieu les seuls cours de
mathématiques alors offerts dans les universités françaises) dans lequel on admet les
quantités négatives :
«Les quantités précédées du signe + sont appelées positives; celles qui sont précédées du
signe - sont dites négatives : elles ne sont pas moins réelles que les positives; mais elles sont prises
dans un sens opposé» (Sauri 1772, p. 39).
On remarquera le défaut dans cette définition : peut-être pour éviter l'allusion
au «rien», il manque toute référence aux valeurs absolues. La définition ne portant
que sur le signe, elle ne permet pas de décider de la valeur, positive ou négative, d'une
quantité.
On a oublié qu'un essai d'éclaircissement des fondements des nombres négatifs,
et de réfutation de la critique de d'Alembert, a été entrepris en France à cette époque;
mais en fait, c'est dans le célèbre ouvrage de Condillac «La Langue des Calculs», que
l'on trouve un effort pour établir une théorie des nombres négatifs.
Condillac (pour qui l'algèbre constitue le fondement des mathématiques)
développe, dans «La Langue des Calculs», une théorie des abstractions successives, à
partir des notions empiriques, et une hiérarchie des étapes d'abstraction et de théorisation.
En outre, il explique les liens entre les différentes étapes avec l'aide de sa
conception d'analogie (donc la première formulation du «principe de permanence»
(Hankel)). Ce qui constitue le progrès réalisé par Condillac est qu'il découvre le passage
des quantités/grandeurs aux nombres comme le point décisif. On trouve donc chez
Condillac, pour la première fois, une théorie génétique de la naissance du concept
du nombre. Bien entendu, Condillac n'a pas entrepris d'études, soit historiques, soit
expérimentales, sur la génèse du concept du nombre. Il ne s'agit que d'une reconstruction
«rationnelle». Voyons de plus près comment il conçoit les nombres négatifs
dans sa vision «opérationnaliste». Selon Condillac il y a eu quatre étapes dans le
processus de formation du concept du nombre :
1. Le premier calcul effectué est le calcul avec les doigts. On énumère avec
les doigts pour se représenter une suite d'unités (grandeurs). De ce premier calcul
empirique avec grandeurs sont issues les quatre opérations de base. Par exemple,

11
l'opération qui «défait ce que l'addition a fait, est ce qu'on nomme soustraction»
(Condillac 1981, p. 14). La notion est ainsi restreinte par ce premier type de calcul.
2. La deuxième étape est caractérisée par le passage aux noms. L'emploi des
noms ouvre de nouveaux domaines au calcul mais, par-dessus tout, le passage des
doigts aux noms est une condition nécessaire à l'apparition de l'algèbre; parce que ce
passage conduit à un autre passage :celui des grandeurs aux nombres abstraits: Condillac
insiste très explicitement sur ce passage qui comporte un changement de statut du
concept en même temps qu'une réduction de la dépendance des concepts aux substances
du monde réel :
«Ces idées que nous nous sommes faites avec les doigts, l'analogie nous les fait donc appliquer
à des cailloux, à des arbres, à des hommes; et parce que nous pouvons les appliquer à tous les
objets de l'univers, nous disons qu'elles sont générales, c'est-à-dire, applicables à tout. Mais, lorsque
nous nous bornons à les considérer applicables à tout, nous ne les appliquons à aucune chose en
particulier, nous les considérons en elles-mêmes, et nous les séparons de tous les objets auxquels on
peut les appliquer» (ibid., p. 48-49 ; ital. par moi, G.S.).
3. La troisième étape comprend l'invention de signes. Calculer avec des grands
noms nécessite des signes simples. Ceci est réalisé par l'invention de caractères pour
la numération, c'est-à-dire, par l'invention des chiffres (qui est à l'origine de l'arithmétique).
Condillac distingue nettement entre les opérations sur des grandeurs (idées)
et les opérations sur des nombres (signes), (voir ibid. p. 223).
4. Dans la dernière étape, se trouve la caractéristique de ce que sera l'algèbre:
les opérations sur les quantités littérales. C'est ce passage des chiffres aux lettres qui
rend possible l'émergence du concept de nombre abstrait. Condillac insiste sur le fait
que les opérations impliquant ce concept théorique exigent une redéfinition des
opérations ou, dans la terminologie qui lui est propre, suppose une révision de la
grammaire nécessaire : «Ce dialecte (l'algèbre) a des règles qu'il faut connoÎtre, et
c'est une nouvelle grammaire à apprendre» (ibid., p. 275).
C'est justement dans le contexte de cette dernière étape que Condillac analyse
les nombres négatifs, comme une extension à la notion, plus primitive, de soustraction
qu'il redéfinit, à son tour, comme extension à l'addition:
«Une lettre précédée du signe +, indique une quantité ajoutée, une addition, et je l'appelle
une quantité en plus: lorsqu'elle est précédée du signe -, je l'appelle quantité en moins, puisqu'elle est
une quantité soustraite, une soustraction ... Il importe peu que la quantité soit en plus ou en moins:
car, en moins comme en plus, elle est une quantité» (ibid., p. 277-278).
Ici Condillac ne cherche pas à réduire les termes théoriques à des termes
empiriques. Il insiste sur la nouveauté de ces opérations. Ainsi tente-t-il de rédéfinir
toutes les opérations en vue de l'algèbre. C'est-à-dire d'élaborer une grammaire consis­

12
tante qui convienne au «dialecte de l'algèbre» sans pour autant réduire ce «dialecte» à
celui de l'arithmétique:
«Donc, à parler proprement, il n'y a point de quantités en moins dans les langues vulgaires,
ni en arithmétique. Mais en algèbre, où les signes sont indéterminés, on ne saurait prononcer la
différence: on ne peut que l'indiquer, et a - b ou b - a est l'unique réponse à celui qui demande celle
qui est entre a et b.
Tout cela est conséquent et il n'y a de contradiction que dans les mots somme et reste, qui
ne sont pas de l'algèbre: mais ce qui est une addition en algèbre est nommé soustraction en arith·
métique ;... Lorsqu'on allie ces deux dialectes il n'est donc pas possible de ne pas tomber dans des
expressions contradictoires», (ibid., p. 295-296).
Condillac récuse aussi la critique que d'Alembert adresse à la théorie des
quantités négatives, et il annonce l'exposé de sa propre conception opérationnelle des
nombres négatifs dans son ouvrage: «l'Jous achèverons d'éclaircir cette théorie, lorsque
nous traiterons les équations du second degré» (ibid., p. 300)(12). Or, c'est justement
pour le traitement des équations du second degré que les nombres négatifs apparaissent,
inévitablement. Malheureusement, Condillac n'a pas achevé cet ouvrage et nous
ne disposons d'aucune trace de la suite de ces réflexions sur les opérations et sur
les nombres négatifs.
«La Langue des Calculs» (ouvrage posthume paru en 1798) a été vivement
discuté en France, tout particulièrement par les ldéologues*. Ces philosophes, bien
que la plupart d'entre eux aient été disciples de Condillac, n'ont guère apprécié ce
traité. Ils attribuaient à Condillac (à tort à mon avis) l'idée que l'algèbre constitue
«la langue» (donc le modèle et la finalité) de toutes les sciences et ils récusèrent, avec
beaucoup d'emphase, un rôle méthodologique aussi général de l'algèbre. Personne n'a
poursuivi la conception d'une évolution génétique des concepts scientifiques et des
différents stades de l'abstraction, les Idéologues placent tous les concepts (

13
On ne trouve plus, chez Biran, l'idée de différentes étapes dans l'abstraction,
ni celle d'une différence entre grandeurs et nombres. Les nombres sont interprétés
comme des grandeurs géométriques, «susceptibles d'être construits ou traduits en
lignes» (ibid.).
Dans les années du tournant du siècle, on assiste à un changement dans les
conceptions des mathématiques chez les philosophes français, surtout en ce qui a trait
à leur «architecture» (cf. p. 24). L'algèbre est mise à distance et c'est la géométrie
qui est choisie comme fondamentale, devant conférer leur signification immédiate
aux signes mathématiques, les mathématiques étant interprétées dans les termes de
l'expérience sensible. Ce changement est bien visible dans l'œuvre de Destutt de Tracy,
un des plus importants représentants des Idéologues : dans la version préliminaire
de ses célèbres «Elemens d'Idéologie» (de l'an IV, resp. VI, 1796/98), il conçoit les
mathématiques pures comme étant des conséquences de «deux idées abstraites...
l'idée d'unité; et ... l'idée des figures» (Destutt de Tracy 1798, p. 389-390). Cette
conception selon laquelle sont juxtaposées l'algèbre et la géométrie, est supplantée
dans la version ultérieure de l'ouvrage par une autre conception qui assure la dominance
de la géométrie. Elle est soulignée expressément dans une note à la deuxième
édition du premier volume:
«Une quantité quelconque est donc calculable à proportion qu'elle soit réductible directement
ou indirectement en mesures de J'étendue; car c'est là la propriété des êtres, la plus éminemment
mesurable» (Destutt de Tracy 1804, p. 216).
Ce changement de conception épistémologique (qui n'a pas encore été étudié)
a été transmis de la philosophie aux mathématiques et y a effectué des changements
de «mentalités» et de pratique (mathématique et didactique). Le premier à transmettre
ces nouvelles visions épistémologiques aux mathématiques a été Lazare Carnot,
d'abord en 1801 (13), puis sous une forme plus développée en 1803. Carnot fait ainsi
un double choix: il est convaincu de la prédominance de la géométrie sur l'algèbre,
et il n'admet le statut d'êtres mathématiques que pour les nombres absolus, c'est-à-dire
seulement ceux des nombres qui peuvent être reliés à des substances. Ainsi, Carnot
ne retient la soustraction que pour l'arithmétique et ne la considère jamais comme
opération algébrique. Il tente de remplacer l'algèbre par la géométrie, ou plutôt par un
nouveau type de géométrie ; la géométrie des corrélations. Il restreint les opérations
algébriques aux cas «exécutables» ; par exemple, l'équation (a - b) . c = ac - bc est
restreinte au cas où a> b. Il contourne une partie de ces restrictions en transposant
l'algèbre en un calcul effectué à partirde lignes orientées:
«De·là je conclus,... que toute quantité négative isolée est un être de raison, et que celles
qu'on rencontre dans le calcul, ne sont que des simples formes algébriques, incapables de représenter
aucune quantité réelle et effective. (p. xviij) ...

14
La géométrie de position est donc, à proprement parler, la doctrine des quantités positives et
négatives, ou plutôt le moyen d'y suppléer, car cette doctrine y est entièrement rejetée. (p. 22)...
Je dirais que la géométrie de position est celle où la notion des quantités positives et négatives
isolées, est supplée par celle des quantités directes et inverses». (p. xxxiv) (Carnot 1803).
Il remplace la notion de nombre négatif par celle de corrélation des lignes
directes et inverses. Cette substitution a effectué l'acceptation du refus des nombres
négatifs et d'une algèbre puissante dans la communauté mathématique et dans le
public, à un point tel que tout un chacun a repris les arguments de Carnot sans plus
s'en référer à lui. Napoléon lui-même a contribué à répandre l'idée d'opérations restreintes
aux cas «exécutables» (voir Schubring 1986a).
En France, rares ont été ceux qui ont contesté la vision de Carnot sur les
quantités négatives. Gergonne a été du côté des contestataires, mais son article de
1814, dans lequel il favorise nettement la doctrine des quantités opposées alors en
vigueur en Allemagne (et dont il sera question plus loin), affiche plutôt une position
timide et défensive. Gergonne est conscient de ce qu'il ya eu une rupture et il parle
de l' «ancienne théorie» à laquelle a été «substituée depuis quelques années» «la nouvelle»,
soutenue le mieux par Carnot (Gergonne 1814, pp. 19-20).
Cette rupture apparaît aussi à travers les différentes éditions des «Elémens
d'algèbre» de S.F. Lacroix, un manuel longtemps prédominant parmi ceux adoptés
pour les écoles secondaires. Les six premières éditions (1797-1807) empruntent largement
au manuel de Bezout et correspondent à la conception ambiguë que l'on
trouve dans l'Encyclopédie:
- Lacroix distingue signe de l'opération et signe de la quantité (Lacroix 1800,
p.31),
- il affirme l'existence des nombres négatifs : les quantités «négatives ont
donc une existence aussi réelle que les (quantités) positives» (ibid., p. 32),
- les solutions négatives doivent être interprétées comme solutions positives:
«toute solution négative... marque que la quantité cherchée doit être prise dans un
sens tout opposé à celui dans lequel elle l'a été d'abord» (ibid., p. 33),
- les opérations algébriques ont des caractéristiques que n'ont pas les opérations
arithmétiques: «l'extension que les signes généraux employés dans (l'algèbre),
donnent aux résultats, ne permet plus leur comparaison exacte avec ceux (de l'arithmétique)...
la soustraction de b - a, indiquée algébriquement, n'emporte pas nécessairement
l'idée que b surpasse a» (ibid., p. 41-42).
Par contre, à partir de la septième édition (1808) (presque entièrement révisée)
on ne trouve plus d'énoncés sur l'existence des quantités négatives ou de réflexions

15
sur les opérations. Ces énoncés sont remplacés par un fréquent recours au mot «absurdité»
pour qualifier les solutions négatives. Aussi, ce n'est plus que dans le contexte
des systèmes linéaires d'équations que Lacroix entreprend de traiter de quantités
négatives et d'établir la règle des signes. Il constate que «la théorie des quantités
négatives est à la fois l'une des plus importantes et des plus épineuses de l'algèbre»
(Lacroix 1808, p. 91-92). Il dénonce toute solution sous la forme d'une quantité
négative isolée comme «absurdité», pour deux raisons:
La première raison apparaît au cours d'un problème où il s'agit de résoudre
un système linéaire de deux équations: Lacroix constate que pour l'une des équations,
60 + 7y = 46:
«La seule inspection de cette équation y fait reconnaître une absurdité. En effet, il n'est pas
possible de former le nombre 46 en ajoutant quelque chose au nombre 60, qui seul surpasse déjà 46»
libid., p. 86).
Au terme d'une longue discussion et après avoir substitué aux équations données
d'autres équations «pour que le troisième problème proposé soit possible» ­
mais toujours semblant opérer sur des nombres abstraits -
Lacroix obtient la solu­
tion «x = 5 fr , Y = 2 fr », en ajoutant tout à coup les désignations de nombres concrets
(ibid., p. 88). Voilà donc l'une des raisons de l'absurdité des quantités négatives: il
s'agit, en réalité, de «choses», de grandeurs (de francs, en l'occurrence) et il ne peut
y avoir de séparation entre les grandeurs et les nombres abstraits.
La deuxième raison vient de la restriction stricte de l'opération de soustraction
au cas du «reste» positif ou zéro (ibid., p. 92).
Mais d'autre part, Lacroix sent bien qu'il ne peut maintenir ce rigorisme dans
la pratique mathématique. Ainsi, il introduit un tout autre critère (la consistance
interne) sans toutefois se rendre compte de cet éclectisme et de l'incompatibilité entre
les deux points de vue qu'il soutient:
«L'Algèbre dispense de toute recherche à cet égard (sc. : de rectifier "énoncé de la question),
lorsqu'on sait opérer convenablement sur les expressions affectées du signe - ; car ces expressions
étant déduites des équations du problème, doivent satisfaire à ces équations: c'est-à-dire, qu'en les
soumettant aux opérations indiquées dans l'équation, on doit trouver, pour le premier membre, une
valeur égale à celle du second» (ibid., p. 88).
Pour les équations du second degré Lacroix maintient l'approche «substantialiste»
qu'il avait adoptée pour celles du premier degré: si l'on obtient deux solutions
négatives, on doit alors «modifier l'énoncé de la question pour en ôter l'absurdité»
(p. 100, voir p. 168) ; s'il y a des solutions mixtes, la solution négative n'est
en fait que la solution d'une autre question (p. 175).

16
Dans le chapitre «Théorie générale des équations», Lacroix ne relâche ses
exigences que pour les équations de degrés supérieurs (matière que couvre le dernier
tiers du manuel et qui est apparemment destinée à un niveau supérieur de l'enseignement).
C'est là qu'il applique (sans même en prévenir le lecteur) le critère de satisfaction
interne (ex. pp. 306·307).
La réfutation des nombres négatifs ne s'est pas limitée à l'enseignement et
surtout pas au seul enseignement des écoles secondaires mais elle a englobé aussi
l'enseignement scientifique supérieur(14)
Je n'ai pas analysé systématiquement les manuels français de la deuxième
moitié du 19ème siècle mais, selon J. Itard, c'est Carlo Bourlet qui, le premier, en
1896, introduisit dans un manuel, «en tête de l'algèbre (l'exposé complet) de la théorie
des nombres négatifs» (Itard 1984, p. 356)(15).
EN ALLEMAGNE.
A l'opposé de la France, l'Allemagne n'a pas connu ce rejet du statut mathématique
des nombres négatifs, du moins pas jusqu'aux années 1820. Ce qu'on y voit
plutôt c'est, dès le milieu du 18ème siècle, la mise en place d'un cadre théorique
pour justifier les opérations algébriques sur tous les entiers: c'est la «doctrine des
quantités opposées». Par ailleurs, ni cette théorie, ni la notion de «quantités opposées»
n'ont été retenues ni même (à ma connaissance) discutées en France(16). Voyons
brièvement de quelles façons les manuels allemands ont présenté les nombres négatifs.
A.G. Kastner (1719-1800), professeur de mathématiques à l'Université de
Gôttingen, est l'auteur d'une série de manuels destinés à l'enseignement universitaire
qui ont connu un grand succès et ont beaucoup influencé l'enseignement des mathématiques
durant toute la deuxième moitié du 18ème siècle en Allemagne. Le premier
ouvrage de cette série (1755), portant sur les éléments d'arithmétique et de géométrie,
développe (avant de traiter l'opération de soustraction) le concept de quantités opposées,
en empruntant sa terminologie à la logique. «On appelle quantités opposées
telles quantités de la même espèce, qu'on peut considérer dans de telles conditions
que l'une diminue l'autre» (Kastner 1792, p. 71). L'auteur donne, comme exemples,
les biens et les dettes; il appelle l'une de ces quantités «positive» ou «affirmative»,
et son opposée «négative» ou «niante», tout en soulignant que le choix de départ
est tout à fait arbitraire. Quant aux relations entre ces quantités, il précise que la
quantité niante peut surpasser l'affirmative, et que ce «négatif» qui en reste est une
quantité réelle (

17
Cet exposé est repris par le célèbre philosophe 1. Kant, dans son «Essai d'introdu
ire les quantités négatives dans la philosophie» (1763), pour justifier philosophiquement
la doctrine des quantités opposées. Kant y donne, comme exemples de
différenciation indispensable, la contradiction logique (A et non-A ne sont pas vrais
en· même temps) et la contradiction réelle dans laquelle les déterminations se nient
(

18
surtout pour ses contributions aux fondements des mathématiques et pour ses travaux
de vulgarisation. Cet article contient, à mon avis, la description la plus précise qui
soit du refus d'exploiter à fond toute la richesse des outils algébriques: on n'y trouve
qu'une algèbre, assez limitée, qui n'est guère plus qu'une géométrie élémentaire transposée.
Klügel remarque qu'on ne connaît pas les quantités opposées dans «la mathématique
des Anciens et dans celle moderne qu i est traitée
selon leu r méthodes»
parce que, dans ces deux cas, les mathématiques sont considérées' du point de vue de
la «méthode synthétique»(18). Or, la méthode synthétique ne reconnaît que les cas
isolés ; même là où la méthode analytique réunit plusieurs cas apparentés par le truchement
d'une seule formule, la méthode synthétique aborde chaque cas séparément.
Tandis que la méthode analytique utilise la symbolisation des quantités, par des signes,
et tire profit, pour la résolution des problèmes, de la généralisation que procurent
les relations entre les signes, la méthode synthétique doit toujours chercher, pour
chaque problème une voie de solution particulière. En fait, avec la méthode synthétique,
on n'a pas besoin de quantités négatives, parce qu'on peut toujours trouver, pour
un cas isolé, les moyens d'éviter une solution négative, (Klügel 1795, p. 311 ss). Klügel
met donc en garde les «analystes allemands» contre cette méthode (ibid., p. 471)
que pratiquent et propagent les anglais, à l'imitation des anciens (ibid., p. 316).
Klügel avait d'autant plus raison de faire cette mise en garde que la rupture que
l'on observe, en France, quelques années plus tard, semble attribuable à une «transmission»
de la méthode anglaise (au même moment que la «transfusion» de la philosophie
anglaise de «common sens», une des raisons de l'ascension du spiritualisme et de
la chute de la philosophie des Lumières, voir Schubring 1984, p. 372). En fait, à
l'approche synthétique correspond une mathématique tout à fait différente de celle qui
a l'arithmétique et l'algèbre comme double fondement: la mathématique synthétique
est une «mathématique de problèmes» dans laquelle on ne s'intéresse pas aux structures.
P.J. Hecker, professeur de mathématiques à l'université de Rostock, qui discute
l'enseignement de la doctrine des quantités opposées dans trois dissertations en 1799
et 1800, est le premier à envisager une véritable révision des éléments d'arithmétique:
il démontre que les opérations mathématiques changent de signification quand on
passe des opérations sur des nombres positifs aux opérations sur des entiers, et qu'on
doit redéfinir ces opérations, savoir les étendre, pour les rendre applicables à tous les
entiers (Hecker 1799, pp. 9-12). Il est aussi le premier à découvrir les différences
entre les opérations sur des nombres ou sur des grandeurs, et les opérations mixtes
(par exemple, la multiplication et la division des grandeurs avec des nombres, ibid., pp.
16-17).
H.D. Wilckens, professeur de mathématiques dans une académie forestière,
approfondit la notion logique d'opposition et introduisit des distinctions très nettes

19
entre le signe d'opération, le signe d'un nombre et la valeur obsolue d'un nombre. Pour
exprimer cette différence, il proposa une notation selon laquelle l'opposée d'une
quantité a est notée a et les quantités opposées se trouvent définies par l'équation
a +a = O. (Wilckens 1800).
C'est dans le cadre de cette discussion sur les fondements qu'ont été réfutées,
en Allemagne, les thèses de Carnot. F.G. Busse, professeur de mathématiques à l'école
des mines de Freiberg, publie, dès 1804, une réponse à Carnot. Busse explique que
si les signes d'opération n'avaient été conçus, historiquement, qu'à l'usage exclusif
des nombres absolus, il convient maintenant de distinguer ces signes d'opération
des signes des nombres eux-mêmes. Selon Busse, ('erreur principale de Carnot consiste
justement en ce qu'il ne fait pas cette distinction(19). Pour Busse, l'algèbre constitue
le fondement des mathématiques alors que la géométrie n'est qu'une sorte d'algèbre
appliquée. Les contradictions qui apparaissent dans le domaine de la géométrie
n'atteignent donc pas l'algèbre et doivent être résolues en géométrie (Busse 1804).
La réfutation la plus radicale des thèses de Carnot(20) se trouve dans la première
présentation vraiment précise d'une théorie des nombres négatifs, publiée en
1817 et due à W.A. Forstemann, professeur de mathématiques au Gymnasium de
Danzig. A ma connaissance, ce livre est aussi le premier à établir systématiquement
une séparation entre quantités et nombres. Il critique la notion de quantité, trop
générale, selon lui, et il propose de la remplacer par les deux concepts de grandeur
et de nombre. Seuls les nombres constituent la base de l'arithmétique. C'est seulement
avec les nombres qu'on peut exécuter les opérations algébriques (donc pas avec les
grandeurs) :
«Grandeurs sont : des lignes, des angles, des étendues, des plans, des solides, des poids, des
étendues du temps, ensembles des personnes ou des livres. Nombres pourtant en sont seulement de
expressions du rapport des quantités de la même espèce» (Forstemann 1817, p. 1).
On peut multiplier les nombres et les élever à des puissances mais on ne peut
pas faire de même avec des grandeurs. Il n'y a donc pas de quantités (ou grandeurs)
négatives, mais il peut y avoir des nombres négatifs(21). Fôrstemann s'abstient de
donner une définition philosophique de l'opposition mais transpose cette notion
en des termes mathématiques:
«Deux nombres sont opposés additivement quand la soustraction de l'un effectue le même
résultat que l'addition de l'autre» (ibid., p. 8).
En utilisant a comme signe du nombre opposé de a, il parvient à la définition
suivante: pour un nombre entier quelconque b, son opposé li est donné par l'équation
b + li = 0 ; la soustraction générale sur des nombres entiers est donc définie par:
a - b = a +li (ibid., p. 9).

20
Fôrstemann établit ensuite, il est ici aussi le premier, les règles du calcul restreint
qu'on peut effectuer avec les grandeurs et celles du calcul mixte avec des nombres
et des grandeurs (par exemple, la multiplication scalaire).
Malgré cette forte tendance en faveur des nombres négatifs, en Allemagne,
les mathématiques allemandes n'ont pas complètement échappé à l'influence de
l'épistémologie française et de la réfutation des quantités négatives. Cette importation
a donné lieu à des «distorsions cognitives» et à une variété de positions sur la question
du négatif. Un exemple éloquent d'une importation directe est celui de la conception
de l'algèbre défendue par J.P.W. Stein, ancien élève de l'école polytechnique (promotion
1813), qui avait d'abord travaillé dans le corps des ingénieurs-géographes puis,
«rapatrié» de Prusse en 1815, devint professeur de mathématiques au Gymnasium
de Trèves. Dans son manuel d'algèbre (1828/29), Stein analyse les diverses conceptions
des nombres négatifs qui prévalent alors et les regroupe en trois catégories.
1. Les nombres positifs et négatifs sont les désignations de quantités qui existent
réellement mais qui ont des qualités opposées.
2. Les quantités négatives et tout ce qui n'est pas un «nombre normal» (i.e.
absolu) ne sont que des signes arbitraires qu'ont peut utiliser comme moyens intermédiaires
au cours du calcul mais qui doivent plus figurer dans le résultat du calcul.
3. On rejette l'emploi de quantités négatives isolées et on ne les utilise qu'en
relation avec des quantités normales, c'est-à-dire comme «indications» d'une opération
non exécutable de soustraction, par exemple a - b, où b > a (Stein 1828, p. VII).
Stein lui-même est partisan de la deuxième catégorie de positions, qui est
typiquement française. Il ne rejette pas seulement l'existence des nombres négatifs,
il refuse aussi de considérer «zéro» comme nombre. Il explique assez clairement
ce choix épistémologique: il n'utilise les nombres que comme les représentants des
grandeurs et refuse de leur donner un statut théorique. Stein explique les équations
algébriques en termes de grandeurs du «monde physique» (en francs, en mêtres, en
dettes, en biens), et surtout à l'aide de grandeurs positives. Il se garde bien d'utiliser
la doctrine des quantités opposées, parce qu'elle a pour lui un caractère métaphysique.
La troisième position esquissée par Stein est celle qu'adopte le mathématicien
allemand M.Ohm (1792-1872). Bien que L. Novy ait accordé à Ohm un apport original
aux fondements de l'algèbre (L. Novy 1973, p. 85-89), on peut dire de lui aussi que
sa conception est le résultat d'une transmission des conceptions françaises. Ceci est
tout particulièrement marqué par le rôle privilégié qu'il attribue aux nombres, absolus
ou naturels. De même, Ohm n'a jamais recours à la doctrine des quantités opposées et
l'usage caractéristique de l'expression «opération indiquée» relève les influences de
Condillac et de Carnot. Dans la pratique mathématique, la première et la troisième

21
position ne diffèrent pas beaucoup, la troisième n'étant guère plus qu'une «réserve
mentale». Néanmoins, cette position s'érige en obstacle au passage des opérations sur
les nombres naturels, aux opérations sur les nombres réels.
Il resterait à analyser comment les positions «traditionalistes» allemandes et les
positions «importées» de la France ont interagi, en Allemagne, et comment la définition
weierstrassienne des nombres négatifs l'a emporté. Je ne peux le faire dans les
limites du présent article.
EFFETS DU REJET DES NOMBRES NEGATIFS, LIES A L'ALGEBRE.
Le refus d'accorder un statut mathématique aux nombres négatifs ayant pris
une telle ampleur, les controverses n'ont pas pu rester restreintes à l'algèbre. En fait,
étudier les effets de ce refus sur le développement mathématique (et didactique)
constitue un problème très intéressant pour des recherches historiques mais, en même
temps, c'est un problème d'une très grande complexité.
Pour en donner une idée, voici quelques indications : les conséquences du
refus des nombres négatifs apparaissent dans toutes les situations où il est question
d'appliquer l'algèbre à la géométrie. Fait pas encore remarqué (à ma connaissance),
c'est autour de la trigonométrie que les luttes les plus acharnées se sont livrées sur
l'acceptation (ou le rejet) des nombres négatifs ! Ceci ne devrait avoir rien d'étonnant
puisque, en trigonométrie, les nombres négatifs n'interviennent pas seulement
au terme d'une résolution quand apparaissent les solutions des équations, mais ils servent
à l'exécution de diverses procédures et sont ainsi de véritables instruments mathématiques.
Cependant, il ne faudrait pas en conclure que les nombres négatifs se sont
imposés comme indispensables en trigonométrie.
Il faut donc des précautions pour ne pas interpréter précipitamment des développements
qui nous semblent être «nécessaires». Ainsi, dans les manuels de trigonométrie
de la première moitié du 19ème siècle, en France comme en Allemagne, on
trouve ,des planches et des figures mais rarement on voit des figures avec la croix des
cOûrdonnées, les quatre quadrants ; et j'ai jamais vu à l'époque dans les manuels
français des nombres indiquant les coordonnées sur des axes (on évita donc l'usage
effectif des nombres négatifs, pour les coordonnées dans deux directions) (22). Même les
formules trigonométriques pour les angles entre 0 et 211" qui, pour nous, requièrent les
concepts de fonction et de variable, peuvent être abordées par la méthode synthétique
qui traite les quatre quadrants comme autant de cas particuliers.

22
EFFETS DES CHOIX EPISTEMOLOGIQUES SUR LES MATHEMATIQUES EN
GENERAL.
Le rejet des nombres négatifs a aussi eu des répercussions assez importantes
sur les mathématiques dans leur ensemble. L'accent mis sur une géométrie pure,
sans mélange avec l'algèbre, a fait naître un nouveau type de «géométrie synthétique»,
établie par Carnot, Poncelet et J. Steiner. De plus cette réfutation a donné une singulière
impulsion à l'apparition d'une nouvelle discipline mathématique : la géométrie vectorielle.
La géométrie traditionnelle s'étant avérée impuissante à traiter les questions
de position dans leur généralité. Il ya eu plusieurs tentatives pour introduire et préciser
la notion de direction en géométrie, notamment pour interpréter géométriquement
les nombres imaginaires. Mourey semble avoir été le premier à introduire le vecteur
comme nouveau concept fondamental. Dans un ouvrage de 1828 (réédité en 1861),
«dédié aux amis de l'évidence», Mourey (un personnage presque inconnu) introduit
la notion de «chemin», devant unifier les deux notions de longueur et de direction
en un seul nouveau concept fondamental. Il établit aussi un calcul des opérations
sur des chemins. Ce qui est directement pertinent pour notre propos, c'est que Mourey
parvint à cette théorie par le biais de sa réfutation des nombres négatifs. Parce que,
dans le cas d'un terme indéterminé comme dans x - a ou a - x, on ne peut prévoir si
le résultat sera «absurde» ou non, Mourey exclut la soustraction de l'algèbre.
(dl suit de là que le signe -, considéré comme exprimant la soustraction, ne peut pas être
admis en algèbre» (Mourey 1861, p. 1).
L'algèbre étant ainsi trop gravement amputé, Mourey cherche un «moyen de
suppléer à la soustraction» (ibid., p. 2) et c'est ainsi qu'il découvre une nouvelle
géométrie, la géométrie des chemins. Il est à remarquer que Hermann Grassmann
(censé être le découvreur de la géométrie vectorielle) réclama en 1844 que l'essence
de sa découverte résidait justement dans la fusion des deux concepts de longueur
et de direction en celui de vecteur (H. Grassmann 1844, p. 145-146)(23). De plus,
il souligna que la motivation principale de son travail résultait de «la considération
du négatif dans la géométrie» (ibid., p. iii). Comme la géométrie vectorielle est à
l'origine de l'algèbre linéaire, on peut dire que le refus d'une algébrisation directe a
tout de même permis une certaine algébrisation au sein de la géométrie.
RETOUR SUR LA NOTION D'OBSTACLE EPISTEMOLOGIQUE.
Les principales causes de la contestation du statut mathématique des nombres
négatifs appartiennent à trois grandes catégories que je définis comme suit:
A.Les obstacles internes aux mathématiques.
Le problème central consiste à différencier le concept de quantité et à établir

23
celui de nombre comme nouveau concept fondamental et indépendant; il s'agit donc
de l'apparition du triplet: quantité - grandeur - nombre, où :
- quantité est, historiquement, le .concept de base pour toutes les mathématiques
mais, aujourd'hui, «quantité» ne représente plus un concept mathématique
concret. Il se réduit plutôt à un élément de rhétorique apparaissant, à l'occasion,
dans des discours sur la mathématique(24) .
- grandeur emprunte une partie des significations originelles de «quantité» (25),
par exemple celle de «nombre concret» ou (dans la traditionnelle terminologie scolaire)
«nombres complexes» (

24
- une épistémologie systémique, où l'existence est justifiée par la cohérence
du champ conceptuel, les concepts ne devant satisfaire qu'à des conditions internes
aux mathématiques.
A mon avis, l'option en faveur de l'une ou l'autre de ces épistémologies, dans
une culture donnée, relève de conditions sociales (desquelles dépendent aussi le «goût»
ou le «dégout» pour les sciences pures) et est ainsi susceptible de changer et de connaître
des ruptures.
C. L'architecture des mathématiques.
Il y a une troisième catégorie de causes aux obstacles auxquelles viennent se
mêler et interagir des causes internes au développement mathématique et des causes
proprement épistémologiques. Il s'agit des conceptions sur l'«architecture des mathématiques»
et, tout particulièrement, des conceptions sUr le poids relatif de l'algèbre
et de la géométrie, eu égard aux fondements des mathématiques. Plusieurs options
sont présentées, chacune ayant pour conséquence une différenciation particulière:
- si l'algèbre et la géométrie sont également fondamentales, en droit, on doit
alors avoir des notions fondamentales qui puissent servir à la fois en algèbre et en
géométrie. Ceci a pour effet d'empêcher une différenciation de la notion de quantité,
puisqu'il est supposé que cette notion comprend celle de nombres (comme «quantité
discrète») et celle de ligne (comme «quantité continue») ;
- ou, si l'une de ces deux parties domine l'autre:
si donc la géométrie est considérée comme la discipline la plus fondamentale
et qu'elle inclut en quelque sorte l'algèbre (c'est la position des Grecs et d'Euclide),
alors la quantité sert de notion de base et celle de nombre est dérivée;
ou si c'est l'algèbre qui est vue comme la discipline fondamentale et si,
en retour, la géométrie n'est plus qu'un champ d'application de l'algèbre, alors on a
la conception qui sous-tend l'entreprise dite «l'arithmétisation des mathématiques» avec
le nombre comme notion de base.
Les questions qui sont posées sur l'architecture des mathématiques sont primordiales,
pour la didactique comme pour l'élaboration des programmes d'enseignement,
parce qu'elles touchent les problèmes de transposition du savoir scientifique
aux «séquences didactiques», suivant un ordre soit «logique», soit «naturel», soit
«psychologique». C'est aussi autour de ces questions que se sont exprimées les visions
des mathématiques entretenues chez le grand public. Ainsi, il me semble, que c'est
cette catégorie qui a réalisé un apport assez déterminant aux cas de ruptures.
Avant de conclure je tiens à faire quelques remarques sur la notion d'obstacle
épistémologique, comme explicative de l'apparition de ruptures dans le statut conféré

25
à certains concepts mathématiques. Au début de cette recherche, j'étais convaincu
de ce que la notion d'obstacle épistémologique était la catégorie explicative adéquate
(et j'avoue que cette terminologie est assez séduisante), mais (sans me mêler de la
discussion des didacticiens français (voir Brousseau 1983, Glaeser 1984)) après un
retour aux sources bachelardiennes (Bachelard 1938/1975) j'ai des doutes sur la
possibilité d'appliquer cette notion. Mes doutes ne viennent pas de ce que Bachelard
ait exclu la connaissance mathématique du domaine d'application de sa notion
d'obstacle épistémologique en disant :
«L'histoire des mathématiques est une merveille de régularité. Elle connaît des périodes
d'arrêt. Elle ne connaît pas des périodes d'erreurs» (Bachelard 1975, p. 22).
A mon avis cette remarque engage une vision trop étroite de "erreur. Là où la
position de Bachelard devient vraiment problématique, c'est qu'elle envisage «la
formation de l'esprit scientifique» comme un processus téléologique, c'est-à-dire, dirigé
nécessairement vers un progrès en théoréticité, vers la victoire ultime de la raison. On y
reconnaît la vision rationaliste de la mathématisation supposée nécessaire et souhaitable,
des sciences dans leur procès évolutif. De ce point de vue, le processus de formation
de l'esprit scientifique se réalise en trois étapes successives (assez analogues à celles
de Piaget) : un stade concret, préscientifique, où règnent les phénomènes; un stade
concret-abstrait où l'expérience physique est complétée d'abstractions; enfin, le stade
abstrait proprement dit (identifié à notre époque) où domine la raison théorique. Pour
Bachelard, il n'y a pas de rupture dans le progrès de la raison humaine: s'il y a des
reculs dans notre époque, ils sont ponctuels et provisoires, ils ne représentent qu'une
«somnolence du savoir» chez des individus (ibid., p. 7), et non pas un choix délibéré.
Par «obstacles épistémologiques» on peut donc comprendre les expressions de telles
«somnolences» individuelles (d'où l'attention que leur porte la didactique).
Mais l'histoire «sociale» des nombres négatifs nous offre des exemples où le
choix pour une épistémologie semble avoir été fait (comme décision «collective», pas
seulement de quelques individus !) avec une pleine connaissance des épistémologies
concurrentes. Pour l'étude de tels cas, on ne peut pas recourir à la notion d'obstacle
qui suppose, au contraire, une certaine incapacité, intellectuelle ou autre. Si donc
un choix est fait en connaissance des diverses possibilités on ne peut disqualifier
l'épistémologie qui sous-tend cette position en l'étiquetant comme «obstacle».
Néanmoins, les réflexions de Bachelard peuvent être utilisées pour clarifier
les difficultés dans des développements conceptuels (donc particulièrement dans la
première catégorie de causes). Bachelard a bien montré comment la «connaissance
générale» et une épistémologie «substantialiste» peuvent s'ériger en obstacles à la
connaissance scientifique, dans son stade préscientifique. Par «connaissance générale»,
Bachelard entend des concepts qui sont «corrects et utiles» mais qui peuvent constituer
un obstacle «en offrant à la pensée une forme générale prématurée» (ibid.,

26
p. 66). Comme exemple, il analyse le concept de fermentation du 18ème siècle comme
non différencié et donc non opérationnalisé(27).
Ainsi, la notion de quantité a-t-elle présenté ce même caractère universel,
général et intuitif (voir ibid., p. 79) qui empêche la spécification des idées qu'elle
recouvre. D'Alembert critique la définition couramment retenue de la «grandeur»
(partout ailleurs à son époque prise comme définition de la «quantité») comme trop
générale et ne convenant pas à la recherche.
«Suivant la définition qu'on vient d'apporter, on devrait appeler grandeur tout ce qui est
susceptible d'augmentation et de diminution; or la lumière est susceptible d'augmentation et de
diminution ; cependant on s'exprimeroit fort improprement en regardant la lumière comme une
grandeur» (Encyclopédie, vol. 7, p. 855).
De plus, en parlant d'obstacle «substantialiste», Bachelard analyse toute une
série de tendances de la pensée scientifique, où on lie directement à une substance
les qualités diverses d'un concept (ibid., pp. 97 ss), Nous avons dans cet article mis
en évidence plusieurs argumentations contre l'existence des nombres f1égatifs qui se
nourrissent d'un substantialisme de ce type. Comme, entre autres, l'identification
de la géométrie (euclidienne, à trois dimensions) à l'espace de notre expérience sensible
qui suppose que la géométrie peut être saisie par l'évidence ou par l'intuition
directe.
REMARQUES DE CONCLUSION.
Les conceptions bachelardiennes semblent sous-entendre le développement
cognitif et scientifique indépendant des mentalités et des voies spécifiques des nations,
comme un invariant culturel. Or, l'étude présentée ici donne des indications sur des
dépendances manifestes er.tre les contextes culturels et nationaux et les épistémologies
favorables (resp. défavorables) à certains développements scientifiques. Ces dépendances
mettent en garde contre une transposition immédiate d'une certaine étape de l'évolution
scientifique au processus d'apprentissage, soit qu'on ·désigne cette étape comme
un «obstacle», soit qu'on le privélégie comme étape nécessaire par chaque individu
d'une nouvelle génération.
Cependant, dans le même temps ces dépendances impliquent une responsabilité
de la didactique qui doit prendre en compte les épistémologies sous-jacentes
et les suppositions parfois implicites de ses propres propos sur l'enseignement.

27
NOTES.
1. Version rédigée d'un exposé au colloque «Histoire et Epistémologie des Mathématiques»,
Montpell ier 31.5 - 1.6.1985.
Je remercie la bonne fée (elle préfère rester annonyme) qui a entrepris le travail énorme de
transposer ce texte en un français compréhensible.
2. D'autres exemples en sont: le numéro 15-3 (mail 1984 du Journal for Research in Mathematics
Education. Bien que le numéro soit entièrement consacré aux problèmes de la soustraction,
aucun des articles ne discute des nombres négatifs. La thèse de Ph.D. de R.G. Clason (1968)
qui étudie beaucoup d'anciens manuels d'arithmétique passe aussi sous silence les nombres
négatifs.
3. Entre-temps, il Y a eu d'autres études de didactique portant sur l'histoire. Une étude fort intéressante
décrit comment les auteurs ont utilisé l'histoire des nombres négatifs pour développer
chez des enseignants une certaine sensibilité aux obstacles inhérents à ce concept. Ils ont mis
un point particulier sur l'éclaircissement de la nature conventionnelle de la «règle des signes».
L'histoire des mathématiques semble, selon les auteurs, progresser d'une marche lente mais
continue (Arcavi et al., 1982). Un autre article discute les problèmes des nombres négatifs
dans l'histoire des mathématiques en relation avec les modèles, actuellement utilisés aux Etats
Unis pour enseigner les quatre opérations sur les entiers (Crowley/Dunn 1985).
4. En fait, je ne connais qu'un seul exemple de réfutation de la règle des signes, J. Klostermann
(Petersbourg). Associé correspondant de la société royale des sciences de Gôttingen, il a établi
en 1804 et 1805 le «théorème» suivant: moins multiplié par moins donne moins. Remarquablement
il ne réfute pas l'existence des nombres négatifs. Pourtant, il accepte le calcul avec les
«quantités opposées». L'erreur principale de sa «démonstration» réside dans le fait qu'il ne
distingue pas entre le signe d'opération et le signe du nombre (Klostermann 1804 et 1805).
5. Selon le principe de permanence, il n'y a pas un seul système de lois qui régisse les opérations
sur tous les systèmes de nombres mais plutôt une hiérarchie:
L'extension progressive du système des naturels aux systèmes (plus larges) des entiers, rationnels,
réels est définie d'une telle manière que l'ensemble des lois en vigueur dans le système inférieur
continue d'être en vigueur dans le prochain système supérieur.
6. Ce livre d'un Ingénieur-Topographe et «Géométre·en-chef du Cadastre de la côte-d'Or» n'est
que le deuxième traité de didactique de mathématique en France, avec celui de Lacroix, pour
toute la première moitié du 19ème siècle!
7. Busset blâme particulièrement Euler, d'avoir «résolu cette question par l'affirmative! Or, je ne
crains pas de le dire, malgré mon respect... pour le génie d'Eu ler..., cette doctrine est pour moi
le comble de l'aberration de la raison humaine, et à elle seule elle suffirait soit pour éloigner
de l'étude des mathématiques une foule d'excellents esprits, soit pour accréditer toutes les fausses
idées que l'on débite sur ces sciences» (Busset 1843, p. 47).
8. Glaeser mentionne ausssi la dimension épistémologique des rapports des mathématiques avec la
réalité physique (Glaeser 1981, p. 3391, mais la relation grandeur-nombre ne figure pas dans sa
liste d'obstacles (ibid., p. 308).
9. Pour la période allant des origines au Moyen Age, je me suis servi principalement de l'article
de J. Sesiano (1985), qui décrit le développement des nombres négatifs durant cette période
comme un passage du concret à l'abstrait.
10. Luca Pacioli prend une position ambiguë : on remarque chez lui une réfutation, instinctive,
des nombres négatifs cependant il admet une fois un prix négatif dans un problème commercial
et une autre fois il considère la solution négative dans un problème abstrait comme un «bellissimo
caso».

28
11. D'Alembert ne distingue donc pas le zéro mathématique du rien absolu de la philosophie.
12. L'éditeur de la publication posthume avait changé «équation» en «opération». Un changement
qui ne fait aucun sens et qui a obscurci les intentions de Condillac.
13 Carnot a très clairement différencié, dans le texte de 1801, la quantité de sa «valeur absolue»,
la valeur positive, et la valeur négative (Carnot 1801, p. 2). Donc on ne peut pas lui reprocher
de n'avoir pas maîtrisé des obstacles, dans le sens d'un manque de connaissances mathématiques.
14. Un exemple éloquent en est un manuel de Francœur, destiné aux élèves de l'Ecole Polytechnique
et aux facultés de sciences. Dans le cadre de la résolution des équations, en algèbre, il discute
longuement la solution x = b - d selon les cas : b > d ou b < d et/ou c > a ou c < a. Evidem·
c-a
ment, il discute de cette question d'algèbre selon la méthode de la géométrie «des anciens» ;
considérant des cas tous isolés et indépendants. Enfin, il exclut deux cas comme solutions impossibles
parce que: «Toute solution négative dénote une absurdité» (Francœur 1819, vol. 1, p. 149­
150). Pareillement révélatrice est la note «sur la théorie des quantités positives et négatives» ­
assez étendue - du fameux manuel «Cours d'Analyse» de Cauchy (Cauchy 1821, p. 333-359) :
elle montre la nécessité, pour Cauchy, de présenter aux élèves de l'Ecole Polytechnique les
éléments d'algèbre de manière à ce que les nombres négatifs soient acceptés.
15. Après m'être procuré un exemplaire de ce livre (une procédure d'assez longue durée) j'ai été
très surpris de constater qu'avant ce premier chapitre «Nombres positifs et négatifs» il y a comme
vraie «tête» un chapitre d'«lntroduction» de géométrie. C'est une exposition de la doctrine
de segments orientés, ou plutôt des «chemins» (on reprend donc la terminologie de Mourey,
voir plus loin). Elle est utilisée comme justification ontologique du concept de nombre négatif.
En se référant aux propriétés des chemins (respectivement des segments), on pose les règles du
calcul avec le nouveau type de nombres. Il faut ajouter que c'est un des rares manuels OlJ l'on
souligne le caractère conventionnel de la règle des signes (Bourlet, 1896, p. 21).
16. On n'a pas remarqué cette différence, jusqu'à présent, dans l'historiographie. Il est donc difficile
d'avancer des hypothèses sur les raisons de cette différence manifeste. Cependant, la doctrine
des quantités opposées se dérivant des réflexions philosophiques, il me semble qu'il y a eu
en Allemagne des débats et des échanges plus étroits et plus fructueux entre mathématiques
et philosophie. De plus, il y a des différences profondes entre la philosophie allemande et la
philosophie française, qu'on peut caractériser, entre autres, par la méfiance (dans de nombreux
courants de philosophie) de systèmes transcendants discrédités, en France, vis-à-vis de leur
rattachement au parti catholique-jésuite.
17. Malheureusement, il n'existe pas une traduction adéquate du mot «aufheben» (ce qui est déjà
assez indicatif 1). Chez Hegel, par exemple, «aufheben» a à la fois le sens de nier et celui de
conserver.
18. Le couple «méthode analytique» - «méthode synthétique», a connu, au cours de l'histoire,
une assez grande variété de significations (que j'ai expliquée dans mon exposé de la 3ème Ecole
d'Eté de Didactique des Mathématiques, juillet 1984, Orléans). Cependant, la signification
attribuée ici aux deux méthodes par Klügel a beaucoup d'avantages parce qu'elle nous amène.
au fond des débats idéologisés sur la «méthode».
19. Cette critique est correcte mais Carnot ne l'acceptera pas comme réfutation parce qu'elle implique
l'admissibilité des nombres entiers, tandis que pour Carnot il n'y a que des nombres absolus
et la seule signification des signes X et - est que ce sont des signes d'opérations.
20. Une autre réfutation exhaustive se trouve dans le livre de W,A. Diesterweg (1831) qui opère sur
le même niveau de «mathématique de problèmes» mais qui réclame, malgré sa tendance favorable
à la méthode synthétique, l'indépendance de l'algèbre.

29
21. Le premier texte français où l'on différencie d'une manière analogue entre nombres et grandeurs
est un mémoire de 1843 : M. Marie est prêt à admettre des nombres négatifs (dans le cadre
d'une «algèbre pure»), mais une théorie des grandeurs négatives ne fait, pour lui, aucun sens
mathématique (Marie 1843, pp. 11-12).
22. Même Klügel se limite dans son «Mathematisches Worterbuch» sous la rubrique «Coordinate»
à ne visualiser dans les planches que le premier quadrant.
Et Biot (1805) qui utilise la croix des coordonnées, désigne les deux directions d'un axe par le
même signe : x et y respectivement. Après, on trouve à travers tout le 19ème siècle dans les
manuels français, comme une expression d'un «compromis», la désignation X, Xl et Y, yI respectivement
pour les quatre axes. On désigne les points par des lettres dans les figures mais pas par
des nom bres.
23. Je ne voudrais pas exclure la possibilité que Grassmann ait vu le livre de Mourey, car on trouve
ce livre cité, déjà en 1834, dans un livre sur des équations algébriques de M.W. Drobisch, mathématicien
et philosophe à Leipzig et bien connu à cette époque.
24. Le terme «quantité» ne représente pas seulement la conception traditionnelle des mathématiques
(

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SYMETRIE ORTHOGONALE: DES ELEVES FRANCAIS
ET JAPONAIS FACE A UNE MEME TACHE DE CONSTRUCTION
Bernadette DENYS
I.R.E.M. de Paris VII
Denise GR EN 1ER
Equipe de Didactique
des Mathématiques et de l' 1nformatique
Université de Grenoble 1
1- INTRODUCTION
1. Les objectifs.
Le but de cet article est de décrire les résultats d'expérimentations réalisées
parallèlement avec des élèves français et des élèves japonais à propos de la notion de
symétrie orthogonale. Plus précisément, nous avons tenté, à partir des productions de
ces élèves dans une même tâche de construction, de comparer leurs conceptions de
cette notion et de déterminer l'influence, sur leurs réponses, de certaines variables
caractéristiques des figures et de la tâche.
2. Cadre de notre recherche.
Dans le monde, la France et le Japon constituent deux pôles culturels remarquables
par leurs différences. L'organisation de l'espace, l'architecture, mais aussi le
langage et les signes sont gérés de manières très différentes. Dans la langue française,
toutes les étapes d'un raisonnement sont exprimées et, pour l'écrit, un seul alphabet
est utilisé. Dans la langue japonaise, le degré d'explicitation est beaucoup plus réduit,
mais la richesse des signes utilisés pour l'écrit est incomparable: on utilise deux alphabets
syllabiques, chacun de 52 signes, ainsi qu'environ 7 000 caractères chinois (kanji),
sans oublier l'alphabet latin qui sert par exemple pour les écritures mathématiques(1).
Une comparaison de l'organisation de l'espace et de l'architecture au Japon
et en France a été faite par Augustin Berque (1982). Il ressort en particulier de cette
étude que l'architecture française privilégie les ordres géométriques et les perspectives,
tandis que l'architecture japonaise traditionnelle les dédaigne, notamment la symétrie.
Il semble que le penchant à l'asymétrie se soit développé en même temps que se définissait
la civilisation japonaise.
«petit x» nO 12 pp. 33 à 56.1986

34
Des disciplines transculturelles et interculturelles se sont développées dans les
vingt dernières années, surtout dans les pays anglophones (Mauviel, 1984) ; eUes
commencent à poindre en France alors que le patrimoine français est d'une grande
richesse dans ce domaine.
Plaçons-nous sur le plan de l'apprentissage. Comme le souligne M. Mauviel,
l'individu puise dans l'héritage symbolique de son groupe (langue, système de valeurs,
mouvements du corps... ), héritage qu'il transforme, et c'est ce processus qui contribue
à organiser son système de perception.
Il est sans doute intéressant de comparer la manière dont les contextes culturels
français et japonais agissent sur le milieu scolaire et sur les processus d'acquisition
des connaissances mathématiques, en particulier des connaissances géométriques.
L'enseignement de la géométrie constitue un lieu privilégié d'observation des structures
mentales à travers les modes cognitifs d'appréhension de l'espace, en liaison avec les
usages langagiers et la mise en œuvre de représentations symboliques.
Parmi les notions géométriques enseignées au collège, la symétrie orthogonale
est Une notion qui fait partie, pour l'élève, de son acquissocio-culturel ; il est intéressant
d'étudier comment les élèves concilient l'objet d'enseignement et l'objet familier du
milieu extra-scolaire.
3. Quelques mots sur les programmes français et japonais.
Nous donnons tout d'abord, dans le tableau 1· ci-dessous, la correspondance
entre les classes japonaises et les classes françaises pour les élèves de 11 à 15 ans.
tableau 1
correspondance entre l'âge et le niveau des élèves en France etau Japon
âge 11 12 13 14 15
France
Japon
école
classe
école
classe
collège collège collège collège
6 5 4­ 3
élémentaire moyenne moyenne moyenne
6­ 1 2 3
(* année où la symétrie orthogonale est enseignée)
La notion de symétrie orthogonale apparaît à des étapes différentes dans les
programmes français et japonais.
Actuellement, les programmes français pour le collège laissent une grande
latitude au professeur pour l'organisation de son cours; l'accent est mis en classe de

35
quatrième sur l'apprentissage de la démonstration. En géométrie plane, la translation,
la symétrie centrale, la symétrie orthogonale et la projection sur une droite sont enseignées
comme des transformations ponctuelles. Dans les nouveaux programmes français
mis en application à partir de septembre 1986, la symétrie orthogonale sera enseignée
au moyen de transformation de figures en classe de 6ème, et non plus comme transformation
ponctuelle en classe de 4ème comme elle l'était jusqu'à présent.
Les programmes japonais pour l'école moyenne prévoient davantage de manipulations,
de constructions, de mesures de figures géométriques planes et spatiales
avant la découverte des propriétés de ces figures, peu de démonstrations sont faites.
Les manuels sont peu diversifiés et les professeurs les suivent de très près. La symétrie
orthogonale est enseignée dès la dernière année d'école élémentaire à partir de la
notion d'axe de symétrie d'une figure, et la symétrie centrale est enseignée aussitôt
après.
Il -
LES TRAVAUX DE BASE ET LES PREMIERES OBSERVATIONS.
1. Les travaux sur lesquels s'appuient notre recherche.
Quelques études concernant les transformations, et notamment la notion de
symétrie orthogonale, ont déjà été réalisées dans différents pays. En particulier, des
recherches françaises et anglaises ont déterminé l'existence de variables (caractéristiques
des figures ou de la tâche) qui ont une incidence sur les productions des élèves
dans une activité de construction. Nous citerons en particulier les recherches de
D. Kücheman et K.M. Hart en Angleterre (K. Hart, 1981), et celles de R. Gras (1983)
et D. Grenier (1985a), en France.
Les recherches faites à l'école japonaise de Paris sont plus particulièrement
liées aux travaux de D. Grenier et M. Guillerault (Equipe de Didactique des Mathématiques
et de l'Informatique de Grenoble), qui ont mis en évidence les conceptions de
la symétrie orthogonale mobilisées par les élèves français de 11 à 15 ans (avant et
après enseignement en classe de cette notion) dans une tâche de «construction à main
levée». Lors d'une première expérimentation, ils avaient demandé à des élèves de 13
à 15 ans travaillant par binômes de tracer à main levée les figures symétriques de
figures données par rapport à une droite. Un observateur notait, pour chaque binôme,
les différentes étapes de la construction et les arguments échangés par les deux élèves
(ils devaient fournir une solution commune). Nous donnons ci-après (planche 1)
les huit items qui avaient été proposés aux élèves sous forme de livret.

36
2 5 6
\
3
8
planche 1
L'analyse des arguments échangés par les élèves et des procédures de résolution
utilisées avait permis de repérer les liens entre certaines caractéristiques de la figure
et les procédures de construction des élèves. Ces caractéristiques, que nous appelons
«variables didactiques» (variables dont les valeurs provoquent des changements de
procédures chez les élèves) sont les suivantes:
- la nature de la figure-objet, qui était ici un segment ou un point,
- la position de la figure globale dans la feuille,
- l'orientation de l'axe de symétrie dans la feuille,
- la position relative de la figure-objet et de l'axe de symétrie (intersection
avec l'axe, angle du segment et de l'axe),
- le type de papier (blanc ou quadrillé).
Cette expérimentation avec des binômes avait montré également l'importance
de certaines «règles d'action» mises en œuvre par les élèves, telles les procédures de
comptage su r le papier quadrillé ou les procédures de translation le long de lignes
«horizontale» ou «verticale» dans la feuille, que nous avons nommées procédures de
types «rappel horizontal» ou «rappel vertical». Une analyse détaillée en a été faite
dans petit x, numéro 7 (Grenier 1985a).
Nous avons alors réalisé plusieurs observations à l'école japonaise de Paris
(où les programmes officiels japonais sont en vigueud, en soumettant les élèves japonais
à la même tâche, avec les mêmes figu res que celles proposées aux élèves français.
Les objectifs de ces observations étaient les suivants:
- repérer les conceptions mises en jeu par les élèves japonais à propos de la
symétrie orthogonale dans une telle tâche de construction,
- déterminer si les variables didactiques qui semblent influer sur les réponses
des élèves français dans cette tâche ont une influence analogue sur les réponses des
élèves japonais.

37
Avant de donner les résultats de ces premières observations, nous allons analyser
la tâche proposée aux élèves et les raisons de notre choix.
2. Pourquoi une tâche de «construction à main levée» ?
Dans toutes ces expérimentations, l'activité proposée aux élèves est une activité
de construction à main levée de la figure symétrique d'une figure donnée par rapport
à une droite donnée. Ce choix avait été fait, au départ, pour les expérimentations
françaises qui concernaient des élèves de 6ème à 3ème, en vue de déterminer l'évolution
de leurs conceptions avant et après l'enseignement en classe.
Les élèves des classes de 6ème et 5ème n'ayant pas eu l'enseignement de la
symétrie en classe, nous avions donné dans toutes les classes la «définition» suivante:
«Si on plie le long de la droite de symétrie, la figure-objet et sa figure symétrique se
superposent parfaitement». Mais nous avions interdit le pliage, afin d'obliger les élèves
à mettre en œuvre les propriétés attribuées, par eux, à la symétrie orthogonale.
De plus, pour les élèves de 4ème et 3ème, la symétrie orthogonale avait été
enseignée (en classe de 4ème) comme une transformation ponctuelle et les exercices
proposés avaient comporté peu de constructions. Cette tâche nous permettait donc,
en outre, d'étudier la capacité de ces élèves à réinvestir, dans cette activité, les connaissances
apprises en classe.
Les figures proposées étaient des segments ou des points, occupant différentes
positions par rapport à l'axe de symétrie, cet axe de symétrie étant lui-même orienté
de différentes manières dans la feuille (revoir la planche 1).
Plus généralement, une telle tâche permet de mettre en évidence la perception
globale qu'ont les élèves d'une figure et de son symétrique, car elle n'entraîne ni les
perturbations provoquées par l'usage d'instruments de construction, ni les problèmes
langagiers posés par une description écrite.
Enfin, pour une comparaison entre les productions des élèves français et celles
des élèves japonais, le choix de cette tâche nous autorise à étudier ces productions
indépendamment des incidences langagières.
3. Premières observations comparatives franco-japonaise.
Les premières observations faites à l'école japonaise ont consisté à proposer le
livret de la première expérimentation menée à Grenoble (Grenier, 1985a) à deux
binômes d'élèves japonais de 13 ans de deuxième année d'école moyenne (ils avaient
reçu un enseignement de la symétrie orthogonale deux ans auparavant). Les figures
proposées (celles reproduites dans la planche 1) étaient constituées de points ou de
segments occupant différentes positions par rapport à l'axe de symétrie. La réussite

38
excellente de chaque binôme a montré que ces élèves de l'école japonaise n'éprouvaient
pas les difficultés rencontrées par les élèves français de 13 à 15 ans dans ce type de
tâche. En particulier, un comportement rare pour l'élève français s'est avéré naturel
pour l'élève japonais: celui qui consiste, lorsque l'axe est «oblique», à tourner la feuille
de manière à placer l'axe dans la position «verticale».
Ces résultats nous ont conduites à mener une observation auprès d'élèves
japonais plus jeunes, dans une situation de travail individuel. Elle a mis en évidence,
chez les élèves japonais de 10 à 12 ans, des erreurs déjà repérées chez les élèves français.
Les figures proposées étaient celles qui avaient été données aux binômes, excepté la
figure 2 qui n'avait posé aucun problème dans les deux populations d'élèves : nous
les reproduisons dans la planche 2 ci-dessous. Les différents résultats obtenus fournissent
une première comparaison d'une part entre les réussites des élèves japonais
et celles des élèves français (tableau 2) et, d'autre part, entre les différents types
d'erreurs rencontrées dans les deux populations.
5 6
\
3 4 B
planche 2
tableau 2 : nombre de bonnes réponses
élèves japonais
élèves français
o.
n Item 10-11 ans 11-12 ans 12-13 ans 11-15 ans
1
3
4
5
6
7
8
22/26
21/26
10/26
10/26
11/26
8/26
10/26
35/37
34/37
25/37
20/32
30/37
17/32
28/36
24/24
24/24
22/24
23/24
23/23
22/24
21/24
20/22
21/23
12/23
12/23
16/23
8/23
8/28
Les résultats essentiels qui ressortent de cette expérimentation sont les suivants
(ils ne sont pas tous visibles sur le tableau précédent) :

39
1 - Il semble que, dans cette tâche, les performances de l'élève de 12 ans
de l'école japonaise de Paris soient comparables à celles de l'élève français de 14 ans
de niveau moyen. Mais il faut noter que la tâche de construction proposée est plus
proche des travaux usuels des élèves japonais que de ceux des élèves français.
âges différents.
2 - Des erreurs de même type ont été repérées de part et d'autre, mais à des
3 - Cependant, si l'enseignement de la symétrie orthogonale ne permet pas
aux élèves japonais de 11 ans de surmonter toutes les difficultés, du moins, en deuxième
année d'école moyenne (13 ans), les erreurs disparaissent presque totalement (voir
tableau 2).
Ces résultats nous ont incitées à une expérimentation plus affinée, d'une
part pour vérifier le constat de la très grande réussite, dans cette tâche, des élèves
japonais de 13 ans (ce qui n'est pas le cas pour les élèves français de 15 ans) et, d 1 autre
part, pour tenter de comparer plus précisément les erreurs des élèves des deux populations.
III - L'EXPERIMENTATION.
1. Présentation de l'expérimentation.
Cette deuxième série d'observations a eu lieL! à l'école japonaise de Paris à
la suite d'une nouvelle expérimentation, réalisée à Grenoble, proposant le même
exercice de construction à main levée à un grand nombre d'élèves de collège en situation
de résolution individuelle. Il s'agissait de vérifier de façon plus systématique l'influence
de certaines variables sur les réponses des élèves, et, pour cela, de fixer les valeurs
des autres variables.
Ainsi, nous n'avons gardé qu'un seul type de figure-objet: le segment, qui est
une figure relativement simple et, en tout cas, classiquement proposée comme exemple
dans les manuels scolaires pour illustrer le symétrique d'une figure. D'autre part, la
position de la figure globale dans la feuille avait été choisie pour permettre les réponses
de types «rappel horizontal» et «rappel vertical» (c'est-à-dire qu'il était possible de
tracer les images de ce type dans le cadre de la feuille).
Les résultats ont montré l'influence sur les réponses des élèves français des
variables su ivantes :
- l'orientation de l'axe dans la feuille (verticale, horizontale, oblique à 45°) ;
- la position relative du segment et de l'axe de symétrie (intersection du
segment et de l'axe, grandeur de l'angle du segment et de l'axe) ;
- le type de papier (blanc ou quadrillé).

40
Parmi les items de cette expérimentation dans les classes françaises, nous en
avons retenu douze qui nous ont semblé particulièrement pertinents pour comparer,
dans les réponses des élèves des deux populations, le rôle des variables choisies.
Ainsi, l'orientation de l'axe dans la feuille a été fixée «oblique à 45 degrés
gauche» ou «oblique à 45 degrés droite», car les items avec orientation «verticale»
ou «horizontale» de l'axe avait été très bien réussis par les élèves japonais.
Par contre, ces items comprenaient toutes les positions relatives du segment
et de l'axe de symétrie et les deux types de papier. Les douze figures choisies sont
présentées dans la planche 3 du paragraphe 4, ainsi qu'une analyse des difficultés
qu'elles présentent et des résultats attendus.
2. Le dispositif expérimental et la consigne.
Ce livret de douze items a été proposé aux élèves japonais de 11 à 14 ans,
c'est-à-dire en sixième année d'école élémentaire, première et deuxième année d'école
moyenne. L'analyse laissant prévoir des résultats excellents dès la deuxième année,
l'expérimentation n'a pas été réalisée en troisième année d'école moyenne. Ces douze
items avaient été proposés à des élèves français de quatre niveaux différents (6ème à
3ème) choisis dans des collèges très divers de la région grenobloise.
La consigne a été donnée oralement ou par écrit par le professeur japonais.
En voici la traduction littérale:
«La symétrie, c'est le fait d'avoir des formes identiques, formées de points,
lignes, etc., par rapport à la ligne grosse et longue. Tracer une forme identique à celle
qu'on trouve dans la figure de l'autre côté de la ligne grosse et longue».
Les élèves japonais soumis à cette expérimentation avaient tous reçu un enseignement
de la symétrie orthogonale(3l.
Pour les élèves français, la consigne, écrite sur la première page du livret distribué
aux élèves avait été lue par le professeur à voix haute à toute la classe: «Pour
chaque figure, tracer le symétrique du segment par rapport à la droite».
Les élèves des classes de 6ème et 5ème n'ayant pas eu d'enseignement de la
symétrie orthogonale, il fallait se mettre d'accord sur la signification de l'expression

41
«figure symétrique d'une figure donnée». La «définition» proposée aux élèves des
quatre classes était la suivante: «Quand on plie le long de la droite, la figure donnée et
la figure symétrique se superposent parfaitement. Vous pouvez imaginer le pliage,
mais vous ne devez pas plier».
On trouve dans les livres japonais la définition dont voici une traduction :
Lorsqu'on plie en deux une forme suivant une ligne droite et que les parties des deux
côtés se superposent complètement, on dit que cette forme est une symétrie-droite.
De plus, cette ligne droite s'appelle axe de symétrie.
En France, la définition usuelle que nous pouvons trouver dans les manuels
de la classe de quatrième présente la symétrie comme une transformation ponctuelle
du plan. Mais la «définition» donnée aux élèves français dans cette expérimentation
était proche de celle proposée dans les livres japonais.
3. Une typologie des réponses des élèves.
Pour décrire les figures et rendre compte des réponses attendues, nous avons
utilisé la typologie décrite par D. Grenier (1985b). Cette typologie est un essai de
classement des différentes procédures utilisées par les élèves français dans cette tâche
de construction à main levée. Nous la reproduisons dans le tableau 3 ci-dessous.
tableau 3
Principaux types de procédures utilisées par les élèves dans cette tâche
- Réponses de type «orthogonalité» : la détermination des sommets de la
figure-image se fait le long des droites orthogonales à l'axe et passant par ces
sommets (fig. la, lb). Ces réponses sont correctes dès que le report de la
distance à l'axe de symétrie est exact (fig. la).
fig.1a fig.1 b
[]
- Réponses de type «recouvrement partiel ou total» qui donnent pour
image une figure recouvrant partiellement ou totalement la figure-objet (fig.
2a,2b).
fig.2a
fig.2b

42
- Réponses de type «prolongement» qui donnent pour image une figure
située dans le prolongement de la figure-objet (fig. 3a, 3b) ; ce prolongement
peut s'accompagner d'un recouvrement partiel ou total de la figure-objet.
fig.38
fig.3b
- Réponses de types «parallélisme» ou «translation» qui donnent pour
image une figure translatée globalement de la figure-objet (fig. 4a, 4b).
fig.4a
fig.4b
- Réponses de types «rappel horizontal» ou «rappel vertical» qui donnent
pour image une figure dont les sommets sont obtenus par translations
horizontale ou verticale des sommets de la figure-objet (fig. Sa, Sb).
fig. 58
~
1 1
fig.5b
Les réponses de type «orthogonalité» sont correctes dès que le report de la
distance à l'axe de symétrie est exact. Les quatre autres types de procédures de résolution
peuvent donner lieu à des réponses exactes (fig. 2a, 3a, 4a, Sa) ou à des réponses
fausses (fig. 2b, 3b, 4b, Sb).

43
4. Analyse des figures.
La planche 3 ci-dessous donne les 12 figures de l'expérimentation*.
2
planche 3
Nous avons analysé des figures en fonction des variables dont nous voulions
observer l'influence. Les résultats des précédentes observations nous permettaient
de proposer une classification a priori des valeurs de chacune de ces variables.
tableau 4 : classification des valeurs des variables
variable valeurs par ordre de difficulté croissante valeur non classée
«i ntersection
segment-axe»
«valeur de l'angle
(s, a)>>
«type de papier»
«orientation
du segment»
T (touche)
Ne (ne coupe pas)
e (coupe)
S (superposition)
D (droit, 90°)
P (petit, entre 0° et 45°)
G (grand, entre 45° et 90°)
B (blanc)
Q (quadrillé)
V (verticale)
H (Horizontale)
o (oblique)
R (remarquable, 0° et 45°)
* Pour vous permettre de suivre facilement cette analyse, une feuille détachable {reproduisant ces
figures est mise à votre disposition en fin d'article (recto de la feuille).

44
Quelques commentaires sur cette classification.
Pour la variable «intersection segment-axe», nous pensions que la détermination
du symétrique est plus difficile si le segment donné coupe l'axe, et plus encore
s'il est porté par l'axe. Par contre, si le segment touche l'axe, le point de contact sert
d'appui pour la construction et, en ce sens facilite la tâche.
Nous appelons «angle (s, ah> l'angle aigu formé par les droites portant le
segment et l'axe. Lorsque la valeur de cet angle est grande (entre 45 0
et 90°), les
procédures de prolongement apparaissent (revoir la typologie des réponses). Lorsque
l'angle (s, a) vaut 90°, la procédure de «prolongement» se confond avec la procédure
«d'hortogonalité» et peut donc aboutir à un résultat juste.
Nous avons déjà vu l'incidence du papier quadrillé sur les procédures de comptage
et les difficultés que le quadrillage soulève dès que l'axe n'est ni vertical, ni horizontal.
La valeur 45° de l'angle (s, a) est remarquable car, dans les figures 7 et 8, le
segment prend une orientation verticale ou horizontale. Ces orientations particulières
peuvent provoquer des procédures erronées de types «parallélisme» ou «prolongement»
et rendre la tâche plus difficile.
Enfin, la valeur (s, a) égale à 0° peut donner lieu à un item facile si le segment
est strictement parallèle à l'axe (fig. 10), mais qu'en est-il si le segment est porté par
l'axe?
Description des figures.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de ces variables pour chacune des figures.
tableau 5: figures et variables
nO figure angle (s, a) intersection
segment-axe
type de
papier
orientation
du segment
1 p Ne B a
2 G Ne Q a
3 G T Q a
4 p T B a
5 p e B a
6 G e Q a
7 R e Q v
8 R e B H
9 R S Q a
la R Ne B a
11 D T B a
12 D e Q a

45
Dans les items 1, 2, 3, 4, le segment se trouve dans un seul demi-plan par
rapport à l'axe de symétrie. Nous voulions particulièrement observer la variable «angle
segment-axe» : son influence est-elle analogue sur les réponses des élèves français
et celles des élèves japonais?
Dans les items 5, 6, 7, 8, le segment coupe l'axe de symétrie. Nous voulions
savoir si la réelle difficulté provoquée par cette position du segment par rapport à
l'axe de symétrie, difficulté observée chez les élèves français, se retrouve chez les
élèves japonais.
Dans les items 9, 10, 11, 12, la variable «angle segment-axe» prend deux
valeurs particulières : 0 0 et 90 0 , valeurs pour lesquelles le segment-image a même
direction que le segment-objet. Nous pensions que les items 10 et 11 ne présentaient
pas de difficultés. Par contre, les items 9 et 12 posent le problème de la superposition
des segments objet et image.
Dans chacun des trois groupes de quatre figures, nous avons fait varier le type
de papier (blanc ou quadrillé).
5. Analyse des résultats.
Les résultats qui suivent concernent les douze items choisis pour l'expérimentation
à l'école japonaise de Paris et les mêmes items issus de l'expérimentation française
qui avait précédé. Les effectifs étant de 80 élèves français et 110 élèves japonais, ces
résultats sont à prendre en compte de manière plus qualitative que quantitative.
tableau 6 : nombres de bonnes réponses obtenues par ftem èt par classe
nO item figure papier
classes françaises
classes japonaises
6ème 5ème 4ème 3ème 6ème 1ère 2ème
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
" Z
~
/'t
;(
/:'
:i
B
Q
Q
B
B
Q
Q
B
Q
B
B
Q
19/21
9/20
13/20
19/20
13/20
2/20
6/20
12/20
12/21
14/20
18/20
10/21
21/21
8/20
8/21
20/21
20/21
7/20
11/20
10/20
15/22
18/20
19/21
10/21
20/21
14/20
16/20
20/21
19/21
13/20
15/20
12/20
18/21
18/20
20/20
12/21
19/21
12/20
13/21
21/21
19/21
11/20
12/20
12/20
17/22
18/20
21/21
14/21
42/47
34/46
26/47
43/47
42/47
18/47
29/47
37/47
22/47
42/47
44/47
18/46
32/36
29/36
25/36
33/36
34/36
27/36
28/36
29/36
21/35
35/36
33/36
18/36
24/25
22/25
23/25
24/25
25/25
22/25
24/25
24/25
25/25
25/25
25/25
23/25

46
tableau 7 : pourcentages des réussites des élèves par classe.
classes françaises
6 5 4 3
61% 68% 80% 76%
classes japonaises
6 1 2
71% 80% 95%
a) Trois constatations s'imposent en premier lieu.
- Le taux de réussite des élèves japonais est, dans l'ensemble nettement supérieur
à celui des élèves français. Les performances de l'élève de 12 ans de l'école japonaise
de Paris (début de 1ère année au moment où l'expérimentation a été faite)
sont comparables à celles de l'élève français de 14 ans (fin de la classe de 4ème de
collège).
- La progression du taux de réussite avec le niveau de la classe est très nette
à l'école japonaise où la réussite en deuxième année d'école moyenne (14 ans) est
presque totale. Par contre, pour les élèves français, la progression est moins évidente
entre les classes de 6ème et de 3ème, de plus, elle est inexistante entre la 4ème et la
3ème.
- Le taux de réussite sur papier quadrillé est, dans l'ensemble, nettement
inférieur au taux de réussite sur papier blanc, tant pour les élèves japonais que pour
les élèves français. Dans le cadre de cette expérimentation, il n'y a pas eu cependant
de comparaison de la même figure sur papier blanc et sur papier quadrillé.
Les deux premières constatations confirment le processus de maturation
qui se produit chez les élèves japonais entre la 1ère et la 2ème année d'école moyenne.
Plus précisément, regardons les résultats aux items 2, 3, 6, 7,8 et 12 qui semblent
les plus significatifs. Ces items ne sont bien réussis, ni par les élèves français (même
en classe de 3ème), ni par les élèves japonais en 1ère année, alors qu'ils le sont parfaitement
par les élèves japonais en 2ème année d'école moyenne.
En examinant les valeu rs des variables décrites ci-dessus, nous avons été amenées
aux remarques suivantes:
- d'une part, les items 2, 3 et 6 sont les seuls pour lesquels l'angle (s, a) est
grand,
- d'autre part, les items 7, 8 et 12 ont en commun une valeur remarquable
de l'angle (s, a) et, pour chacun d'entre eux, le segment coupe la droite de symétrie.

47
Nous pouvons conclure que les variables «angle (s, ah> et «intersection segmentaxe»
influencent les réponses des élèves français même après enseignement en classe de
la notion, alors que les difficultés soulevées par ces variables sont surmontées par les
élèves japonais dès la 2ème année d'école moyenne.
b) Le tableau suivant nous donne le pourcentage de bonnes réponses obtenues
par l'ensemble des élèves de chaque population pour chaque figure.
tableau 8 : pourcentage des bonnes réponses pour l'ensemble des élèves.
nO de la figure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
élèves français 94 54 62 96 87 41 55 57 72 85 95 53
élèves japonais 91 79 69 93 94 62 75 83 64 95 94 55
Ce tableau donne une «moyenne» des réussites à chaque figure, toutes classes
confondues. Il met en évidence les différences de réussite entre élèves français et
élèves japonais, particulièrement importantes pour les items 2, 6, 7 et 8, puisqu'elles
sont de 20% et plus. Nous en tentons une analyse plus loin. Par contre, il faut se reporter
au tableau 6 pour voir la très grande réussite des élèves de 2ème année de l'école
japonaise et la faible réussite au contraire des élèves français de la dernière année de
collège.
Propositions de classement des items.
A partir des résultats du tableau 8, nous pouvons donner un classement des
items par ordre décroissant de réussite chez les élèves français et chez les élèves japonais.
tableau 9: classement des items par ordre de réussite décroissante.
élèves français 4--11-1-5-10 -9-3-8-7- 2 -12-6
élèves japonais 10-5-11-4-1 --8-2-7-3-9 - 6 - 12
Les figures 4, 11, 1,5, 10 forment un groupe d'items qui sont les mieux réussis
par les élèves des deux populations; ces items sont tous sur papier blanc, ce qui va
dans le sens de la remarque faite ci-dessus. Il semble que le papier quadrillé perturbe
la perception globale de la figure, ce qui est confirmé par les résultats obtenus auprès
des élèves français auxquels chaque figure avait été proposée sur les deux types de
papier. L'item B, le dernier sur papier blanc, suit immédiatement dans le classement
japonais, mais non dans le classement français. Les élèves français semblent plus sensibles
à la variable «orientation du segment dans la feuille», qui prend ici une valeur
particulière, la valeur «horizontale».

48
Il apparaît aussi que les items 6 et 12 sont les moins bien réussis pour les
élèves des deux populations,
c) Comparaison des erreurs.
Pour tenter de comprendre ces ressemblances et ces différences de réussite,
nous avons regardé plus précisément quelles étaient les erreurs faites par les élèves
français et les élèves japonais*,
..
"'"
u
~
~ -u
u,~I/
~
.f .~
N
..
....
~
""
..
...
..
..
u
"'" r+ "" H­
.1
"""
"'"
u
co
N
""
..
"'"
u
..
..
u
"'"
""
~..
~
~
/~
v7'
co
"'"
u
..
u
""
"'"
Les principaux tMpes d'erreurs
* Le verso de la fiche détachable, donnant un exemple de chaque type d'erreur mentionné dans le
tableau 10, vous permettra d'en suivre plus facilement l'analyse.

49
tableau 10: comparaison des principaux types d'erreurs.
nO figure types d'erreurs classes
françaises
classes
japonaises
exemple de
types d'erreurs
1 translations 1/84 5/108 (a), (b), (c)
2 prolongements ou autres translations
rappels horizontaux ou verticaux
13/80
16/80
13/107
3/107
(a), (b), (c)
(d), (e)
3 prolongements
pentes fausses
16/80
14/82
29/108
1/108
(a)
(b), (c), (d)
4 prolongements
autres translations
2/83
0/83
2/108
4/108
(a)
(b), (c)
5 identité
translations
3/83
5/83
0/107
1/107
(a)
(b), (c)
6 prolongements avec ou sans recouvrement
autres translations
rappels horizontaux ou verticaux
symétrie/axe perpend. axe donné
demi-symétries
13/80
4/80
4/80
3/80
6/80
8/108
2/108
10/108
5/108
6/108
(a)
(b)
(c)
(d)
(e), (f)
7 prolongements
translations é\vec rappel horizontal
autres translations
8/80
6/80
7/80
7/108
1/108
7/108
(a)
(b), (c)
(d)
8 identité
pentes fausses
translations
10/80
9/aO
7/80
0/108
6/108
6/108
(a)
(b), (c)
(d), (e), (f)
9 images sur l'axe de symétrie
autres translations
symétrie/axe vertical
6/86
3/86
0/86
16/107
4/107
7/107
(a)
(b), (c)
(d)
10 translations et rappels horizontaux
images non parallèles à l'objet
5/80
3/80
2/108
1/108
(a)
(b)
11 erreurs non remarquables
12 translations
symétrie/axe vertical ou horizontal
tracés d'un carré
dem i-symétries
impossibilité ou non-réponse
7/84
6/84
0/84
10/84
10/84
10/107
14/107
6/107
1/107
6/107
(a), (b), (c)
(d)
(e)
(f)
note: les lettres figurant dans la colonne «types d'erreurs» correspondent, pour chaque item, aux
notations figurant dans les figures situées au verso de la feuille détachable. Il convient donc de se
référer à cette page pour la lecture de ce tableau.

50
Les items les mieux réussis.
Les items 1, 4, 5, 10 et 11 ont été très bien réussis tant par les élèves français
que par les élèves japonais. Or dans les items 1,4 et 5, l'angle (s a) est petit: ce résultat
confirme que la valeur P de cette variable rend la tâche facile, pour les trois valeurs
T, Ne et e de la variable «intersection segment-axe». Pour les items 10 et 11, il nous
est difficile de décider si la réussite, bonne dans les deux populations d'élèves, vient
de la procédure correcte ou de procédures de prolongement ou de parallélisme, à
cause des valeurs particulières de l'angle (s, a) pour lesquelles ces procédures sont
confondues.
Les plus grandes différences de réussite.
Les items 2, 6, 7 et 8 ont provoqué une différence de taux de réussite de 20
à 26% de plus pour les élèves japonais. Pour les items 2 et 7, l'erreur la plus fréquente
consiste à tracer un segment parallèle au segment donné, comme indiqué ci-dessous.
item 2 item 7
Mais la différence de réussite provient essentiellement des erreurs de types
«rappel horizontal» ou «rappel vertical» des élèves français.
Par contre, pour l'item 8 où le segment donné est horizontal, les erreurs sont
différentes : l'erreur de pente est beaucoup plus fréquente pour les élèves français
que pour les élèves japonais et, surtout, l'erreur de type «identité» est très répandue
chez les élèves français et n'apparaît pas chez les élèves japonais, nous analysons
plus loin ce dernier type d'erreur, en même temps que les réponses aux items 9 et 12.
Un item qui cumule toutes les difficultés.
L'item 6 a été mal réussi tant pour les élèves français que par les élèves japonais,
pour cet item, le papier est quadrillé, l'angle segment-axe est supérieur à 45 degrés
et le segment coupe l'axe. Nous trouvons ici une confirmation du rôle joué, dans les
deux populations, par les trois variables : type de papier, angle segment-axe, intersection
du segment et de l'axe. Les erreurs sont de même type de part et d'autre,
mais la différence de réussite d'ensemble (21 % de plus pou r les élèves japonais) est
due essentiellement à la réussite presque totale des élèves japonais de 2ème année
d'école moyenne.

51
L'item 3, un peu mieux réussi par les élèves japonais, a provoqué des erreurs
différentes: pour les japonais, dans presque tous les cas, il s'agit du prolongement du
tracé donné, alors que, pour les français, il s'agit tantôt de prolongements, tantôt
d'erreurs de pente. Précisons à quoi correspondent ces erreurs de pente. Une procédure
de comptage des carreaux (2 - 8) peut être cause des réponses fausses de type (a)
ou (b). Les réponses de types (c) ou (d) proviennent sans doute du fait que le quadrillage
du papier fausse la perception globale de la figure et de son symétrique.
Pour l'item 9, le taux de réussite des élèves japonais est inférieur à celui des
élèves français, avec une réussite moyenne de part et d'autre. Cette réussite moyenne
peut venir de la difficulté pour l'élève de tracer l'image d'un segment porté par l'axe
de symétrie. La différence du taux de réussite est peut-être à corréler avec les réponses
de type «identité» obtenues chez les élèves français à l'item 8. Nous retrouvons cette
difficulté de superposer le segment-image et le segment-objet dans les réponses à
l'item 12 qui a provoqué des résultats médiocres pour les uns et les autres.
Un type de réponse particulier: l'identité.
Examinons plus précisément les items où la réponse de type «identité» est
apparue (item 8,9 et 12).
tableau 11 : les réponses de type «identité».
figures nO items pourcentages de réussites pourcentages de réponses «identité»
français japonais français japonais
-;­ 8 57% 83% 13% 0%
"\ 9 72% 64% 72% 64%
><
12 53% 55% 53% 55%
Dans l'item 8, deux variables ont des valeurs qui rendent l'item difficile.
- L'orientation horizontale du segment (pour une orientation oblique de
l'axe de symétrie, cette orientation de la figure-objet est perturbante).
- L'intersection par l'axe de symétrie du segment en son milieu.
Cet item est celui qui donne le plus grand écart de réussite entre les élèves
japonais et les élèves français. l'lous pouvons constater d'après le tableau ci-dessus le
nombre important des réponses fausses de type identité chez les élèves français (13%)
et l'absence de ces mêmes réponses chez les élèves japonais. Il semble donc que ces
deux variables influent davantage sur les procédures des élèves français.

52
Les taux de réussites aux items 9 et 12 montrent qu'il est plus facile à un
élève français de recouvrir tout ou partie de la figure donnée, dans une tâche de construction.
En effet, ces deux items sont les seuls de la série où la bonne réponse est
l'identité, et ce sont les seuls où la réussite des élèves français est aussi bonne que
celle des élèves japonais. L'erreur la plus fréquente faite par les élèves japonais consiste
à tracer un segment formant une «croix» avec le segment donné, comme l'indique le
tableau et les figures ci-dessous.
tableau 12.
o.
n Items et nombre d'élèves nombre d'élèves réponse
rappel des figures français japonais proposée
"
9 0/86 7/107
~
12 ;( 6/84 20/107
~
IV - CONCLUSION.
L'analyse des résultats précédents met en évidence la manière dont les variables
choisies agissent dans une tâche de construction à main levée. Nous reprenons
ici les effets produits par certaines valeurs des trois variables étudiées: l'orientation
de l'axe de symétrie dans la feuille, la position du segment-objet par rapport à l'axe
et le type de papier.
La conception du parallélisme du segment donné et de son image dans la
symétrie orthogonale est très présente et elle est source d'erreurs chez les élèves des
deux populations. Elle apparaît non seulement dans les erreurs de type «identité»,
«prolongements» et «autres translations», mais aussi en combinaison avec des erreurs
de type «rappels horizontaux ou verticaux».
Les élèves japonais semblent moins perturbés que les élèves français par les
orientations horizontale ou verticale du segment-objet. Ces orientations du segment
proviennent de la conjonction des valeurs de deux des variables observées, à savoir
l'orientation «oblique à 45°» de l'axe dans la feuille et la valeur 45° de l'angle segmentaxe.
Ces orientations du segment sont moins remarquables pour l'élève japonais qui
n'hésite pas, comme nous l'avons constaté dans les premières observations par binôme,
à tourner sa feuille pour donner à l'axe de symétrie l'orientation «verticale» par
rapport à lui-même.

53
Les élèves japonais semblent éviter les réponses de type «identité», qu'elles
soient correctes ou erronées. Il semble que cet évitement l'emporte sur la conception
du parallélisme d'un segment et de son image.
Enfin, à propos de la variable «type de papier», nous pouvons dire que le
papier quadrillé perturbe la vision globale de la figure et de son symétrique, et amène
des procédures de comptage pour les élèves des deux populations.
La remarquable' progression du taux de réussite des élèves japonais nous a
incitées à chercher des éléments d'explication. La réussite presque totale des élèves
japonais de deuxième année d'école moyenne à la tâche proposée est peut-être due
à l'utilisation de la symétrie orthogonale dans les activités de géométrie dans l'espace
proposées en première année. La géométrie dans l'espace semble occuper dans les
programmes japonais une place privilégiée, plus importante que dans les programmes
français. L'un des objectifs des programmes japonais de la première année de J'école
moyenne est de développer chez les élèves une manière intuitive d'observer les figures
géométriques de l'espace, par la manipulation et les mesures de ces figures. Plus précisément,
ce programme comporte:
planes,
- construction de figures de l'espace obtenues par «mouvement» de figures
- section, projection, développement de figures de l'espace.
La géométrie dans l'espace apparaît dans les programmes français des classes
de 5ème de collège, mais, le plus souvent, elle n'est effectivement enseignée qu'en
classe de 5ème. D'autre part, le nombre et la diversité des activités de géométrie dans
l'espace dans les classes françaises sont moindres.
Le type d'enseignement est sans doute l'une des raisons de ce phénomènes,
mais nous pensons que des variables de type culturel interviennent également. Des
activités telles que les origami (pliages de papier) et la calligraphie jouent probablement
un rôle non négligeable: ces pistes restent à explorer.
NOTES.
(1) 2 000 caractères kanji environ sont acquis au cours de la scolarité obligatoire
et il faut en connaître environ 3 000 pour lire un journal.
(2) L'école élémentaire s'adresse aux élèves de 6 à 11 ans en France, de 6 à
12 ans au Japon, l'école moyenne s'adresse aux élèves de 11 à 15 ans en France
(collège), de 12 à 15 ans au Japon.
(3) Cette consigne écrite avait déjà été utilisée pour la première expérimentation,
en particulier pour les élèves de la ans qui n'avaient pas reçu d'enseignement de
la symétrie orthogonale.

54
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES.
. A. BERQUE (1982). Vivre l'espace au Japon. P.U.F., Paris.
B. DENYS (1985). The teaching of reflection in France and in Japan. Proceedings
of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics
Education, Noordwij kerhout.
R. GRAS (1983). Instrumentation de notions mathématiques. Un exemple:
la symétrie. petit x, nO 1, I.R.E.M. de Grenoble.
D. GRENIER (1985a). Quelques aspects de la symétrie orthogonale pour des
élèves de classes de 4ème et 3ème. petit x, n° 7, I.R.E.M. de Grenoble.
D. GRENIER (1985b). Conceptions des élèves de collèges è propos de la
symétrie orthogonale. Sémiœire de Didactique des Mathématiques et de l'Informatique,
I.M.A. Grenoble.
K.M. HART (1981). Children's understanding of mathematics : 11-16 (in
ch. 10, reflections and rotation by D. Küchemann), John Murray Publishers, London.
M. MAUVIEL (1984). Les français et la diversité culturelle. Education Permanente
75, p. 67-82, Paris.
M. MAUVIEL (1984). L'idée de culture et de pluralisme culturel. Aspects
historiques, conceptuels et comparatifs. Thèse de 3ème cycle. Université de Paris V.

.....,
SlJmétrie orthogonale: des élèves frar,ç:ais et japof,ais
(ace à une même tôch~ de constroJction
Bernadette Denll S
Denln OrerMr .
Les douze Items de l'e>o:pérlmentotlon
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u
If)

PEUT-ON CORRIGER DES DEVOIRS PAR ORDINATEUR?
Geneviève LOPATA
C.N.ED. de Vanves
UN.E BIBLIOTHEaUE INFORMATISEE A VOTRE SERVICE.
Depuis treize ans, notre bibliothèque de a.C.M. du CNED* de Vanves a «corrigé
par ordinateur» environ 145000 devoirs (une heure de travail-élève chacun)
• sur environ 200 énoncés rédigés par 60 auteurs ;
• sous forme de questionnaires à grille (réponse par croix) ;
• traitant de nombreuses disciplines (tant littéraires que scientifiques ou
autres) ;
• portant sur des niveaux d'élèves allant de la maternelle à l'université.
Cette banque de données informatisée, ouverte en octobre 1973** au sein de
l'Education Nationale à tous nos collègues, diffuse les exemplaires pour les élèves,
les cartes à perforer et, après traitement de ces dernières par ordinateur, un listage
ou corrigé «personnalisé» pour chaque élève - calculé d'après sa réponse.
Nous avions à faire face, au CNED, à deux exigences a priori contradictoires:
• améliorer la qualité du dialogue (écrit) entre l'élève et le ma Ître ;
• augmenter la quantité de devoirs corrigés (pour améliorer l'encadrement
à distance).
Or tous les maîtres ont mauvaise conscience devant leurs piles de copies à
corriger à la main - sachant que leur patient et pénible effort pour suivre pas à pas les
raisonnements de chacun de leurs élèves ne couvre qu'une petite partie des besoins.
* CNED (ex CNEC. ex CNTE) Centre National d'Enseignement à Distance.
** Par M.B. PAGNEY, alors Directeur du Centre de Vanves.
«petit x» n° 12 pp. 57 à 70. 1986

58
C'est alors que l'ordinateur nous est apparu comme pouvant
apporter un progrès décisif à la «correction personnalisée» des
travaux individuels des élèves.
Encore fallait-il éviter les écueils d'une réduction caricaturale du dialogue à
travers la machine.
QUELQUES PRINCIPES GENERAUX.
Vers 1964, nous commençons à réfléchir sur les méthodes de l'enseignement
programmé, et sur les causes tant de l'engouement que des déceptions qu'il entraîna.
Ces techniques pédagogiques élaborées aux USA après la guerre par une reconversion
de crédits militaires à l'éducation préparaient plus ou moins sommairement à une
massive industrialisation par ordinateur de certaines tâches d'enseignement.
D'accord pour décomposer les difficultés;
mais il faut aussi alors les faire recomposer par l'élève.
avec Skinner) ;
D'accord pour «mitrailler» de petites (?) questions (atomisation ou items
mais il faut pouvoir interpréter les réponses des élèves.
D'accord pour donner à l'élève la possibilité de plusieurs cheminements (ramification
avec Crowder) ;
mais il ne faut pas pour autant suggérer des pistes fausses (

59
• par la possibilité de rectifier les premiers jugements après avoir étudié les
questions suivantes (et par suite laisser des possibilités de se tromper) ;
• par la prise de décisions (réponses) en responsabilité, après mûre réflexion
en travail suivi avant d'avoir accès au corrigé;
• par la possibilité de ne pas répondre, ou plutôt d'émettre «un doute» lorsqu'on
ne sait pas ou encore ne peut pas répondre, se sentant pris dans une indétermination
ou dans une contradiction.
Nous reprendrons plus loin les modalités d'expression du «doute» avec la
description de nos grilles ; mais nous insistons tout de suite sur le respect
indispensable de la dignité de l'élève qui peut avoir «de bonnes raisons pour
ne pas répondre» - respect dont la plupart des questionnaires à croix
préparés pour un traitement informatisé font fi.
Plus généralement, nous voulions mettre en œuvre une liberté pour l'élève
qui puisse respecter une logique «naturelle d'apprentissage», selon Y. Piaget ou G. Ullmo,
construite sur un groupe de déplacements pour les observations et expérimentations
depuis des points de vue variés abordés à sa convenance par l'élève.
NOSQ.C.M.
Car il Y a a.C.M. et a.C.M. et pour ceux que nous faisons...
Questions à Choix Multiple (traduit de Multiple Choice Questions). Cette
désignation par sigle est une fois de plus du mauvais français: il ne s'agit, bien sûr,
pour l'élève que de bien choisir sa réponse parmi un nombre fini de réponses exprimables.
«Fini», pour que «l'ordinateur» - mais aussi tout simplement le professeur
correcteur - puisse s'y retrouver. C'est pourquoi, dans l'état actuel de l'analyse linguistique
automatique des langues usuelles, nous avons préféré faire répondre les
élèves par des croix dans des cases (plutôt que de manière libre dite «ouverte»).
Comme chacun sait, la décomposition ultime de l'information conduit au
codage binaire - [R] ou 0: «croix ou blanc» dans une case. Mais attention : ce
codage n'est pas toujours assimilé nécessairement à VRAI ou FAUX, ou encore à
OU 1 ou NON. Cette expression logique primitive de la logique classique, celle qui
règne en mathématique comme dans le fonctionnement de l'ordinateur, peut et doit
être aménagée pour l'expression courante. Voici comment nous l'avons adoucie par la
richesse du champ sémantique traité, la souplesse logique des expressions et interprétations,
et la libre variété des modalités de passage.

60
A -
La richesse combinatoire.
Une réponse à une question est un suivi de croix ou blancs (une dizaine de
cases). Prenons par exemple dans notre sujet IA4211a question:
«A quel(s) ensemble(s) de nombres appartient le nombre 2 3 ?» ŒJ pour
«OUI».
L'élève répond par des croix dans une colonne où les postes réponse sont
indiqués «en clair» et codés par un numéro (Ie[Q]étant pour le doute). Ainsi par le
jeu de la combinatoire, chacun se trouve pour une question devant 2 10 soit 1 024
réponses possibles selon qu'il prend ou ne prend pas un élément particulier (parmi les
10). C'est du Q.C.M. très riche.
code des réponses 2 3 3 112 x; X = x 2
je ne sa is pas ou ne
peux pas répondre
[q]
X
N Q] X X
II [2] X X
ll-*
[I]
[)
0 X X
[)­
[II
li>. m X X
cn-* [2]
IR ΠX X X
IR+*
œ X X
* : 0 excepté grille n O 1 gri Ile n O 2
L'ordre des postes réponse du code suggère une recherche par questions partielles
de haut en bas, mais ne l'impose pas. Il est possible et même souhaitable de
sauter des étapes, quitte à y revenir ensuite.
2 3 c'est un entier, 8, qui est dans IN, 7.l, ID, Gl et IR (code []J [1]œ~ ŒJ ).
Il est considéré comme relatif positif (code [[1) - et aucun des autres codes.
Cependant si les erreurs peuvent provenir ici d'un manque de discernement
entre ensembles (concepts présentés en poste réponse), une erreur de calcul sur 2 3
pris par exemple pour 2 X 3 ne sera pas décelée: 6 est codé comme 8. C'est pourquoi,
toujours avec le même code, nous poserons d'autres questions afin de déceler aussi les
modes de calcul erronés.

61
Pour un nombre irrationnel (Ex: 3 112 ) on sautera directement à IR (code@])
à IR+* (code[[]). Mais l'élève qui aura confondu 2 3 avec 2.3, s'il s'agit d'une même
erreur systématique, indiquera pour 31/2 la réponse 3.t soit 1,5 - décimal positif
non entier (codes[I] ,@] ,[]] , [[], sans [I] ni 0).
Naturellement il y aura des élèves qui cumuleront les erreurs de calcul (sur
2 3 et 31/2 par exemple) et des confusions entre ensembles. La cohérence plus ou
moins grande des réponses pour toutes les analyses (toutes les questions) selon un
ensemble du code assurera de la plus ou moins bonne compréhension de la définition
de cet ensemble (à zéro, une ou deux erreurs de calcul près).
Résumons les premières règles de rédaction.
Un code de rédaction non
explicitement fausse, mais
à utiliser judicieusement
selon les contextes.
Un code riche : 10 postes réponse - alors que trop
souvent on se contente de 3 ou 4, quand on ne travaille
pas simplement sur OUI-NON!
Un code «à multi-réponse» : il y a en général plusieurs
croix par colonne de 10 cases. Tous les sous-ensembles
de cases cochées sont possibles- (. 024).
Un code unique pour toutes les questions, ce qui permet
les recoupements en cohérence à travers tout le questionnaire
(en général 9 questions par grille).
B - la souplesse logique.
Une case au moins pour l'expression «doute».
Le doute sera plus ou moins explicité selon les cas: une croix dans la case
@] ici exprime l'hésitation ou l'Ignorance pour une case au moins, et ne dispense pas
de mettre des croix dans les autres cases si on est sûr de la réponse.
code des réponses
questions situations
(hypothèses)
je ne sais ou ne !
@]
1 X
peux pas répondre !
i
i
ŒJ
i
MATERIAUX
!
POUR
1
0
X
r
REPONDRE
1
(conclusions
0 X 1 X
patielles
! !
envisagées)
ï
!
X
ŒJ
1

62
Ici l'élève a le choix entre deux systèmes d'expression logique:
[Q] D
G 0
OUI
ou
0 0
NON
logique classique
mathématique
un blanc signifie «NON»
@JŒ]
G'EJ
~D
OUI CERTAIN
NON ou INCERTAIN
(possible)
une logique «littéraire»
dans le doute on s'abstient
un blanc signifie «PEUT-ETRE»
Dans d'autres questionnaires, nous ménageons «le doute par case». Par exemple:
lVRAl1 IFAUxl 1ll\lDETERIVIINEl est utilisé pour la détermination du signe d'une
expression algébrique (m + n par exemple).
Cet «incertain» porte sur la conclusion (+, -) et provient ici de l'ignorance
partielle - l'énoncé n'étant pas toujours suffisant pour conclure (c'est le «je ne peux
pas répondre»).
Mais le doute par case coûte cher en place de mémoire d'ordinateur pour un
nombre en général assez réduit de cases «douteuses».
Autre exemple d'indétermination, toujours pour jA421 2ème grille: x est un
nombre satisfaisant à x = x 2 , autrement dit égal à son carré dont on analyse l'appartenance
aux ensembles du code. x peut donc être égal à 1 ou à 0 - ce qui conduit à une
indétermination pour la case œdes décimaux négatifs ou nul, une seule case «douteuse»
laissée en blanc.
Naturellement, tout élève est libre de ne pas savoir une partie des définitions
que l'énoncé suppose connues. Il peut cependant raisonner encore partiellement et
conclure par une croix dans certaines cases (mais l'indication de son ignorance ­
code @] - ne fera pas ranger une omission comme une erreur, un 1\101\1 à la place d'un
OUI). Il ne faut pas confondre une colonne entièrement vide (le NON CERTAIN)
avec l'impossibilité totale à répondre (code @] et rien d'autre) qui peut provenir
soit d'une ignorance totale soit d'une contradiction dans l'énoncé.
Ainsi les origines du «doute» (hésitation ou refus de répondre) sont multiples:
DOUTE par ignorance, ambiguïté, contradiction, blocage affectif... provenant
de l'élève, des situations (énoncé), du modèle à mettre en œuvre...

63
Personne n'y échappe, pas même les profs de math, sûrs de leur théorie: car
il s'agit souvent en pédagogie de psychologie, de modélisation à partir de primitives
à base expérimentale (sensorielle) et tout simplement de zones d'indétermination.
Les maths sont nées par abstraction, par simplification modélisante d'un terrain
prémathématique. Elles sont ensuite formalisées par des règles au fonctionnement
logique fortement teinté de pratiques paramathématiques (avec explications en langue
métamathématique) - et conduisent à des applications post-mathématiques.
Pour être mathématicien, on n'en est moins homme... et par suite également
périmathématicien.
Pensez à l'histoire de la géométrie qui reste pour nos modestes élèves une
théorie physique plus que mathématique ; sans parler des maths de l'incertain (statistique,
probabilité, calculs d'incertitudes ou plutôt de domaines de certitude).
Notez bien que les calculs d'adressage de messages, eux, et le fonctionnement
informatique sont strictement booléens et relèvent de la logique classique mathématique.
Et d'autre part, «l'art de douter» doit être utilisé avec modération de la part des
auteurs : l'élève n'a que trop tendance à perdre confiance en lui (par ignorance) ; et
les questions comportant une impossibilité de conclure seront en général très minoritaires
(moins de 10%). D'ailleurs nos rédactions se teintent également de «peut-être»,
«presque toujours», «quasi-certain», «à peu près»... dans le dialogue de correction
pour exprimer des diagnostics d'erreurs ou dans les énoncés non «mathématiquement»
déterminés.
C -
Variété des modes de passage.
Nous sommes le moins possible normatifs. Les enseignants sont les meilleurs
juges de ce qui convient à leurs classes: travail surveillé individuel en classe, par petits
groupes, en temps limité ou non, à la maison... Nous notons très souvent les devoirs
individuellement dans un certain absolu - mais pas sur le listage de l'élève. C'est le
maître qui décidera de l'usage à faire des notes. Notre principe est de valoriser au
mieux les réponses valables (pas nécessairement parfaites totalement) en pénalisant
les «oublis» et les «erreurs». Car nous corrigeons le plus exhaustivement possible
d'après les résultats statisques stabilisés, et le mode de passage des questionnaires
influe peu sur la typologie obtenue. En équipes, la dispersion par faute d'étourderie
diminue, mais les types les plus fréquents n'en sont que plus accusés. Il faut seulement
plus d'élèves pour mettre en évidence tous les comportements significatifs - c'est-à-dire
fondés sur un raisonnement précis.
Cela nous amène à voir maintenant la technique de correction.

64
CORRIGER PLUS DE DEVOIRS POUR CORRIGER MIEUX.
Interroger ne suffit pas: il faut observer les résultats, puis calculer les réponses,
organiser le dialogue avec chacun. L'ordinateur sera alors particulièrement précieux
a) pour la typologie statistique des réponses;
b) pour l'adressage des messages de correction et pour l'édition des corrigés
individualisés.
Nous avons, au CNED, la chance d'être exceptionnellement riches en élèves
qui travaillent isolément (sans communiquer entre eux) sur un même énoncé. Par
contre si les statistiques de réponses se stabilisent vite (dès 200 réponses, parfois 100)
la communication directe est plus difficile que dans «l'oral», car l'élève doit
être très conscient de ses raisonnements pour rédiger sa contestation (surtout s'il faut
compter près de trois semaines à un mois pour un retour de courrier traditionnel,
avec réponse à la main du professeurs correcteur responsable). Les collègues qui,
fidèlement depuis plus de treize ans, nous ont aidés à y voir clair, ont été d'efficaces
témoins lucides des difficultés et incompréhensions de leurs élèves - tant devant
l'énoncé que devant l'objet étudié - en n'intervenant qu'une fois l'exercice achevé.
Ainsi la qualité de nos corrections s'améliore au cours des discussions en
équipes nombreuses de maîtres et d'élèves.
Nous avons des centaines de jeux de statistique (sur plus de 200 questionnaires
dont environ 120 en mathématique).
Pour 10 postes réponse, nous dépassons souvent 50 types booléens de réponse.
(selon la présence ou l'absence d'une croix pour chaque poste). Mais 50, ce n'est tout
de même pas 1 024 : nos élèves ne répondent pas statistiquement au hasard, et en
général par réponses bien typées.
Voici quelques résultats qui vous donneront une idée de notre méthode de
correction - et qui sont extraits d'une présentation détaillée de notre méthode dans
le fascicule IM11 du «Cours d'Introduction à l'Informatique Pédagogique» {deuxième
année}, cours IIP du CI\lED de Vanves.
Dans jE031 «un petit tour en bateau à voile» (O. Allio, S. Pradie, G. lopata,
voir annexe) questionnaire de géométrie mettant en jeu des figures symétriques non
superposables par glissement, on demande aux élèves de cocher les formes des pièces
qui conviennent pour fabriquer un bateau (un par question).

65
Catalogue
•
@
~ CU
~
B
Le code des questions est

66
Pour les types complets suivants, on tombe à moins de 1% pour les deux séries
statistiques. Il y a en tout 77 types pour 1, et 70 types pour Il (un peu meilleure et
moins dispersée). Mais si on observe alors les résultats globaux par poste réponse,
on s'aperçoit que les anomalies portent en fin de compte essentiellement sur la présence
des postes œet œet l'absence du ~ puis du 0 décelés déjà dans les 9 premiers
types complets qui cumulent respectivement 86,3% (1) et 90% (II) des élèves.
Je vous laisse juger de la corrélation des résultats - étant bien entendu que les
résultats se rapprochent d'autant plus que les populations sont de recrutement semblable.
Mais cette corrélation suffit à préjuger de l'efficacité de la corrélation à tous les
niveaux. La bonne réponse étant ~ [Il et rien d'autre, nous interprétons avec le
sentiment de ne pas nous tromper:
- pour [Il [!] œ la présence du œ (erreur de symétrie sur la voile dressée à
gauche)
- pou r [Il [§] la confusion entre le ~ et le [§] (angle droit non vu)
- pour [~] [il [§J la confusion précédente compliquée d'une erreur de symétrie
[Il pour [l] et aussi [§] pour un des III
- pour rn rn [!] la confusion d'un mavec le III qui, lui, a un angle droit
- pour [Il 1]] la confusion systématique d'un [Il avec le [§J dans les deux cas
- pou r [1] [!] la confusion déjà vue du [Il avec le 1]] , mais sans autre erreur
- pour [1] [[] lecumul des deux confusions déjà vues: rn pour l1J 'et œ
- pour œœ [[]
pour [Il
les erreurs déjà vues: œpourG] , et [Il pour l'autre [Il
Les remèdes alors s'imposent d'eux-mêmes.
Exemple: pour l'erreur du@]mis à la place d'un[!]
Question B.
Réponse proposée: ••• 2 ••• 4 ••••••
• • • 2 • 3 • 4 • • • • • •
Il ya une erreur.
Attention: regarde bien les modèles numéro 3 et numéro 4. Ce sont tous les
deux des triangles -
mais celui du numéro 3 a un angle droit (comme on en
obtient en pliant soigneusement en quatre une feuille de papier de manière à ce
que les quatre parties se recouvrent exactement d'un pli à l'autre). C'est un
triangle rectangle. Celui de numéro 4 n'a pas d'angle droit: il est plus allongé que
l'autre.
On explique ensuite comment vérifier que la pièce numéro 4 qui convient pour
la coque, peut convenir aussi en pivotant et en glissant, pour la voile de gauche. Puis
vient un message général donnant la bonne réponse.

67
Ce discours précis et long (imprimé de plus uniquement en majuscules) ne
tiendrait pas sur le petit écran d'un terminal. Par contre, une animation graphique
le remplacera avantageusement dès que nous en aurons les moyens (à distance) ­
et le temps pour la réaliser.
Nous prenons sur papier le loisir d'expliquer à fond.
UN PRINCIPE GENERAL.
Nous insistons sur ce qu'il faut voir ou faire pour bien répondre (le remède est
preCIS, mais moins que le diagnostic). Les messages sont cumulés quand les erreurs
le sont aussi: mais nous allégeons alors un peu le discours pour ne pas lasser.
D'autre part, au-delà de 80% des réponses, nous corrigeons surtout les erreurs
nettes et les oublis - car le cumul des erreurs entraîne des ambiguïtés.
Pour de graves erreurs comme @] [l] [ID ou []] , un seul message: ne pas
confondre un triangle avec un quadrilatère ( []] ,4,5% en 1et 3% en Il : on symétrise
le triangle). Il faut mieux regarder!
Un barême (discutable bien sûr) attribue un maximum de points (9 au plus)
par question, et pénalise par exemple chaque erreur interprétable et les oublis qui ne
sont pas déjà associés à une erreur: ne pas pénaliser deux fois pour une erreur entraînant
le remplacement d'un poste par un autre. Par exemple: ici pour 6 points et 2
postes réponse attendus, le 4 servant deux fois, on pourra enlever 3 points par erreur,
2 points pour l'oubli du lI] (avec GJ seulement en plus) et 4 points pour celui du
[1] (si la réponse est []Jsans autre erreur). Avec deux erreurs, il ne reste plus de points
pour cette question.
L'erreur du @] v [l] v [ID v [[] enlèvera 4 points s'il reste le [l] et le [IJsinon
on retombe à nouveau à zéro. En effet, il est difficile d'évaluer la part de hasard
(étourderie) s'il y a plus d'une erreur: on corrige enco~e pour deux fautes (2 ou plus),
mais on ne met plus de points. La bonne réponse avec une croix parasite ( [TI ) par
exemple recevra un point de consolation: erreur de manipulation lors de la perforation
de la carte par l'élève? Cette perforation (des cartes pré-perforées) étant faite
une fois les grilles remplies par les croix.
En fin de questionnaire, une moyenne sur 20 est calculée pour l'ensemble des
questions - notre souci étant plus d'ordre qualitatif (savoir si le sujet «passe») que
vraiment quantitatif (ce qui dépend de l'objectif visé en fonction de conditions de
passage précises).

68
Nos barêmes, ainsi liés aux types de réponse et calculés avec les branchements
de messages, ont le mérite d'être décidés sans tenir compte de la personnalité des
élèves ni des conditions de passage qui de toute manière nous échappent (temps de
préparation du cours, du questionnaire d'essai, de la réflexion sur le devoir proprement
dit). Ils donnent généralement satisfaction aux maîtres qui en font ce qu'ils
jugent utile.
PEUT-ON EFFICACEMENT CORRIGER PAR ORDINATEUR, AVEC TACT ET
SOUPLESSE, ET A L'ECHELLE INDUSTRIELLE?
C'est à nos correspondants et à leurs élèves de le dire! Notre méthode très
générale, partie des maths, a vite abordé d'autres disciplines. Cependant avec l'informatique,
les maths ne sont pas loin! Près de 1 000 enseignants utilisateurs (sur 3 000
inscrit qui ont demandé à recevoir nos énoncés) semblent en général de cet avis. A
vous d'en juger également par la pratique.
Dans ~ qui met-on dans «on» ? J'essaie de faire préciser les notions d'ensemble,
d'éléments discernables ou non discernables à partir du pronom indéfini
«on» (pas aussi indéfini qu'on le dit... dans beaucoup de cas). J'ai repris le problème
dans ~ à partir des fables de La Fontaine. Le français courant (littéraire se contente
souvent pour raisonner d'ensembles assez bien définis, du moins dans l'esprit du poète:
«On risque de tout perdre en voulant trop gagner». «On» désigne l'ensemble de tous les
humains pour lesquels la décision d'appartenance est prise (trop? «oui») - ce qui
implique alors pour ces personnes le risque de tout perdre. (Les profs de maths ne
sont-ils pas trop souvent dans ce cas en s'enfermant dans leur modélisation mathématique
?).
N'oublions pas que les ensembles sur lesquels nous raisonnons sont des abstractions
à partir d'objets individualisés et groupés selon la décision de notre esprit plus ou
moins influencée par les messages de nos sens.
Cela nous amène à préciser ensemble nos conceptions sur l'incertain : nous
préparons un fascicule de math sur ce thème avec une série d'exercices sur les encadrements
faisant suite à d'autres sur les inéquations et la relation d'ordre - ou sur le
partiellement certain, le probable et le vraisemblable (moins précis que le probable,
mais qui permet néanmoins de prendre des décisions justifées).
Nous comptons sur vous et vos élèves pour nous aider à progresser dans cette
voie et dans le vaste domaine qui reste à aborder par cette méthode.
Bien sûr, nous ne prétendons pas corriger tous les types de devoirs utileset
la rédaction des élèves par croix ne doit pas être la seule! Ce qui ne l'empêche
pas d'être très révélatrice dans la communication rapide.

69
En treize ans de pluridisciplinarité à travers l'ordinateur, nous avons appris
à être aussi périmathématiciens, à sortir des modèles clos, rassurants, pour fonder
par l'informatique les discussions sur la «frontière» des modèles théoriques enseignés.
Les profs de math ont à ce propos une plus grande responsabilité que ceux des autres
disciplines puisque le maniement des modèles mathématiques informatisés leur est
naturel. Tout correspondant (élève ou maître) peut toujours nous écrire s'il n'est
pas de notre avis.
Nous ne voulons pas qu'une informatisation sommaire, au rabais, s'exerce à
travers de puissants circuits commerciaux au risque de déformer l'esprit de nos élèves
et il nous faut nous unir afin d'obtenir les moyens nécessaires à une réflexion et à
une production massive, en équipe nombreuses d'enseignants expérimentés, dans une
atmosphère de libres échanges, de contestation constructive et de respect de la pensée
des élèves, de chaque élève - et cela sans trahir la discipline enseignée.
Rejoignez nos équipes!
L'informatique est un levier.
Les martres doivent s'en emparer
pour gagner l'enjeu culturel
de la qualité par la quantité.
Inscription et service gratuits pour les maîtres dans le cadre de l'enseignement public.
BIBLIOTHEaUE DE a.C.M. - CNED (VANVES)
SERVICE DE DOCUMENTATION
Mlle LOPATA Geneviève
CNED
60, boulevard du Lycée
92171 VANVES CEDEX
o Inscription
o Réinscription
Date .........................................................•...
Spécialité............................•.•................•..........
M., Mme, Mlle.....................•..........•......................
Prénom .
Adresse personnelle ...................•....•..•....••.•.•..........•..
Nom et adresse de l'établissement........•...•...•.........................
Classe assurée .

70
ANNEXE
D.ALLIO
S.PRADIE
G.LOPATA
BIBLIOTHEQUE DE Q.C.M. - GEOMETRIE - CNED (V!~VES)
~ Sujet
Un petit tour en bateau à voiles (reconnaissance de formes)
Avant de partir en. voyage, construisons nos bateaux à voiles. Il faut pour cela comman.
les pièces détachées d'après un catalogue. Chaque modèle de pièce a un numéro dans le cat
logue, de i~ à ®. Pour reconnaitre les modèles de pièces nécessaires, tu peux découper le
patrons (en bas de la grille qui sert de catalogue) et vérifier ensuite en déplaçant les
patrons sur le dessin du bateau à construire quels sont ceux qui conviennent. Puis il res
à déterminer le numéro en reportant le patron qui convient sur les modèles des pièces du
catalogue et à mettre une croix dans la case qui correspond au bateau que l'on veut construire.
(Il peut y avoir plusieurs croix par case si 'plusieurs pièces de même patron sont
nécessaires). Faisons ensemble un essai: réponds sur la grille ci-dessous (notre réponse
est à la fin du sujet).
.Catalogue
•
x
y
z
Question X :
Question A :
Question Y : lQuestion z :
.I~
~
Maintenant tu dois pouvoir passer ta commande tout
seul : (Réponds sur la grille ~ )

71
ACTIVITE... MAGlaUE
Philibert CLAPPOI\J 1
I.R.E.M. de Grenoble
1
Ceci est un carré magique : c'est-à-dire
que la somme des nombres en ligne en
colonne et en diagonale est la même.
Tu appeleras cette somme S.
- Exprime S en fonction de a et b.
. Complète toutes les cases du carré.
a b a+3
a+5 a+6 a+8
b-4 a+l0 a+4
a+l
Tous les carrés magiques qui suivent sont construits sur le modèle de celui-ci. Toutes
les cases sont reliées par les mêmes relations que celles définies dans le cadre 1.
2
. Calcule la somme de ce carré magique.
. Complète ce carré.
25
la
«petit x» nO 12 pp. 71 à 73. 1986

72
3
Tu connais la somme de ce carré : 5=64.
Tu sais aussi qu'une case contient 14
comme sur le dessin.
Complète ce carré.
14
Explique ta méthode.
4
Même travail avec ce carré de somme
5=93.
26
5
p
Ce carré est aussi construit sur le modèle
de celui du cadre 1.
Exprime 5 en fonction de p et r.
Complète les cases du carré à l'aide de p
et r.
r

73
6
Complète les cases de ce carré en remplissant
chaque case avec u ne expression en
fonction de x et S.
x
7
Même travail pour ce carré que dans le
cadre 6.
x
8
A quelles conditions les nombres figurant dans les cases du carré du cadre 7
sont-i Is des entiers natu reis?

74
LISTE DES AUTEURS AYANT COLLABORE A CE NUMERO
Bernadette DENYS
5, 7 rue de la comète
75005 PARIS
Denise GRENIER
Equipe de Didactique des Mathématiques
et de l'Informatique
Laboratoire L.S.D. - Institut IMAG
Grenoble B.P.68
38402 SAINT-MARTIN-D'HERES
Geneviève LOPATA
Bibliothèque de a.C.M. - CNED
Service de Documentation
60, boulevard du Lycée
92171 VANVES Cédex
Gert SCHUBRING
Institut für Didaktik der Mathematik
Universitat Bielefeld
Postfach 8640
4800 BI ELEFELD 1

75
AVANT DE LIRE LA BANDE DESSINEE...
Nicolas BALACHEFF
Vous allez découvrir, dans les pages qui suivent, la première bande dessinée de
«petit x». Nous vous convions ainsi à une incursion dans l'univers mathématique de
deux élèves de quatrième. Nous nous proposons de découvrir avec vous comment
ces élèves résolvent un problème, comment ils se mettent d'accord sur une solution,
quels arguments ils utilisent.
Le scénario de cette bande dessinée est issu de l'analyse des observations de deux
élèves qui avaient à résoudre en commun le problème suivant:
«Donner un moyen qui permette dès que l'on connaît le nombre des sommets
d'un polygone, de calculer le nombre de ses diagonales».
Ni l'action, ni le dialogue ne sont imaginaires, nous avons retenu la bande dessinée
pour vous les communiquer en conservant au mieux tout leur dynamisme.
Avec nous, vous serez attentifs à la cohabitation d'arguments d'autorité avec des
arguments s'appuyant essentiellement sur la nature des objets mathématiques en jeu
dans la résolution du problème, et sur leurs relations. Les fondements de la solution,
si n est le nombre de sommets du polygone alors le nombre de ses diagonales est
n(n-3l/2, ne sont pas mobilisés pour fournir une preuve. Notamment, face à l'empirisme
naïf de Christophe, c'est une «expérience cruciale» sur un octogone qui permettra
à Bertrand d'en découdre. Et pourtant ces fondements apparaissent bien dans le texte
final des élèves, mais de cette connaissance engagée dans l'action à la démonstration
comme moyen de preuve, le chemin à parcourir est encore long...

76
ON L'A PAS DEMONTRE,
ON A PAS L'DROIT D'LE FAIRE
Découpage at montage de Nicolas Balacheff
Dassins d'Eric Coulomb
Les dialoguas originaux sont de Christophe (à gauche) et de Bertrand (à droite).
Chp,isToPhE ET BEfl,TPlAWD f\-'MflDtNT
Lie \'ROBL~ME EN iMç.ANT \.lN
\'DITAGONE. n SES CiNQ Di RGONALE5
QUAi,:>, HAis Il.
HlUT RÉoiG>éP.
'ë.N G~NÉIl.f\\.. !
ON PEUT .,. Ol.l PE.UT Trlf\Cl:R LES
D\l'IGO~FlLE.S "!usqO'i\ C+H'lqUE
'SOH)o\ET ••• 5AUF c.~\l'lC. ~ui SONT
, .1\, /' ,
Pt COTe ••• R GAROe. ON PP-EN D
PFtfl "" ON fl\E.NO PAFI.:2, ETON
~e.UT "TRAC.ER Lf'l pi"'GONFtL~ .
vPtS Y, rAis E.1'l YN l.A~, Fi ,
C' \OST l'fiS fA C\ l.E À
ee. FlUCOOf' PE COïE.s,iU VA':> VOl R .
, . . CHAQUe. POiNT iL FI PEU')/. voisiNS
J .... .
C EST FFICILE. Pt C:OHPl\ENDRE
""\I~",S
REDI Ge.~ flUSSI
PFlNS UN fOl.YGOWE. ••• M~\-Ie
PFtNS
NïHPOI'\T~ Qu'I;I.LE. F\GI.lf\1: ~ H\OiN?
'ëT~ WON) NON, 'i'1=\\e;,
ALLE:.R,VIEl.lS, EN fÇl:::' I.lW CONCf\Vt. •••
ON S'EN rOUT
Sous L'i"'PULSioN OE
BŒT~flNO L~S f'OL'(,QN~':>
CONCiWE.S SONT Flel'lNOoNwt5
LES ÉLÈVES "TRACE.NT UN
GÇ\f'lN 0 OÉCf'lOONe CO)l'ieXE.
ET \JÉRiriENTG\lE. CliflQIlE;
SOHHéT ADE \lX \loi~iNs. puiS ...
ON VA f\ÉO\e.~p, ÇA
AU f>ROi'RE : DANS UN
fOLYGON~ CHf\~UE
POiNT A DéUl\. ••.
BEN si / C.:Ç,:iT UN
MOYEN çFt.c'ui Qui
L-\T, '/ H\ÎT SON
POLVGONE. ... y D" L ..
10iGNONS P'UN f'OiN
"TOUS L.€S fiUTP.E'5
POiNTS SfluF SEOj
VOiSINS", v fflirçf?
l'OUfl,O\JS LES fbi~TS
C'EST L'MOYEN'
C'~ST PAS
L'MOYE.W Poul',
C~LC:UL~R1
ou\, Hf\i,:> IL l.~':>
- ,
C.Ot-lPïE
. P,pp.eo:. ,
PAS BIEN rAf\TÎQùE:,
~..H\i"" .••
c ~

77
P..oN, RLLER. ON PROJD UN
\"oLYGONElY f CÔTÉS rAI',
éXEt-1PLE,t.UH ••• GIIAQùE
POiNT FlURA -e voisiN') f1 iL.
ALlP,f\ ••• 121 [)iAGON!'Il.E.~.
EH, l'ITTE.NCS 1 ON vA
voi P. . l'"fli EN 'UN LÀ .••
fA',':, EN UN.
BŒTRf)ND ïl'.flC~
LES oi flGONf\LES
\S$U~S P'UN
SotH1ET DRill') LI,
POLYGONE ~IlE
vIENT DE DfÇ;iNER
CHRiSTOPHE
y AQLlE. 4 DiAGONALE
HAis NON' ON A
OUBLiÉ. LU:- HÊH E T
1- ÇA. c'ùf)rr e,iEN ~P,Ti ..,
HAis ... COHHE '1 EN fi Qui soNi .•• Qui SONi••.
Al' ET FA ... NOOON ...
OU;! ÇA Y E$~
'S'cRois qaE "X'Ai ïRoové!ET...
HLI 1-1 '" ON f\ETfl.RNC~E. LE .
~ , ,
NCH~RE. .DE SOI1HE-TS t\ C ~VON
~ \~OIlV( / PAflC.ç,. QUE •••
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EH BEN ••• Ç-fI TAiT U\
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TU HET~ / REbl'lRDE •••

78
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çA\liENT... Çfl C EST.) CR()IS QUt 1 fil 11'IO\lVE. 'ëT.•. 8"... '1 A DES
çl'l SORT D'OÙ ÇA '" E\-I l ,'AS :fE CI\O',S ~E 3'1'\', 'P.OUVÉ.fl1iH-IDS... D"AGONFILES ~~i SE, .. QU~
o • .', (V-,. c 1--1 • P . CON ... y flUR/IIT OES'
,f1S ... )~I1I.3 ~N/ \-lAIS (\>UE'ST- >oVNN\... LE:. STYL.O ••• Ol-l ULTI LIE .•• ~('I Dif\GONAL(~ COHP7J S
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pJ-..rJ. ~~.lc.c;W.C'. ~ ,
J{o». av- ~~ ~ ~~ ~~: Zll\~~ J

80
ACTIVITE ... TOURNE...
Philibert CLAPPONI
I.R.E.M. de Grenoble
ABCD est un carré de 10 cm de côté et U, V, W et R sont des points construits
sur les côtés du carré à la même distance x des sommets comme sur le
dessin.
x
•
U
A,...---_==------------~
x(D
W
•
x
•
C
Explique pourquoi UVWR est un carré.
Calcule l'aire de UVWR en fonction de x.
Comment choisir x pour Q.Ie cette aire soit égale à 50 cm 2 •
Dessine la figure correspondante.
D'après les cahiers de troisième - I.R.E.M. de Poitiers· janvier 1985.
«petitx» n° 12 p. 80.1986
IMPRIMERIE LOUIS-JEAN - 05002 GAP Dépôt légal: 88 - Février 1987