Contrôle de la trajectoire d'un véhicule automobile

Contrôle de la trajectoire 

d’un véhicule automobile 

Guillermo Pita Gil, doctorant CIFRE en collaboration avec Renault 

Encadrants : Emmanuel Godoy, Didier Dumur 

GT MOSAR 23 Janvier 2009 Département Automatique

Objectif : 

contrôler la trajectoire d’un véhicule 

automobile afin de sécuriser la conduite. 

Différentiel 

piloté 

Angle roue 

Moteurs aux 

roues 

Modèle de 

différentiel 

Freinage 

découplé 

Contrôle de la dynamique 

longitudinale et latérale 

GT MOSAR 23 Janvier 2009 Département Automatique 2

Systèmes commercialisés aujourd’hui 

Honda Legend: SH-AWD. 

Mitsubitsi Evo: torque distribution. 

Subaru Impreza: torque distribution AWD. 

BOSCH & BMW X5: ESP with DWT-B (Dynamic Wheel Torque 

control by Brake). 


Sommaire : 

1. Nouvelle structure de commande 

2. Observateurs 

3. Guidage 

4. Pilotage 

5. Résultats de simulation 

6. Conclusions 

7. Perspectives 

GT MOSAR 23 Janvier 2009 

Département Automatique 4

1.- Nouvelle structure de commande 

Guidage : interprétation de la volonté du conducteur et génération des 

consignes de vitesse longitudinale et de lacet. 

Observateurs : estimation de l’état réel du véhicule grâce aux mesures 

et à des modèles internes. 

Pilotage : assure (dans la mesure du possible) le suivi des consignes de 

vitesse. 

Sens conducteur 

Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 



Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 







2.- Observateurs 

Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 

Entrées et sorties : 

Vitesses des roues 

Accélération longitudinale 

Accélération latérale 

Mesure vitesse de lacet 

Rapport boîte de vitesses 

Angle volant 

Observateurs 

Angle de dérive 

Vitesse longitudinale 

Efforts latéraux 



Estimation de l’angle de dérive : le modèle bicyclette 

d 

dt 

⎡− 

( D + D ) 

⎡β 

⎤ ⎢ m 

⎢ ⎢ 

ψ 

⎥ = 

⎣ & ⎦ ⎢ D l 

⎢ 

⎣ J 

z 

D l 

1 2 2 2 1 1 

1 

2 

CoGvCoG 

mCoGvCoG 

2 2 

2 2 

− D1l 

1 

D2l2 

− D1l 

1 

. 

⎡β 

⎤ 

y = ψ = ⎢ 0 δ w 

ψ 

⎥ 

⎣ & ⎦ 

[ 0 1] + [ ][ ] 

J 

− D l 

z 

v 

CoG 

− 

⎤ ⎡ D1 

⎥⎡β 

⎤ ⎢mCoGv 

⎥⎢ 

+ ⎢ 

ψ 

⎥ 

⎥⎣ 

& ⎦ ⎢ D1l 

⎥ 

⎦ 

⎢⎣ 

J 

z 

CoG 

1 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

[ δ ] 

w 

v CoG 

↑ 

Im{ } 

2,4 

−10 

− 3 

Re{ } 



Structure de l’observateur : 

En imposant : 

1. − Im 

2. − Re 

On obtient : 

K 

⎛ k 

) = 

⎜ 

⎝k 

⎧xˆ& 

= A( 

v 

⎨ 

⎩zˆ 

= Cxˆ 

CoG 

) xˆ 

+ B( 

v 

CoG 

) u + K( 

v 

CoG 

)( z − zˆ) 

{ vp( 

A( 

vCoG 

) − K( 

vCoG 

) C) 

} = 0 

{ vp( 

A( 

v ) − K( 

v ) C) 

} = χ Re{ vp( 

A( 

v ))} 

( v 

CoG 

CoG 

⎛ 1 

⎜ 

) ⎞ ⎜ a21 

⎟ = 

) ⎠ 

⎜ 

⎜ − 2χ 

Re 

⎝ 

CoG 

2 

[( χ Re{ vp( 

A( 

vCoG)) 

}) 

− a a + a a + a k ( v )] 

11 22 21 12 11 2 CoG 

1 CoG 

( vCoG 

2 2 

( v 

( D + D ) ( D l + D l ) 

2 CoG 

{ } ⎟ ⎟⎟⎟ 1 2 1 1 2 2 

vp( 

A( 

vCoG)) 

− − 

mvCoG 

I 

zz 

vCoG 

⎠ 

⎞ 


Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 





Département Automatique 

10


3.- Guidage 

Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 

Entrées et sorties : 

Pédale accélération 

RV / LV 

Ou 

Guidage 

Pédale accélération 

Pédale embrayage 


Génération 

consigne 

vitesse 

longitudinale 

Consigne 

vitesse 

longitudinale 

Rapport boîte de vitesse 

Angle de dérive 

Mode de conduite 

Eco, Sport, automatique 

Génération 

consigne 

vitesse de lacet 

Consigne 

vitesse 

lacet 


3.- Guidage 

Génération de la consigne de vitesse longitudinale 

u 

ref 

k +1 

= 

u 

est 

k 

+ γ 

ref 

l 

T 

e 

Guidage 

Génération 

consigne 

vitesse 

longitudinale 

Génération 

consigne 


Pédale d’accélération 

Pédale de frein 

Pédale embrayage 

Rapport de BV 

Interprétation 

volonté 

conducteur 

ref 

l 

γ + 

Te 

+ 

Consigne 

vitesse 

longitudinale 



3.- Guidage 

Loi d’interprétation de la volonté conducteur : 

Décélération Souhaitée 


3.- Guidage 

Génération de la consigne de vitesse de lacet : 

Guidage 

Génération 

consigne 

vitesse 

longitudinale 

Génération 

consigne 


Neutre : 

ψ& 

neutral 

ref 

= 

u 

α 

L cos( β ) 

wheel 

Sous/Sur vireur : 

ψ& 

sous / sur 

ref 

= 

u cos( β ) 

2 

L(cos 

( β ) + Ku 

2 

α 

) 

roue 

K 

= 

mg ⎛ l2 

⎜ 

2 

L ⎝ D 

1 

− 

l1 

D 

2 

⎞ 

⎟; 

⎠ 

et 

⎧K 

> 0 ⇒ sous vireur 

⎨ 

⎩ K < 0 ⇒ sur vireur 


Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 






15

4.- Pilotage 


Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 

A. Obtention du modèle Q-LPV pour la commande 

B. Synthèse des lois de commande: 

1. Q-LPV H ∞ 

. 

2. Retour linéarisant plus H ∞ 

. 

3. Retour linéarisant plus Pis optimisés. 



16

4.A.- Obtention du modèle Q-LPV pour la commande 

Couple moteur 

Couples frein 

Modèle 

non-linéaire 

pour la 

commande 


Vitesse de lacet 

Hypothèses simplificatrices : 

Pas d’effets aérodynamiques, 

Pas de pente sur la route, 

Pas de couplage en roulis. 

Ces limitations nous obligent à synthétiser des correcteurs qui rejettent 

de façon efficace les perturbations additives sur les commandes. 



17


Principe fondamental de la dynamique : 



18


Formulation sous forme Quasi-LPV : 

⎪ 

⎧ 

~ 

θ < 1,635 

⎨ 

⎪⎩ θ 10 

< 1,846 



19


Modèle des actionneurs : 

Le système de freinage : freins électro-mécaniques 

Principe de fonctionnement : chaque étrier est composé d’un moteur 

asynchrone et d’un système vis-écrou qui serre les plaquettes de frein 

contre les disques. 

Une boucle interne permet d’asservir l’effort de freinage. 

Modélisation : retard de 10 ms, premier ordre avec une constante de 

temps de 30 ms et une saturation à 2000 Nm. 

Le groupe motopropulseur : 

F4RT : moteur essence 2 litres turbocompressé, 200 chevaux. 

Modélisation : retard de 10 ms, premier ordre avec une constante de 

temps et saturation variables en fonction du régime moteur. 

Modélisation/Identification du différentiel 



20

4.- Pilotage 


Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 



1. Q-LPV H ∞ 

. 


. 




21

4.B.1.- Correcteur Polytopique Quasi-LPV H ∞ : 

Schéma de synthèse : 

u 

ref 

ψ& ref 

+ 

- 

+ 

- 

W O 1 

( ) 

W ( s 21 

) 

+ 

K(θ) 

+ 

W ( ) 

( s 22 

) 

11 s 

12 s 

W O 3 

+ 

+ 

W 

31 

I 3 

S(θ) 

W I 

31 

4 

u 

m 

ψ& 

m 

O 2 

O 2 

Correcteur polytopique d’ordre 6 



22


Diagramme de bode du correcteur : 



23


Valeurs singulières 



24


La stabilité quadratique à été vérifiée en trouvant une matrice X 

symétrique définie positive tel que : 

De plus, les pôles de la boucle fermée aux sommets du polytope sont 

correctement amortis : 



25


Les marges de stabilités MIMO ont été calculées avec le gain L 2 

: 

Margede gain = 

⎧ 1 

⎪α1 

= 

L2 

⎨ 

1 

⎪α 

2 

= 

⎪⎩ 

L2 

( T ) 

( S) 

] 1-α 

;1+ 

α [ 

⎤ ⎛α1 

⎞ ⎛α1 

⎞⎡ 

Margede phase = ⎥− 

2arcsin⎜ 

⎟;2arcsin⎜ 

⎟⎢ 

⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎣ 

1 

1 

∪ 

⎤ 1 1 ⎡ 

⎥ ; ⎢ 

⎦1+ 

α 

2 

1−α 

2 ⎣ 

⎤ ⎛α 

2 

∪ ⎥− 

2arcsin⎜ 

⎦ ⎝ 2 

⎞ ⎛α 

2 

⎟;2arcsin⎜ 

⎠ ⎝ 2 

⎞⎡ 

⎟⎢ 

⎠⎣ 

Les marges de stabilités MIMO sont : 

⎧− 

9,65 < MargeGain[dB] < 23,85 

⎨ 

⎩− 

55,79 < MargePhase[ ° ] < 55,79 



26


Réduction : 

Suppression des dynamiques haute fréquence, 

Compensation des couples pôle-zéro à la même fréquence, 

Projection sur l’axe réel des pôles bien amortis, 

Remplacement de la pseudo action intégrale par une action intégrale effective. 

Discrétisation : 

Transposition des fonctions de transfert du correcteur par transformation bilinéaire 

analytique : 

−1 

a0 

+ a1z 

+ ... + anz 

a, 

b ~ 

T kl ( z ) = 

; avec a , ( θ , θ10 

) 

1 

n 

i bi 

= f 

− 

− 

i 

b + b z + ... + b z 

0 

1 

−1 

n 

−n 

4 transferts avec une allure PI + avance de phase 



27

4.- Pilotage 


Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 



1. Q-LPV H ∞ 

. 


. 




28

4.B.2.- Retour linéarisant : 

Structure de commande : 

Pilotage 

Système linéarisé 

u ref 

ψ& ref 

+ 

- 

+ 

Correcteur 

+ 

+ 

+ 

Véhicule Observateurs 

- 

+ 

Non-linear Feedback 



29


Application au système de freinage : 

⎧ 

⎛ u~ 

1 ⎞ 

⎪x& 

= f ( x) 

+ g( 

x) 

⎜ 

⎟ 

⎪ 

⎝u 

~ 

2 ⎠ 

⎨ 

⎪ ⎛ u ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎪ 

y = h( 

x) 

= 

⎩ ⎝ψ& 

⎠ 

Avec, 

⎧ ⎛ θ + β ψ& 

4u 

tan( ) u ⎞ 

⎪ f ( x) 

= 

⎜ 

⎟ 

⎪ ⎝ θ10 

u ⎠ 

⎪ 

⎛1 

0⎞ 

⎨g( 

x) 

= ⎜ ⎟ 

⎪ ⎝0 

1⎠ 

⎪ 

⎛ h1 

( x) 

⎞ ⎛ u ⎞ 

⎪h( 

x) 

= = ⎜ ⎟ 

⎪ 

⎜ 

⎟ 

⎩ ⎝h 

( x) 

⎠ ⎝ψ& 

2 ⎠ 

r 1 

: 

r 2 

: 

0 

L f 

h1( 

x) 

= u 

0 

L f 

h2( 

x) 

= ψ& 

⎪⎧ 

L 

⎨ 

⎪⎩ 

L 

⎪⎧ 

L 

⎨ 

⎪ ⎩ L 

g 

g 

g 

g 

1 

2 

1 

2 

L 

L 

L 

L 

0 

f 

0 

f 

0 

f 

0 

f 

h ( x) 

= 1 

1 

h ( x) 

= 0 

1 

h ( x) 

= 0 

2 

h ( x) 

= 1 

2 

r 1 

= 1 

r 2 

=1 

r 

= 2 

Il existe un retour d’état linéarisant et statique. 



30


Application au système de freinage : 

u( 

x) 

= −D 

−1 

⎛ L 

( x) 

⎜ 

⎝ L 

1 

f 

1 

f 

h ⎞ 

1( 

x) 

⎟ 

+ 

h2 

( x) 

⎠ 

D 

−1 

⎛ v 

( x) 

⎜ 

⎝v 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Avec, 

⎛ 

⎜ 

L 

D( 

x) 

= 

⎜ 

⎝ 

L 

g 

g 

1 

1 

L 

L 

0 

f 

0 

f 

h ( x) 

h 

1 

2 

( x) 

L 

L 

g 

2 

g2 

L 

L 

0 

f 

0 

f 

h ⎞ 

1( 

x) 

⎟ 

h ( ) ⎟ 

2 x 

⎠ 

Dans cette application l’inverse de D(x) existe toujours, car : 

⎛ L 

D( 

x) 

= ⎜ 

⎝ 

L 

g 

g 

1 

1 

0 

L h ( x) 

f 

0 

L h ( x) 

f 

1 

2 

L 

L 

g 

2 

g 2 

0 

L h x ⎞ 

f 1( 

) 

⎟ = I 

0 

L 

f 

h ( x) 

2 ⎠ 



31

Système 

++- 

PilotageCorrecteur +++ + 

Non-linearFeedback 

u 

ψ&ref 

ref 

linéarisé 

- VéhiculeObservateurs 

4.B.2 .- H ∞ Boucle « externe » 

Schéma de synthèse : 



32

Système 

++- 



u 

ψ&ref 

ref 

linéarisé 



Diagramme de Bode du correcteur : 

• Réduction, 

•Remplacement de 

l’action intégrale 

2 PI filtrés 



33

Système 

++- 



u 

ψ&ref 

ref 

linéarisé 



Valeurs singulières : 



34


Marges de stabilité : 



35

4.- Pilotage 


Guidage 

Consignes 

Pilotage 

Couples 

moteur et 

freins 

Mesures 

Observateurs 



1. Q-LPV H ∞ 

. 


. 




36

Système 

++- 



4.B.3.- Correcteur de structure imposée (PI mono.) : 

Structure imposée : 

u 

ψ&ref 

ref 

linéarisé 




37


Evolution des réponses temporelles : 



38


Marges de stabilité : 



39

Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 






40

5.- Résultats de simulation : modèle de simulation MADA 

Modèle de simulation : MADA 

Modèle développé par RENAULT, l’INRETS et PSA. 

Modèle très non-linéaire, très fin : un modèle différent par véhicule de la gamme 

Renault. 

Le modèle prend en compte : 

les non-linéarités des pneus (glissements, moments d’auto-alignement, etc.) 

les forces et les moments aérodynamiques, 

la géométrie précise des trains (effets Brouilhet, braquages induits et micro-braquages, 

carrossage, etc.), 

Les caractéristiques tridimensionnelles (pour chaque roue) de la route (base de données 

de routes réelles), 

Le modèle permet aussi de rajouter un modèle de conducteur dans les 

simulations. 

Le modèle utilisé pour les simulations est une LAGUNA II GT. 



41

5.- Simulations MADA 

Scénario #1 : échelon de vitesse longitudinale 

Suivi de consigne sans erreur statique, 

Dépassement < 5% de la valeur finale, 

Découplage efficace, 

Bon rejet de perturbations dues aux 

conditions initiales. 

Q-LPV H ∞ 

RL+H ∞ 

RL+PIs 



42


Scénario #2 : échelon de vitesse de lacet 

Couple moteur 

Augmentation du couple moteur 

Couple de freinage 

t = 10 sec 

t = 5 sec 



43


t = 10 sec 

Scénario #2 : échelon de vitesse de lacet 

t = 5 sec 



Bon rejet de perturbations dues aux 


Q-LPV H ∞ 

RL+H ∞ 

RL+PIs 



44


Scénario #3 : consignes en vitesse longitudinale et de lacet 



Bon rejet des perturbations dues aux 


Q-LPV H ∞ 

RL+H ∞ 

RL+PIs 



45

5.- Simulations MADA : rond-point 

Q-LPV H ∞ 

RL+H ∞ 

RL+PIs 



46


Amélioration de la stabilité dans un rond-point 

85 

Vitesse longitudinale max (km/h) 

80 

75 

70 

65 

60 

55 

50 

45 

5 km/h 

Le conducteur 

compense l’angle 

volant 

LF+PIs 

Q-LPV H∞ 

LF+H∞ 

40 

35 45 55 65 75 85 95 105 

Angle volant (°) 



47


Implications sur l’accélération transversale : 

Gamma_t (R) 

7 

6,5 

Gamma_t max 

6 

5,5 

5 

4,5 

4 

78,73237039 61,22005184 50,07252609 42,35219536 36,68818046 32,35472168 28,93164216 26,15883231 

Rayon trajectoire 



48

Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 






49

6.- Conclusions 

Les correcteurs assurent le découplage du suivi de consigne de 

vitesse longitudinale et de vitesse de lacet, 

Le choix de génération des vitesses de consigne permet de 

modifier la dynamique angulaire du véhicule. On peut typer le 

véhicule en fonction de l’état d’esprit du conducteur : 

Sportif, 

Neutre, 

Sécurisant. 



50

6.- Conclusions 

Le conducteur ne doit plus rajouter (enlever) de l’angle volant 

pour compenser le comportement naturellement sous (sur) vireur 

du véhicule. Augmentation du plaisir de conduite. 

La stabilité du véhicule est améliorée pour toute condition 

d’adhérence. On peut rouler 5-10% (en fonction de l’adhérence) 

plus vite dans un rondpoint avant de perdre le contrôle du 

véhicule. 



51

Sommaire : 



3. Guidage 

4. Pilotage 






52

7.- Perspectives 

Test des lois de commande sur véhicule réel : 

Essais préliminaires : utilisation du freinage dissymétrique et d’un 

modèle de différentiel pour contrôler le couple moteur sur chaque 

roue avant. 

Base pour les essais : Velsatis munie d’un système de freinage 

hydraulique qui permet d’appliquer une pression de freinage 

indépendante sur chaque étrier. 

Outil de prototypage rapide : Dspace avec une micro-autobox. 

Lieu des essais : Centre technique d’Aubevoye (CTA) Renault. 



53


Outil de mise au point des lois de commande : 

Les personnes qui réalisent la mise au point des lois de commande 

ne sont pas familiarisés avec tout correcteur non-PID. 

D’où le besoin d’introduire une étape intermédiaire qui facilite la tâche 

des metteurs au point : 



54


Outil de mise au point des lois de commande : 

Idée : utiliser des algorithmes d’optimisation par essaims 

particulaires pour faire le choix des filtres de pondération (dans le 

cas d’une commande H ∞ ) qui optimisent des critères « classiques » 

pour les metteurs au point. 

Avantages : l’avantage d’utiliser cette méthode d’optimisation est 

qu’il existe un jeu de paramètres de réglage standard qui évite 

d’avoir besoin de metteurs au point avec des connaissances en 

réglage d’algorithmes d’optimisation. 



55


Synthèse d’actions anti-windup robustes : 

Dans le domaine automobile, les actionneurs sont rarement 

surdimensionnés (car coûteux). 

C’est le cas du groupe motopropulseur. 

Dans les simulations nous avons utilisé des techniques d’antiwindup 

« classiques » qui ne prennent pas en compte le caractère 

LPV de notre système. 

Une piste pour la suite est de construire des actions anti-windup 

robustes qui soient aussi LPV. 



56

Merci de votre attention. 

Des questions ? 



57

Identification du différentiel : 

Modélisation à partir du PFD : 



58


Modèle physique : 

Relations cinématiques: 

1 

Ω3 + Ω 

4 

= 2n 

Ω 

m 

R Ω ( ) 

2 

5/ 6 

= k Ω3 

− Ω4 

R 

Relations dynamiques: 

J Ω& 

= C − χ ( C + C 4) 

m 

m 

r3 r 

I 

z 

k 

J 

& 

& 

( Ω 

3 

− Ω4) 

= Cr3 

− Cr 

4 

J 

2l 

= 

2 

m n R 

b 

L R 

2 

1 

2 

2 

R 

p2 

I 

+ 

y 

n R 

2 

1 

2 

2 

L R 

R 

p2 

2 

4nl 

Rp2 

R1 

J 

+ 

LR 

2 

axeRoue 

χ = 

2lR R 

LR 

1 

2 

R 

p2 

p 



59


Modèle physique : 

⎧x& 

⎨ 

⎩y 

= 

= 

Ax 

Cx 

+ 

Bu 

x 

= 

⎡Ω 

⎢ 

⎣Ω 

3 

4 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

u 

= 

⎡C 

⎢ 

⎢ 

C 

⎢⎣ 

C 

m 

r3 

r 4 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

⎡Ω 

= 

⎢ 

⎢ 

Ω 

⎢⎣ 

Ω 

3 

y 

4 

m 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

⎡0 

0⎤ 

A = ⎢ ⎥ 

⎣0 

0⎦ 

⎡1 

0⎤ 

C = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

0 1 

⎥ 

⎢⎣ 

e e⎥⎦ 

B 

= 

⎡a 

⎢ 

⎣a 

b 

c 

b⎤ 

d 

⎥ ⎦ 

⎧ nR1 

⎪a 

= 

⎪ R2J 

⎪ χnR1 

⎪b 

= − 

⎪ JR2 

⎪ 

χnR1 

1 

⎨c 

= − + 

⎪ JR2 

I 

zkJ 

⎪ χnR1 

1 

⎪d 

= − − 

⎪ JR2 

I 

zkJ 

⎪ 

⎪ 

R2 

e = 

⎪⎩ 

2nR1 

axeroue 

axeroue 



60


Recalage des paramètres : 

Essais avec véhicule 

sur pont : meilleure 

connaissance des 

efforts appliqués sur 

les roues. 

Rapport 1 2 3 4 5 6 

BV 

αˆ 1.3625e-001 2.5301e-001 3.6019e-001 4.8372e-001 5.9495e-001 7.0618e-001 

var(α ˆ) 

9.3295e-007 1.0988e-006 1.7809e-006 2.0015e-006 4.4425e-006 1.2929e-005 

Rapport 

BV 

Ĵ 

var(J ˆ) 

1 2 3 4 5 6 

8.1106e-002 1.0777e-001 1.3525e-001 1.8371e-001 2.2859e-001 1.8393e-001 

7.9633e-005 2.5801e-005 8.1233e-005 1.9666e-004 2.6647e-004 8.5445e-005 

χˆ 2.9686e-002 3.6375e-002 7.0756e-002 6.8551e-002 2.9270e-001 2.9270e-001 

var(χ ˆ) 

8.2801e-005 1.9182e-005 2.0739e-005 4.0194e-005 8.9430e-004 8.9430e-004 

Rapport 

BV 

Ĵ 

rel 

var( J ˆ 

rel 

) 

1 2 3 4 5 6 

5.5736e+000 4.1672e+000 4.3203e+000 4.6447e+000 6.1396e+000 1.9636e+001 

9.5893e-001 1.8210e-001 4.0691e-001 5.2038e-001 2.6611e-001 2.8539e+001 



61


• Modèles boîte noire : 

• Type ARX: 

A ( q) 

y( 

t) 

= B( 

q) 

u( 

t) 

+ e( 

t) 

A 

n x n 

y y 

∈ R , 

B ∈R 

n x n 

y 

u 

Avec, 

•u(t) le vecteur des n u 

entrées, 

•y(t) le vecteur des n y 

sorties, 

•e(t) un bruit blanc. 

• Type représentation d’état : 

⎧x& 

⎨ 

⎩y 

= 

= 

Ax 

Cx 

+ 

+ 

Bu + Ke 

Du + e 

• Modèles boîte grise : 

⎧x& 

⎨ 

⎩y 

= 

= 

Ax 

Cx 

+ 

+ 

Bu + Ke 

Du + e 

A 

= 

⎡0 

⎢ 

⎣0 

0⎤ 

0 

⎥ 

⎦ 

B 

= 

⎡a 

⎢ 

⎣a 

b 

c 

b⎤ 

d 

⎥ ⎦ 

⎡1 

0⎤ 

C = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

0 1 

⎥ 

⎢⎣ 

e e⎥⎦ 



62


Conclusions : 

Le modèle qui offre un meilleur compromis 

« représentativité/compléxité » est le modèle « boîte grise ». 

Retour 



63

Contrôle de la trajectoire d'un véhicule automobile

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