Classification et Mod`eles Linéaires en Analyse ... - Youblisher.com

Université Paris IX–Dauphine
U.F.R. Mathématique de la Décision
Thèse
l’obtention du titre de
Docteur en Informatique
Présentée et soutenue par
Oldemar RODRIGUEZ ROJAS
Sujet de la Thèse
Classification et Modèles Linéaires
en Analyse des Données Symboliques
JURY
Directeur de thèse
Rapporteurs
Suffrageants
Edwin DIDAY
Professeur à l’Université Paris IX–Dauphine, France
Gilbert SAPORTA
Professeur au Conservatoire National des Arts et Métiers, France
Suzanne WINSBERG
Professeur à l’Université de Rutgers, Etats–Unis
Paula BRITO
Professeur à l’Université de Porto, Portugal
Pierre CAZES
Professeur à l’Université Paris IX–Dauphine, France
Rosanna VERDE
Professeur à l’Université Federico II, Italie
Présentée et soutenue publiquement le 14 novembre 2000

Contents
Introduction 12
1 Présentation de l’Analyse des Données Symboliques 18
1.1 Données symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Objets symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Propriétés et opérateurs des objets symboliques . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 27
2.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Algorithme de Classification Pyramidale Symbolique . . . . . . . . . . . 32
2.3 Algorithme de Classification Pyramidale Symbolique avec Ordre Donné . 45
2.4 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 La Régression Symbolique 60
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2

3
3.2 Statistiques descriptives pour de données symboliques . . . . . . . . . . 61
3.2.1 La moyenne symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 La médiane symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Percentiles symboliques et déviation quartile symbolique . . . . . 64
3.2.4 La moyenne symbolique des valeurs extrêmes . . . . . . . . . . . 66
3.2.5 La variance et l’écart type symbolique . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.6 Histogrammes symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.7 Boîtes de dispersion (Boxplot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.8 La corrélation symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 La régression linéaire symbolique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Modèle de régression simple avec la corrélation empirique . . . . 80
3.3.2 Modèle de régression simple avec la corrélation symbolique maximum
et minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Modèle de régression symbolique simple avec les points Inférieur–
Supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.4 Modèle des sommets pour la régression symbolique simple . . . . 85
4 Le Cercle des Corrélations Symboliques et l’Analyse en Composantes Principales
pour des Données de Type Histogramme 88
4.1 Cercle des corrélations symboliques dans l’analyse en composantes principales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4
4.1.1 Le cercle des corrélations en utilisant le coefficient de la corrélation
symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 La dualité dans la Méthode des Centres . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.3 La dualité dans la Méthode des Sommets . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.4 Les aides symboliques à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.5 Le logiciel pour l’analyse en composantes principales symbolique 124
4.2 Généralisation de l’analyse en composantes principales aux données de
type histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.1 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.2 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.3 L’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 L’Analyse Symbolique des Tableaux de Proximités 137
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 L’analyse classique des tableaux de dissimilarités . . . . . . . . . . . . . 138
5.3 L’analyse des tableaux de dissimilarités de type intervalle: INTERSCAL 141
5.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.1 Exemple des huiles et des graisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.2 Exemple de jugements de rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5 Le programme de l’algorithme INTERSCAL . . . . . . . . . . . . . . . 154
Conclusion 155

5
A
Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques (PIMAD–
Symbolique) 166
A.1 L’installation et la désinstallation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 Le module de classification ascendante pyramidale symbolique . . . . . . 167
A.3 Le module d’analyse en composantes principales pour des données de
type intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.4 Le module d’analyse en composantes principales pour des données de
type histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.5 Le module de régression linéare symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.6 Le module de l’algorithme INTERSCAL pour la méthode d’analyse des
tableaux de proximités de type intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

List of Figures
1 Deux principes fondamentaux de l’analyse de données symbolique. . . . 14
2.1 Exemple d’une Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Pyramide symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Pyramide en construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Pyramide en construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Pyramide obtenue après l’union de deux composantes connexes. . . . . . 44
2.6 Pyramide du tableau de données de l’exemple 1.1.1. . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle
modifié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle
réelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9 Hiérarchie binaire de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle modifié). . 58
2.10 Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse si on a
l’ordre des objets a priori 7≤6≤5≤1≤2≤4≤3. . . . . . . . . . . . . . . 59
6

7
3.1 L’histogramme symbolique de la variable Y 1 =Systolic–Pressure. . . . . 69
3.2 La boîte de dispersion de la variable Y =Pulse–Rate. . . . . . . . . . . . 71
3.3 X H ou Y H contiennent l’origine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Tous les deux X H et Y H sont dans le même m–quadrant. . . . . . . . . . 76
3.5 X H et Y H sont dans des m–quadrants opposés. . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 X H et Y H ne contiennent pas des vecteurs colinéaires et ni l’un ni l’autre
X H ou Y H contient l’origine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec
le modèle de la corrélation empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec
le modèle de la corrélation symbolique maximum et minimum. . . . . . . 84
3.9 Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec
le modèle de Inférieur–Supérieur points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.10 Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec
le modèle des sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1 Cercle classique des corrélations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Cercle des corrélations symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des centres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des centres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8
4.5 Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Projection des variables hypercubes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Le cercle des corrélations symbolique avec le algorithme 4.2. . . . . . . . 110
4.8 Le plan principal symbolique avec la méthode des centres dual. . . . . . . 110
4.9 Le cercle des corrélations symbolique avec la méthode des centres commençant
par Z t Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.10 Plan principal symbolique avec la méthode des centres commençant par
Z t Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.11 Cercle des corrélations symbolique avec la méthode des sommets. . . . . 120
4.12 La qualité symbolique de S i selon le j–ième axe factoriel. . . . . . . . . 121
4.13 Le plan principal avec des données de type continu, intervalle et histogramme.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.14 La pyramide avec des données de type continue, intervalles et histogramme.134
4.15 Tableau des données avec deux individus et deux variables de type histogramme.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.16 TPlan principal du tableau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1 Distances minimum et maximum entre les deux hypercubes. . . . . . . . 143
5.2 Distances moyennes parmi les deux hypercubes. . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Plan principal de données des huiles et des graisses en utilisant l’algorithme
INTERSCAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9
5.4 Le plan principal symbolique avec la méthode des centres dual. . . . . . . 150
5.5 Rectangles dont la hauteur est inférieure à leur largeur du côté droit. . . . 152
5.6 a troisième dimension s’est reliée à la taille ou à l’aire des rectangles avec
les plus petits apparaissant sur le dessus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.1 PIMAD–Symbolique dans le menu Démarrer de Windows. . . . . . . . . 167
A.2 Fenêtre principal du module de classification ascendante pyramidale symbolique.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.3 La boîte de dialogue pour la selection de variables. . . . . . . . . . . . . 170
A.4 Fenêtre principale du module d’analyse en composantes principales pour
des données de type intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.5 Boîte de dialogue pour choisir l’algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.6 Fenêtre principale du module d’analyse en composantes principales pour
des données de type histogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.7 Fenêtre principal du module de régression symbolique simple. . . . . . . 175
A.8 Options du module de régression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.9 Fenêtre principal du module pour l’algorithme INTERSCAL. . . . . . . . 178

List of Tables
2.1 Tableau des données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Exemple avec onze patients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Tableau des données “Oils and Fats”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et le
centre de gravité des composants principales pour la méthode des centres. 96
4.3 Les corrélations symboliques entre les variables et les composants principales
pour la méthode de centres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et le
centre de gravité des composantes principales pour la méthode des sommets.100
4.5 Les corrélations symbolique entre le centre de gravité des variables et le
centre de gravité des composantes principales pour la méthode des sommets.100
4.6 Corrélations symboliques entre les variables et les composants principales
avec la méthode des centres en employant l’algorithme 4.2. . . . . . . . . 108
4.7 Corrélations classiques entre les variables et les composants principales
avec la méthode des centres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10

11
4.8 Composantes principales avec la méthode des centres duale. . . . . . . . 109
4.9 Corrélations symboliques entre les variables et les composantes principales
avec la méthode des centres duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10 Corrélations symboliques entre les variables et les composantes principales
avec la méthode des sommets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1 L’ensemble de données des huiles et des graisses. . . . . . . . . . . . . . 148
A.1 Barre d’outils du module de Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.2 Barre d’outils communs à tous les modules de PIMAD–Symbolique. . . . 170
A.3 Barre d’outils du module d’analyse en composantes principales pour des
données de type intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.4 Barre d’outils du module de régression linéale symbolique. . . . . . . . . 176

Introduction 12
Introduction
Ce travail s’inscrit dans le cadre de l’analyse des données symboliques proposé dans [30,
Diday (1987)],[31, Diday (1989)],[32, Diday (1991)], [33, Diday (1993)], [34, Diday
(1995)], [35, Diday (1995)], [36, Diday (1996)], [38, Diday (1998)],[39, Diday (2000)].
L’analyse des données symboliques est une extension de l’analyse de données qui est en
ce moment en plein développement. En effet, beaucoup des méthodes, des techniques et
des algorithmes de l’analyse de données ont été déjà abordés en vu de cette extension. Par
exemple, nous pouvons mentionner les travaux de [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman
(1997)] qui généralisent l’analyse en composantes principales pour des données de
type intervalle, [9, Brito (1991)] et [55, Mfoumoune (1998)] dans la classification pyramidale,
les travaux de [76, Ziani (1996)] sur la sélection des variables sur un ensemble
d’objects symboliques, [21, DeCarvalho (1994)], [46, Gowda et Diday (1991)], [47,
Gowda et Diday (1992)] pour le calcul des dissimilarités entre les objets symboliques,
[23, Diday et Emilion (1996)] et [26, Diday et Emilion (1997)] pour la construction des

Introduction 13
histogrammes des capacités, [66, Stéphan (1996)], [67, Stéphan (1998)], [68, Stéphan,
Hébrail et Lechevallier, (1997)] et [69, Stéphan, Hébrail et Lechevallier, (1999)] pour
l’extraction des objets symboliques à partir d’une base de données, [61, Polaillon (1998)]
pour la construction, l’organisation et l’interprétation par les treillis de Galois au cas symbolique,
[51, Lauro, Verde et Palumbo (1999)] et de [52, Lauro, Verde et Palumbo (2000)]
dans des méthodes factorielles pour des données symboliques, parmi beaucoup d’autres.
Nous pouvons aussi citer les études plus récentes proposées par Diday dans [41, Diday
et Rodríguez (2000)] concernant la qualité, la robustesse et la fiabilité des objets symboliques.
Il y a également des avancés importantes en ce qui concerne le logiciel pour le traitement
des données symboliques, par exemple le projet SODAS (voir [7, Bock et Diday (2000)]
et [40, Diday et Bisdorff (2000)]) qui est le résultat de l’effort de 17 équipes européennes
(patronné par EUROSTAT), le DB2SO qui construit objets symboliques à partir des bases
de données relationnelles (voir [49, Hébrail et Lechevallier (2000)]), “Strata Decision
Tree” (“STA” et “STDEDITOR”, voir [8, Bravo (2000)]) et [62, Périnel (1996)] dans le
cas d’objets probabilistes avec des applications médicales, entre autres.
Le but de ce travail est de généraliser au cas symbolique certaines techniques de la classification
automatique, aussi bien que quelques modèles linéaires. Ces généralisations seront
toujours faites d’après deux principes fondamentaux de l’analyse de données symbolique,
à savoir (cf. “Knowledge discovery from symbolic data and the SODAS software” dans
[41, Diday et Rodríguez (2000)]):
1. L’analyse des données classiques devrait être toujours un cas particulier de l’analyse
des données symboliques.
2. Dans une analyse des données symboliques, tant la sortie comme la entrée devraient
être symboliques.

Introduction 14
Ces deux principes sont illustrés dans la Figure 1.
Figure 1: Deux principes fondamentaux de l’analyse de données symbolique.
En ce qui concerne la classification automatique, notre objectif spécifique est:
1. Généraliser l’algorithme CAP proposé dans [28, Diday (1984)] de façon à ce que
l’algorithme produise une pyramide symbolique, c’est–à–dire, une pyramide dans
laquelle chaque palier est associé à un objet symbolique complet.
Concernant les modèles linéaires, nos objectifs spécifiques sont:
1. Généraliser la méthode classique de la régression simple au cas des données symboliques
de type intervalle.
2. Généraliser la méthode de l’Analyse en Composantes Principales pour des données
de type intervalle proposée par [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)]
dans deux sens: dans un premier temps nous proposerons trois manières de projeter

Introduction 15
les variables de type intervalle dans le cercle des corrélations. Dans une deuxième
temps, nous proposerons un algorithme pour l’analyse en composantes principales
pour des données de type histogramme.
3. Généraliser la méthode classique de l’analyse des tableaux de dissimilarités de [71,
Torgenson (1958)] et [45, Gower (1966)] (Multidimensional Scaling) pour les disimilarités
de type intervalle.
Ce travail cherche également a mettre en application un logiciel pour chacune des méthodes
développées.
Dans le chapitre 1 nous présenterons les concepts de base de l’analyse de données symbolique
qui sont nécessaires pour le développement de ce travail. Cette présentation sera
basée sur [30, Diday (1987)], [38, Diday (1998)], [39, Diday (1999)] et [9, Brito (1991)].
Dans [28, Diday (1984)], Diday a proposé l’algorithme CAP pour construire les pyramides
numériques, c’est–à–dire, une pyramide qui est construite à partir d’une matrice
de dissimilarités classiques. [3, Bertrand et Diday (1990)] ont proposé un algorithme
avec le même but. [55, Mfoumoune (1998)] a présenté également un algorithme avec
cet but dénommé QuickCap dont l’objectif est d’améliorer le temps d’exécution. Dans
[9, Brito (1991)], Paula Brito a présenté un macro–algorithme avec l’objectif de construire
une pyramide symbolique. Tenant compte des travaux mentionnés ci–dessus dans le
chapitre 2 nous présenterons deux nouveaux algorithmes, qui généralisent au cas symbolique
l’algorithme CAP. Le premier de ces deux algorithmes, dénommé CAPS, produit
en effet une pyramide symbolique, parce qu’il construit un objet symbolique associé à
chaque palier de la pyramide et il vérifie également sa complétude. L’algorithme CAPS
est vraiment une généralisation de l’algorithme CAP parce que s’il reçoit comme entrée
une matrice de dissimiliraties il produit la même sortie que l’algorithme CAP. Dans le
chapitre 2 nous présenterons aussi un deuxième algorithme dénommé CAPSO, qui construit
une pyramide symbolique ayant comme entrée, un ordre donné a priori (sans tenir

Introduction 16
compte de la table symbolique de données) dans l’ensemble d’individus (objets symboliques).
A la fin du chapitre, les théorèmes de convergence sont présentés pour tous les
deux algorithmes.
Bertrand et Goupil dans [7, Bock et Diday (2000)] ont généralisé quelques indices de la
statistique descriptive au cas symbolique, comme la moyenne, la variance, la corrélation,
etc. Cependant, toutes ces généralisations calculent l’indice ayant comme entrée une variable
symbolique mais la sortie est un nombre réel. Dans le chapitre 3, de ce travail, nous
généraliserons, pour les variables de type intervalle, la moyenne, la médiane, la moyenne
des valeurs extrêmes, l’écart type, la déviation quartile, les boîtes de dispersion (boxplot)
et la corrélation, suivant le principe qui établit que: si l’entrée est symbolique, alors la sortie
devrait être symbolique, c’est–à–dire, que tous les indices ci–dessus prendront comme
sortie des intervalles. Trois nouvelles méthodes sont aussi présentées pour effectuer la
régression linéaire pour les variables de type intervalle.
Au chapitre 4 nous étendrons la méthode d’analyse en composantes principales proposée
par [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)] pour des données de
type histogramme, nous généraliserons le cercle des corrélations au cas des variables
de type intervalle. De plus, nous proposerons des généralisations pour quelques indices
d’interprétation utilisés dans l’analyse classique en composantes rincipales.
Dans le chapitre 5 nous proposerons une méthode pour l’analyse des tableaux de proximités
(multidimensional scaling) pour des données de type intervalle, que nous avons
dénommée INTERSCAL. Nous généraliserons la méthode classique de l’analyse des
tableaux de proximités de [71, Torgenson (1958)] et [45, Gower (1966)] en recherchant
une méthode qui produit des résultats semblables à la méthode des sommets dans l’analyse
en composantes principales proposée dans [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman
(1997)]. La méthode pour l’analyse des tableaux de proximités standard prend comme
entrée une matrice de dissimilarités de terme général δ ij qui est une valeur numérique.

Introduction 17
Au même temps, nous proposerons une méthode qui donne une matrice dissimilarités
]
dont le terme général est δ ij =
[δ ij , δ ij , où δ ij et δ ij sont la limite inférieure et la limite
supérieure de la dissimilarité entre l’objet S i et l’objet S j respectivement. Comme sortie,
au lieu de représenter chaque objet symbolique sur le plan factoriel par un point, comme
dans d’autres méthodes pour l’analyse des tableaux de proximités, dans la méthode proposée,
chaque objet symbolique sera visualisé par un rectangle, afin de représenter la
variation de la dissimilarité.
Pour chacune des méthodes présentées dans cette thèse un outil de logiciel a été mis
en application. Ce logiciel, dénommé PIMAD-Symbolique (Programme Intégré de
Méthodes d’Analyse des Données Symboliques), a cinq modules, à savoir:
• Un module pour la classification pyramidale symbolique.
• Un module pour l’analyse en composantes principales pour des variables de type
intervalle (dont tous le deux, le plan principal et le cercle des corrélations sont
symboliques).
• Un module pour l’analyse en composantes principales pour des variables de type
histogramme.
• Le module INTERSCAL.
• Un module pour la régression linéaire symbolique et les statistiques descriptives.
Ce logiciel a été réalisé en C++ en utilisant des stratégies de programmation, analyse et
dessin de systèmes orienté objet. Ce logiciel emploie comme entrée le format SODAS, et il
peut être exécuté avec des tableaux de données de n’importe quelle dimension (seulement
limitée par la mémoire de l’ordinateur). Dans l’annexe 1, sera présentée un bref guide
expliquant la façon d’installer et d’employer le logiciel PIMAD-Symbolique.

Chapter 1
Présentation de l’Analyse des Données
Symboliques
On présente dans cette chapitre le formalisme mathématique pour introduire l’analyse des
données symboliques ([30, Diday (1987)], [31, Diday
(1989)],[32, Diday (1991)], [33, Diday (1993)], [34, Diday (1995)], [35, Diday (1995)],
[36, Diday (1996)], [38, Diday (1998)],[39, Diday (2000)], [7, Bock et Diday (2000)], [9,
Brito (1991)], [61, Polaillon (1998)]). On introduit d’une manière informelle les données
symboliques et après on définira plus précisément le concept d’objet symbolique.
1.1 Données symboliques
L’analyse des données classiques part d’un ensemble de m individus (objets), notés E =
{1, 2, . . . , m}, lesquels se caractérisent par n variables, notées par Y 1 , Y 2, . . . , Y n , chaque
variable Y k prend ses valeurs dans un ensemble Y k appelé “espace d’observation”. Pour
chaque individu i ∈ E la variable Y j prend seulement une valeur x ij = Y j (i) ∈ Y j , ces
18

Présentation de l’analyse des données symbolique 19
valeurs seront groupées en une matrice de données X = (x ij ), i = 1, 2, . . . , m, j =
1, 2, . . . , n.
Néanmoins, il y a des situations dans lesquelles cette manière de représenter l’information
n’est pas suffisante. Par exemple, quand on a de grandes bases de données on peut appliquer
les techniques de “Fouille de Données” (“Data Mining”), qui ont par objectif de
résumer l’information dans de nouveaux tableaux de données où chaque entrée n’est pas
nécessairement une seule valeur.
Dans l’Analyse des Données Symboliques on a un ensemble Ω de m objets. Ces individus
sont caractérisés par n “variables symboliques 1 ” Y 1 , Y 2 , . . . , Y n , où l’espace d’observation
de Y k est Y k . Formellement Y k est une fonction de l’ensemble Ω dans un ensemble B k ⊆
Y k , lequel peut être:
1. Un sous–ensemble de nombres réels, c’est–à–dire, B k ⊆ R (cas de l’analyse de
données classique).
2. Un ensemble d’intervalles, c’est–à–dire, B k ⊆ {[α, β] tel que α ∈ R et β ∈ R avec
α ≤ β}.
3. Un ensemble de catégories nominales ou ordinales.
4. Un distribution de probabilité, etc.
Ces données sont réunies dans une “matrice des données symboliques”, notée par X =
(x ij ) i=1,2,...,m . Chaque entrée de cette matrice est “une donnée symbolique”.
j=1,2,...,n
Dans l’Analyse des Données Classiques on a deux types de variables, les variables quantitatives
et les variables qualitatives.
1 Ces concepts seront définis avec plus de précision dans la section suivante.

Présentation de l’analyse des données symbolique 20
Une variable Y est appelée quantitative si l’ensemble Y de toutes les valeurs possibles
prises par Y est un sous–ensemble de R. Quand Y est un ensemble non dénombrable
la variable s’appelle quantitative continue; quand Y est fini ou dénombrable la variable
s’appelle quantitative discrète.
On dira que la variable Y est qualitative si le rang Y de Y est un ensemble fini de
catégories qui n’a pas nécessairement un sens numérique. Quand le rang Y n’a pas une
structure, on dira que la variable est qualitative nominale; dans ce cas–ci, étant données
x, y ∈ Y, on sait seulement si x = y ou x ≠ y. Quand Y est totalement ordonné, la
variable Y s’appelle qualitative ordinale, quand Y possé seulement un ordre partiel, on
dira que la variable Y est qualitative ordinale généralisée.
Dans l’Analyse des Données Symboliques, en plus des variables qu’on a mentionné
antérieurement, il y a d’autres types de variables, par exemple les variables multivaluées,
les variables de type “intervalle” et les variables modales.
On dira qu’une variable Y est multivaluée si ses “valeurs” Y (i) sont tous des sousensembles
finis de Y, c’est–à–dire |Y (i)| < ∞ pour tout i ∈ Ω. Quand Y est un
rang fini de catégories et toutes les Y (k) sont finies, la variable Y s’appelle multivaluée
catégorique. Si Y (k) ⊂ R et |Y (k)| < ∞ alors la variable s’appelle multivaluée quantitative.
Une variable multivaluée Y s’appelle variable de type intervalle 2 si Y (i) est un intervalle
de R pour tout i ∈ Ω, c’est–à–dire Y (i) = [α, β], ∀ i ∈ Ω, avec α ∈ R, β ∈ R et α ≤ β.
On dira qu’une variable Y est modale avec espace d’observation Y si pour tout i ∈ Ω
on a Y (i) = π i , et π i est une mesure non négative sur Y. Par exemple une distribution
de fréquences, une distribution de probabilité ou un ensemble de poids. Dans cette thèse,
on s’intéresse particulierèment au cas où π i est donné par un histogramme, la variable Y ,
2 Les intervalles peuvent aussi être ouverts ou semi-ouverts.

Présentation de l’analyse des données symbolique 21
s’appelle alors variable histogramme.
Example 1 Dans le tableau de données symboliques suivant on a cinq variables, la première
est de type intervalle, la deuxième est quantitative, et les trois dernières variables sont de
type histogramme (les valeurs sont tronquées).
⎡
X =
⎢
⎣
[1, 4] 2 (1(0.4), 2(0.1), 3(0.2), 4(0.07), 5(0.02)) (1(0.1), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 3 (1(0.6), 2(0.1), 3(0.1), 5(0.0)) (1(0.1), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 5] 2 (1(0.7), 2(0.2)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 1 (1(0.7), 2(0.0), 3(0.1), 4(0.0), 5(0.0), 6(0.0)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 1 (1(0.4), 3(0.4), 4(0.0), 5(0.0)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.8), 2(0.1))
[1, 6] 2 (2(0.4), 3(0.1), 4(0.3), 5(0.0), 6(0.0)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
⎤
⎥
⎦
1.2 Objets symboliques
Les objectifs de l’analyse de données symbolique sont: analyser, visualiser, classifier et
réduire l’information qui se trouve dans le tableau de données symboliques. Comme
l’explique Diday [39, Diday (1999)], les objets symboliques permettent de modeliser les
concepts:
“There are two steps in Symbolic Data Analysis: the first concerns knowledge
extraction from large data bases as in “Data Mining”, the second step
concerns the application of new tools on such extracted knowledge in order
to extend “Data Mining” to “Knowledge Mining”. “Extracting knowledge”
means getting new concepts, that is why, “Symbolic Objects” are introduced.”
Dans les paragraphes suivants on précisera le notion d’objets symboliques ([30, Diday
(1987)], [31, Diday (1989)], [39, Diday (1999)] et [7, Bock et Diday (2000)]).

Présentation de l’analyse des données symbolique 22
Definition 1 Un Objet Symbolique est un triplet s = (a, R, d) où R est une relation entre
les descriptions, d est une description, et a est une application de Ω dans L qui dépend de
la relation R et de la description d.
Si le tableau initial de données contient p variables Y 1 , Y 2 , . . . , Y p et si [Y j (w)R j d j ] ∈
L = {V, F } pour tout j = 1, 2, . . . , p, l’objet symbolique s’appelle Objet Booléen et si
[Y j (w)R j d j ] ∈ L = [0, 1] pour tout j = 1, 2, . . . , p l’objet symbolique s’appelle Objet
Modal.
Si on note par Y (w) = (Y 1 (w), Y 2 (w), . . . , Y p (w)), D = (D 1 , D 2 , . . . , D p ),
d = (d 1 , d 2 , . . . , d p ) ∈ D et R = (R 1 , R 2 , . . . , R p ) où R i est une relation dans D i . Alors,
si dans la définition précédente on prend L = {vrai,faux}, on definit R par [Y (w)Rd] =
[Y 1 (w)R 1 d 1 ] ∧ [Y 2 (w)R 2 d 2 ] ∧ · · · ∧ [Y p (w)R p d p ] et on prend a(w) = [Y 1 (w)R 1 d 1 ] ∧
[Y 2 (w)R 2 d 2 ] ∧ · · · ∧ [Y p (w)R p d p ] où a(w) =vrai si et seulement si Y j (w)R j d j pour tout
j = 1, 2, . . . , p l’objet s’appellera un Objet Assertion Booléen.
Par exemple l’expression suivante:
a(w) = [nationalité(w) ⊆ {Mexicaine,Costaricienne}] ∧ [âge(w) ⊆ [20, 35]]
définit un objet symbolique s = (a, R, d) où d = ({Mexicaine,Costaricienne},[20, 35]),
R : [Y (w)Rd] = [Y 1 (w)R 1 d 1 ]∧[Y 2 (w)R 2 d 2 ] avec R 1 = R 2 = “ ⊆ ”, donc a(w) =vrai si
et seulement si la nationalité de w est Mexicaine ou Costaricienne et l’âge de w appartient
à l’intervalle [20, 35].
Definition 2 Si L = [vrai,faux] l’objet symbolique est dit booléen et son extension est
l’ensemble Ext(s) = {w ∈ Ω tel que a(w) =vrai}. Dans le cas des objets symboliques
modaux où L = [0, 1], pour un seuil donné α, l’extension est définie par Ext(s, α) =
{w ∈ Ω tel que a(w) ≥ α}.

Présentation de l’analyse des données symbolique 23
1.3 Propriétés et opérateurs des objets symboliques
Definition 3 (Ordre symbolique) Soit S l’ensemble des objets symboliques défini sur les
mêmes variables, alors ∀ s 1 , s 2 ∈ S on dit que:
s 1 ≤ s 2 ⇐⇒ Ext(s 1 ) ⊆ Ext(s 2 ).
La relation ≤ ainsi définie est une relation de pre–ordre appelée Preordre Symbolique [30,
Diday (1987)].
Definition 4
Pour tous s 1 , s 2 ∈ S, si s 1 ≤ s 2 , on dira alors que s 2 est plus général que
s 1 et que s 1 est plus spécifique que s 2 .
Pour la construction des Pyramides Symboliques (section 2.2), il sera nécessaire de calculer
l’union et l’intersection d’objets symboliques, ces opérations se définissent de la
façon suivante [30, Diday (1987)]:
Definition 5 Soient s 1 = (a 1 , R, d 1 ) et s 2 = (a 2 , R, d 2 ) deux objets symboliques, l’union
de s 1 et s 2 notée par s 1 ∪ s 2 , est définie comme la conjonction de tous les objets symboliques,
dont l’extension contient Ext(s 1 ) ∪ Ext(s 2 ), c’est–à–dire, l’union de tous les
objets symboliques e i tel que pour tout i on a Ext(e i ) ⊇ Ext(s 1 )∪Ext(s 2 ). De même, on
définit l’intersection entre s 1 et s 2 comme la conjonction de tous les objets symboliques,
dont l’extension contient Ext(s 1 ) ∩ Ext(s 2 ).
Si le tableau de données initiale contient des variables modales, par exemple Y j , avec
Y j = {m 1 , m 2 , . . . , m t } l’ensemble de catégories de la variable Y j , et w 1 , w 2 , . . . , w t sont
les valeurs de fréquence, de probabilité ou de poids pour m 1 , m 2 , . . . , m t . Si on a deux
objets symboliques s 1 = (a 1 , R, d) et s 2 = (a 2 , R, d) où:
a 1 = [ Y j = (m 1 (w1), 1 m 2 (w2), 1 . . . , m t (wt 1 )) ] et

Présentation de l’analyse des données symbolique 24
a 2 = [ Y j = (m 1 (w1), 2 m 2 (w2), 2 . . . , m t (wt 2 )) ]
alors Brito a defini s 3 = (a 3 , R, d) = s 1 ∪ s 2 (voir [7, Bock et Diday (2000)]):
a 3 (w) = [Y j = (m 1 (w 1 ), m 2 (w 2 ), . . . , m t (w t ))] ,
où w i = max{wi 1 , wi 2 } pour i = 1, 2, . . . , t et elle a defini son extension comme:
Ext(s 1 ∪ s 2 ) = {s ∈ Ω tel que wi s ≤ w i pour i = 1, 2, . . . , t}.
Remark 1 Il est possible que w 1 + w 2 + · · · + w t ≥ 1.
Remark 2 Il en résulte que si s 1 = (a 1 , R, d) et s 2 = (a 2 , R, d) avec a 1 = [Y 1 ∈ V 1 ] ∧
· · · ∧ [Y p ∈ V p ] et a 2 = [Y 1 ∈ W 1 ] ∧ · · · ∧ [Y p ∈ W p ] alors s 1 ∪ s 2 = (a 3 , R, d) avec
a 3 = [Y 1 ∈ V 1 ∪ W 1 ] ∧ · · · ∧ [Y p ∈ V p ∪ W p ].
Un concept important dans la classification pyramidale symbolique est la complétude des
Objets Symboliques. On dit qu’un objet symbolique est complet s’il décrit de manière exhaustive
(“complète”) son extension. Plus formellement: (si note pour P (A) l’ensemble
de parties de A)
Definition 6 [9, Brito (1991)], [31, Diday (1989)] Soient S l’ensemble de tous les objets
assertion, A = {a 1, a 2 , . . . , a n } ⊆ S, f : S → P (A) tels que f(a) = Ext(a) et g :
P (A) → S tel que ∀ P ∈ P (A), P ⊆ f ◦ g(P ). On note pour h = g ◦ f . On dit
alors que l’objet symbolique a est complet si et seulement si h(a) = a. La fonction h est
dénommée l’opérateur de complétude.
Example 2 [9, Brito (1991)] Soit f : S → P (A) tel que f(a) = f( ∧ [y j ∈ W j ]) = {a i =
j
∧
[y j ∈ Vj i ] / Vj
i ⊆ W j , j = {1, 2, . . . , p}}, A = {a 1, a 2 , . . . , a n } ⊆ S et g : P (A) → S
j
tels que g({a 1 , . . . , a m }) = α = [y j
complétude.
= ⋃ i
V i
j ] alors h = g ◦ f est un opérateur de

Présentation de l’analyse des données symbolique 25
L’algorithme de classification pyramidale symbolique qu’on présente dans la section 2.2
contient deux étapes, l’étape de généralisation dans laquelle on doit calculer l’union
entre objets symboliques et l’étape d’agrégation dans laquelle on calcule le “Degré de
Généralité” de l’objet symbolique. On présente une définition du “Degré de Généralité”
basé sur la définition donnée par Paula Brito dans [10, Brito (1997)], cette définition nous
permettra de calculer le degré de généralité même si le tableau de données symboliques
a des variables de type intervalle, quantitative discrète ou de type histogramme (comme
dans l’exemple 1).
Definition 7 Soit s = (a, R, d) un objet symbolique avec a(w) =
Degré de Généralité de s par:
où
⎧
⎪⎨
g(e j ) =
⎪⎩
g(s) =
p∏
g(e j ),
j=1
p ∧
j=1
|V j |
|Y j |
si e j = [Y j ⊆ V j ], V j ⊆ Y j avec Y j discrète.
longueur(V j )
longueur(Y j )
si e j = [Y j ⊆ V j ], V j ⊆ Y j avec Y j continue.
t∑
h=1
t
w h
si
e j = [Y j = {m 1 (w 1 ), . . . , m t (w t )}] est une
e j , on définit le
distribution de fréquence de la variable discrète Y j .
Remark 3 Soit S l’ensemble des objets symboliques défini sur les mêmes variables, alors
∀ s 1 , s 2 ∈ S on a:
s 1 ≤ s 2 ⇒ g(s 1 ) ≤ g(s 2 ).
Example 3 Si on considère le tableau de données symboliques qu’on a présenté dans
l’exemple 1 et on prend l’objet symbolique s = (a, R, d) où:
a(w) = [y 1 (w) ⊆ [1, 4]] ∧[y 2 (w) ⊆ {1}] ∧[y 3 (w) = (1(0.718), 2(0.053), 3(0.187),
4(0.013), 5(0.006), 6(0.013), 7(0.006))] ∧[y 4 (w) = (1(0.04), 2(0.97))] ∧ [y 5 (w) =

Présentation de l’analyse des données symbolique 26
(1(0.86), 2(0.24))] d = {[1, 6], {1, 2, 3}, (1(p 1 ), . . . , 7(p 7 )), (1(p 1 ), 2(p 2 )),
(1(p 1 ), 2(p 2 ))} et R = (R 1 , . . . , R 5 ) où R 1 = “ ⊆ ”, R 2 = “ ⊆ ”, R i = “ = ”
pour i = 3, 4, 5, alors on a que g(s) = 0.01109.

Chapter 2
Classification Pyramidale Symbolique
Ascendante
Dans ce chapitre on présente deux algorithmes qui construisent une pyramide symbolique
à partir d’une matrice de données symboliques. Le premier algorithme trouve un “ordre
total compatible avec la pyramide” de m objets, pendant que le deuxième construit la
pyramide à partir d’un ordre donné (a priori) sur les objets, cet ordre à partir des entrées
de l’algorithme. Ces deux algorithmes, en plus de construire la pyramide, trouvent pour
chaque palier l’objet symbolique associé, son extension et vérifient sa complétude.
2.1 Définitions préliminaires
Dans cette section on présente les concepts fondamentaux que nous permettront dans les
sections suivantes de présenter les algorithmes déjà mentionnés ([28, Diday (1984)], [3,
Bertrand et Diday (1990)] et [55, Mfoumoune (1998)]).
27

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 28
Definition 8 Un indice de dissimilarité défini sur l’ensemble d’objets Ω est une fonction
d : Ω −→ [0, +∞[ telle que:
• d(s 1 , s 2 ) = d(s 2 , s 1 ), ∀ s 1 , s 2 ∈ Ω.
• d(s, s) = 0, ∀ s ∈ Ω.
Afin de mesurer la dissimilarité entre classes d’objets déjà formées, on utilise les indices
d’agrégation.
Definition 9 Un indice d’agrégation est une fonction δ : P (Ω) × P (Ω) −→ [0, +∞[ telle
que δ(s 1 , s 2 ) = δ(s 2 , s 1 ), où P (Ω) est l’ensemble des parties de Ω.
Pour le cas de la classification ascendante pyramidale symbolique, on n’utilisera pas un
indice de dissimilarité ni un indice d’agrégation, car dans la phase d’agrégation (étape
de généralisation) de l’algorithme (section 2.2) on prend l’union de deux objets symboliques
qui forment le nouvel palier, lequel engendre un autre objet symbolique (parce
que l’union d’objets symboliques produit un nouvel objet symbolique). Pour calculer la
“dissimilarité” (ou l’agrégation) entre le nouveau objet symbolique et les autres objets
symboliques on utilise le Degré de Généralité (définition 7).
Remark 4 Le Degré de Généralité ne vérifie pas tous les axiomes d’un indice de dissimilarité.
Definition 10 Une hiérarchie binaire sur un ensemble d’objets Ω est un ensemble H des
parties de Ω, appelées classes, qui a les propriétés suivantes:
• {s} ∈ H pour tout s ∈ Ω.
• Ω ∈ H.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 29
• Pour tout s ∈ H tel que card(s) > 1, il y a s 1 , s 2 ∈ H tels que s = s 1 ∪ s 2 et
s 1 ∩ s 2 = ∅.
Diday généralise dans [28, Diday (1984)] le concept de hiérarchie aux pyramides, comme
on le montre dans les définitions suivants.
Definition 11 Soit θ un ordre total sur Ω et P un ensemble des parties de Ω. Un élément
h ∈ P est connexe selon l’ordre total θ, si pour tout w ∈ Ω qui est entre le max(h) et le
min(h) (min(h) θ w θ max(h)) on a w ∈ h.
Definition 12 Un ordre total θ sur Ω est compatible avec P, un ensemble de parties de Ω,
si tout élément h ∈ P est connexe selon l’ordre total θ.
Definition 13 Soit Ω un ensemble fini, soit P un ensemble des parties non vides de Ω
(appelées paliers), P est une pyramide si:
1. Ω ∈ P .
2. ∀ w ∈ Ω on a {w} ∈ P (paliers singletons).
3. ∀ (h, h ′ ) ∈ P × P on a h ∩ h ′ ∈ P ou h ∩ h ′ = ∅.
4. Il existe un ordre total θ en Ω compatible avec P .
Example 4 Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, P 6 , P 7 ,
P 8 , P 9 , P 10 }, avec P 6 = {1, 3}, P 7 = {2, 4}, P 8 = {1, 3, 5}, P 9 = {1, 2, 3, 5}, P 10 = Ω.
On a un ordre total θ compatible avec P défini comme suit: 3θ1, 1θ5, 5θ2, et 2θ4, alors P
est une pyramide. Cette pyramide est présentée dans la Figure 2.1
Definition 14 Une pyramide indicée est un couple (P, f) où P est une pyramide et f est
une fonction f : P → R + telle que:

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 30
4.00
3.00
2.00
✻
P 8
P 9
P 10
1.00
P 6 P 7
3 1 5 2 4
✲
Figure 2.1: Exemple d’une Pyramide.
• ∀ h ∈ P on a que f(h) = 0 ⇔ h est un palier singleton.
• ∀ h, h ′ ∈ P on a que h ⊂ h ′ ⇒ f(h) ≤ f(h ′ ).
On dira qu’une pyramide est indicée au sens strict si h ⊂ h ′ ⇒ f(h) < f(h ′ ). De plus la
pyramide s’appelle pyramide indicée au sens large si h ⊂ h ′ et f(h) = f(h ′ ), impliquent
l’existence de h 1 , h 2 ∈ P différents de h tels que h = h 1 ∩ h 2 .
Definition 15 Soit Ω un ensemble fini, soit P un ensemble de parties non vides de Ω
(appelées aussi paliers), P est une pyramide symbolique si:
1. P est une pyramide.
2. Chaque palier de P a un objet symbolique complet associé.
Example 5 Considérons le tableau de données 2.1:
Soient Ω = {1, 2, 3}, P = {{1}, {2}, {3}, P 4 , P 5 , P 6 }, avec P 4 = {1, 2}, P 5 = {2, 3},
P 6 = {1, 2, 3} = Ω, θ = “ ≤ ”. Alors on a que s 4 = (a 4 , R, d), s 5 = (a 5 , R, d),
s 6
= (a 6 , R, d) sont les objets symboliques associés à P 4 , P 5 , P 6 respectivement avec
a 4 (w) = [[y 1 (w) ⊆ {1, 2}] ∧ [y 2 (w) ⊆ {1}] ∧ [y 3 (w) ⊆ {2}]], a 5 (w) = [[y 1 (w) ⊆

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 31
y 1 y 2 y 3
w 1 1 1 2
w 2 2 1 2
w 3 3 3 1
Table 2.1: Tableau des données.
1.00
✻
P 6
0.67
0.17
P 4
P 5
1 2 3
✲
Figure 2.2: Pyramide symbolique.
{2, 3}] ∧ [y 2 (w) ⊆ {1, 3}] ∧ [y 3 (w) ⊆ {1, 2}]], a 6 (w) = [[y 1 (w) ⊆ {1, 2, 3}] ∧ [y 2 (w) ⊆
{1, 3}] ∧ [y 3 (w) ⊆ {1, 2}]], R = “ ⊆ ”, d = {{1, 2, 3}, {1, 3}, {1, 2}}. Donc, P est une
pyramide symbolique. Cette pyramide est présentée dans la Figure 2.2
Definition 16 Un indice de dissimilarité pyramidale est un indice de dissimilarité d qui
vérifie en plus les conditions suivantes:
• d(s 1 , s 2 ) = 0 ⇒ s 1 = s 2 .
• Il existe un ordre total θ sur Ω compatible avec d, c’est-à-dire, un ordre total θ tel
que:
s 1 θs 2 θs 3 ⇒ d(s 1 , s 3 ) ≥ max{d(s 1 , s 2 ), d(s 2 , s 3 )}.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 32
2.2 Algorithme de Classification Pyramidale Symbolique
Dans cette section on présente un nouvel algorithme qui construit une pyramide symbolique
à partir d’une matrice de données symboliques.
Diday dans [28, Diday (1984)] propose l’algorithme CAP pour construire des pyramides
numériques; c’est-à-dire pyramides engendrées à partir d’un tableau de données classiques
ou d’une matrice de dissimilarités. Dans [3, Bertrand et Diday (1990)], [44, Gil
(1998)] et [55, Mfoumoune (1998)] les auteurs présentent aussi des algorithmes dans ce
but. Paula Brito, dans [9, Brito (1991)] propose un algorithme qui généralise l’algorithme
proposé par Bertrand et qui construit des pyramides symboliques. Dans cette section on
propose un algorithme (CAPS) qui construit des pyramides symboliques binaires, c’est–
à–dire, une pyramide dans laquelle chaque palier est de nouveau un objet symbolique. De
plus, cet algorithme calcule l’extension de chacun de ces objets symboliques et vérifie sa
complétude.
À différence des algorithmes qui construisent des pyramides numériques, ce nouvel algorithme
ne recevra pas en entrée ni un indice de dissimilarité, ni un indice d’agrégation. À
sa place nous utiliserons le “Degré de Généralité” (définition 7).
Tous les algorithmes proposés jusqu’à maintenant démarrent avec un ordre arbitraire sur
les éléments de Ω, lequel est modifié à chaque étape de l’algorithme jusqu’au moment
où l’on obtient un ordre total sur les éléments de Ω. L’algorithme qu’on propose ici
utilise une méthode différente, il démarre avec n composantes connexes (n = |Ω|) et
n ordres totaux associés à chacune des composantes. L’algorithme avance, le nombre
de composantes connexes se réduit, jusqu’à ce qu’il n’y aura qu’une seule composante
connexe (et donc égale à Ω).
On présente les définitions nécessaires pour la spécification de l’algorithme, elles sont
différentes aux définitions présentées dans ([9, Brito (1991)], [3, Bertrand et Diday (1990)]

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 33
et [55, Mfoumoune (1998)]), car celles–ci sont locales à la “composante connexe”.
Pour les définitions suivantes, on a un ensemble P ⊆ P (Ω) (l’ensemble des parties de
Ω) qui n’est pas nécessairement une pyramide; il est une “pyramide en construction”, par
abus de langage on dira que tout élément de P est un palier.
Definition 17 Soit C ∈ P, C s’appelle composante connexe si:
1. Il y a un ordre total ≤ C défini sur l’ensemble C, c’est–à–dire, ∀ x, y ∈ C il existe un
ordre ≤ C défini sur C tel que x ≤ C y ou y ≤ C x. En d’autres termes, l’algorithme
a déjà construit un ordre total sur l’ensemble C ⊆ Ω.
2. C est le sous–ensemble plus grand de Ω, au sens de l’inclusion, à vérifier la propiété
1.
Example 6 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors
C 1 = {8, 4, 11, 1, 12, 3, 13, 6} avec l’ordre total 8 ≤ C1 4 ≤ C1 11 ≤ C1 1 ≤ C1 12 ≤ C1
3 ≤ C1 13 ≤ C1 6 et C 2 = {9, 10, 2, 5, 7} avec l’ordre total 9 ≤ C2 10 ≤ C2 2 ≤ C2 5 ≤ C2 7
sont composantes connexes.
Remark 5 On doit noter qu’il n’y a pas, pour l’instant, de relation d’ordre entre les
éléments de C 1 et C 2 , et donc le dessin de la Figure 2.3 pourrait avoir les éléments de
C 2 “à gauche” de tous ceux de C 1 .
Definition 18 On dit qu’un palier G ∈ P appartient à une composante connexe C de P
si G ⊆ C. De plus on dira que l’ordre total ≤ C associé à C induit un ordre total ≤ G sur
G de la manière suivante: si x, y ∈ G alors x ≤ G y ⇔ x ≤ C y.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 34
6.00 ✻
P 28
5.00
P 26 P 27
4.00
P 24 P 25
3.00
P 21 P 22 P 23
2.00
P 18 P 19 P 20
1.00
P 14 P 15 P 16 P 17
8 4 11 1 12 3 13 6 9 10 2 5 7
✲
Figure 2.3: Pyramide en construction.
Example 7 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors le palier P 24 =
{1, 12, 3, 13, 6} appartient à la composante connexe C 1 de l’exemple précédent avec l’ordre
≤ P24 induit par ≤ C1 et le palier P 23 = {10, 2, 5} appartient à la composante connexe C 2
avec l’ordre ≤ P23 induit par ≤ C2 .
Definition 19 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 1 est intérieur à G 2 si:
• G 1 ≠ G 2 .
• G 1 et G 2 appartiennent à la même composante connexe C.
• min(G 2 ) < C min(G 1 ) et max(G 1 ) < C max(G 2 ), où α < C β signifie que α ≤ C β
et α ≠ β.
Example 8 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors le palier P 19 =
{12, 3} est intérieur au palier P 24 = {1, 12, 3, 13, 6}.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 35
Definition 20 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 1 est successeur de G 2 et
que G 2 est prédécesseur de G 1 si:
• G 1 ⊂ G 2 au sens strict.
• Il n’existe pas de palier G ∈ P tel que G 1 ⊂ G ⊂ G 2 au sens strict.
Example 9 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors le palier P 22 =
{1, 12, 3, 13, 6} est successeur du palier P 24 = {1, 12, 3, 13, 6} et P 24 est prédécesseur de
P 22 .
Definition 21 Un palier G ∈ P, s’appelle maximal s’il n’a pas de prédécesseurs.
Example 10 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors le palier P 26 =
{8, 4, 11, 1, 12, 3, 13, 6} et le palier P 28 = {9, 10, 2, 5, 7} sont maximaux.
Remark 6 On doit remarquer qu’une composante connexe peut avoir plusieurs paliers
maximaux (c.f. Figure 2.4)
Definition 22 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 1 est à gauche de G 2 et que
G 2 est à droite de G 1 si:
• G 1 et G 2 appartiennent à la même composante connexe C.
• min(G 1 ) ≤ C min(G 2 ) et max(G 1 ) ≤ C max(G 2 ).
Definition 23 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 1 est à semi–gauche de G 2
si:
• G 1 et G 2 appartiennent à la même composante connexe C.
• min(G 1 ) < C min(G 2 ) et max(G 1 ) = max(G 2 ).

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 36
Definition 24 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 2 est à semi–droite de G 1
si:
• G 1 et G 2 appartiennent à la même composante connexe C.
• min(G 1 ) = min(G 2 ) et max(G 1 ) < C max(G 2 ).
Example 11 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors les paliers P 22 ,
P 24 et P 26 sont semi–gauche du palier P 16 . Le palier P 28 est à semi–droite du palier P 25 .
Le palier P 15 est à gauche du palier P 19 mais P 15 n’est pas à semi–gauche du palier P 19 .
Definition 25 Soient G 1 et G 2 des paliers de P, on dit que G 1 est le palier maximal
gauche de G 2 si:
• G 1 est à gauche de G 2 .
• G 1 est un palier maximal.
• max(G 2 ) = max(G 1 ).
Example 12 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.3 alors le palier P 26 est
le palier maximal gauche du palier P 16 .
Definition 26 Soit G un palier de P qui appartient à la composante connexe C, soient
G 1 , G 2 , . . . , G l des paliers maximaux de la composante connexe C, ordonnés de gauche
à droite suivant l’ordre ≤ C (c’est–à–dire G i est à gauche de G i+1 ). Si G m est le palier
maximal gauche de G et m < l alors G m+1 s’appelle le palier maximal immédiat de G.
Si m = l on dira que G n’a pas de palier maximal immédiat.
Example 13 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.4 alors on a trois composantes
connexes C 1 = {9, 4, 6, 10, 15, 13}, C 2 = {2, 11, 1} et C 3 = {3, 8, 16, 7, 12, 14, 5}.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 37
6.00 ✻
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
P 35
P 32 P 33 P 34
P 31
P 26 P 27 P 28 P 29 P 30
P 22 P 23 P 24 P 25
P 17 P 18 P 19 P 20 P 21
9 4 6 10 15 13 2 11 1 3 8 16 7 12 14 5
✲
Figure 2.4: Pyramide en construction.
Les paliers maximaux de la composante connexe C 1 sont P 26 et P 32 , les paliers maximaux
de la composante connexe C 2 sont P 19 et P 33 et les paliers maximaux de la composante
connexe C 3 sont P 35 et P 21 . Le palier maximal gauche de P 22 est P 26 et P 32 est son palier
maximal immédiat
Dans la définition suivante on présente les critères d’agrégation de deux paliers. Quand les
deux paliers appartiennent à la même composante connexe le critère est essentiellement
le même que celui proposé par Bertrand ([3, Bertrand et Diday (1990)]), néanmoins,
dans le cas où les deux paliers appartiennent à des composantes différentes la condition
qui dit que le premier palier est “devant 1 ” le deuxième s’élimine. Cette idée permet
de construire des pyramides plus en accord avec la structure de “dissimilarités” entre
les objets (individus), car la condition qui établit que le premier palier est “devant” le
deuxième provoque que la dernière pyramide soit (probablement) affectée par l’ordre
initial et arbitraire des objets de Ω. De plus dans notre algorithme, cette condition n’a
pas de sens car l’algorithme ne commence pas avec un ordre arbitraire sur les objets,
1 Brito dans [Brito (1991)] présente la notion d’un palier devant un autre.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 38
mais il part de n composantes connexes avec un ordre total trivial 2 associé à chacune des
composantes connexes.
Definition 27 Soient G 1 et G 2 des paliers de P.
Cas 1: Si G 1 et G 2 appartiennent à la même composante connexe, et on note par ←− G le
palier maximal gauche de G 1 et par −→ G le palier maximal immédiat de G 1 (s’il existe
3 ), alors G 1 et G 2 sont agrégeables si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
1. G 1 est à droite de ←− G et semi–gauche de ←− G ∩ −→ G .
2. G 2 est à gauche de −→ G et semi–droite de ←− G ∩ −→ G .
Cas 2: Si G 1 et G 2 n’appartiennent pas à la même composante connexe, et si on note
par C 1 et C 2 les composantes connexes auxquelles G 1 et G 2 appartiennent respectivement.
Alors G 1 et G 2 sont agrégeables si les deux conditions suivantes sont
vérifiées:
1. min(G 1 ) = min(C 1 ) ou max(G 1 ) = max(C 1 ).
2. min(G 2 ) = min(C 2 ) ou max(G 2 ) = max(C 2 ).
Example 14 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.4 alors le palier P 26 est
agrégeable avec les paliers P 27 , P 31 , P 32 , P 2 = {2}, P 19 , P 33 , P 1 = {1}, P 3 = {3}, P 23 ,
P 29 , P 34 , P 35 , P 21 et P 5 = {5}. Au contraire le palier P 22 est seulement agrégeable avec
les paliers P 27 , P 31 et P 32 .
Definition 28 Un palier G de P s’appelle actif si les trois conditions suivantes sont
vérifiées:
2 L’ordre est trivial car chaque composante connexe initiale a cardinalité 1.
3 Si le palier maximal immédiat n’existe pas alors les paliers ne seront pas agrégeables.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 39
• Il existe un palier G ⋆ dans P tel que G est agrégeable avec G ⋆ .
• ∄ ˜G ∈ P tel que G est palier intérieur à ˜G.
• G n’a pas été agrégé deux fois.
Example 15 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.4 alors les paliers P 9 ,
P 17 , P 26 , P 22 , P 27 , P 31 , P 32 , P 28 , P 13 , P 2 , P 19 , P 33 , P 1 , P 3 , P 23 , P 29 , P 35 , P 34 , P 21 , et P 5
sont actifs. Au contraire les paliers P 4 , P 6 , P 10 , P 18 , P 15 , P 11 , P 8 , P 24 , P 16 , P 25 , P 30 , P 7 ,
P 20 , P 12 et P 14 ne sont pas actifs.
ALGORITHME DE CLASSIFICATION ASCENDANTE PYRAMIDALE SYM-
BOLIQUE (CAPS)
Entrée :
• M =Nombre maximum d’itérations.
• N =Nombre de vecteurs de données symboliques (nombre de lignes du tableau
de données symboliques).
• P =Nombre de variables (nombre de colonnes du tableau de données symboliques).
• X =Tableau de données symboliques.
Sortie :
• Un ordre total “≤” sur l’ensemble Ω des objets.
• Structure pyramidale, c’est–à–dire, une suite de vecteurs (p, p I ,
p D , f(p)), avec p = 1, 2, . . . , NG, où NG =nombre total de paliers de la
pyramide, p I =fils gauche du palier p et p D =fils droit du palier p. Si p est un
palier singleton alors p I = p D = 0.
• Un objet symbolique O p associé au palier p, avec p = 1, 2, . . . , NG.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 40
• L’extension de l’objet associé à chaque palier, c’est–à–dire,
Ext(O p ), avec p = 1, 2, . . . , NG.
• Si l’algorithme échoue, la sortie sera un message d’erreur.
Etape 1: Phase d’initialisation
Etape 1.1 h = 1, où h est le nombre d’itérations.
Etape 1.2 NG = N, où NG =Nombre total de paliers de la pyramide.
Etape 1.3 NC = N, où NC =Nombre de composantes connexes, à une itération
donnée (à la fin de l’exécution de l’algorithme on aura NC = 1).
Etape 1.4 NP = N, où NP =Nombre de paliers actifs en une itération donnée (à
la fin de l’exécution de l’algorithme on aura NP = 1).
Etape 1.5 On initialise les N premiers vecteurs de la structure pyramidale, de la
forme suivante: (s, 0, 0, 0), s = 1, 2, . . . , N.
Etape 1.6 On construit NC composantes connexes initiales C s = {s},
s = 1, 2, . . . , NC, et un ordre total ≤ C associé à chaque composante connexe,
dans lequel on a initialement que s ≤ C s. De plus on désigne par C
l’ensemble de toutes les composantes, c’est–à–dire, C = {C 1 , C 2 , . . . , C NC }.
Etape 1.7 On construit NP paliers actifs initiaux G q = {(α, β, s q , l)}, pour q =
1, 2, . . . , NP de la manière suivante: α est un nombre associé à chaque palier
actif en une itération donnée (les paliers actifs seront numérotés de 1 jusqu’à
NP ), β est le nombre global du palier (pour le premier palier construit par
l’algorithme β = N + 1, pour le deuxième palier construit par l’algorithme
β = N + 2 et ainsi de suite), s q est le vecteur de données symboliques
qui est emmagasiné dans la ligne q−ième du tableau de données symboliques
(au début chaque ligne de la matrice correspond à un palier, néanmoins,
quand l’algorithme avance, un palier peut correspondre à l’union de divers

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 41
objets symboliques, c’est–à–dire, le palier peut être associée à la “union” de
divers lignes du tableau de données symboliques) et l est le nombre de fois
que le palier a été agrégé (l ≤ 2). On note par G = {G s } s=1,2,...,NP =
{(1, 1, s 1 , 0), (2, 2, s 2 , 0), . . . , (NP, NP, s NP , 0)} l’ensemble de tous les paliers
actifs initiaux, on note par G 1 q = α, G 2 q = β, G 3 q = s q et G 4 q = l.
Etape 1.8 On calcule la matrice de dissimilarités initiale Dij
h = g(s i ∪ s j ) (le
degré de généralité) où s k est le vecteur de données symboliques qui est
emmagasiné dans la k−ième ligne du tableau de données symboliques, avec
i, j = 1, 2, . . . , N.
Etape 2: Phase d’élimination
Etape 2.1 On recherche les couples de paliers qui sont agrégeables, en utilisant les
conditions de la définition 27, c’est–à–dire, on calcule la matrice:
⎧
1 si G l et G u sont agrégeables
⎪⎨ 0 si G l et G u ne sont pas agrégeables
B lu =
0 si ∃ ˜G ∈ P tel que G l est un palier intérieur ˜G
⎪⎩ 0 si ∃ ˜G ∈ P tel que G u est un palier intérieur ˜G
pour l, u = 1, 2, . . . , NP .
Etape 2.2 On calcule les paliers actifs qui ne sont plus agrégeables avec un autre
palier (donc ils ne seront plus actifs), c’est–à–dire, on recherche tous les
paliers Gη tels que la ligne et la colonne η de la matrice B ne contiennent
que des zéros. Soit ˜G = {G α1 , G α2 , . . . , G αm } avec m ≥ 0 cet ensemble de
paliers.
Etape 2.3 NP = NP − m.
Etape 2.4 G = G ˜G.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 42
Etape 2.5 Mise à jour de la matrice de dissimilarités D h de manière que:
D h ∈ M (NP −m)×(NP −m) , car on a éliminé de D h toutes les lignes et colonnes
associées aux paliers non actifs.
Etape 3: Phase de formation du nouveaux paliers (Etape de Généralisation)
Etape 3.1 On recherche s i et s j tels que D h ij = g(s i ∪s j ) soit minimum et B ij = 1,
où i, j = 1, 2, . . . , NP . On note les paliers où ce minimum est atteint par s i ⋆
et s j ⋆. Si B ij = 0, ∀ i, j = 1, 2, . . . , NP alors l’algorithme s’arrête et affiche
un message d’erreur; autrement on passe à l’étape 3.2.
Etape 3.2 NG = N + h et on calcule le vecteur suivant de la structure pyramidale
NG, G 2 i ⋆, G2 j ⋆, Dh i ⋆ j ⋆).
Etape 3.3 On calcule s ⋆ = s i ⋆ ∪ s j ⋆ et son extension Ext(s ⋆ ).
Etape 3.4 Si s ⋆ est complet et Ext(s ⋆ ) = Ext(s i ⋆) ∪ Ext(s j ⋆) alors on passe à
l’étape 4, sinon on prend B i ⋆ j⋆ = 0 et on va à l’étape 3.1.
Etape 4: Phase de mise à jour
Etape 4.1 h = h + 1.
Etape 4.2 (Mise à jour des composantes) Si G i ⋆ ∈ C σ1 et G j ⋆ ∈ C σ2 sont tels que
σ 1 ≠ σ 2 (appartiennent à des composantes connexes différentes 4 ) alors:
Etape 4.2.1 On construit une nouvelle composante connexe C σ = C σ1 ∪ C σ2 ,
ensuite on définit dans C σ un nouvel ordre total. Pour faire cela il y a
quatre possibilités (voir l’exemple 16):
Cas 1: max(G i ⋆) = max(C σ1 ) et min(G
⎧ j ⋆) = min(C σ2 ) :
x ≤ ⎪⎨ Cσ1 y Si x, y ∈ C σ1
Si x, y ∈ C σ alors x ≤ Cσ y ⇔ x ≤ Cσ2 y Si x, y ∈ C σ2
⎪⎩ x ∈ C σ1 et y ∈ C σ2
4 Si σ 1 = σ 2 l’algorithme maintiendrait les composantes telles qu’elles sont.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 43
Cas 2: max(G i ⋆) = max(C σ1 ) et max(G
⎧ j ⋆) = max(C σ2 ) 5 :
x ≤ ⎪⎨ Cσ1 y Si x, y ∈ C σ1
Si x, y ∈ C σ alors x ≤ Cσ y ⇔ y ≤ Cσ2 x Si x, y ∈ C σ2
⎪⎩ x ∈ C σ1 et y ∈ C σ2
Cas 3: min(G i ⋆) = min(C σ1 ) et min(G
⎧ j ⋆) = min(C σ2 ) 6 :
y ≤ ⎪⎨ Cσ1 x Si x, y ∈ C σ1
Si x, y ∈ C σ alors x ≤ Cσ y ⇔ x ≤ Cσ2 y Si x, y ∈ C σ2
⎪⎩ x ∈ C σ1 et y ∈ C σ2
Cas 4: min(G i ⋆) = min(C σ1 ) et max(G
⎧ j ⋆) = max(C σ2 ) 7 :
y ≤ ⎪⎨ Cσ1 x Si x, y ∈ C σ1
Si x, y ∈ C σ alors x ≤ Cσ y ⇔ y ≤ Cσ2 x Si x, y ∈ C σ2
⎪⎩ x ∈ C σ1 et y ∈ C σ2
Etape 4.2.2 NC = NC − 1.
Etape 4.2.3 C = (C {C σ1 , C σ2 }) ∪ {C σ }.
Etape 4.3 (Mise à jour des paliers actifs)
Etape 4.3.1 On calcule le nouveau palier 8 : G σ = G i ⋆ ∪ G j ⋆ := {(G 1 i ⋆, N +
h, s i ⋆ ∪ s j ⋆, 0)} et on met à jour le nombre de fois que ces deux paliers
ont été agrégés, c’est–à–dire, G 4 i = ⋆ G4 i + 1 et ⋆ G4 j = ⋆ G4 j⋆ + 1. Après
on élimine (désactive) les paliers qui ont été agrégés deux fois. Pour faire
cela il y a quatre possibilités:
Cas 1: Si G 4 i = 2 et ⋆ G4 j⋆ = 2 (les deux paliers ont été agrégés deux fois)
alors: NP = NP − 1 et G = (G {G i ⋆, G j ⋆}) ∪ {G σ }.
5 On a fait une “inversion” des éléments de C α2 .
6 On a fait une “inversion” des éléments de C α1 .
7 On a fait une “inversion” des éléments de C α1 et des éléments de C α2 .
8 L’inversion dans une composante implique l’inversion de tous les paliers qui appartiennent à cette
composante, donc l’ordre des éléments des paliers est par définition hérité de l’ordre des éléments dans la
composante.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 44
7.00 ✻
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
31
28 27 26
29 30
36
32 34
33
22 23 24 25
18 17
20 21 19
13 15 10 6 4 9 3 8 16 7 12 14 5 2 11 1
35
✲
Figure 2.5: Pyramide obtenue après l’union de deux composantes connexes.
Cas 2: Si G 4 i = 1 et ⋆ G4 j⋆ = 1 (les deux paliers ont été agrégés une fois)
alors: NP = NP + 1 et G = G ∪ {G σ }.
Cas 3: Si G 4 i ⋆ = 2 et G4 j ⋆ = 1 (G i ⋆ a été agrégé deux fois et G j ⋆ a été
agrégé une fois) alors: G = (G {G i ⋆}) ∪ {G σ }.
Cas 4: Si G 4 i ⋆ = 1 et G4 j ⋆ = 2 (G j ⋆ a été agrégé deux fois et G i ⋆ a été
agrégé une fois) alors: G = (G {G j ⋆}) ∪ {G σ }.
Etape 4.4 On calcule la nouvelle matrice de “dissimilarités” D h ij = g(s i ∪ s j ) pour
i, j = 1, 2, . . . , NP . (On calcule seulement les “dissimilarités” qui n’ont pas
été calculées avant)
Etape 5: Si NP = 1 alors l’algorithme s’arrête; en cas contraire, si h > M alors
l’algorithme affiche un message d’erreur, sinon on passe à l’étape 2.
Example 16 Si on a la “pyramide en construction” de la Figure 2.4 et si le minimum est
atteint entre les palier P 26 et P 23 alors on obtient la pyramide de la Figure 2.5.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 45
Remark 7 Dans l’étape 3.1 le minimum pouvait s’obtenir dans des divers couples d’objets
symboliques. Si on voulait trouver une pyramide non “saturée” (Voir la définition dans
[28, Diday (1984)]) alors on devrait choisir le couple de paliers (objets symboliques) de
manière à ce qu’ils soient le plus loin 9 possible dans la composante connexe à laquelle
appartiennent (ou à laquelle appartiendront lorque l’agrégation sera effectuée). Si en revanche
on voulait une pyramide avec le maximum possible de paliers, alors on devrait
choisir le couple de paliers (objets symboliques) de façon à qu’ils soient le plus près possible
dans la composante connexe à laquelle appartiennent (ou à laquelle appartiendront
une fois l’agrégation effectuée). Celui–ci est une option du module de pyramide dans
PIMAD-Symbolique qui exécute cet algorithme (voir annexe 1).
2.3 Algorithme de Classification Pyramidale Symbolique
avec Ordre Donné
Dans cette section on présente un algorithme pour construire une pyramide symbolique
binaire quand on a l’ordre des objets a priori 10 . Cet algorithme est un cas particulier du
précédent, puisqu’il démarre avec n = 1 composante connexe, alors que CAPS le fait
avec n = |Ω|.
ALGORITHME DE CLASSIFICATION ASCENDANTE PYRAMIDALE SYM-
BOLIQUE AVEC UN ORDRE DONNÉ (CAPSO)
Entrée :
• M =Nombre maximum d’itérations.
9 Le plus loin possible selon l’ordre total ≤ C associé à la composante connexe.
10 Cet ordre ne se rapporte pas à l’ordre symbolique présenté dans la définition 3, mais plutôt il se rapporte
à un ordre dans le sens classique parmi les premiers n paliers (feuilles) de la pyramide.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 46
• N =Nombre de vecteurs de données symboliques (nombre de lignes du tableau
de données symboliques).
• P =Nombre de variables (nombre de colonnes du tableau de données symboliques).
• X =Tableau de données symboliques.
• Un ordre total “≤ Ω ” sur l’ensemble Ω d’objets.
Sortie :
• Structure pyramidale, c’est–à–dire, une suite de vecteurs (p, p I ,
p D , f(p)), avec p = 1, 2, . . . , NG, où NG =nombre total de paliers de la
pyramide, p I =fils gauche du palier p et p D =fils droit du palier p. Si p est un
palier singleton alors p I = p D = 0.
• Un objet symbolique O p associé au palier p, avec p = 1, 2, . . . , NG.
• L’extension de l’objet associée à chaque palier, c’est–à–dire,
Ext(O p ), avec p = 1, 2, . . . , NG.
• Si l’algorithme échoue, la sortie sera un message d’erreur.
Etape 1: Phase d’initialisation
Etape 1.1 h = 1, où h est le nombre d’itérations.
Etape 1.2 NG = N, où NG =Nombre total de paliers de la pyramide.
Etape 1.3 NC = 1, où NC =Nombre de composantes connexes, à une itération
donnée.
Etape 1.4 NP = N, où NP =Nombre de paliers actifs en une itération donnée (à
la fin de l’exécution de l’algorithme on aura NP = 1).
Etape 1.5 On initialise les N premiers vecteurs de la structure pyramidale, de la
forme suivante: (s, 0, 0, 0), s = 1, 2, . . . , N.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 47
Etape 1.6 On construit une composante connexe C = {s 1 , s 2 , . . . , s N }, avec un
ordre total ≤ C , défini de la forme suivante: s i ≤ C s j ⇔ s i ≤ Ω s j .
Etape 1.7 On construit NP paliers actifs initiaux G q = {(α, β, s q , l)}, pour q =
1, 2, . . . , NP de la manière suivante: α est un nombre associé à chaque palier
actif dans une itération donnée (les paliers actifs seront numérotent de 1 jusqu’à
NP ), β est le nombre global du palier (pour le premier palier construit par
l’algorithme β = N + 1, pour le deuxième palier construit par l’algorithme
β = N + 2 et ainsi de suite), s q est le vecteur de données symboliques qui
est emmagasiné dans la ligne q−ième du tableau de données symboliques (au
début chaque ligne de la matrice correspond à un palier, néanmoins, quand
l’algorithme avance un palier peut correspondre à l’union de divers objets
symboliques, c’est-à-dire, il pourrait être associé à l’union de diverses lignes
du tableau de données symboliques) et l est le nombre de fois que le palier
a été agrégé (l ≤ 2). On note par G = {G s } s=1,2,...,NP = {(1, 1, s 1 , 0),
(2, 2, s 2 , 0), . . . , (NP, NP, s NP , 0)} l’ensemble de tous les paliers actifs initiaux,
on note par G 1 q = α, G 2 q = β, G 3 q = s q et G 4 q = l.
Etape 1.8 On calcule la matrice de dissimilarités initiale Dij
h = g(s i ∪ s j ) (le
degré de généralité), où s k est le vecteur de données symboliques qui est
emmagasiné dans la k−ième ligne du tableau de données symboliques, avec
i, j = 1, 2, . . . , N.
Etape 2: Phase d’élimination
Etape 2.1 On recherche les couples de paliers qui sont agrégeables, en utilisant les

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 48
conditions de la définition 27, c’est-à-dire, on calcule la matrice:
⎧
1 si G l et G u sont agrégeables
⎪⎨ 0 si G l et G u ne sont pas agrégeables
B lu =
0 si ∃ ˜G ∈ P tel que G l est un palier intérieur ˜G
⎪⎩ 0 si ∃ ˜G ∈ P tel que G u est un palier intérieur ˜G
pour l, u = 1, 2, . . . , NP .
Etape 2.2 On calcule les paliers actifs qui ne sont plus agrégeables avec un autre
palier (donc ils ne seront plus actifs), c’est–à–dire, on recherche tous les
paliers Gη tels que la ligne et la colonne η de la matrice B ne contiennent
que des zéros. Soit ˜G = {G α1 , G α2 , . . . , G αm } avec m ≥ 0 cet ensemble de
paliers.
Etape 2.3 NP = NP − m.
Etape 2.4 G = G ˜G.
Etape 2.5 Mise à jour de la matrice de dissimilarités D h de façon que:
D h ∈ M (NP −m)×(NP −m) , donc on a éliminé de D h toutes les lignes et colonnes
associées à des paliers non actifs.
Etape 3: Phase de formation du nouveaux paliers (Etape de Généralisation)
Etape 3.1 On recherche s i et s j tel que Dij h = G(s i ∪ s j ) soit minimum et B ij = 1,
où i, j = 1, 2, . . . , NP . On note les paliers où ce minimum est atteint par s i ⋆
et s j ⋆. Si B ij = 0, ∀ i, j = 1, 2, . . . , NP , alors l’algorithme s’arrête et affiche
un message d’erreur; autrement on passe à l’étape 3.2.
Etape 3.2 NG = N + h, toute de suite on calcule le vecteur suivant de la structure
pyramidale (NG, G 2 i ⋆, G2 j ⋆, Dh i ⋆ j ⋆).
Etape 3.3 On calcule s ⋆ = s i ⋆ ∪ s j ⋆ et son extension Ext(s ⋆ ).

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 49
Etape 3.4 Si s ⋆ est complet et Ext(s ⋆ ) = Ext(s i ⋆) ∪ Ext(s j ⋆) alors on passe à
l’étape 4, sinon on prend B i ⋆ j⋆ = 0 et l’algorithme se poursuit à l’étape 3.1.
Etape 4: Phase de mise à jour
Etape 4.1 h = h + 1.
Etape 4.2 (Mise à jour des paliers actifs)
Etape 4.2.1 On calcule le nouveau palier: G σ = G i ⋆ ∪ G j ⋆ := {(G 1 i ⋆, N +
h, s i ⋆ ∪ s j ⋆, 0)} et on met à jour le nombre de fois que ces deux paliers
ont été agrégé, c’est–à–dire, G 4 i = ⋆ G4 i + 1 et ⋆ G4 j = ⋆ G4 j⋆ + 1. Après on
a éliminé (désactive) les paliers qui ont été agrégés deux fois. Pour faire
ça, il y a quatre possibilités:
Cas 1: Si G 4 i = 2 et ⋆ G4 j⋆ = 2 (les deux paliers ont été agrégés deux fois)
alors: NP = NP − 1 et G = (G {G i ⋆, G j ⋆}) ∪ {G σ }.
Cas 2: Si G 4 i = 1 et ⋆ G4 j⋆ = 1 (les deux paliers ont été agrégés une fois)
alors: NP = NP + 1 et G = G ∪ {G σ }.
Cas 3: Si G 4 i ⋆ = 2 et G4 j ⋆ = 1 (G i ⋆ a été agrégé deux fois et G j ⋆ a été
agrégé une fois) alors: G = (G {G i ⋆}) ∪ {G σ }.
Cas 4: Si G 4 i ⋆ = 1 et G4 j ⋆ = 2 (G j ⋆ a été agrégé deux fois et G i ⋆ a été
agrégé une fois) alors: G = (G {G j ⋆}) ∪ {G σ }.
Etape 4.3 On calcule la nouvelle matrice de “dissimilarités” D h ij = G(s i ∪s j ) pour
i, j = 1, 2, . . . , NP (On calcule seulement les “dissimilarités” qui n’ont pas
été calculees avant).
Etape 5: Si NP = 1 alors l’algorithme s’arrête; en cas contraire, si h > M alors
l’algorithme affiche un message d’erreur, sinon on passe à l’étape 2.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 50
2.4 Théorèmes de convergence
Diday dans [28, Diday (1984)] propose l’algorithme suivant (appelé CAP) pour construire
une pyramide numérique:
L’algorithme commence par le choix d’un indice d’agrégation et passe ensuite aux étapes
suivantes:
a) Chaque élément de Ω est dans la pyramide et s’appelle groupe.
b) On agrège les deux groupes les plus proches parmi les groupes qui n’ont pas été
agrégé deux fois.
c) On répète l’étape b) jusqu’à ce qu’un groupe qui contienne Ω soit formé.
De plus l’algorithme est sujet aux conditions suivants.
d) Chaque fois qu’un groupe est formé on lui associe un ordre sur les deux groupes
qu’il réunit.
e) Deux groupes ne peuvent pas être réunis s’ils ne sont pas connexes.
f) Soient i et j les éléments extrêmes de la partie connexe de Ω associée à un groupe
h; aucun groupe ne peut pas se connecter à un groupe inclus dans h qui ne contient
ni i ni j.
Lemma 1 L’algorithme CAP construit une pyramide.
Démonstration: Peut être consultée dans [28, Diday (1984)].
Proposition 2 L’algorithme CAPS construit une pyramide symbolique.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 51
Démonstration: L’étape a) de l’algorithme CAP est exécuté par les étapes 1.5 et 1.7 de
l’algorithme CAPS et l’étape b) de CAP est exécuté par les étapes 3.1 et 4.3 de CAPS.
L’étape c) de CAP est équivalente à l’étape 5 de CAPS.
La condition d) de l’algorithme CAP est équivalente à l’étape 4.3.1 de l’algorithme CAPS.
Les conditions e) et f) de CAP sont garanties par le cas 1 et le cas 2 de la définition 27
respectivement. Alors, si on utilise le lemme 1, on a que la sortie de CAPS satisfait la
condition 1 de la définition 15.
L’étape 3.4 de l’algorithme CAPS garantit que la sortie sera une pyramide symbolique,
donc à cette étape on vérifie la complétude de l’objet symbolique construit par la nouvelle
agrégation. Si cet objet symbolique n’est pas complet, le minimum est écarté et
on continue à l’étape 3.1 jusqu’à trouver un couple de paliers qui satisfasse les conditions
d’agrégation et qui donne lieu à un objet symbolique complet. S’il n’y a pas de
paliers, alors CAPS retournera un message d’erreur; avec cette condition on garantit que
si l’algorithme CAPS s’arrête alors il construit une pyramide symbolique, ainsi on a la
condition 2 de la définition 15.
Vu que l’algorithme CAPSO est un cas particulier de l’algorithme CAPS, on a le corollaire
qui suit.
Corollary 3 L’algorithme CAPSO construit une pyramide symbolique.
2.5 Exemples
Pour illustrer l’utilisation de l’algorithme dans cette section on présente deux exemples
d’exécution d’algorithme CAPS.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 52
0.09
✻
18
0.05
17
16
0.04
0.03
13
14
15
0.03
0.02
0.02
0.01
7
9
10
8
12
11
5 4 2 1 3 6
✲
Figure 2.6: Pyramide du tableau de données de l’exemple 1.1.1.
Example 17 Cet exemple correspond à l’exécution de l’algorithme CAPS avec le tableau
de données symboliques qu’on a présenté dans l’exemple 1.
L’information suivante correspond aux objets symboliques et ses extensions respectives
calculées par l’algorithme CAPS associés à chaque palier de la pyramide.
Where the labels of variables are:
y1=Number of adults over 16 years
y2=QWEtv-licence
y3=Fuel type central heating
y4=Central heating install
y5=CH repairs last 12 month

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 53
Where the labels of the individuals are:
1="Northern metropolitan"
2="North non-metropolitan"
3="Yorks and humberside metropoli"
4="Yorks and humberside non-metro"
5="East midlands non-metropolitan"
6="Northern Ireland"
P7=[y1=[1.000,4.000]]ˆ[y2={1.00}]ˆ[y3=(1(0.7181),2(0.0537),3(0.4348),
4(0.0870),5(0.0435),6(0.0134),7(0.0067))]ˆ[y4=(1(0.0435),2(0.9799
))]ˆ[y5=(1(0.8696),2(0.2483))]
Ext(P7)={4,5}
P8=[y1=[1.000,5.000]]ˆ[y2={2.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.1151),3(0.2806),
4(0.0791),5(0.0288),6(0.0000),7(0.0000))]ˆ[y4=(1(0.0588),2(0.9856)
)]ˆ[y5=(1(0.7765),2(0.2734))]
Ext(P8)={1,3}
P9=[y1=[1.000,4.000]]ˆ[y2={3.00,1.00}]ˆ[y3=(1(0.7181),2(0.1259),3(0.
1879),4(0.0134),5(0.0070),6(0.0134),7(0.0067))]ˆ[y4=(1(0.0201),2(
0.9860))]ˆ[y5=(1(0.7692),2(0.2483))]
Ext(P9)={2,4}
P10=[y1=[1.000,4.000]]ˆ[y2={2.00,3.00}]ˆ[y3=(1(0.6853),2(0.1259),3(0.
2806),4(0.0791),5(0.0288),6(0.0000),7(0.0000))]ˆ[y4=(1(0.0144),2(
0.9860))]ˆ[y5=(1(0.7692),2(0.2734))]
Ext(P10)={1,2}
P11=[y1=[1.000,6.000]]ˆ[y2={2.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.4107),3(0.2000),
4(0.3750),5(0.0089),6(0.0446),7(0.0179))]ˆ[y4=(1(0.0588),2(0.9643)
)]ˆ[y5=(1(0.7768),2(0.2235))]
Ext(P11)={3,6}
P12=[y1=[1.000,6.000]]ˆ[y2={2.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.4107),3(0.2806),
4(0.3750),5(0.0288),6(0.0446),7(0.0179))]ˆ[y4=(1(0.0588),2(0.9856)
)]ˆ[y5=(1(0.7768),2(0.2734))]
Ext(P12)={1,3,6}

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 54
P13=[y1=[1.000,4.000]]ˆ[y2={1.00,3.00}]ˆ[y3=(1(0.7181),2(0.1259),3(0.4
348),4(0.0870),5(0.0435),6(0.0134),7(0.0067))]ˆ[y4=(1(0.0435),2(0.
9860))]ˆ[y5=(1(0.8696),2(0.2483))]
Ext(P13)={2,4,5}
P14=[y1=[1.000,4.000]]ˆ[y2={3.00,1.00,2.00}]ˆ[y3=(1(0.7181),2(0.1259),3
(0.4348),4(0.0870),5(0.0435),6(0.0134),7(0.0067))]ˆ[y4=(1(0.0435),2
(0.9860))]ˆ[y5=(1(0.8696),2(0.2734))]
Ext(P14)={1,2,4,5}
P15=[y1=[1.000,5.000]]ˆ[y2={2.00,3.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.1259),3(0.28
06),4(0.0791),5(0.0288),6(0.0000),7(0.0000))]ˆ[y4=(1(0.0588),2(0.98
60))]ˆ[y5=(1(0.7765),2(0.2734))]
Ext(P15)={1,2,3}
P16=[y1=[1.000,6.000]]ˆ[y2={2.00,3.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.4107),3(0.28
06),4(0.3750),5(0.0288),6(0.0446),7(0.0179))]ˆ[y4=(1(0.0588),2(0.98
60))]ˆ[y5=(1(0.7768),2(0.2734))]
Ext(P16)={1,2,3,6}
P17=[y1=[1.000,5.000]]ˆ[y2={2.00,3.00,1.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.1259),
3(0.4348),4(0.0870),5(0.0435),6(0.0134),7(0.0067))]ˆ[y4=(1(0.0588)
,2(0.9860))]ˆ[y5=(1(0.8696),2(0.2734))]
Ext(P17)={1,2,3,4,5}

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 55
P18=[y1=[1.000,6.000]]ˆ[y2={2.00,3.00,1.00}]ˆ[y3=(1(0.7882),2(0.4107),3
(0.4348),4(0.3750),5(0.0435),6(0.0446),7(0.0179))]ˆ[y4=(1(0.0588),2
(0.9860))]ˆ[y5=(1(0.8696),2(0.2734))]
Ext(P18)={1,2,3,4,5,6}
Chaque palier de la pyramide peut être interprété; par exemple, le palier P12 est un noeud
des régions où “Number of adults older than 16 years” est entre 1 et 6. Le nombre de
permis de la télévision (QWEtv-licence) est 2. Le type de “Fuel type central heating”
est 1 maximum 78,82% des cas, il est 2 au maximun 41,07% des cas, il est 3 maximum
28,06% des cas, il est 4 maximum 37,5% des cas, il est 5 maximum 2,88% des cas, il est 6
maximum 4,46% des cas, il est 7 maximum 1,79% des cas. “Central heating install” est 1
maximum 5,8% et il est 2 maximum 98,56%. “CH repairs last 12 month” est 1 maximum
77.68% des cas et il est 2 au maximum 27.34% des cas.
Example 18 Dans cet exemple on illustre l’exécution de l’algorithme CAPS avec les
données d’Ichino, on les présente dans le tableau 4.1. Chaque ligne du tableau représente
un type d’huile décrit par 4 variables quantitatives de type intervalle: “Specific Gravity”,
“Freezing point”, “Iodine Value” et “Saponification”. Dans la pyramide de la Figure 2.7
on a modifié l’échelle (voir annexe 1) pour une meilleure visualisation des paliers et dans
la pyramide de la Figure 2.8 on n’a pas modifié l’échelle. Si dans l’algorithme CAPS on
désative (élimine) les paliers qui ont été agrégés une fois, on obtient la hiérarchie binaire
qui est présenté dans la Figure 2.9.
Les données suivantes correspondent aux objets symboliques associés aux paliers numéro
27, 32 et 36 et leurs extensions respectives calculées par l’algorithme CAPS.
P27=[y1=[0.914,0.919]U[0.930,0.935]]ˆ[y2=[-27.000,-18.000]U[0.000,
6.000]]ˆ[y3=[79.000,90.000]U[170.000,204.000]]ˆ
[y4=[118.000,196.000]]

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 56
Figure 2.7: Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle modifié).
Ext(P27)={1,6}
P32=[y1=[0.858,0.870]U[0.914,0.919]U[0.920,0.926]U[0.930,0.937]]ˆ
[y2=[-25.000,-15.000]U[-6.000,-1.000]U[0.000,6.000]U[22.000,
38.000]]ˆ[y3=[40.000,48.000]U[53.000,77.000]U[79.000,90.000]U
[99.000,116.000]U[192.000,208.000]]ˆ[y4=[187.000,202.000]]
Ext(P32)={2,3,4,5,6,7,8}
P36=[y1=[0.858,0.870]U[0.914,0.919]U[0.920,0.926]U[0.930,0.937]]ˆ
[y2=[-27.000,-15.000]U[-6.000,-1.000]U[0.000,6.000]U[22.000,
38.000]]ˆ[y3=[40.000,48.000]U[53.000,77.000]U[79.000,90.000]U
[99.000,116.000]U[170.000,208.000]]ˆ[y4=[118.000,202.000]]
Ext(P36)={1,2,3,4,5,6,7,8}
Example 19 Dans cet exemple on illustre l’exécution de l’algorithme CAPSO avec les
données d’Ichino, on les présente dans le tableau 4.1. Si 1=“L”, 2=“P”, 3=“Co”, 4=“S”,
5=“Ca”, 6=“O”, 7=“B” et 8=“O”. Si on a l’ordre des objets a priori 7≤6≤5≤1≤2≤4≤3

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 57
✻
1.00
36
0.54
35
0.23
0.19
33
34
0.11
0.09
0.05
0.03
30 31 32
29
28
27
26
12 14 17
21
24
25
23
9 13 10 19 16 11 20
22
15 18
1 6 3 5 4 2 7 8
✲
Figure 2.8: Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle
réelle).
alors l’algorithme CAPSO produit la pyramide de la Figure 2.10.

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 58
Figure 2.9: Hiérarchie binaire de l’exemple de l’huile et la graisse (échelle modifié).

Classification Pyramidale Symbolique Ascendante 59
Figure 2.10: Représentation pyramidale de l’exemple de l’huile et la graisse si on a l’ordre
des objets a priori 7≤6≤5≤1≤2≤4≤3.

Chapter 3
La Régression Symbolique
3.1 Introduction
Dans ce chapitre nous généralisons la méthode classique de la régression linéare simple
au cas de données symboliques de type intervalle.
Pour généraliser ces méthodes il est nécessaire d’abord de faire la généralisation au cas
symbolique des indices statistiques classiques d’une variable et de deux variables comme,
la moyenne, l’écart type, la corrélation, entre autres. Ces généralisations ont toujours
été faites selon le principe de base proposé par [32, Diday (1991)] dans lequel il est
indiqué que “si l’entrée dans une analyse de données est symbolique alors la sortie devrait
également être symbolique”, c’est–à–dire, si la variation est price en compte dans l’entrée
elle doit exister également dans la sortie.
Ces généralisations tiennent compte de celles effectuées par Bertrand et Goupil ([7, Bock
et Diday (2000)]), dans lesquelles l’entrée est symbolique mais la sortie est numérique.
Dans nos généralisations nous avons également tenu compte du principe qui établit que
l’analyse des données classiques devrait nécessairement être un cas particulier de l’analyse
60

La Régression Symbolique 61
des données symboliques. À la fin du chapitre, les caractéristiques principales du module
pour la régression simple et multiple (qui est une partie du logiciel développé dans C++
dans le cadre de la thèse) sont expliquées.
La généralisation de l’analyse de données d’une variable au cas symbolique est nécessaire,
parce que quand une analyse de données est faite, il est très important d’avoir une connaissance
profonde du comportement de chaque variable. Même si l’objectif est de faire
une analyse de données de multiples variables, cette étape précédente d’exploration est
indispensable.
3.2 Statistiques descriptives pour de données symboliques
3.2.1 La moyenne symbolique
Dans l’analyse de données classique la moyenne est défini de la façon suivante: Soit
Y une variable quantitative et soient y 1 , y 2 , . . . , y m les m valeurs observées pour cette
m∑
variable, alors la moyenne de Y est Y = 1 y
m i .
i=1
Bertrand et Goupil dans ([7, Bock et Diday (2000)]) ont généralisé la définition de la
moyenne pour des variables quantitatives de type intervalle. Pour ceci, ils ont défini
l’ordre statistique d’une variable Y , défini dans un ensemble fini E = {1, 2, . . . , m},
comme une fonction O Y : R → N telle que:
O Y (ξ i ) = |k ∈ E tels que Y (k) = ξ i |. (3.1)
l∑
Avec la définition précédente il est clair que Y = 1 O
m Y (ξ i )ξ i où ξ i , i = 1, 2, . . . , l
sont tous les éléments différents de E. Bertrand et Goupil ont généralisé la définition
précédente pour des variables de type intervalle comme la moyenne empirique définie par
i=1

La Régression Symbolique 62
Y =
∫ +∞
−∞
ξf Y (ξ)dξ où Y est une variable type intervalle et f Y est sa fonction empirique
de densité. Avec cette définition il est facile de prouver que:
Y = 1 m
m∑
i=1
y i
+ y i
, (3.2)
2
où Y (i) = [y i
, y i ], i = 1, 2, . . . , m (voir [7, Bock et Diday (2000)]).
La définition de la moyenne donnée par Bertrand et Goupil a une entrée de type intervalle,
cependant, la sortie est une valeur numérique. C’est pour cela que le résultat
de la moyenne ne reflète pas vraiment la variation de la variable. Par exemple si E =
{1, 2, 3, 4}, Y (E) = {[1, 2], [−1, 4], [2, 3], [−1, 1]} et Z(E) = {[0, 3], [−2, 5], [1, 4], [−2, 2]}
alors les deux variables ont la même moyenne (Y = Z = 1.375), malgré le fait que la
variable Z a une variation beaucoup plus grande que la variable Y .
Nous définissons alors la moyenne d’une variable de type d’intervalle comme un intervalle
qui reflète vraiment les valeurs possibles de la variable, c’est-à-dire, un intervalle
dont la valeur minimum est la moyenne minimum des valeurs prises par la variable dans
E et dont la valeur maximum est la moyenne maximum des valeurs prises par la variable
dans E, plus formellement:
Definition 29 Soit Y une variable de type intervalle définie dans E = {1, 2, . . . , m} par
Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]} alors on définit la moyenne comme:
[
1
m∑
Y = y
m i
, 1 m
i=1
]
m∑
y i . (3.3)
i=1
De cette manière dans l’exemple précédent si E = {1, 2, 3, 4} et Y (E) = {[1, 2], [−1, 4], [2, 3], [−1, 1]},
Z(E) = {[0, 3], [−2, 5], [1, 4], [−2, 2]} alors les deux variables ont moyenne differente
Y = [0.25, 2.5] et Z = [−0.75, 3.5].

La Régression Symbolique 63
3.2.2 La médiane symbolique
Dans l’analyse de données classique, la médiane est la valeur qui est au centre des données
quand elles sont ordonnées, c’est–à–dire, telle que 50% des données sont plus grandes que
la médiane et que les 50% restantes sont plus petites.
Plus formellement si on a m valeurs y 1 , y 2 , . . . , y m pour une variable quantitative Y et
nous supposons que ces valeurs sont ordonnées alors la valeur de la médiane dépend de
la parité de m:
• Si m est impaire alors la médiane est en position m+1
2
qui est exactement la position
qui sépare les données dans deux groupes de la même quantité d’éléments.
• Si m est paire alors la médiane est entre la position m 2 et la position m 2 + 1 dans
une telle manière que les données sont divisées en deux groupes de même nombre
d’éléments, m 2
éléments chacun. Dans ce cas–ci, la médiane est définie comme la
moyenne entre les données y m
2 et y m
2 +1 , c’est–à–dire, Me(Y )= y m 2 +y m 2 +1
2
.
Dans le cas d’une variable symbolique de type intervalle nous voulons définir la médiane
d’une manière semblable, mais de telle manière que la médiane soit un intervalle. Si
la variable Y de type intervalle prend la valeur minimum pour tous les individus dans
l’intervalle respectif, on devrait garantir que la valeur minimum de la médiane de type
intervalle sépare ces valeurs dans deux groupes de la même taille. De la même manière,
si la variable Y de type intervalle prend la valeur maximum pour tous les individus dans
l’intervalle respectif, on devrait garantir que la valeur maximum de la médiane (type intervalle)
sépare également ces valeurs dans deux groupes de la même taille.
Pour réaliser ce qui est mentionné ci–dessus il est évident qu’il suffit de définir la médiane
d’un variable Y de type intervalle comme un intervalle dans lequel la valeur minimum est
exactement la médiane de toutes les valeurs minimum possibles prises par la variable Y ,

La Régression Symbolique 64
et dont la valeur maximum est la médiane de toutes les valeurs maximum possibles que
peut prendre la variable Y . Plus formellement:
Definition 30 Soit Y une variable de type intervalle définie dans E = {1, 2, . . . , m} par
Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]}, alors on définit la médiane symbolique comme:
Me(Y ) = [ Me, Me ] , (3.4)
où Me est la médiane classique de {y 1
, y 2
, . . . , y m
} et Me est la médiane classique de
{y 1 , y 2 , . . . , y m }.
Example 20 Pour illustrer la définition précédente nous emploierons un exemple pris
de ([5, Billard L. et Diday E. (2000)]). Dans cet exemple on a le “Pulse Rate” (Y ), la
“Systolic Blood Pressure” (Y 1 ) et la “Diastolic Blood Pressure” (Y 2 ) pour onze patients
comme nous montrons dans le Tableau 3.1.
Les médianes symboliques pour les trois variables sont: Me(Y ) = [70, 97], Me(Y 1 ) =
[110, 146] et Me(Y 2 ) = [77, 100].
3.2.3 Percentiles symboliques et déviation quartile symbolique
Dans l’analyse des données classiques pour calculer la médiane les données sont ordonnées
et alors la médiane les divise en deux groupes avec la même quantité d’éléments.
Chacun de ces groupes a sa propre médiane. La médiane du groupe inférieur s’appelle le
premier quartile et on la dénote par Q 1 , alors que la médiane du groupe supérieur s’appelle
le troisième quartile et on la dénote par Q 3 . Dans le cas des variables symboliques de
type intervalle nous pouvons procéder exactement de la même manière, c’est-à-dire, le
premier quartile Q 1 sera la médiane de type intervalle du premier groupe de données et le

La Régression Symbolique 65
Y Y 1 Y 2
Pulse Systolic Diastolic
Rate Pressure Pressure
[44, 68] [90, 100] [50, 70]
[60, 72] [90, 130] [70, 90]
[56, 90] [140, 180] [90, 100]
[70, 112] [110, 142] [80, 108]
[54, 72] [90, 100] [50, 70]
[70, 100] [134, 142] [80, 110]
[72, 100] [130, 160] [76, 90]
[76, 98] [110, 190] [70, 110]
[86, 96] [138, 188] [90, 110]
[86, 100] [110, 150] [78, 100]
Table 3.1: Exemple avec onze patients.
troisième quartile Q 3 sera la médiane de type intervalle du deuxième groupe de données.
Formellement on définit Q 1 = [Q 1
, Q 1 ] et Q 3 = [Q 3
, Q 3 ], où Q 1
et Q 3
sont le premier et
le troisième quartile de {y 1
, y 2
, . . . , y m
}, Q 1 et Q 3 sont le premier et le troisième quartile
de {y 1 , y 2 , . . . , y m }.
Dans l’analyse des données classiques la déviation quartile est définie comme Q =
Q 3 −Q 1
2
. C’est la distance entre le troisième quartile et le première quartile divisé par
deux. Pour les variables de type intervalle la déviation quartile est définie de manière
semblable, c’est–est–dire, elle est définie comme l’intervalle dont le minimum est la distance
minimum entre le premier et la troisième quartile divisée par deux, et le maximum
est la distance maximum entre le premier et le troisième quartile divisée par deux (on
remarquera que ce sont des intervalles).

La Régression Symbolique 66
Definition 31 Soit Y une variable de type intervalle définie dans E = {1, 2, . . . , m} par
Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]} et soient Q 1 et Q 3 le premier quartile et le troisième
quartile symboliques respectivement, alors on définit la déviation quartile symbolique de
Y comme:
⎡
⎢ |x − y|
Q(Y ) = ⎣min
x∈Q 1 2
y∈Q 3
|x − y|
, max
x∈Q 1
2
y∈Q 3
⎤
⎥
⎦ . (3.5)
Example 21 En utilisant les données du Tableau 3.1, nous obtenons Q 1 (Pulse-Rate) =
[56, 72], Q 3 (Pulse-Rate) = [76, 100] et Q(Pulse-Rate) = [2, 22].
3.2.4 La moyenne symbolique des valeurs extrêmes
Dans l’analyse des données classiques la moyenne des valeurs extrêmes d’une variable
quantitative Y est définie comme la moyenne entre la valeur maximum et la valeur minimum
prises par Y . Pour le cas des variables symboliques de type intervalle la moyenne
symbolique des valeurs extrêmes est définie comme la moyenne entre l’intervalle qui
contient la valeur maximum possible pour la variable et l’intervalle qui contient la valeur
minimum possible pour la variable.
Definition 32 Soit Y une variable de type intervalle définie dans E = {1, 2, . . . , m}
par Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]} et soit y min = min{y 1
, y 2
, . . . , y m
}, y max =
max{y 1 , y 2 , . . . , y m }, alors on définit la moyenne symbolique des valeurs extrêmes comme:
MExt(Y ) = [α, β] , (3.6)
où [α, β] est la moyenne symbolique entre les intervalles [y min , y s ] et
] [y k
, y max avec
s, k ∈ {1, 2, . . . , m}.

La Régression Symbolique 67
Example 22 En utilisant les données du Tableau 3.1 encore, nous obtenons MExt(Y ) =
[57, 90], MExt(Y 1 ) = [100, 145] et MExt(Y 2 ) = [70, 90].
Remark 8 Notons que la moyenne symbolique des valeurs extrêmes n’est pas un intervalle
constitué par la moyenne des valeurs extrêmes du minimum des intervalles et la
moyenne des valeurs extrêmes du maximum de ces intervalles.
3.2.5 La variance et l’écart type symbolique
Dans l’analyse des données classiques les mesures de dispersion mesurent l’éloignement
des données par rapport aux mesures de tendance centrale, par exemple de la moyenne. Si
la mesure de dispersion est petite alors toutes les données sont semblables. Dans l’analyse
de données classique, la mesure de dispersion la plus utilisée est l’écart type. Soit Y une
variable quantitative et soient y 1 , y√
2 , . . . , y m les m valeurs observées pour cette variable,
m∑
alors l’écart type de Y est σ Y = (y i − Y ) 2 , et la variance de Y est définie par
Var(Y ) = σ 2 Y .
1
m
i=1
Bertrand et Goupil ont généralisé la définition précédente√ pour des variables de type
∫ +∞
intervalle comme l’écart type empirique défini par σ Y = (ξ − Y ) 2 f Y (ξ)dξ où
−∞
Y est une variable de type intervalle, et f Y est sa fonction empirique de densité (voir
[7, Bock and Diday (2000)]). Billard et Diday ([5, Billard L. et Diday E. (2000)])
( m∑
m 2
∑
ont prouvé que σ Y = √ 1
(y
4m i + y i
) 2 − 1 (y
4m 2 i + y i
))
où Y (i) = [y i
, y i ],
i=1
i = 1, 2, . . . , m. Cette définition a exactement le même problème que la moyenne empirique.
Par exemple, si E = {1, 2, 3, 4} et Y (E) = {[1, 2], [−1, 4], [2, 3], [−1, 1]},
Z(E) = {[0, 3], [−2, 5], [1, 4], [−2, 2]} alors les deux variables ont le même écart type
empirique (σ Y = σ Z = 0.892), bien que la variable Z a une variation beaucoup plus
grande que la variable Y .
i=1

La Régression Symbolique 68
Pour éviter ce problème, pour des variables de type intervalle, nous devrions définir la
variance de façon à ce que cet indice mesure l’éloignément des données par rapport à la
moyennne symbolique de la variable, mais de telle façon à ce que cette variance soit aussi
un intervalle comportant la variance minimum et maximum.
Definition 33 Soit Y une variable de type intervalle définie dans E = {1, 2, . . . , m}
par Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]} et soit Y = [α, β] alors on définit l’écart type
symbolique et la variance symbolique par:
et
⎡
σ Y = ⎢
⎣√ 1 m
Var(Y ) =
⎡
m∑
i=1
⎢
⎣ 1 m
min
x∈[y i
,y i ]
y∈[α,β]
m∑
i=1
min
x∈[y i
,y i ]
y∈[α,β]
(x − y) 2 ,
1
√m
(x − y) 2 , 1 m
m∑
i=1
m∑
i=1
max
x∈[y i
,y i ]
y∈[α,β]
max
x∈[y i
,y i ]
y∈[α,β]
⎤
(x − y) 2 ⎥
⎦ , (3.7)
⎤
(x − y) 2 ⎥
⎦ .
Example 23 En utilisant les données du Tableau 3.1, nous obtenons que σ Y = [0, 35.55],
σ Y1 = [4.68, 49.60] et σ Y2 = [1.52, 32.23].
Remark 9 Notons que l’écart type symbolique n’est pas un intervalle constitué par l’écart
type des valeurs minimum des intervalles et l’écart type symbolique des valeurs maximum
de ces intervalles.
3.2.6 Histogrammes symboliques
Dans l’analyse des données classiques quand on a une variable qualitative Y , son rang
peut être divisée dans des classes pour établir une distribution des fréquences.
Pour

La Régression Symbolique 69
ceci, le nombre de classes k étant choisi, nous prenons le maximum M et le minimum
m de valeurs de la liste de données, alors la largeur des classes est c = M−m
k
.
Habituellement les classes (intervalles) sont pris fermé à la gauche et s’ouvrent à droite,
exceptée la dernière classe qui est fermée aux deux côtés. Comme Bertrand et Goupil
([7, Bock and Diday (2000)]) le suggèrent, si on a une variable de type intervalle Y
défini dans E = {1, 2, . . . , m} par Y = {[y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]} et si on note
y min = min{y 1
, y 2
, . . . , y m
}, y max = max{y 1 , y 2 , . . . , y m }, alors nous pouvons choisir
le nombre de classes k et construire une partition de I = [y min , y max ] dans k classes
(intervalles) I j = [u j−1 , u j [ pour j = 1, 2, . . . , k − 1, et I k = [u k−1 , u k ]. Avec ces
notations l’histogramme symbolique de Y associé à la partition {I 1 , I 2 , . . . , I k } est la
représentation graphique de la distribution de fréquences {(I j , p j ), j = 1, 2, . . . , k}, où
m∑
p j = 1 l(Y (j)∩I J )
et l(I) dénote la longueur de l’intervalle I.
m l(Y (j))
j=1
Example 24 En utilisant les données du Tableau 3.1, l’histogramme symbolique de la
variable Y 1 =Systolic–Pressure est présenté dans la Figure 3.1.
Figure 3.1: L’histogramme symbolique de la variable Y 1 =Systolic–Pressure.

La Régression Symbolique 70
3.2.7 Boîtes de dispersion (Boxplot)
L’objectif d’une boîte de dispersion est de donner une idée de la distribution des données.
Dans l’analyse de données classique, la construction d’une boîte de dispersion est basée
sur le calcul de la médiane et des quartiles: d’abord les données sont ordonnées, puis la
médiane et les quartiles sont calculés. Pour la représentation graphique, une droite verticale
est tirée de la plus petite donnée jusqu’à la plus grande, et on dessine un rectangle
de taille 2Q qui va du premier quartile Q 1 au troisième quartile Q 3 , où Q est la déviation
quartile. Enfin nous traçons une droite verticale dans le rectangle qui correspond à la position
de la médiane. Pour le cas des variables de type intervalle, puisque les quartiles et la
médiane sont des intervalles qui pourraient avoir l’intersection non vide, on dessine trois
rectangles au lieu d’un, le premier correspond au premièr quartile, le second correspond
à la médiane et le troisième correspond au troisième quartile.
Example 25 En utilisant les données du Tableau 3.1, la boîte de dispersion de la variable
Y =Pulse–Rate est présenté dans la Figure 3.2.
3.2.8 La corrélation symbolique
Dans cette section nous proposerons une définition de la corrélation symbolique entre
deux variables de type intervalle. Mais avant, il est important de rappeler quelques
définitions classiques.
Definition 34 Soient Y = (y 1 , y 2 , . . . , y m ) et X = (x 1 , x 2 , . . . , x m ) deux variables numériques
appliquées sur m individus, où x i et y i sont les valeurs prises pour la variable X et Y pour
l’individu i, respectivement, alors:
• On définit la variance de Y comme:

La Régression Symbolique 71
Figure 3.2: La boîte de dispersion de la variable Y =Pulse–Rate.
σ 2 Y = 1 m
m∑
(y i − Y ) 2 .
i=1
• On définit la covariance entre les deux variables X et Y comme:
Cov(X, Y ) = 1 m
m∑
(x i − X)(y i − Y ).
i=1
• On définit la corrélation entre les deux variables X et Y comme:
R(X, Y ) = 1 m
m∑
(
xi − X
i=1
σ X
) (
yi − Y
σ Y
)
= Cov(X, √ Y ) .
σ
2
X
σY
2
[5, Billard and Diday (2000)] ont proposé les formules suivantes pour calculer l’écart
type, la covariance et la corrélation pour les variables symboliques de type intervalle.
Definition 35 Soient X = ([x 1 , x 1 ], [x 2 , x 2 ], . . . , [x m , x m ]) et Y = ([y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ])
deux variables de type intervalle. Alors

La Régression Symbolique 72
• La variance de Y est définie par:
σ 2 Y = 1
4m
(
m∑
(y i + y i
) 2 − 1
m 2
∑
(y
4m 2 i + y i
))
. (3.8)
i=1
• La covariance entre X et Y est définie par:
Cov(X, Y ) = σ XY = 1
4m
i=1
(
m∑
(x i + x i )(y i + y i
) − 1 m
) (
∑
m
)
∑
4m
i=1
2 (x i + x i ) (y i + y i
) . (3.9)
i=1
i=1
• La corrélation entre Y 1 et Y 2 est définie par:
R(X, Y ) =
σ XY
√ . (3.10)
σ
2
X
σY
2
Toutes les définitions précédentes obtiennent comme résultat un réel, alors que l’entrée
est un intervalle. Mais, comme nous l’avons déjà mentionné, si l’entrée a de l’imprécision
(inexactitude) alors la sortie doit avoir également de l’imprécision. C’est pour ça que nous
définissons en (3.11) la corrélation symbolique entre deux variables de type intervalle
comme un intervalle.
Chacune des variables X = ([x 1 , x 1 ], [x 2 , x 2 ], . . . , [x m , x m ]) et Y = ([y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ],
. . . , [y m
, y m ]) peuvent être visualisés dans l’espace R m par un hypercube à 2 m sommets.
Donc la corrélation entre X et Y peut être définie comme un intervalle à partir de la
corrélation minimum et maximum entre ces deux hypercubes. La longueur des côtés de
l’hypercube est donnée par l’étendue des intervalles associés à chaque individu.
Definition 36 Soient X H et Y H les hypercubes associés aux variables X et Y, alors on
définit la corrélation entre X et Y comme l’intervalle R(X, Y ) = [ R(X, Y ), R(X, Y ) ]

La Régression Symbolique 73
où 1 :
R(X, Y ) = min
x∈X H
y∈Y H
R(x, y)
R(X, Y ) = max
x∈X H
y∈Y H
R(x, y)
(3.11)
Pour calculer la corrélation symbolique nous devons introduire une certaine notation.
Avec les variables X et Y nous pouvons construire les matrices numériques N X et N Y de
m droites et 2 m colonnes comme nous le montrons dans (3.12) et (3.13).
⎛⎡
N X =
⎜⎢
⎝⎣
⎤⎞
x 1 x 1 x 1 x 1 · · · x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 · · · x 1
x 2 x 2 x 2 x 2 · · · x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 · · · x 2
x 3 x 3 x 3 x 3 · · · x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 · · · x 3
.
.
.
.
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. .. . ..
. ..
x m−1 x m−1 x m−1 x m−1 · · · x m−1 x m−1 x m−1 x m−1 x m−1 · · · x m−1
⎥⎟
⎦⎠
x m x m x m x m · · · x m x m x m x m x m · · · x m
(3.12)
⎛⎡
N Y =
⎜⎢
⎝⎣
⎤⎞
y 1 y 1 y 1 y 1 · · · y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 · · · y 1
y 2 y 2 y 2 y 2 · · · y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 · · · y 2
y 3 y 3 y 3 y 3 · · · y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 · · · y 3
.
.
.
.
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. .. . ..
. ..
y m−1 y m−1 y m−1 y m−1 · · · y m−1 y m−1 y m−1 y m−1 y m−1 · · · y m−1
⎥⎟
⎦⎠
y m y m y m y m · · · y m y m y m y m y m · · · y m
(3.13)
Soit C X l’ensemble d’indices des colonnes dans la matrice N X , associé à la variable de
type intervalle X; si k ∈ C X , soit c X k
matrice N X (de la même manière on définit C Y et c Y k ).
le vecteur associé à la k−iéme colonne dans la
Theorem 4 Soient X H et Y H les hypercubes associés à X et Y , alors nous avons les cas
suivants:
1 R(x, y) est la corrélation classique entre les vecteurs x et y de R m .

La Régression Symbolique 74
Cas 1: Si l’origine est un point intérieur de X H ou Y H alors:
R(X, Y ) = −1
R(X, Y ) = 1
(3.14)
Cas 2: Si X H et Y H contiennent des vecteurs colinéaires de R m et:
Cas 2.1 Si tous les deux X H et Y H sont dans le même “m–quadrant” de R m alors:
R(X, Y ) = min
k∈C X
s∈C Y
R(c X k , cY s )
R(X, Y ) = 1
(3.15)
Cas 2.2 Si X H et Y H sont dans des “m–quadrant” opposés par l’origine de R m
alors:
R(X, Y ) = −1
R(X, Y ) = max
k∈C X
s∈C Y
R(c X k , cY s )
(3.16)
Cas 3: X H et Y H ne contiennent pas des vecteurs colinéaires et ni l’un ni l’autre X H ou
Y H contient l’origine alors:
R(X, Y ) = min
k∈C X
s∈C Y
R(c X k , cY s )
R(X, Y ) = max
k∈C X
s∈C Y
R(c X k , cY s )
(3.17)
Démonstration:
Cas 1: Supposons, sans perte de généralité, que → 0∈ ◦ XH (l’ensemble des points intérieurs
de X H ), alors il y a un voisinage V ⊂ R m de → 0, et nous pouvons trouver x 1 ∈ V
, x 2 ∈ V et y ∈ Y tels que l’angle entre x 1 et y est π, et l’angle entre x 2 et y est
0, ce qui implique R(X, Y ) = R(x 1 , y) = −1 est R(X, Y ) = R(x 2 , y) = 1 (voir
illustration pour R 2 dans la Figure 3.3).

La Régression Symbolique 75
✻
R(X, Y ) = R(x 2 , y) = 1
Y H
R(X, Y ) = R(x y
1 , y) = −1
X H ✬✩
✛
✱ ✱✱✱✱✱✱✱ x 2
x 1
✫✪ V
✲
Figure 3.3: X H ou Y H contiennent l’origine.
❄
Cas 2 :
Cas 2.1: Soit x ∈ X H et y ∈ Y H les vecteurs colinéaires dans le même m–
quadrant, alors l’angle θ entre x et y est 0, et donc cos(θ) = 1 = R(x, y) =
R(X, Y ). On peut trouver des sommets x s ∈ X H et y l ∈ Y H tels que l’angle
β entre x s et y l est maximum et 0 ≤ β ≤ π, alors cos(β) est minimum, et
donc cos(β) = R(x s , y l ) = R(X, Y ) (on illustre ce cas en R 2 dans la Figure
3.4). Tous les deux x s et y l sont des sommets de X H et Y H respectivement,
ainsi ils sont des colonnes de N X et N Y respectivement.
Cas 2.2: Soit x ∈ X et y ∈ Y les vecteurs colinéaires dans des m–quadrants
opposés, alors l’angle θ entre x et y est π, et donc cos(θ) = −1 = R(x, y) =
R(X, Y ). Également il y a des sommets x s ∈ X H et y l ∈ Y H tels que l’angle
β entre x s et y l est minimum et 0 ≤ β ≤ π, alors cos(β) est maximum,
d’où on déduit que cos(β) = R(x s , y l ) = R(X, Y ) (on illustre ce cas en R 2
dans la Figure 3.5). Tous les deux x s et y l sont les sommets de X H et Y H
respectivement, ainsi ils sont des colonnes de N X et N Y respectivement.
Cas 3: Si X H et Y H ne contiennent pas des vecteurs colinéaires et ni l’origine est à leur
un point intérieur, alors il y a des sommets x 1 ∈ X H et y 1 ∈ Y H tels que l’angle

La Régression Symbolique 76
✛
✻ R(X, Y ) = R(x, y) = 1
✆
y l
✆ ✆✆✆
y
✡ Y H
✡ ✡ β
x
X H
✡
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✡✡✡✡
✡✆ ✆✆✆✆✆✆✆✆ xs
✲
❄
Figure 3.4: Tous les deux X H et Y H sont dans le même m–quadrant.
β entre x 1 et y 1 est maximum et 0 ≤ β ≤ π, alors cos(β) est minimum, et donc
cos(β) = R(x 1 , y 1 ) = R(X, Y ). Également il y a sommets x 2 ∈ X H et y 2 ∈ Y H
tels que l’angle φ entre x 2 et y 2 est minimum et 0 ≤ φ ≤ π, alors cos(φ) est
maximum, et donc cos(φ) = R(x 2 , y 2 ) = R(X, Y ) (on illustre ce cas en R 2 dans
la Figure 3.6). Tous x 1 , y 1 , x 2 et y 2 sont des sommets de X H ou Y H alors ils sont
colonnes de N X ou N Y .
ALGORITHME 2.1: CALCUL DE LA CORRÉLATION SYMBOLIQUE.
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.
⎛ [ ] ⎞
x1 , x 1 [ ]
x2 , x
• variable symbolique X =
2 .
⎜ . ⎟
⎝
[ ]
⎠
xm , x m

La Régression Symbolique 77
✻
✛
y l
y
Y H
β
✟
☞
✲
✟
✟
✟
✟
x ✟
✟
✟ ✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✑
s
✟ x
X H
☞ ☞☞☞☞ ☞ ☞☞
R(X, Y ) = R(x, y) = −1
❄
Figure 3.5: X H et Y H sont dans des m–quadrants opposés.
⎛
• La variable symbolique Y =
⎜
⎝
[
y1 , y 1
]
[
y2 , y 2
]
.
[
ym , y m
]
⎞
.
⎟
⎠
Sortie : La corrélation symbolique entre les variables X et Y :
Notation :
R(X, Y ) = [ R(X, Y ), R(X, Y ) ] .
• Pr X ks =La projection de X H au-dessus du plan produit par l’axe k, s avec
k, s = 1, 2, . . . , m.
• Pr Y ks =La projection de Y H au-dessus du plan produit par l’axe k, s avec k, s =
1, 2, . . . , m.
• θmin X =angle minimum entre Pr X ks et l’axe k.
• θmax X =angle maximum entre Pr X ks et l’axe k.

La Régression Symbolique 78
✛
✔
✻
❇❇
❇
x 2
❇
❇y ✔ ✔✔✔✔ 2
X H
✦
❇ φ
Y ❇ H
❇ ✔ ✔✔
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛
x 1
❇ β
y 1
❇
❇✔ ✔✔ ✦ ✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦ ✲
❄
Figure 3.6: X H et Y H ne contiennent pas des vecteurs colinéaires et ni l’un ni l’autre X H
ou Y H contient l’origine.
• θ Y min =angle minimum entre Pr Y ks et l’axe k.
• θ Y max =angle maximum entre Pr Y ks et l’axe k.
Etape 1: total= m · 2 m .
Etape 2.1: Si → 0∈ ◦ X
iH ou → 0∈Y
◦ j
H alors 2
Etape 2.1.1: R(X, Y ) = −1
Etape 2.1.2: R(X, Y ) = 1.
Etape 2.3: k = 1
Etape 2.4: intersection=true
Etape 2.5: Pendant que (k ≤ m) et (intersection=true) et (R(X, Y ) > −1 ou
R(X, Y ) < 1)
Etape 2.5.1 s = k + 1
Etape 2.5.2 Pendant que (s ≤ m) et (intersection=true)
⋄ Calcul de Pr X ks et Pr Y ks
2 Où → 0 note le vecteur zéro dans R m et ◦ A note l’ensemble de points intérieurs de A.

La Régression Symbolique 79
⋄ Calcul de θmin, X θmax, X θmin, Y θmax
Y
⋄ Si ((θmin Y ≤ θmax) X et (θmin X ≤ θmin)) Y ou ((θmin X ≤ θmax) Y et (θmin Y ≤ θmin))
X
◦ intersection=true
◦ sign= 1
⋄ Sinon
◦ α = θmin Y mod 2π
◦ β = θmin X mod 2π
◦ Si ((α ≤ θmax) X et (θmin X ≤ α)) ou ((β ≤ θmax) Y et (θmin Y ≤ β))
· intersection=true
· sign= −1
◦ Sinon
· intersection=false
Etape 2.6: Si intersection=true
Etape 2.6.1: R(X, Y ) = 1∗sign
Etape 2.7: s = 1
Etape 2.8: Pendant que s ≤ total et (R(X, Y ) > −1 ou R(X, Y ) < 1)
Etape 2.8.1: x = s−ième sommet de XH
i
Etape 2.8.2: k = 1
Etape 2.8.3: Pendant que k ≤ total et (R(X, Y ) > −1 ou
R(X, Y ) < 1)
⋄ y = k−ième sommet de Y j H
⋄ r = R(x, y)
⋄ Si r > R(X, Y ) alors R(X, Y ) = r
⋄ Si r < R(X, Y ) alors R(X, Y ) = r
Sortie: La corrélation symbolique: R = [R(X, Y ), R(X, Y )].

La Régression Symbolique 80
Example 26 En utilisant les données du Tableau 3.1, la corrélation symbolique entre les
variables Y =Pulse–Rate et Y 1 =Systolic–Pressure est R(Y, Y 1 ) = [−0.59, 0.97]. La
corrélation donnée par l’indice proposé par [5, Billard and Diday (2000)] est R(Y, Y 1 ) =
0.68, cependant, il est possible de trouver des valeurs prises par Y et Y 1 pour lesquelles la
corrélation est négative, comme on peut le voir dans la Figure 3.8.
3.3 La régression linéaire symbolique simple
3.3.1 Modèle de régression simple avec la corrélation empirique
L’objectif principal du modèle de la régression linéaire classique simple est de mesurer
l’intensité de la relation linéaire entre deux variables. Soient Y = (y 1 , y 2 , . . . , y m ) et
X = (x 1 , x 2 , . . . , x m ) deux variables numériques appliquées à m individus, où x i et
y i sont les valeurs prises par les variables X et Y pour l’individu i, respectivement, alors
l’idée est de determiner s’il existe une relation linéaire vérifiée, même approximativement,
par les deux variables. C’est–à–dire, s’il existe deux réels a et b tel que: y i = ax i + b + e i
pour i = 1, 2, . . . , m où e i est un terme résiduel. La relation entre x et y sera d’autant plus
proche d’une relation linéaire exacte que les valeurs de la série e, c’est–à–dire les valeurs
des e i , seront petites. Algébriquement, on détermine les valeurs a et b selon le critère des
m∑
moindres carrés, c’est–à–dire de telle manière que e 2 i ait une valeur minimale. Il est
bien connu que ce minimum est atteint pour:
i=1
a =
m∑
(x i − X)(y i − Y )
i=1
mVar(X)
et b = Y − aX. (3.18)
Il est clair que:

La Régression Symbolique 81
a = R(X, Y ) · σ Y
σ X
. (3.19)
Pour le cas symbolique, [5, Billard and Diday (2000)] ont proposé de généraliser le
modèle classique de la régression simple (3.18), (3.19) en utilisant les définitions de la
moyenne, l’écart type et la corrélation présentés dans (3.2), (3.8) et (3.10), au lieu des
définitions classiques.
Example 27 En utilisant les données du Tableau 3.1, avec Y =Pulse–Rate comme la
variable a expliquer et Y 1 =Systolic–Pressure comme la variable explicative on obtient
l’équation de régression symbolique simple (3.20) ([5, Billard and Diday (2000)]):
Pulse–Rate = 0.392 · Systolic–Pressure + 27.639. (3.20)
D’aprés ces calculs, on veut prévoir le “Pulse–Rate” quand la “Systolic–Pressure” est
[108, 110] on a que le “Pulse–Rate” devrait être [69.97, 70.76]. Ceci est illustré dans la
Figure 3.7.
Afin d’être cohérents avec les définitions que nous avons proposées dans ce chapitre,
dans ce qui suit on présente trois modèles de régression linéaire simple qui pourraient
être envisagés.
3.3.2 Modèle de régression simple avec la corrélation symbolique maximum
et minimum
Dans cette section nous proposons une méthode de régression simple qui emploie la
définition (3.11) de la corrélation symbolique. L’idée est de produire deux relations
linéaires, au lieu d’une. On calcule la première droite de regression en employant les

La Régression Symbolique 82
Figure 3.7: Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec le
modèle de la corrélation empirique.
valeurs prises par les variables dans lesquelles la corrélation est minimum, et la seconde
en employant les valeurs prises par les variables dans lesquelles la corrélation est maximum.
Si X = ([x 1 , x 1 ], [x 2 , x 2 ], . . . , [x m , x m ]) et Y = ([y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]) sont deux
variables de type intervalle, alors on emploie l’algorithme 2.1 pour calculer la corrélation
symbolique R(X, Y ) = [ R(X, Y ), R(X, Y ) ] parmi les variables X et Y , mais nous
stockons les points α = (α 1 , α 2 , . . . , α m ), β = (β 1 , β 2 , . . . , β m ), γ = (γ 1 , γ 2 , . . . , γ m )
et ζ = (ζ 1 , ζ 2 , . . . , ζ m ) tels que R(X, Y ) = R(α, β) et R(X, Y ) = R(γ, ζ) avec α i ∈
[x i , x i ], γ i ∈ [x i , x i ], β i ∈ [y i
, y i ] et ζ i ∈ [y i
, y i ] pour i = 1, 2, . . . , m. Alors on emploie
α = (α 1 , α 2 , . . . , α m ) et β = (β 1 , β 2 , . . . , β m ) et l’équation (3.18) pour calculer a 1 et b 1
de la première droite de la régression y = a 1 x + b 1 et on emploie γ = (γ 1 , γ 2 , . . . , γ m )
et ζ = (ζ 1 , ζ 2 , . . . , ζ m ) et l’équation (3.18) encore pour calculer a 2 et b 2 de la deuxième
droite de régression y = a 2 x + b 2 .
Si on veut prévoir les valeurs de la variable Y dans un intervalle [ξ 1 , ξ 2 ] à partir de la
variable X on calcule y 11 = a 1 ξ 1 + b 1 , y 12 = a 1 ξ 2 + b 1 , y 21 = a 2 ξ 1 + b 2 et y 22 = a 2 ξ 2 + b 2

La Régression Symbolique 83
alors l’intervalle prévu sera [min{y 11 , y 12 , y 21 , y 22 }, max{y 11 , y 12 , y 21 , y 22 }].
Example 28 En utilisant les données du Tableau 3.1, avec Y =Pulse–Rate comme la
variable a expliquer et Y 1 =Systolic–Pressure comme la variable explicative on obtient
les équations de régression symbolique simple (3.21) et (3.22):
Pulse–Rate = −0.484 · Systolic–Pressure + 142.987. (3.21)
Pulse–Rate = 0.707 · Systolic–Pressure − 25.631. (3.22)
Si on veut prévoir le “Pulse–Rate” quand la “Systolic–Pressure” est [108, 100] on a que
le “Pulse–Rate” est [50.735, 90.756]. Ceci est illustré dans la Figure 3.8. Quand elle est
comparée aux valeurs prévues par le modèle de régression simple avec la corrélation symbolique
empirique , c’est–à–dire, avec l’intervalle symbolique de prévision [69.97, 70.76],
il est clair en voyant le graphique de la Figure 3.8, que l’intervalle obtenu avec le modèle
de régression simple avec la corrélation symbolique maximum et minimum est beaucoup
plus proche de la réalité, c’est–à–dire, il prévoit avec plus d’exactitude la gamme de
valeurs possibles de la variable “Pulse–Rate”.
3.3.3 Modèle de régression symbolique simple avec les points Inférieur–
Supérieur
Dans cette section on propose une méthode de régression qui emploie le sommet supérieur
gauche et le sommet inférieur droit des rectangles qui sont produits quand on croise les
deux variables. L’idée est encore de produire deux droites de régression au lieu d’une.

La Régression Symbolique 84
Figure 3.8: Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec le
modèle de la corrélation symbolique maximum et minimum.
On calcule la première en utilisant les valeurs des sommets supérieurs gauches des rectangles,
et on calcule la seconde en utilisant les valeurs des sommets inférieurs droites des
rectangles.
Si X = ([x 1 , x 1 ], [x 2 , x 2 ], . . . , [x m , x m ]) et Y = ([y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]) sont
deux variables de type intervalle alors nous employons α = (x 1 , x 2 , . . . , x m ), β =
(y 1
, y 2
, . . . , y m
) et l’équation (3.18) pour calculer a 1 et b 1 de la première droite de régression
y = a 1 x + b 1 et nous employons γ = (x 1 , x 2 , . . . , x m ), ζ = (y 1 , y 2 , . . . , y m ) et l’équation
(3.18) pour calculer a 2 et b 2 de la deuxième droite de régression y = a 2 x + b 2 .
Si on veut prévoir les valeurs de la variable Y dans un intervalle [ξ 1 , ξ 2 ] à partir de la variable
X, on procéde de façon analogue au modèle de régression simple avec la corrélation
symbolique maximum et minimum, en calculant y 11 = a 1 ξ 1 + b 1 , y 12 = a 1 ξ 2 + b 1 , y 21 =
a 2 ξ 1 +b 2 et y 22 = a 2 ξ 2 +b 2 , et alors l’intervalle prévu sera [min{y 11 , y 12 }, max{y 21 , y 22 }].
Example 29 En utilisant les données du Tableau 3.1, avec Y =Pulse–Rate comme la
variable a expliquer et Y 1 =Systolic–Pressure comme la variable explicative, on obtient
les équations de régression (3.23) et (3.24), on l’illustre dans la Figure 3.9:

La Régression Symbolique 85
Pulse–Rate = 0.548 · Systolic–Pressure + 28.235. (3.23)
Pulse–Rate = 0.422 · Systolic–Pressure + 4.773. (3.24)
Si on veut prévoir “Pulse–Rate” quand “Systolic–Pressure” est [108, 100] on a que “Pulse–
Rate” est [50.350, 88.499]. Quand ceci est comparé aux valeurs prévues par le modèle de
régression simple avec la corrélation symbolique maximum et minimum, c’est–à–dire,
avec l’intervalle symbolique de prévision [50.735, 90.756], il est clair que les résultats
sont très semblables.
Figure 3.9: Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec le
modèle de Inférieur–Supérieur points.
3.3.4 Modèle des sommets pour la régression symbolique simple
Dans cette section nous proposons une méthode de régression qui emploie tous les sommets
des rectangles pour produire la relation linéaire de la régression. Si X = ([x 1 , x 1 ], [x 2 , x 2 ],

La Régression Symbolique 86
. . . , [x m , x m ]) et Y = ([y 1
, y 1 ], [y 2
, y 2 ], . . . , [y m
, y m ]) sont deux variables de type intervalle
alors on emploie α = (x 1 , . . . , x m , x 1 , . . . , x m , x 1 , . . . , x m , x 1 , . . . , x m ), β =
(y 1
, . . . , y m
, y 1 , . . . , y m , y 1
, . . . , y m
, y 1 , . . . , y m ) et l’équation (3.25) pour calculer a et b
de la droite de régression y = ax + b.
a =
4m∑
i=1
(α i − α)(β i − β)
4mVar(α)
et b = β − a · α. (3.25)
Si on veut prévoir les valeurs de la variable Y dans un intervalle [ξ 1 , ξ 2 ] à partir de la variable
X, on procéde d’une manière semblable au modèle classique de régression simple
en substituant les limites de l’intervalle dans l’équation de régression.
Example 30 En utilisant les données du Tableau 3.1, avec Y =Pulse–Rate comme la
variable a expliquer et Y 1 =Systolic–Pressure comme une variable explicative on obtient
l’équation de régression (3.26), Ceci est illustré dans la Figure 3.10:
Pulse-Rate = 0.283 · Systolic-Pressure + 41.933. (3.26)
Si on veut prévoir “Pulse-Rate” quand “Systolic-Pressure” est [108, 100] on a que “Pulse-
Rate” est [72.505, 73.071]. Ce résultat est semblable à celui obtenu par la méthode de
régression simple avec la corrélation symbolique empirique, qui a donné comme l’intervalle
de prévision [69.97, 70.76].

La Régression Symbolique 87
Figure 3.10: Graphique de régression des variables Systolic–Pressure×Pulse–Rate avec
le modèle des sommets.

Chapter 4
Le Cercle des Corrélations Symboliques
et l’Analyse en Composantes
Principales pour des Données de Type
Histogramme
Dans ce chapitre nous généralisons la méthode de l’Analyse en Composantes Principales
pour des données de type intervalle proposée par [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman
(1997)] dans deux sens: d’abord, nous proposons trois manières de projeter les
variables de type intervalle dans le cercle des corrélations. En second lieu, nous proposons
un algorithme pour faire l’analyse en composantes principales pour des données
de type histogramme. De plus, nous proposons des généralisations pour quelques indices
d’interprétation utilisés dans l’analyse en composantes principales classique.
88

Le Cercle des Corrélations Symbolique 89
4.1 Cercle des corrélations symboliques dans l’analyse
en composantes principales
4.1.1 Le cercle des corrélations en utilisant le coefficient de la corrélation
symbolique
Dans le chapitre trois nous avons proposé une nouvelle définition du coefficient de la
corrélation symbolique entre deux variables de type intervalle, qui donne comme résultat
un intervalle (3.11). Dans ce chapitre nous emploierons cette définition pour étendre le
cercle des corrélations classique au cas des variables symboliques de type intervalle.
Dans l’analyse en composantes principales avec des données de type intervalle l’entrée est
m objets symboliques S 1 , S 2 , . . . , S m décris par n variables de type intervalle X 1 , X 2 , . . . ,
X n comme on le montre dans (4.1).
⎛
⎜
⎝
⎞ ⎛
S 1
. ⎟
⎠ = ⎜
⎝
S m
X S1 1 · · · X S1 n
.
.. . .
X Sm1 · · · X Smn
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
[ ]
x11 , x 11 · · ·
[ ]
x1n , x 1n
.
.. . .
[ ]
xm1 , x m1 · · ·
[ ]
xmn , x mn
⎞
⎟
⎠ . (4.1)
Dans l’analyse classique en composantes principales la projection des variables X j sur
l’axe produit par le r−ième composante principale normalisé Y r est donné par la corrélation
entre la variable et le composante principale R(X j , Y r ). Les coordonnées des variables
X j sur la base des composantes principales normalisées sont
(R(X j , Y 1 ), R(X j , Y 2 ), . . . , R(X j , Y n )). Si X j est une variable normalisée, il est facile
de prouver que:
n∑
R 2 (X j , Y k ) = 1. (4.2)
k=1

Le Cercle des Corrélations Symbolique 90
✻
Axis r
R(Y r , X j )
•
X
j
✛
R(Y s , X j )
✲
Axis s
❄
Figure 4.1: Cercle classique des corrélations.
Si on considère seulement deux composantes Y r et Y s , alors:
R 2 (X j , Y r ) + R 2 (X j , Y s ) ≤ 1. (4.3)
Ainsi la représentation graphique de la variable pourrait être faite dans le cercle de rayon
1, comme on le montre dans la Figure 4.1.
L’idée pour projeter les variables de type intervalle dans le cercle des corrélations est la
même, on calcule la corrélation entre la variable X j et le r−ième composante principale
Y r , mais dans le cas symbolique tous les deux X j et Y r sont les vecteurs colonne des intervalles
comme on le montre dans les équations (4.4) et (4.5), également ils peuvent être
représentés dans R m par des hypercubes. Alors il est possible d’employer la définition

Le Cercle des Corrélations Symbolique 91
(3.11) et les équations (3.14), (3.15), (3.16), et (3.17) présentées dans le théorème 1 du
chapitre trois pour produire le cercle des corrélations symbolique, comme nous le proposons
dans l’algorithme 4.1.
⎛
X j =
⎜
⎝
[x 1j , x 1j
]
[x 2j , x 2j
]
.
[x mj , x mj
]
⎞
⎟
⎠
(4.4)
⎛
Y r =
⎜
⎝
[
y1r , y 1r
]
[
y2r , y 2r
]
.
[
ymr , y mr
]
⎞
. (4.5)
⎟
⎠
L’autre différence avec le cas classique est que la sortie devrait être symbolique, dans ce
cas–ci la sortie (la corrélation entre X j et Y r ) devrait être un intervalle avec la corrélation
minimum et maximum entre les deux hypercubes. Cette sortie est représentée dans le
cercle des corrélations par un rectangle, on l’illustre dans la Figure 4.2.
Il est également important que cette sortie soit décrite en termes d’objets symboliques, par
exemple: s = (a, R, d) où a(w) = [R(X j , Y r ) ⊆
[R(X j , Y r ), R(X j , Y r )]] ∧ [ R(X j , Y s ) ⊆ [R(X j , Y s ), R(X j , Y s )] ] , R = “ ⊆ ” et d =
[−1, 1].

Le Cercle des Corrélations Symbolique 92
✻
Axis r
R(Y r , X j )
X j
R(Y r , X j )
✛
R(Y s , X j )
R(Y s , X j )
✲
Axis s
❄
Figure 4.2: Cercle des corrélations symbolique.
ALGORITHME 4.1: CERCLE DES CORRÉLATIONS SYMBOLIQUE
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.
• n =nombre de variables symboliques.
• Le tableau des données symboliques
⎛ [ ] [ ] [ ]
x11 , x 11 x12 , x 12 · · · x1n , x 1n [ ] [ ] [ ]
x21 , x
X =
21 x22 , x 22 · · · x2n , x 2n ⎜ .
.
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
xm1 , x m1 xm2 , x m2 · · · xmn , x mn
⎞
.
⎟
⎠

Le Cercle des Corrélations Symbolique 93
• La matrice des composantes principales symboliques:
⎛ [ ] [ ] [ ]
y11 , y 11 y12 , y 12 · · · y1n , y 1n [ ] [ ] [ ]
y21 , y
Y =
21 y22 , y 22 · · · y2n , y 2n ⎜ . .
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
ym1 , y m1 ym2 , y m2 · · · ymn , y mn
⎞
.
⎟
⎠
Sortie : La corrélation symbolique entre les variables et les composantes principales dans
la matrice suivante:
⎛
[
R(X 1 , Y 1 ), R(X 1 , Y 1 ) ] [
· · · R(X 1 , Y n ), R(X 1 , Y n ) ] ⎞
R = ⎜
.
.. . .
⎟
⎝
[
R(X n , Y 1 ), R(X n , Y 1 ) ] [
· · · R(X n , Y n ), R(X n , Y n ) ] ⎠ .
Notation :
• Pr X ks =La projection de XH i
1, 2, . . . , m.
• Pr Y ks =La projection de YH i
1, 2, . . . , m.
au-dessus du plan produit l’axe k, s avec k, s =
au-dessus du plan produit l’axe k, s avec k, s =
• θmin X =angle minimum entre Pr X ks et l’axe k.
• θmax X =angle maximum entre Pr X ks et l’axe k.
• θmin Y =angle minimum entre Pr Y ks et l’axe k.
• θmax Y =angle maximum entre Pr Y ks et l’axe k.
Etape 1: total= m · 2 m , i = 1, j = 1.
Etape 2: Pendant que i ≤ n
Etape 2.1: Pendant que j ≤ n

Le Cercle des Corrélations Symbolique 94
Etape 2.1.1: Si → 0∈ ◦ X
iH ou → 0∈Y
◦ j
H alors 1
Etape 2.1.1.1: R(X i , Y j ) = −1
Etape 2.1.1.2: R(X i , Y j ) = 1.
Etape 2.1.2: k = 1
Etape 2.1.3: intersection=true
Etape 2.1.4: Pendant que (k ≤ m) et (intersection=true) et
(R(X i , Y j ) > −1 ou R(X i , Y j ) < 1)
Etape 2.1.4.1 s = k + 1
Etape 2.1.4.2 Pendant que (s ≤ m) et (intersection=true)
⋄ Calculer Pr X ks et Pr Y ks
⋄ Calculer θ X min, θ X max, θ Y min, θ Y max
⋄ Si ((θ Y min ≤ θ X max) et (θ X min ≤ θ Y min)) ou ((θ X min ≤ θ Y max) et (θ Y min ≤
θ X min))
◦ intersection=true
◦ sign= 1
⋄ Sinon
◦ α = θ Y min mod 2π
◦ β = θ X min mod 2π
◦ Si ((α ≤ θ X max) et (θ X min ≤ α)) ou ((β ≤ θ Y max) et (θ Y min ≤ β))
· intersection=true
· sign= −1
◦ Sinon
· intersection=false
Etape 2.1.5: Si intersection=true
Etape 2.1.5.1: R(X j , Y j ) = 1∗sign
1 Où → 0 dénote le vecteur zéro dans R m et ◦ A dénote l’ensemble des points intérieurs de A.

Le Cercle des Corrélations Symbolique 95
Etape 2.1.5.2: R(X i , Y j ) = 1∗sign
Etape 2.1.6: s = 1
Etape 2.1.7: Pendant que s ≤ total et (R(X i , Y j ) > −1 ou
R(X i , Y j ) < 1)
Etape 2.1.7.1: x = s−ième sommet de XH
i
Etape 2.1.7.2: k = 1
Etape 2.1.7.3: Pendant que k ≤ total et (R(X i , Y j ) > −1 ou
R(X i , Y j ) < 1)
⋄ y = k−ième sommet de Y j H
⋄ r = R(x, y)
⋄ Si r > R(X i , Y j ) alors R(X i , Y j ) = r
⋄ Si r < R(X i , Y j ) alors R(X i , Y j ) = r
Sortie: La matrice R = ([R(X i , Y j ), R(X i , Y j )]) pour i, j = 1, 2, . . . , n.
Example 31 Pour illustrer le cercle des corrélations symbolique nous employons les
données d’Ichino (oils and fats data) qu’on présente dans le Tableau 4.1. Chaque ligne du
tableau de données représente une classe d’huile décrite par 4 variables quantitatives de
type intervalle, “Specific gravity”, “Freezing point”, “Iodine value” et “Saponification”.
Les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et le centre de gravité
des composantes principales (pour la méthode de centres, voir section 4.1.2) sont présentés
dans le Tableau 4.2, et les corrélations symboliques sont présentées dans le Tableau 4.3.
On peut noter que la corrélation classique est toujours contenue dans l’intervalle qui
représente la corrélation symbolique respective.
Le cercle des corrélations symbolique pour les données d’Ichino (oils and fats data) est
montré dans la Figure 4.3. Pour expliquer comment ce cercle peut être interprété, on

Le Cercle des Corrélations Symbolique 96
GRA FRE IOD SAP
Linsed (L) [0.93, 0.935] [−27, −18] [170, 204] [118, 196]
Perilla (P) [0.93, 0.937] [−5, −4] [192, 208] [188, 197]
Cotton (Co) [0.916, 0.918] [−6, −1] [99, 113] [189, 198]
Sesame (S) [0.92, 0.926] [−6, −4] [104, 116] [187, 193]
Camellia (Ca) [0.916, 0.917] [−25, −15] [80, 82] [189, 193]
Olive (O) [0.914, 0.919] [0, 6] [79, 90] [187, 196]
Beef (B) [0.86, 0.87] [30, 38] [40, 48] [190, 199]
Hog (H) [0.858, 0.864] [22, 32] [53, 77] [190, 202]
Table 4.1: Tableau des données “Oils and Fats”.
prend comme exemple la variable GRA. La corrélation symbolique entre la variable
GRA et la première composante principale est l’intervalle [−0.999, −0.702]. Cela signifie
que la corrélation entre GRA et la première composante principale (PC1) varie entre
−0.999 et −0.702 (corrélation négative forte). La corrélation entre la variable GRA et
la deuxième composante principale (PC2) est l’intervalle [−0.995, 0.315], cela veut dire
que la corrélation entre GRA et PC2 varie entre −0.995 et 0.315 (corrélation négative
ou corrélation positive faible). Pour cette variable l’information qui fait référence à la
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA −0.9210665 −0.3537703 0.0246894 −0.1608524
FRE 0.9130654 0.2080771 −0.3238118 −0.1347643
IOD −0.8724116 0.0337627 −0.4827661 0.0685206
SAP 0.7354523 −0.6613331 −0.1397354 0.0471425
Table 4.2: Les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et le centre
de gravité des composants principales pour la méthode des centres.

Le Cercle des Corrélations Symbolique 97
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA [−0.999, −0.702] [−0.995, 0.315] [−0.558, 0.530] [−0.832, 0.772]
FRE [0.698, 0.978] [−0.507, 0.996] [−0.767, 0.383] [−0.943, 0.826]
IOD [−0.951, −0.654] [−0.965, 0.626] [−0.916, 0.262] [−0.816, 0.906]
SAP [−1.000, 0.939] [−1.000, 0.978] [−1.000, 0.895] [−1.000, 0.978]
Table 4.3: Les corrélations symboliques entre les variables et les composants principales
pour la méthode de centres.
première composante principale est meilleur que l’information qui fait référence à la
deuxième composante principale, parce qu’elle a la plus petite variation.
Cette corrélation peut être écrite comme l’objet symbolique s = (a, R, d) où a(w) =
[[R(GRA,PC1) ⊆ [−0.999, −0.702]] ∧ [R(GRA,PC2) ⊆ [−0.995, 0.315]]], R = “ ⊆ ” et
d = [−1, 1].
Il y a des points hors du cercle de rayon 1, parce que, par exemple quoique −1 ≤
R (X s , Y r ) ≤ 1 et −1 ≤ R ( X l , Y r) √
≤ 1 il est possible que R 2 (X s , Y r ) + R 2 (X l , Y r ) >
1. Le point ( R (X s , Y r ) , R ( X l , Y r)) est alors hors du cercle de rayon 1. On a éliminé
ces points du graphique, alors le cercle des corrélations symbolique pour les données
d’Ichino (oils and fats data) est montré dans la Figure 4.4.
Si on utilise la Méthode des Sommets (voir section 4.1.3) pour calculer les composantes
principales on obtient les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et
le centre de gravité des composantes principales qui sont présentés dans le Tableau 4.4,
tandis que les corrélations symboliques sont présentées dans le Tableau 4.5.
Le cercle des corrélations symbolique obtenu avec la Méthode des Sommets est montré
dans la Figure 4.5. On obtient des résultats très semblables à ceux obtenus en employant
la Méthode des Centres, mais pas exactement les mêmes, parce que les composantes

La dualité dans la Méthode des Centres 98
Figure 4.3: Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des centres.
principales ne sont pas identiques.
4.1.2 La dualité dans la Méthode des Centres
[16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)] ont proposé la méthode des centres
pour étendre la méthode bien connue de l’analyse en composantes principales à un genre
particulier d’objets symboliques caractérisée par des variables multi–valuées de type intervalle.
L’idée de la méthode des centres est de transformer la matrice présentée à (4.1) en la
matrice suivante (4.6):

La dualité dans la Méthode des Centres 99
Figure 4.4: Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des centres.
⎛
X c =
⎜
⎝
x c 11 x c 12 · · · x c 1n
x c 21 x c 22 · · · x c 2n
.
. . .. .
x c m1 x c m2 · · · x c mn
⎞ ⎛
=
⎟ ⎜
⎠ ⎝
x 11 +x 11
2
x 21 +x 21
2
.
x m1 +x m1
2
x 12 +x 12
2
· · ·
x 22 +x 22
x 1n +x 1n
2
x 2n +x 2n
2
2
· · ·
.
. .. .
x m2 +x m2
2
· · ·
x mn+x mn
2
⎞
. (4.6)
⎟
⎠
Dans la méthode des centres on applique alors l’analyse en composantes principales standard
à la matrice (4.6). Pour appliquer cette ACP [17, Chouakria (1998)] utilise la matrice
de variance–covariance V c = (X c ) t X c et pour calculer les composantes principales de
type intervalle [y ik , y ik ] [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)] proposent les
équations (4.7) et (4.8).

La dualité dans la Méthode des Centres 100
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA −0.9332322 −0.2648751 −0.0893481 0.2256897
FRE 0.9045301 0.1666284 0.3507403 0.1761861
IOD −0.8571848 −0.0616307 0.5052051 −0.0787637
SAP 0.5353956 −0.8418808 0.0605469 −0.0303697
Table 4.4: Les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et le centre
de gravité des composantes principales pour la méthode des sommets.
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA [−0.999, −0.802] [−0.996, 0.284] [−0.516, 0.390] [−0.620, 0.916]
FRE [0.766, 0.973] [−0.489, 0.992] [−0.202, 0.743] [−0.789, 0.879]
IOD [−0.955, −0.694] [−0.979, 1.000] [−0.043, 0.843] [−0.822, 0.852]
SAP [−0.858, 0.871] [−0.994, 0.977] [−0.820, 0.927] [−0.970, 0.986]
Table 4.5: Les corrélations symbolique entre le centre de gravité des variables et le centre
de gravité des composantes principales pour la méthode des sommets.
y ik = ∑
j,u jk0
y ik = ∑ ( )
x ij − Xj
c u jk + ∑ ( )
xij − Xj
c ujk . (4.8)
j,u jk0
où X c j est la moyenne de la colonne j–ième de la matrice Xc , et u = (u 1k , u 2k , . . . , u nk )
est le k−ième vecteur propre de V c .
Néanmoins dans [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)], on utilise le cercle
des corrélations classique pour représenter les variables. La corrélation entre les vari-

La dualité dans la Méthode des Centres 101
Figure 4.5: Cercle des corrélations symbolique de “Oils and Fats data” avec la méthode
des sommets.
ables et les composantes principales ne sont pas symboliques, parce qu’ils calculent les
corrélations standard entre les centres de gravité des variables et les centres de gravité des
composantes principales.
Il est bien connu que dans la méthode standard d’analyse en composantes principales on
peut calculer la corrélation entre les variables et les composantes principales en utilisant
les relations de dualité à partir des coordonnées des individus dans le plan principal. On
peut également calculer les coordonnées des individus dans le plan principal en utilisant
des relations de dualité à partir de la corrélation entre les variables et les composantes
principales.
Dans cette section on propose une méthode pour calculer le cercle des corrélations symbolique
en utilisant des relations de dualité.

La dualité dans la Méthode des Centres 102
On va centrer et réduire la matrice X c afin de travailler avec des corrélations comme on
montre dans (4.9) où X c j et σc j sont la moyenne et l’écart–type de la colonne j–ième de la
matrice X c respectivement:
z ij = √ 1 x c ij − Xj
c . (4.9)
m σj
c
Alors on travaillera avec la matrice Z = (z ij ) i=1,2,...,m . Si on désigne par z j la colonne
j=1,2,...,n
j–ième de la matrice Z, on a que (z j ) t · z i = R(z j , z i ) ≤ 1, alors le centre de la variable
hypercube est toujours à l’intérieur du cercle de rayon 1. On illustre cela dans la Figure
4.6. On désigne par z c ij = 1 √ m
x ij −X c j
σ c j
et z c ij = √ 1 x ij −Xj
c
m
.
σj
c
Figure 4.6: Projection des variables hypercubes.
La matrice d’inertie ZZ t étant symétrique, ses vecteurs propres sont orthonormaux et ses
valeurs propres sont toutes positives. On désigne par v 1 , v 2 , . . . , v q les q vecteurs propres
de ZZ t associés aux valeurs propres λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ q > 0. On désigne aussi par
V = [v 1 |v 2 | · · · |v q ] la matrice de la taille m × q qui a comme colonne les vecteurs propres

La dualité dans la Méthode des Centres 103
de ZZ t . Il est bien connu qu’on peut calculer les coordonnées des variables en cercle
des corrélations par Z t V , alors on peut calculer la coordonnée de l’i–ième colonne de X c
(center point–variable) sur la j–ième composante principale (dans la direction de v j ) par
l’équation (4.10):
r ij =
m∑
z ki v kj . (4.10)
k=1
Comme Z est la matrice X centrée et réduite le núméro r ij représente aussi la corrélation
entre le centre de gravité de la variable de type intervalle X i et la j–ième composante
principal.
Theorem 5 Si on projette la variable hypercube définie par le i–ième colonne de Z sur
la j–ième composante principale (dans la direction de v i ), alors on a que les valeurs
maximum et minimum sont données respectivement par les équations (4.11) et (4.12):
m∑
m∑
r ij = z c kiv kj + z c kiv kj , (4.11)
k=1,v kj 0
m∑
m∑
r ij = z c kiv kj + z c kiv kj . (4.12)
k=1,v kj 0
Démonstration: Pour prouver cela, soit ẑ j = (ẑ 1j , ẑ 2j , . . . , ẑ mj ) ∈ Z j H
(le hyper–rectangle
défini par j-ième colonne de Z) alors ẑ ij ∈ [z c ij, z c ij] pour tout i = 1, 2, . . . , m et j =
1, 2, . . . , q. On désigne par pẑ ij la projection de ẑ j sur l’axe factoriel avec la direction v i ,
puisque ẑ ij ∈ [z c ij, z c ij] on a (4.13) et (4.14):
z c kiv kj ≤ ẑ ki v kj ≤ z c kiv kj si v kj ≥ 0, (4.13)

La dualité dans la Méthode des Centres 104
z c kiv kj ≥ ẑ ki v kj ≥ z c kiv kj si v kj ≤ 0. (4.14)
m∑
Par définition pẑ ij = ẑ ki v kj alors:
k=1
m∑
pẑ ij = ẑ ki v kj =
k=1
m∑
m∑
ẑ ki v kj + ẑ ki v kj .
k=1,v kj>0 k=1,v kj

La dualité dans la Méthode des Centres 105
Il y a quelques relations très bien connues de dualité entre les vecteurs propres de ZZ t
et Z t Z. On sait que les deux matrices ont les mêmes q valeurs propres strictement positifs
λ 1 , λ 2 , . . . , λ q et si on désigne par u 1 , u 2 , . . . , u q les q premiers vecteurs propres de
Z t Z, puis les relations entre les vecteurs propres de ZZ t et Z t Z sont montrées dans les
équations (4.17) et (4.18):
u l = Zt v
√ l
pour l = 1, 2, . . . , q. (4.17)
λl
v l = Zu l
√ pour l = 1, 2, . . . , q. (4.18)
λl
Avec ces idées nous proposons deux algorithmes, pour appliquer une analyse en composantes
principales, lesquels généralisent l’algorithme proposé dans [16, Cazes, Chouakria,
Diday and Schektman (1997)] afin de produire un cercle de corrélation symbolique. Nous
proposons également un 3–ième algorithme pour améliorer la période de l’exécution en
considérant quelle matrice est la plus petite en dimension entre ZZ t et Z t Z.
ALGORITHME 4.2: ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES AVEC
ZZ t
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.
• n =nombre de variables symboliques.
• Le tableau de données symbolique
⎛ [ ] [ ] [ ]
x11 , x 11 x12 , x 12 · · · x1n , x 1n [ ] [ ] [ ]
x21 , x
X =
21 x22 , x 22 · · · x2n , x 2n .
⎜ .
. .. .
⎝
[ ] [ ] [ ]
xm1 , x m1 xm2 , x m2 · · · xmn , x mn
⎞
.
⎟
⎠

La dualité dans la Méthode des Centres 106
Sortie :
• La corrélation symbolique entre les variables et les composantes principales
dans la matrice suivante:
⎛ [
R(X 1 , Y 1 ), R(X 1 , Y 1 ) ] [
· · · R(X 1 , Y n ), R(X 1 , Y n ) ] ⎞
R =
.
⎜
.
.. .
⎟
⎝
[
R(X n , Y 1 ), R(X n , Y 1 ) ] [
· · · R(X n , Y n ), R(X n , Y n ) ] ⎠ .
• La matrice symbolique avec les premières q composantes principales:
⎛
Y =
⎜
⎝
[ ] [ ]
] ⎞
y11 , y 11 y12 , y 12 · · ·
[y 1q , y 1q
[ ] [ ]
]
y21 , y 21 y22 , y 22 · · ·
[y 2q , y 2q .
. . .. .
. ⎟
[ ] [ ] ] ⎠
ym1 , y m1 ym2 , y m2 · · ·
[y mq , y mq
Etape 1: Calculer la matrice X c = (x c ij) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 2: Calculer la matrice Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 3: Calculer la matrice Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 4: Calculer la matrice H = ZZ t .
par:
x c ij = x ij + x ij
.
2
par:
z ij = √ 1 x c ij − Xj
c .
m σj
c
z ij = √ 1 x ij − Xj
c ,
m σj
c
z ij = √ 1 x ij − Xj
c .
m σj
c
et Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
par:

La dualité dans la Méthode des Centres 107
Etape 5: Calculer les q premiers vecteurs propres v 1 , v 2 , . . . , v q de H et les valeurs propres
associées λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ q > 0.
Etape 6: Pour i = 1, 2, . . . , n
Etape 6.1: Pour j = 1, , 2, . . . , q calculer
⎡
R(X i , Y j ) = max ⎣
m∑
m∑
z ki v kj +
⎤
z ki v kj , −1⎦ .
Etape 7: Pour i = 1, 2, . . . , n
k=1,v kj 0
⎡
⎤
R(X i , Y j ) = min ⎣
m∑
m∑
z ki v kj + z ki v kj , 1⎦ .
k=1,v kj 0
Etape 7.1: Pour j = 1, 2, . . . , q calculer
(
u ij = √ 1
m
)
∑
z ki v kj .
λj
Etape 8: Pour i = 1, 2, . . . , m
k=1
Etape 8.1: Pour j = 1, 2, . . . , q calculer
n∑
n∑
y ij = z ik u kj + z ik u kj
k=1,u kj0
n∑
n∑
y ij = z ik u kj + z ik u kj
k=1,u kj0
Etape 9: FIN de l’algorithme.
Example 32 Pour illustrer le cercle des corrélations symbolique avec dualité on emploie
encore les données d’Ichino (“oils and fats”) qu’on a présentées dans le Tableau 5.1. Les
corrélations symboliques qu’on a obtenues en utilisant l’algorithme 4.2 sont présentées

La dualité dans la Méthode des Centres 108
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA [0.827, 1.000] [−0.443, −0.265] [−0.038, 0.087] [−0.238, −0.084]
FRE [−1.000, −0.760] [0.044, 0.372] [−0.428, −0.220] [−0.288, 0.019]
IOD [0.726, 1.000] [−0.124, 0.191] [−0.565, −0.401] [−0.024, 0.161]
SAP [−1.000, 0.190] [−1.000, 0.371] [−0.442, 0.163] [−0.231, 0.325]
Table 4.6: Corrélations symboliques entre les variables et les composants principales avec
la méthode des centres en employant l’algorithme 4.2.
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA 0.9210665 −0.3537703 0.0246894 −0.1608524
FRE −0.9130654 0.2080771 −0.3238118 −0.1347643
IOD 0.8724116 0.0337627 −0.4827661 0.0685206
SAP −0.7354523 −0.6613331 −0.1397354 0.0471425
Table 4.7: Corrélations classiques entre les variables et les composants principales avec
la méthode des centres.
dans le Tableau 4.6 et les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables
et le centre de gravité des composantes principales (pour la méthode de centres) sont
présentées dans le Tableau 4.7. On peut noter qu’avec cette méthode on a également
que les corrélations classiques sont toujours contenues dans l’intervalle qui représente la
corrélation symbolique.
Le cercle des corrélations symbolique des données “oils and fats” obtenu par dualité avec
la méthode des centres est montré dans la Figure 4.7. Il est important de noter qu’il y avait
une rotation par rapport au cercle représenté sur la Figure 4.4. Le plan principal obtenu

La dualité dans la Méthode des Centres 109
PC1 PC2 PC3 PC4
L [1.275, 4.733] [−1.353, 4.428] [−1.025, 1.289] [−0.989, 0.989]
P [1.059, 1.701] [−1.128, −0.343] [−1.508, −1.046] [−0.134, 0.334]
Co [−0.236, 0.399] [−0.969, −0.213] [−0.170, 0.368] [−0.246, 0.204]
S [0.154, 0.658] [−0.745, −0.179] [−0.027, 0.342] [−0.369, 0.028]
Ca [0.151, 0.613] [−0.881, −0.437] [0.807, 1.204] [0.113, 0.538]
O [−0.594, 0.100] [−0.775, 0.043] [0.019, 0.545] [−0.645, −0.101]
B [−3.046, −2.226] [0.234, 1.162] [−0.392, 0.152] [−0.530, 0.193]
H [−2.900, −1.841] [0.020, 1.135] [−0.729, 0.171] [−0.105, 0.720]
Table 4.8: Composantes principales avec la méthode des centres duale.
par la méthode duale des centres associée à ce cercle des corrélations est présenté dans la
Figure 4.8 et les composantes principales sont présentées dans le Tableau 4.8.
Le prochain algorithme généralise celui proposé dans [16, Cazes, Chouakria, Diday and
Schektman (1997)]. Il fonctionne avec la même matrice de
variance–covariance que [17, Chouakria (1998)], mais nous présentons quelques étapes
pour calculer la corrélation symbolique en utilisant des relations de dualité afin de tracer
le cercle des corrélations symbolique.
ALGORITHME 4.3: ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES AVEC
Z t Z.
Entrée :

La dualité dans la Méthode des Centres 110
Figure 4.7: Le cercle des corrélations symbolique avec le algorithme 4.2.
Figure 4.8: Le plan principal symbolique avec la méthode des centres dual.

La dualité dans la Méthode des Centres 111
• m =nombre d’objets symboliques.
• n =nombre variables symboliques.
• Le tableau des données symboliques
⎛ [ ] [ ] [ ]
x11 , x 11 x12 , x 12 · · · x1n , x 1n [ ] [ ] [ ]
x21 , x
X =
21 x22 , x 22 · · · x2n , x 2n ⎜ .
.
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
xm1 , x m1 xm2 , x m2 · · · xmn , x mn
⎞
.
⎟
⎠
Sortie :
• La corrélation symbolique entre les variables et les composantes principales
dans la matrice suivante:
⎛ [
R(X 1 , Y 1 ), R(X 1 , Y 1 ) ] [
· · · R(X 1 , Y n ), R(X 1 , Y n ) ] ⎞
R =
.
⎜
.
.. .
⎟
⎝
[
R(X n , Y 1 ), R(X n , Y 1 ) ] [
· · · R(X n , Y n ), R(X n , Y n ) ] ⎠ .
• La matrice symbolique avec les q premiers composantes principales:
⎛ [ ] [ ]
] ⎞
y11 , y 11 y12 , y 12 · · ·
[y 1q , y 1q [ ] [ ]
]
y21 , y
Y =
21 y22 , y 22 · · ·
[y 2q , y 2q ⎜
.
. . .. .
. ⎟
⎝
[ ] [ ] ] ⎠
ym1 , y m1 ym2 , y m2 · · ·
[y mq , y mq
Etape 1: Calculer la matrice X c = (x c ij) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 2: Calculer la matrice Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
par:
x c ij = x ij + x ij
.
2
par:
z ij = √ 1 x c ij − Xj
c .
m σj
c

La dualité dans la Méthode des Centres 112
Etape 3: Calculer la matrice Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 4: Calculer la matrice R = Z t Z.
z ij = √ 1 x ij − Xj
c ,
m σj
c
z ij = √ 1 x ij − Xj
c .
m σj
c
et Z = (z ij ) i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
Etape 5: Calculer les q premiers vecteurs propres u 1 , u 2 , . . . , u q de R et les valeurs propres
associées λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ q > 0.
Etape 6: Pour i = 1, 2, . . . , m
Etape 6.1: Pour j = 1, 2, . . . , q calculer
n∑
y ij = z ik u kj +
k=1,u kj0
z ik u kj
( n∑
)
v ij = √ 1 z ik u kj .
λj
k=1
par:
Etape 8: Pour i = 1, 2, . . . , n
Etape 8.1: Pour j = 1, 2, . . . , q calculer
⎡
R(X i , Y j ) = max ⎣
m∑
m∑
z ki v kj +
⎤
z ki v kj , −1⎦ .
⎡
R(X i , Y j ) = min ⎣
k=1,v kj 0
m∑
m∑
z ki v kj +
k=1,v kj 0
⎤
z ki v kj , 1⎦ .

La dualité dans la Méthode des Centres 113
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA [−1.000, −0.827] [−0.443, −0.265] [−0.038, 0.087] [−0.238, −0.084]
FRE [0.760, 1.000] [0.044, 0.372] [−0.428, −0.220] [−0.288, 0.019]
IOD [−1.000, −0.726] [−0.124, 0.191] [−0.565, −0.401] [−0.024, 0.161]
SAP [−0.190, 1.000] [−1.000, 0.371] [−0.442, 0.163] [−0.231, 0.325]
Table 4.9: Corrélations symboliques entre les variables et les composantes principales
avec la méthode des centres duale.
Etape 9: FIN de l’algorithme.
Example 33 Pour illustrer le cercle des corrélations symbolique dual avec Z t Z on emploie
les données d’Ichino (“oils and fats”) qu’on a présenté dans le Tableau 5.1. Les
corrélations symboliques que nous avons obtenues en utilisant l’algorithme 4.3 sont présentées
dans le Tableau 4.9 et les corrélations classiques entre le centre de gravité des variables et
le centre de gravité des composantes principales ont été présentées dans le Tableau 4.2 de
la section précédente.
Le cercle des corrélations symbolique avec les données d’Ichino (“oils and fats”) obtenu
avec les données du Tableau 4.9 est montré dans la Figure 4.9. Le plan principal correspondant
à ce cercle de corrélation est présenté dans la Figure 4.10.
La taille de la matrice ZZ t est m × m tandis que la taille de Z t Z est n × n, parfois ZZ t
est très grand et Z t Z est très petit, dans ce cas–ci il est mieux d’employer l’algorithme
4.3 que l’algorithme 4.2, ou inversement il peut arriver que Z t Z est très grand et ZZ t
est très petit, dans ce cas l’algorithme 4.2 est donc plus rapide que l’algorithme 4.3. Par
conséquent, en considérant si m ≤ n ou pas, nous proposons l’algorithme 4.4.

La dualité dans la Méthode des Centres 114
Figure 4.9:
commençant par Z t Z.
Le cercle des corrélations symbolique avec la méthode des centres
ALGORITHME 4.4: ALGORITHME OPTIMAL POUR L’ANALYSE EN COM-
POSANTES PRINCIPALES.
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.
• n =nombre de variables symboliques.
• Le tableau des données symboliques
⎛ [ ] [ ] [ ]
x11 , x 11 x12 , x 12 · · · x1n , x 1n [ ] [ ] [ ]
x21 , x
X =
21 x22 , x 22 · · · x2n , x 2n ⎜ .
.
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
xm1 , x m1 xm2 , x m2 · · · xmn , x mn
⎞
.
⎟
⎠

La dualité dans la Méthode des Centres 115
Figure 4.10: Plan principal symbolique avec la méthode des centres commençant par
Z t Z.
Sortie :
• La corrélation symbolique entre les variables et les composantes principales
dans la matrice suivante:
⎛ [
R(X 1 , Y 1 ), R(X 1 , Y 1 ) ] [
· · · R(X 1 , Y n ), R(X 1 , Y n ) ] ⎞
R =
.
⎜
.
.. .
⎟
⎝
[
R(X n , Y 1 ), R(X n , Y 1 ) ] [
· · · R(X n , Y n ), R(X n , Y n ) ] ⎠ .
• La matrice symbolique avec les premières q composantes principales:
⎛ [ ] [ ]
] ⎞
y11 , y 11 y12 , y 12 · · ·
[y 1q , y 1q [ ] [ ]
]
y21 , y
Y =
21 y22 , y 22 · · ·
[y 2q , y 2q ⎜
.
. . .. .
. ⎟
⎝
[ ] [ ] ] ⎠
ym1 , y m1 ym2 , y m2 · · ·
[y mq , y mq
Etape 1: Si m ≤ n alors on applique l’algorithme 4.2 autrement on applique l’algorithme
4.3.

La dualité dans la Méthode des Sommets 116
Etape 2: FIN de l’algorithme.
Theorem 6 L’Analyse en Composantes Principales classique est un cas particulier de la
méthode des centres proposée dans l’algorithme 4.4.
Démostration: Supposons sans perte de généralité que l’algorithme 4.4 exécute l’algorithme
]
4.2. Si tous les intervalles
[x ij , x ij sont triviaux, c’est–à–dire x ij = x ij = x ij , alors on
a dans l’étape 2 que x c ij = x ij et dans l’étape 3 on a z ij = z ij donc à la étape 4 la matrice
H = ZZ t est la matrice des corrélations classique. On a ainsi que z ki v kj
m∑
+
m∑
m∑
m∑
m∑
z ki v kj = z ki v kj ≥ −1 et z ki v kj +
z ki v kj =
k=1,v kj 0
k=1
k=1,v kj 0
k=1
m∑
z ki v kj ≤ 1,
alors à l’étape 6.1 de l’algorithme 4.2 on a R(X i , Y j ) = R(X i , Y j ) = R(X i , Y j )
(corrélation classique), et donc le cercle des corrélations symboliques sera le cercle des
corrélations classique. D’une manière semblable on peut montrer que le plan principal
symbolique sera le plan principal classique.
4.1.3 La dualité dans la Méthode des Sommets
Il est impossible de généraliser l’algorithme de la méthode des sommets proposé dans
[16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)] en utilisant la relation de dualité
pour calculer le cercle des corrélations parce qu’on peut projeter le centre de gravité
des variables mais on ne peut pas projeter l’hypercube défini par les variables. Pour
projeter le centre de gravité des variables on doit calculer les vecteurs propres de ZZ t
en utilisant la relation v l
= Zu l √ λl
, ce qui est possible parce que la taille de Z est (m ·
2 n ) × n et la taille de u l est n × n puis la taille de la matrice V = [v 1 |v 2 | · · · |v q ] est
(m · 2 n ) × q, ainsi il est possible d’obtenir les coordonnées des variables calculant Z t V .
Mais, pour calculer la projection symbolique des variables comme des rectangles, on doit

La dualité dans la Méthode des Sommets 117
m∑
m∑
m∑
calculer R(X i , Y j ) = z ki v kj + z ki v kj et R(X i , Y j ) = z ki v kj +
m∑
k=1,v kj >0
k=1,v kj 0
k=1,v kj

La dualité dans la Méthode des Sommets 118
⎛
R = ⎜
⎝
[
R(X 1 , Y 1 ), R(X 1 , Y 1 ) ] [
· · · R(X 1 , Y n ), R(X 1 , Y n ) ] ⎞
.
.
.. .
⎟
[
R(X n , Y 1 ), R(X n , Y 1 ) ] [
· · · R(X n , Y n ), R(X n , Y n ) ] ⎠ .
Etape 1: On calcule la matrice N taille m × (n · 2 m ), et on désigne C X j l’ensemble des
numéros de colonne associé à la variable X j dans la matrice N.
⎛ ⎡
N = (N 1 , . . . , N n ) =
⎜ ⎢
⎝ ⎣
⎤
x 11 · · · x 11
x 21 · · · x 21
.
. .. · · ·
. ⎥
⎦
x m1 · · · x m1
⎡
⎢
⎣
⎤ ⎞
x 1n · · · x 1n
x 2n · · · x 2n
. . . . . ⎥ ⎟
⎦ ⎠
x mn · · · x mn
Etape 2: On désigne par X j N la moyenne de la j–column de N et par σj N
l’écart type de
la j–column de N, alors on calcule la matrice Z = (z ij )
Etape 3: On calcule H = ZZ t .
z ij = √ 1 n ij − X j N
m σ j .
N
i=1,2,...,m :
j=1,2,...,m×n·2 m
Etape 4: On calcule les q premières vecteurs propres v 1 , v 2 , . . . , v q de H et les valeurs
propres correspondants λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ q > 0.
Etape 5: Pour i = 1, 2, . . . , m
Etape 5.1: Pour j = 1, 2, . . . , q on calcule
Etape 6: FIN de l’algorithme.
R(X i , Y j ) = min
k∈C X j
R(X i , Y j ) = max
k∈C X j
(r ik )
(r ik ).

Paramètres symboliques d’interprétation 119
PC1 PC2 PC3 PC4
GRA [−0.928, −0.972] [−0.314, −0.180] [−0.014, −0.139] [0.019, 0.190]
FRE [0.956, 0.862] [0.057, 0.368] [−0.173, −0.352] [−0.027, 0.296]
IOD [−0.802, −0.917] [0.211, 0.476] [−0.218, −0.465] [−0.139, 0.067]
SAP [0.708, −0.772] [−0.726, 0.815] [0.690, −0.563] [−0.789, 0.788]
Table 4.10: Corrélations symboliques entre les variables et les composantes principales
avec la méthode des sommets.
Example 34 En employant les données d’Ichino (“oils and fats”) qu’on a présentées dans
le Tableau 5.1 et l’algorithme 4.5, on a obtenu les corrélations symboliques présentées
dans le Tableau 4.10.
Le cercle des corrélations symbolique avec les données d’Ichino (“oils and fats”) obtenu
en employant des données du Tableau 4.10 est montré dans la Figure 4.11.
4.1.4 Les aides symboliques à l’interprétation
[16, Cazes, Chouakria, Diday and Schektman (1997)] proposent des paramètres classiques
d’interprétation pour la méthode des sommets. Dans cette section nous proposons
des paramètres classiques d’interprétation pour la méthode des centres et également nous
proposons des paramètres symboliques d’interprétation pour les deux méthodes qui considèrent
la variabilité ou l’inexactitude de la entrée.
Pour mesurer la qualité de représentation de l’objet S i selon le j–ième axe factoriel [16,
Cazes, Chouakria, Diday and Schektman (1997)] ont proposé l’indice (4.19):

Paramètres symboliques d’interprétation 120
COR(S i , u j ) =
∑
k∈L Si
y 2 kj
∑
k∈L Si
d 2 (k, G) =
∑
k∈L Si
y 2 kj
n∑
∑
x 2 kp
p=1 k∈L Si
. (4.19)
Figure 4.11: Cercle des corrélations symbolique avec la méthode des sommets.
Pour la méthode des centres, on propose l’indice (4.20) pour mesurer la qualité de représentation
de l’objet S i selon le j–ième axe factoriel:
COR(S i , u j ) =
(
y
c
ij
) 2
. (4.20)
n∑ ( )
x
c 2
ij
Ces deux indices (4.19) et (4.20) calculent le cosinus de l’angle entre un vecteur représentant
l’objet S i et la composante principale avec la direction u j . Mais S i est représenté dans
l’espace factoriel comme un hypercube alors on peut avoir une meilleure idée de la qualité
j=1

Paramètres symboliques d’interprétation 121
✻
cos(α) = cor(S i , Y j )
cos(β) = cor(S i , Y j )
★ ★★
★ ★★
✑
✓✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥
✑✑ ✑ ✑✑
✓✓✓✓✓✓ α
β
✠
S i
✲ y j
Figure 4.12: La qualité symbolique de S i selon le j–ième axe factoriel.
de représentation de l’objet S i selon le j–ième axe factoriel si on calcule la valeur minimum
et maximum du cosinus de l’angle entre l’objet S i (hypercube) et la composante
principale dans la direction u j . Dans ce but on propose l’algorithme 4.6. L’idée de
l’algorithme est de calculer le cosinus de l’angle entre tous les sommets de l’hypercube S i
et l’axe factoriel et on choisit le minimum et le maximum. On illustre ceci dans la Figure
4.12. L’algorithme vérifie également si l’hypercube contient l’origine ou si l’hypercube
coupe l’axe, parce que dans ces deux cas le cosinus de l’angle devrait être 1.
ALGORITHME 4.6: LA QUALITE SYMBOLIQUE DE S i SELON L’AXE
FACTORIEL
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.
• n =nombre de variables symboliques.

Paramètres symboliques d’interprétation 122
• Le tableau des données symboliques
⎛ [ ] [ ] [ ]
x11 , x 11 x12 , x 12 · · · x1n , x 1n [ ] [ ] [ ]
x21 , x
X =
21 x22 , x 22 · · · x2n , x 2n ⎜ .
.
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
xm1 , x m1 xm2 , x m2 · · · xmn , x mn
⎞
.
⎟
⎠
• La matrice des composantes principales symboliques:
⎛ [ ] [ ] [ ]
y11 , y 11 y12 , y 12 · · · y1n , y 1n [ ] [ ] [ ]
y21 , y
Y =
21 y22 , y 22 · · · y2n , y 2n ⎜ . .
.. . .
⎝
[ ] [ ] [ ]
ym1 , y m1 ym2 , y m2 · · · ymn , y mn
⎞
.
⎟
⎠
Sortie : Les cosinus symbolique entre les variables et les composantes principales dans
la matrice suivante:
⎛
⎞
[cor(S 1 , u 1 ), cor(S 1 , u 1 )] · · · [cor(S 1 , u n ), cor(S 1 , u n )]
COR =
.
⎜
.
.. .
⎟
⎝
⎠ .
[cor(S m , u 1 ), cor(S m , u 1 )] · · · [cor(S m , u n ), cor(S m , u n )]
Etape 1: total= m · 2 m , i = 1, j = 1.
Etape 2: Pendant que i ≤ n
Etape 2.1: Pendant que j ≤ m
Etape 2.1.1: Si → 0∈Y
◦ j
H alors 2
Etape 2.1.1.1: cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.1.2: cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.2: Autrement
2 Où → 0 note le vecteur zéro dans R m et ◦ A note l’ensemble de points intérieurs de A.

Paramètres symboliques d’interprétation 123
Etape 2.1.2.1 cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.2.2 cor(S i , u j ) = 0.
Etape 2.1.3: Si S i ∩axis j ≠ ∅
Etape 2.1.3.1 cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.3.2 cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.4: Autrement
Etape 2.1.4.1 cor(S i , u j ) = 1.
Etape 2.1.4.2 cor(S i , u j ) = 0.
Etape 2.1.5: s = 1
Etape 2.1.6: Pendant que s ≤ total
Etape 2.1.6.1: x = s−ième sommet de S i
Etape 2.1.6.2: cor= (x j)
n∑
2
k=1
(x k ) 2
Etape 2.1.6.3: Si cor< cor(S i , u j )
⋄ cor(S i , Y j ) =cor
Etape 2.1.6.4: Si cor> cor(S i , u j )
⋄ cor(S i , Y j ) =cor
Sortie: La matrice COR= (cor(S i , u j ), cor(S i , u j )), i = 1, 2, . . . , m et j = 1, 2, . . . , n.
Pour mesurer la contribution de S i à l’inertie λ j du j–ième axe factoriel [16, Cazes,
Chouakria, Diday and Schektman (1997)] proposent la formule (4.21) pour la méthode
des sommets:
CTR(S i , u j ) = 1
m2 n λ j
∑
On propose la formule (4.22) pour la méthode des centres:
k∈L Si
y 2 kj. (4.21)

Le logiciel pour l’analyse en composantes principales symbolique 124
CTR(S i , u j ) =
(
y
c
ij
) 2
mλ j
. (4.22)
Dans le cas symbolique on propose un indice dans lequel on calcule la contribution de tous
les sommets S i à l’inertie λ j du j–ième axe factoriel. On calcule ensuite la contribution
minimum et maximum. Cela est présenté dans l’algorithme 4.7.
Pour mesurer la contribution de S i à l’inertie totale [16, Cazes, Chouakria, Diday and
Schektman (1997)] proposent l’indice (4.23) pour la méthode des sommets:
INR(S i ) = 1
m2 n
∑
k∈L Si
d 2 (k, G)
n∑
j=1
λ j
= 1
m2 n
n∑
p=1
∑
(x kp ) 2
k∈L Si
. (4.23)
n∑
λ j
Pour la méthode des centres on propose la formule (4.24) qui mesure la contribution de
S i à l’inertie total:
INR(S i ) = 1 m
n∑ ( )
x
c 2
ij
j=1
j=1
. (4.24)
n∑
λ j
j=1
4.1.5 Le logiciel pour l’analyse en composantes principales symbolique
Nous avons mis en application un programme en C++ pour l’analyse en composantes principales
pour des données de type intervalle. Ce programme est un module de
PIMAD-Symbolique (voir annexe 1) et possede les caractéristiques suivantes:
1. Il trace le plan principal symbolique avec les deux méthodes: la méthode des sommets
et la méthode des centres.

Le logiciel pour l’analyse en composantes principales symbolique 125
2. Il trace le cercle des corrélations symbolique en utilisant trois algorithmes différents,
ceci est une option de l’utilisateur (consultez l’annexe 1).
3. Il calcule les paramètres classiques d’interprétation mais également les paramètres
symboliques d’interprétation.
4. L’algorithme mis en application dans le programme d’analyse en composantes principales
symbolique est vraiment une généralisation de l’analyse classique en composantes
principales parce que s’il s’applique sur un tableau classique de données,
alors il produit automatiquement des résultats classiques.
5. Par défaut le programme fonctionne avec l’algorithme 4.4 qui est optimal en temps.
6. On peut exécuter le programme étape à étape de l’algorithme, en enregistrant les
résultats intermédiaires dans un fichier, comme la matrice de corrélation, les valeurs
propres, les vecteurs propres, etc. (consultez l’annexe 1).
L’utilisateur peut choisir la méthode que le programme emploiera dans le menu Options.
Si l’utilisateur choisit l’option Choose-Method le programme SPCA présente la boîte
de dialogue présentée dans la Figure A.5. Dans cette boîte de dialogue l’utilisateur peut
choisir la méthode et choisir alors l’algorithme pour établir le cercle des corrélations. Si
l’utilisateur choisit les options Center et Dual le programme emploie l’algorithme 4.4;
si l’utilisateur choisit les options Tops et Dual le programme emploie les algorithmes
4.5 et si l’utilisateur choisit les options Tops et Definition le programme emploie
l’algorithme 4.1.

L’ACP avec données de type histogramme 126
4.2 Généralisation de l’analyse en composantes principales
aux données de type histogramme
4.2.1 L’algorithme
Dans cette section nous proposons un algorithme pour appliquer l’analyse de composantes
principales quand les variables sont de type histogramme. Cet algorithme fonctionne
également si le tableau de données a des variables de type intervalle et de type histogramme.
Si toutes les variables sont de type intervalle, il produit le même résultat
que celui produit par l’algorithme de la méthode des centres proposée dans [16, Cazes,
Chouakria, Diday et Schektman (1997)].
Dans cet algorithme on utilise l’idée proposée dans [38, Diday (1998)] qui consiste à
représenter chaque histogramme–individu par une suite de k intervalle–individus (le premier
inclus dans le second, le second inclus dans le troisième et ainsi de suite) où k est le
nombre maximum des modalités prises par une certaine variable dans le tableau symbolique
de données.
Nous ne représentons pas vraiment dans le plan factoriel les histogrammes, nous allons
représenter la Fonction de Distribution Empirique F Y définie dans [7, Bock and Diday
(2000)] associée à chaque histogramme. En d’autres termes, si nous avons une variable
de type histogramme Y sur un ensemble E = {a 1 , a 2 , . . .} d’objets avec le domaine Y
représenté par la fonction Y (a) = (U(a), π a ), pour a ∈ E, où π a est la distribution de
fréquence, alors nous utiliserons dans l’algorithme la fonction F (x) =
∑
π i au lieu
de l’histogramme.
i / π i ≤x
Definition 37 Soit X = (x ij ) i=1,2,...,m un tableau de données symbolique avec variables
j=1,2,...,n
de type continu, intervalle et histogramme, et soit k = max{s, où s est le nombre de

L’ACP avec données de type histogramme 127
modalités de Y j , j = 1, 2, . . . , n} quand Y j est de type histogramme 3 . On définit le
vecteur–colonne des intervalles associés à chaque élément de X de la façon suivante:
1. Si x ij = [a, b], le vecteur–colonne des intervalles associés est:
⎡ ⎤
[a, b]
x ↓ ij = [a, b]
.
⎢ . ⎥
⎣ ⎦
[a, b]
2. Si x ij = (1(p 1 ), 2(p 2 ), . . . , s(p s )) avec s ≤ k (histogramme), le vecteur–colonne
k×1
des intervalles associés est:
⎡
⎤
[0, p 1 ]
[0, p
x ↓ ij = 1 + p 2 ]
.
[ ]
⎢
⎣
s∑ ⎥
⎦
0, p w
w=1
k×1
3. Si x ij = a, le vecteur–colonne des intervalles associés est:
⎡ ⎤
[a, a]
x ↓ ij = [a, a]
.
⎢ . ⎥
⎣ ⎦
[a, a]
Definition 38 Soit X = (x ij ) i=1,2,...,m un tableau de données symbolique avec variables
j=1,2,...,n
de type continu, intervalle et histogramme. On définit la matrice X ↓ = (x ↓ ij ) pour i =
1, 2, . . . , m et j = 1, 2, . . . , n. Il est important de noter que X ↓ a m · k lignes 4 et n
colonnes.
k×1
3 Si toutes la variable Y j est de type intervalle ou de type continu alors s = 1.
4 k comme dans la définition précédente.
.

L’ACP avec données de type histogramme 128
⎡
Example 35 Si X = ⎣
[1, 3] (1(0.2), 2(0.3), 3(0.5))
[7, 9] (1(0.8), 2(0.1), 3(0.1))
⎤
⎦ alors
⎡
X ↓ =
⎢
⎣
[1, 3] [0.0000, 0.2000]
[1, 3] [0.0000, 0.5000]
[1, 3] [0.0000, 1.0000]
[7, 9] [0.0000, 0.8000]
[7, 9] [0.0000, 0.9000]
[7, 9] [0.0000, 1.0000]
⎤
.
⎥
⎦
L’idée est d’appliquer l’algorithme 4.4 à la matrice X ↓ . Avec cette analyse en composantes
principales on peut trouver la “forme” de l’individu–histogramme dans le plan
principal, mais il y a un problème parce que tous les individus–histogramme seront projetés
presque à la même position autour de l’origine. Alors on doit appliquer une autre
analyse en composantes principales afin de trouver une bonne structure du groupe pour
les individu–histogramme, c’est pourquoi on appliquera une analyse classique en composantes
principales à la matrice présentée dans les définitions qui suivent.
Definition 39 Soit X = (x ij ) i=1,2,...,m un tableau de données symbolique avec variables
j=1,2,...,n
de type continu, intervalle et histogramme. On définit le vecteur–ligne associé à chaque
élément de X de la façon suivante:
1. Si x ij = [a, b] alors le vecteur–ligne associé est:
[ ] a + b
x → ij =
2
.
1×1
2. Si x ij = (1(p 1 ), 2(p 2 ), . . . , s(p s )) où s est le nombre de modalités de la j–ième
variable, alors le vecteur–ligne associé est:
x → ij = [p 1 , p 2 , . . . , p s ] 1×s
.

L’ACP avec données de type histogramme 129
3. Si x ij = a alors le vecteur–ligne associé est:
x → ij = [a] 1×1
.
Definition 40 Soit X = (x ij ) i=1,2,...,m un tableau de données symbolique avec variables
j=1,2,...,n
de type continu, intervalle et histogramme. On définit la matrice X → = (x → ij ) de m lignes
n∑
et p = s j colonnes, où
j=1
⎧
⎪⎨
s j =
⎪⎩
nombre de modalités Si la variable j est de type histogramme,
1 Si la variable j est de type intervalle,
1 Si la variable j est de type continu.
⎡
Example 36 Si X = ⎣
[1, 3] (1(0.2), 2(0.3), 3(0.5))
[7, 9] (1(0.8), 2(0.1), 3(0.1))
⎤
⎦ alors
⎡
X → = ⎣
2 0.2 0.3 0.5
8 0.8 0.1 0.1
⎤
⎦ .
L’idée du prochain algorithme est d’appliquer une analyse en composantes principales à
la matrice X ↓ pour trouver la forme de l’individu–histogramme. On applique alors une
autre analyse en composantes principales à la matrice X → , et avec ces composantes principales
obtenues, on déplacera l’individu–histogramme pour trouver une bonne structure
du groupe dans le plan principal.
ALGORITHME 4.7: ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES POUR
VARIABLES DE TYPE HISTOGRAMME
Entrée :
• m =nombre d’objets symboliques.

L’ACP avec données de type histogramme 130
• n =nombre de variables symboliques.
• Le tableau des données symboliques
⎛
⎞
x 11 x 12 · · · x 1n
x
X =
21 x 22 · · · x 2n
.
⎜ . . .. .
. ⎟
⎝
⎠
x m1 x m2 · · · x mn
Sortie :
• La matrice symbolique avec les q premières composantes principales:
⎛
⎞
y ↓ 11 y ↓ 12 · · · y ↓ 1q
y ↓
Y =
21 y ↓ 22 · · · y ↓ 2q
.
⎜ . . .. ,
. ⎟
⎝
⎠
y ↓ m1 y ↓ m2 · · · ymq
↓
où (k comme dans la définition 37):
⎡
y ↓ ij = ⎢
⎣
[ ]
yij, 1 yij
1
[ ]
yij, 2 yij
2
.
[
yij, k yij
k
]
⎤
.
⎥
⎦
Etape 1: Calculer la matrice X ↓ de la définition 38.
Etape 2: Appliquer l’algorithme 4.4 prenant comme entrée X ↓ . Il produit la matrice:
⎛
⎞
ŷ ↓ 11 ŷ ↓ 12 · · · ŷ ↓ 1q 1
ŷ ↓
Ŷ ↓ =
21 ŷ ↓ 22 · · · ŷ ↓ 2q 1
.
⎜ . . .. ,
. ⎟
⎝
⎠
ŷ ↓ m1 ŷ ↓ m2 · · · ŷmq ↓ 1

L’ACP avec données de type histogramme 131
où (k comme dans la définition 37):
⎡ [ ] ⎤
ŷ ij, 1 ŷij
1
[ ]
ŷ ↓ ij = ŷ ij, 2 ŷij
2 .
⎢ . ⎥
⎣ [ ] ⎦
ŷij, k ŷij
k
pour i = 1, 2, . . . , n et j = 1, 2, . . . , q 1 avec q 1 ≤ n.
Etape 3: Calculer la matrice X → de la définition 40.
Etape 4: Appliquer une analyse classique en composantes principales à la matrice X → .
Il produit la matrice:
où q 2 ≤ p =
⎛
Ỹ → =
⎜
⎝
⎞
ỹ 11 ỹ 12 · · · ỹ 1q2
ỹ 21 ỹ 22 · · · ỹ 2q2
. .
.. ,
. . ⎟
⎠
ỹ m1 ỹ m2 · · · ỹ mq2
n∑
s j (s j comme dans la définition 40):
j=1
Etape 5: q = min(q 1 , q 2 ).
Etape 6: Calculer les q premières composantes principales:
⎛
⎞
y ↓ 11 y ↓ 12 · · · y ↓ 1q
y ↓
Y =
21 y ↓ 22 · · · y ↓ 2q
.
⎜ . . .. ,
. ⎟
⎝
⎠
y ↓ m1 y ↓ m2 · · · ymq
↓
en utilisant la translation:
⎡ [ ] ⎤ ⎡ [
] ⎤
yij 1 , y1 ij
[ ]
ŷij 1 + ỹ ij , ŷ1 ij + ỹ ij
Etape 6.1: Si k > 1 alors y ↓ ij = yij 2 , [
]
y2 ij
ŷij 2 =
+ ỹ ij , ŷ2 ij + ỹ ij
⎢ .
⎥ ⎢ .
⎥
⎣ [ ] ⎦ ⎣ [
] ⎦
yij k , yk ij
ŷij k + ỹ ij , ŷk ij + ỹ ij

L’ACP avec données de type histogramme 132
⎡
Etape 6.2: Si k = 1 alors y ↓ ij = ⎢
⎣
[ ]
yij, 1 yij
1
[ ]
yij, 2 yij
2
.
[ ]
yij, k yij
k
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
[ ]
ŷij, 1 ŷij
1
[ ]
ŷij, 2 ŷij
2
.
[ ]
ŷij, k ŷij
k
⎤
⎥
⎦
Etape 7: Fin de l’algorithme.
Theorem 7 La méthode des centers pour l’analyse en composantes principales proposée
dans l’algorithme 4.4. est un cas particulier de la méthode proposée dans l’algorithme
4.7.
Démonstration: Si x ij = [a, b] ∀ i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n alors dans la matrice
X ↓ de la définition 38 on a k = 1 donc la matrice X ↓ = X et dans l’étape 6 comme k = 1
on ne déplacera pas les individus–histogramme.
Remark 10 Comme on l’a démontré dans le théorème 6, l’analyse en composantes principales
classique est un cas particulier de la méthode des centres proposée dans l’algorithme
4.4, et on a démontré dans le théorème 7 que la méthode proposée dans l’algorithme 4.4
est un cas particulier de la méthode proposée dans l’algorithme 4.7, alors l’analyse en
composantes principales pour des données de type histogramme proposé dans l’algorithme
4.7 est une généralisation de l’ACP pour des données de type intervalle qui est une
généralisation de l’ACP classique.
4.2.2 Exemples d’application
Pour illustrer comment l’algorithme 4.7 fonctionne dans cette section on présente deux
exemples d’exécution.

L’ACP avec données de type histogramme 133
Example 37 Dans cet exemple on présente l’exécution de l’algorithme 4.7 avec la table
de données symbolique présentée dans (4.25). Cette matrice a cinq variables, la première
est de type intervalle, la seconde est une variable discrete quantitative, et les trois dernières
variables sont type histogramme (les valeurs sont tronquées).
⎡
X =
⎢
⎣
[1, 4] 2 (1(0.4), 2(0.1), 3(0.2), 4(0.07), 5(0.02)) (1(0.1), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 3 (1(0.6), 2(0.1), 3(0.1), 5(0.0)) (1(0.1), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 5] 2 (1(0.7), 2(0.2)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 1 (1(0.7), 2(0.0), 3(0.1), 4(0.0), 5(0.0), 6(0.0) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
[1, 4] 1 (1(0.4), 3(0.4), 4(0.0), 5(0.0)) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.8), 2(0.1))
[1, 6] 2 (2(0.4), 3(0.1), 4(0.3), 5(0.0), 6(0.0) (1(0.0), 2(0.9)) (1(0.7), 2(0.2))
⎤
⎥
⎦
(4.25)
En appliquant l’algorithme 4.7 on obtient le plan principal de la Figure 4.13
Figure 4.13: Le plan principal avec des données de type continu, intervalle et histogramme.
Si on trace la pyramide (voir la Figure 4.14) associé à la matrice (4.25) on obtient la même
structure de classes que celle qu’on a obtienue dans le premier axe dans le plan principal
de la Figure 4.13. C’est–à–dire, le individu “Northern Ireland” est isolé et les individus

L’ACP avec données de type histogramme 134
“North non–metropolitan”, “Yorks and Humberside metropoli”, “Yorks and Humberside
non-metro” et “East midlands non-metropolitan” sont groupés.
Figure 4.14: La pyramide avec des données de type continue, intervalles et histogramme.
4.2.3 L’interprétation
Pour expliquer comment interpréter l’Analyse en Composantes Principales pour de données
de type histogramme nous employons un petit exemple. L’interprétation de la position
du individu–histogramme dans le plan principal est la même que dans la situation
classique du analyse en composantes principales, alors on devrait expliquer quelle est
l’interprétation de la colonne de rectangles qui représentent chaque individu.
Example 38 Soit
X =
VAR-1
VAR-2
IND-1 (1(0.1), 2(0.4), 3(0.5)) (1(0.2), 2(0.3), 3(0.5))
IND-2 (1(0.7), 2(0.2), 3(0.1)) (1(0.8), 2(0.1), 3(0.1))
.
Cette matrice peut être également représentée comme on montre dans la Figure 4.15.

L’ACP avec données de type histogramme 135
Figure 4.15: Tableau des données avec deux individus et deux variables de type histogramme.
Si nous appliquons l’analyse en composantes principales de l’algorithme 4.7 à la table de
données précédente, nous obtenons le plan principal qu’on montre dans la Figure 4.16.
Le plus petit rectangle de la projection de l’individu–1 (Ind1) représente la probabilité
que l’individu–1 prenne la modalité 1 pour la variable 1 ou la modalité 1 pour la variable
2. La taille du rectangle est conforme à la représentation de l’individu–1 dans la Figure
4.15, parce que la valeur de la modalité 1 pour la variable 1 est 0.1 et la valeur de la
modalité 1 pour la variable 2 est 0.2, c’est–à–dire la moyenne pour la modalité 1 est
0.15. Le deuxième rectangle de la projection de l’individu–1 représente la probabilité que
l’individu–1 prenne la modalité 1 ou la modalité 2 pour la variable 1, ou la probabilité
que l’individu–1 prenne la modalité 1 ou la modalité 2 pour la variable 2. La taille du
deuxième rectangle est conforme également à la représentation de l’individu–1 dans la
Figure 4.15, parce que la valeur de la fonction de distribution empirique pour la modalité
2 de la variable 1 est 0.5 et la valeur de la fonction de distribution empirique pour la
modalité 2 de la variable 2 est également 0.5. Le troisième rectangle de l’individu–1
représente la probabilité 1, c’est la probabilité que l’individu 1 prenne n’importe laquelle

L’ACP avec données de type histogramme 136
des modalités.
Le plus petit rectangle de la projection de l’individu–2 (Ind2) est plus grand que le plus
petit rectangle de la projection de l’individu–1 (voir la Figure 4.16); ceci est conforme
à l’interprétation, parce que la probabilité que l’individu–2 prenne la modalité 1 pour la
variable 1 est 0.7 et la probabilité que l’individu–2 prenne la modalité 1 pour la variable 2
est 0.8, c’est-à-dire la moyenne de pris la modalité 1 est 0.75. Cette valeur est plus grande
que la même valeur pour l’individu–1 qui est 0.15; c’est pourquoi, le plus petit rectangle
de la projection de “Ind1” est plus petit que le plus petit rectangle de la projection de
“Ind2”. Pour les mêmes raisons, le deuxième rectangle de la projection de “Ind1” est plus
petit que le deuxième rectangle de la projection de “Ind2”.
Figure 4.16: TPlan principal du tableau.

Chapter 5
L’Analyse Symbolique des Tableaux de
Proximités
5.1 Introduction
La méthode d’analyse des tableaux de dissimilarités standard prend comme entrée une
matrice de dissimilarité de terme général δ ij qui est une valeur numérique. Soient
S 1 , S 2 , . . . , S m , m objets symboliques, dans cette section nous supposons que les données
se composent d’une matrice symétrique ∆ = [δ ij ] = [δ ij , δ ij ], i, j = 1, 2, . . . , m où
[δ ij , δ ij ] représente un intervalle des valeurs possibles pour la dissimilarité entre l’objet
symbolique S i et l’object symbolique S j .
L’ensemble de valeurs possibles pour la dissimilarité entre l’objet S i et l’object S j pourrait
résulter de la combinaison des données de N juges, ou alternativement ce pourrait être une
région de dissimilarité proposée par un simple juge.
Comme sortie, au lieu de représenter chaque objet symbolique sur le plan factoriel par
un point, comme dans d’autres méthodes d’analyse des tableaux de dissimilarités, dans
137

L’analyse classique des tableaux de proximités 138
la méthode proposée chaque objet symbolique est visualisé par un rectangle, afin de
représenter la variation de la dissimilarité.
Denœux et Masson dans [22, Denœux (1999)] ont trouvé une solution à ce problème
réduisant au minimum par descente de gradient la fonction d’effort:
σ(R) = ∑ i

L’analyse classique des tableaux de proximités 139
L’analyse classique des tableaux de dissimilarités provient des années 30 quand Young et
Householder ont montré comment, en commençant par une matrice des distances entre
les points dans un espace Euclidien, les coordonnées des points peuvent être trouvées de
telle façon que les distances soient préservées.
Soient les coordonnées cherchées de m points dans un espace Euclidien n dimensionnel
x i = (x i1 , x i2 , . . . , x in ) t , i = 1, 2, . . . , m. La distance Euclidienne d ij entre le i−ième et
le j−ième point doit satisfaire:
d 2 ij = (x i − x j ) t (x i − x j ). (5.1)
Soit B la matrice de produit scalaire associée à d, telle que:
[B] ij = b ij = x i x j . (5.2)
L’idée de l’analyse des tableaux de dissimilarités est la suivante: on a une mesure de dissimilarité,
d ij , pour chaque paire d’objets. À partir des distances carrées {d 2 ij} i,j=1,2,...,m la
matrice B peut être trouvé et puis à partir de B les coordonnées inconnues (pour chaque
objet) peuvent être trouvées.
Pour trouver B on a localisé le centre de gravité de la configuration des points à l’origine,
n∑
par conséquent x ij = 0 pour i = 1, 2, . . . , m. Alors il n’est pas très difficile de prouver
j=1
([20, Cox et Cox (1994)]) que:
b ij = − 1 2
(
d 2 ij − 1 m
m∑
d 2 rj − 1 m
r=1
m∑
d 2 is + 1 n 2
s=1
m∑
∑ m
d 2 rs
r=1 s=1
)
(5.3)
Pour récupérer les coordonnées (composantes principales), la matrice B peut être exprimé
comme B = XX t où X = [x 1 , x 2 , . . . , x m ] est une matrice de taille m × n. Notez que

L’analyse classique des tableaux de proximités 140
B est symétrique, semi–définie positive et de rang n alors B a n valeurs propres non
négatives et m − n valeurs propres zéro.
B peut être écrit en termes de sa décomposition spectrale (décomposition aux valeurs
singulières) B = V ΛV t où Λ = diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ) et V = [v 1 , v 2 , . . . , v m ] avec v i le
i−ième vecteur propre tels que v t iv i = 1 et λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ m ≥ 0.
En raison des m − n valeurs propres zéro B peut être écrit comme B = V 1 Λ 1 V t
1 où Λ 1 =
diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) et V = [v 1 , v 2 , . . . , v n ]. Puis comme B = XX t ; X est donné par:
X = V 1 Λ 1 2
1 , (5.4)
où Λ 1 2
1 =diag(λ 1 2
1 , λ 1 2
2 , . . . , λ 1 2 n ).
Il y a une propriété de dualité entre l’analyse en composantes principales et l’analyse
des tableaux de dissimilarités quand les dissimilarités sont données par des distances Euclideannes.
Plus formellement:
Proposition 8 [20, Cox et Cox (1994)] Si µ i et ξ i sont les valeurs propres et les vecteurs
propres de l’analyse en composantes principales de X respectivement pour i = 1, 2, . . . , n,
et on dénote par λ i et v i les valeurs propres et les vecteurs propres de l’analyse classique
du tableau de dissimilarité de ∆ = {d ij } i,j=1,2,...,m respectivement pour i = 1, 2, . . . , n,
alors:
µ i = λ i et ξ i = X t v i pour i = 1, 2, . . . , n. (5.5)
ALGORITHME 5.1: ANALYSE CLASSIQUE DES TABLEAUX DE DISSIMI-
LARITÉS [20, Cox et Cox (1994)]
Etape 1: Obtenir les dissimilarités {δ ij } i,j=1,2,...,m .

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 141
Etape 2: Calculer la matrice B:
(
b ij = − 1 δij 2 − 1 2 m
m∑
δrj 2 − 1 m
r=1
m∑
δis 2 + 1 n 2
s=1
m∑
∑ m
δrs
2
r=1 s=1
)
.
Etape 3: Calculer les valeurs propres λ 1 , λ 2 , . . . , λ m et les vecteurs propres v 1 , v 2 , . . . v m
de B.
Etape 4: Calculer les coordonnées des m points dans R n en employant l’égalité:
x ij = √ λ i · v ji pour i = 1, 2, . . . , m et j = 1, 2, . . . , n.
5.3 L’analyse des tableaux de dissimilarités de type intervalle:
INTERSCAL
Soient S 1 , S 2 , . . . , S m , m objets symboliques, dans cette section on suppose que les données
d’entrée se composent d’une matrice symétrique ∆ défini par:
⎡
∆ =
⎢
⎣
[0, δ 11 ] [δ 12 , δ 12 ] · · · [δ 1m , δ 1m ]
[δ 21 , δ 21 ] [0, δ 22 ] · · · [δ 2m , δ 2m ]
. .
.. . .
[δ m1 , δ m1 ] [δ m2 , δ m2 ] · · · [0, δ mm ]
⎤
, (5.6)
⎥
⎦
où δ ij représente la dissimilarité minimum possible entre l’objet S i et l’objet S j , et δ ij
représente la dissimilarité maximum possible entre l’objet S i et l’objet S j .
Si on veut obtenir une méthode symbolique d’analyse des tableaux de dissimilarités qui
a la propriété de dualité (proposition 8) avec la méthode des sommets d’analyse en composantes
principales, quand la dissimilarité est modelée par une distance Euclidienne. On
doit avoir comme entrée les dissimilarités entre toutes les lignes de la matrice M définie

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 142
dans (5.7), parce que la méthode des sommets de l’analyse en composantes principales
commence par faire une analyse classique en composantes principales de la matrice M
(voir [16, Cazes, Chouakria, Diday et Schektman (1997)]).
⎡
M =
⎢
⎣
⎡
⎤
x 11 x 12 · · · x 1n
x 11 x 12 · · · x 1n
.
⎢ . . .. . ⎥
⎣
⎦
x 11 x 12 · · · x
⎡
1n
⎤
x 21 x 22 · · · x 2n
x 21 x 22 · · · x 2n
.
⎢ . . .. . ⎥
⎣
⎦
x 21 x 22 · · · x 2n
.
⎡
⎤
x m1 x m2 · · · x mn
x m1 x m2 · · · x mn
.
⎢ . . . . . ⎥
⎣
⎦
x m1 x m2 · · · x mn
⎤
, (5.7)
⎥
⎦
Comme la taille de la matrice M est (m · 2 n ) × n, on devrait avoir comme entrée une
matrice ∆ de la taille (m · 2 n ) × (m · 2 n ) mais c’est clairement impossible, parce qu’on
a seulement deux dissimilarités, la maximale et la minimale, pour chaque paire d’objets
symboliques.
Ainsi il est impossible de trouver une méthode d’analyse des tableaux de dissimilarités de
type intervalle qui a la propriété de dualité avec la méthode des sommets dans l’analyse
en composantes principales. On cherchera donc une solution approximative.
Soit:

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 143
δ ij
β ij
R Si
α ij
δ ij
α ji
R Sj
β ji
Figure 5.1: Distances minimum et maximum entre les deux hypercubes.
δ ij = min d(x, y)
x∈R Si , y∈R Sj
δ ij = max d(x, y)
x∈R Si , y∈R Sj
, (5.8)
où R Si est l’hypercube dans R n défini par l’objet symbolique S i , R Sj est l’hypercube
défini par l’objet symbolique S j et d(x, y) est la distance Euclidienne 2 entre x et y.
Si on fixe l’hypercube R Si , il est clair qu’il y a des points α ij = (α ij
1 , α ij
2 , . . . , α ij
n ) ∈ R Si et
α ji = (α ji
1 , α ji
2 , . . . , α ji
n ) ∈ R Sj , pour j = 1, 2, . . . , m tels que δ ij = d(α ij , α ji ). De façon
analogue il y a des points β ij = (β ij
1 , β ij
2 , . . . , β ij
n ) ∈ R Si et β ji =
(β ji
1 , β ji
2 , . . . , β ji
n ) ∈ R Sj tels que δ ij = d(β ij , β ji ) pour j = 1, 2, . . . , m, comme on
le montre dans la Figure 5.1 pour n = 2. Comme j parcourt l’ensemble {1, 2, . . . , m},
alors, pour chaque hypercube R Si on a m points α ij et m points β ij et donc on a 2mm dissimilarités
(on tient en compte la dissimilarité maximum et minimum parmi un hypercube
et lui–même). Mais, comme δ ij = d(α ij , α ji ) = δ ji = d(α ji , α ij ) et δ ij = d(β ij , β ji ) =
δ ji = d(β ji , β ij ), on a 2m + 2(m − 1) + · · · + 2 = 2 ∑ m
i=1
i = m(m + 1) dissimilarités.
Si on fixe l’hypercube R Si , il y a aussi des points γ ij = (γ ij
1 , γ ij
2 , . . . , γ ij
n ) ∈ R Si et γ ji =
(γ ji
1 , γ ji
2 , . . . , γ ji
n ) ∈ R Sj , pour j = 1, 2, . . . , m tels que d(γ ij , γ ji ) = δ ij+δ ij
2
, comme on le
montre dans la Figure 5.2. Ceci produit m dissimilarités.
2 Comme dans l’analyse classique des tableaux de proximités, cette supposition est théorique parce que
la méthode pourrait être utilisée avec n’importe quelle dissimilarité.

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 144
β i
✔ R Si
✔
✔
✔
γ ij
✔
✔
✔
✔
✔
✔ α i
✔
✔
❛
✔
✔
❛❛❛❛❛ δ ij
✔
✔
✔
✔
α j R Sj
✔
✔
γ
✔
✔
ji
✔
✔✔ ✔ d(γ ij , γ ji ) = δ ij+δ ij
2
✁ ✁✁✁
β j
δ
✁ ✁✁ ✡ ✡✡✡
ij ✡✡ ✡
Figure 5.2: Distances moyennes parmi les deux hypercubes.
L’idée est cette de faire une analyse des tableaux de proximités de la matrice de distances
˜∆ définie par l’équation (5.9). Pour chaque hypercube R Si
la matrice ˜∆ a deux lignes,
dans la première ligne on emploie la dissimilarité minimum et la dissimilarité maximum
parmi un hypercube et lui–même, alors qu’on emploie la dissimilarité minimum et la
dissimilarité moyenne parmi chaque couple d’hypercubes différents, c’est–à–dire on emploie
2m dissimilarités. Dans la second ligne de la matrice ˜∆ on emploie la dissimilarité
maximum et la dissimilarité minimum parmi un hypercube et lui–même et on emploie
la dissimilarité moyenne et la dissimilarité maximum parmi chaque couple d’hypecubes
différents, en cette ligne on emploie aussi 2m dissimilarités, mais comme les dissimilarités
moyennes ont déjà été employées on utilise vraiment m dissimilarités, donc pour
chaque hypercube on emploie 3m dissimilarités. Alors, comme d(x, y) = d(y, x) au total
on emploie 3m + 3(m − 1) + · · · + 3 = 3 ∑ m
i=1 i = 3 m(m + 1) > m(m + 1) dissimi-
2
larités. Notez que ˜∆ est une matrice symétrique et que sa taille est 2m×2m. Comme pour
chaque hypercube R Si on a deux lignes, alors on peut calculer une coordonnée principale

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 145
minimum et maximum, c’est–à–dire la coordonnée principale de type intervalle.
⎡
˜∆ =
⎢
⎣
δ
0 δ 11 δ
12 +δ 12
δ
12 · · · δ
1m +δ 1m
2 1m 2
δ 11 0
δ 12 +δ 12
2
δ 12 · · ·
δ 1m +δ 1m
2
δ 1m
δ
δ
21 +δ 21
δ
21 0 δ
2 22 · · · δ
2m +δ 2m
2m 2
δ 21 +δ 21
δ
δ
2 21 δ 22 0 · · ·
2m +δ 2m
δ
2 2m
δ 31
δ 31 +δ 31
2
δ 32
δ 32 +δ 32
2
· · · δ 3m
δ 3m +δ 3m
δ 31 +δ 31
2
δ 31
δ 32 +δ 32
.
.
δ
2 32 · · ·
.
. . .. .
2
δ 3m +δ 3m
2
δ 3m
δ
δ
m1 +δ m1
δ
m1
δ
m2 +δ m2
2 m2 · · · 0 δ
2 mm
δ m1 +δ m1
δ
δ
m2 +δ m2
2 m1 δ
2 m2 · · · δ mm 0
.
⎤
. (5.9)
⎥
⎦
ALGORITHME 5.2: L’ANALYSE DES TABLEAUX DE DISSIMILARITÉS DE
TYPE INTERVALLE
]}
Etape 1: Obtenir les dissimilarités de type intervalle
{[δ ij , δ ij
i,j=1,2,...,m
Etape 2: Calculer la matrice ˜∆ = (˜δ ij ) i,j=1,2,...,2m définie dans l’équation (5.9).
Etape 3: Trouver la matrice ˜B = {[˜b ij ]} i,j=1,2,...,2m :
˜bij = − 1 2
(
˜δ 2 ij − 1
2m
2m∑
r=1
˜δ 2 rj − 1
2m
2m∑
s=1
˜δ 2 is + 1
(2m) 2
2m
∑
r=1 s=1
.
2m∑
˜δ rs
2
Etape 4: Trouver les valeurs propres ˜λ 1 , ˜λ 2 , . . . , ˜λ 2m et les vecteurs propres associés
ṽ 1 , ṽ 2 , . . . , ṽ 2m de ˜B.
Etape 5: Calculer les coordonnées des 2m points dans R n en utilisant la formule:
√
˜x ri = ˜λ r · ṽ ir pour r = 1, 2, . . . , 2m et i = 1, 2, . . . , n.
)

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 146
Etape 6: Construire les coordonnées principales de type intervalle
X1 I , X2 I , . . . , Xm I à partir des coordonnées numériques X 1, X 2 , . . . , X 2m
(X i = (˜x i1 , ˜x i2 , . . . , ˜x in )). Soit L Si l’ensemble de nombres de lignes dans la matrice
˜M en référence à l’objet S i . Il est clair que L Si = {2i − 1, 2i}. Si X Si j = [x ij , x ij ]
est la valeur de la composante principale de type intervalle Xj I pour l’objet S i alors:
x ij = min (˜x kj ) =
k∈L Si
x ij =max (˜x kj ) =
k∈L Si
min
k∈{2i−1,2i}
max
k∈{2i−1,2i}
(˜x kj ),
(˜x kj ).
Theorem 9 La méthode classique de l’analyse des tableaux de dissimilarités de [71, Torgenson
(1958)] et [45, Gower (1966)] proposée dans l’algorithme 5.1 est un cas particulier
de la méthode INTERSCAL proposée dans l’algorithme 5.2.
]
Démonstration: Si tous les intervalles
[δ ij , δ ij sont triviaux, c’est–à–dire δ ij = δ ij =
δ ij , alors les dissimilarités moyenne δ ij+δ ij
2
= δ ij , donc on a que ˜λ s = 2 · λ s pour s =
1, 2, . . . , q, où q est le nombre de valeurs propres strictement positives de la matrice B de
l’algorithme 5.1. En plus on a que v ir = √ 2 · ṽ 2i−1,r = ˜x 2i−1,r = √ 2 · ṽ 2i,r = ˜x 2i,r pour
r = 1, 2, . . . , 2m et i = 1, 2, . . . , n. Alors on obtient x ij = x ij = x ij pour i = 1, 2, . . . , m
et j = 1, 2, . . . , n.
La solution pour X n’est pas unique car B = V ΛV t = XT T t X t pour tout T tel que
T T t = I. N’importe quelle rotation rigide est un exemple de la matrice de type T . Nous
choisissons la solution correspondant aux axes principales. Le premier axe maximise
l’inertie des α i , β i i = 1, 2, . . . , m. Cependant, puisque n’importe quelle rotation est
également une solution, on peut souhaiter tourner les axes principales à fin d’obtenir des
solutions (axes) qui soient plus interpretables.
INTERSCAL, la méthode de l’analyse des tableaux de dissimilarités de type intervalle, a
un avantage par rapport la méthode de l’analyse en composantes principales des sommets.

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 147
La taille de la matrice dont l’algorithme calcule les valeurs propres et les vecteurs propres
pour la méthode de l’analyse des tableaux de dissimilarités de type intervalle (INTER-
SCAL) est 2m×2m, tandis que dans la méthode de l’analyse en composantes principales
des sommets, elle peut être m · 2 n × m · 2 n .
5.4 Exemples
Nous avons analysé deux ensembles de données. D’abord, un ensemble de données déjà
exploré dans le contexte de l’analyse en composantes principales des sommets, et ensuite
un ensemble de données plus traditionnel dans l’analyse des tableaux de dissimilarités
impliquant des dissimilitudes des jugées. Nous avons d’abord analysé l’exemple des
huiles et des graisses (Ichino’s Oils and Fats data) parce que cet ensemble de données
a été expliqué dans le contexte de l’analyse en composantes principales pour données de
type intervalle et donc nous pouvons comparer nos résultats à ceux obtenus à partir des
composantes principales.
5.4.1 Exemple des huiles et des graisses
L’ensemble de données des huiles et des graisses (les données d’Ichino [50, Ichino (1994)])
est montré dans le Tableau 5.1. Chaque ligne du tableau de données représente une classe
d’huile décrite par 4 variables quantitatives de type intervalle: “Specific gravity”, “Freezing
point”, “Iodine value” et “Saponification”. La matrice des distances ∆ qu’on a utilisé
comme entrée pour INTERSCAL (méthode d’analyse des tableaux de dissimilarités de
type intervalle) a été calculée en utilisant la matrice X qu’on a obtenu en normalisant
la matrice des huiles et des graisses. Pour calculer ∆ on a employé les équations (5.12)
et (5.13). En utilisant l’algorithme INTERSCAL on obtient le plan principal représenté
dans la Figure 5.3. Si on emploie l’analyse en composantes principales des sommets avec

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 148
GRA FRE IOD SAP
Linsed (L) [0.93, 0.935] [−27, −18] [170, 204] [118, 196]
Perilla (P) [0.93, 0.937] [−5, −4] [192, 208] [188, 197]
Cotton (Co) [0.916, 0.918] [−6, −1] [99, 113] [189, 198]
Sesame (S) [0.92, 0.926] [−6, −4] [104, 116] [187, 193]
Camellia (Ca) [0.916, 0.917] [−25, −15] [80, 82] [189, 193]
Olive (O) [0.914, 0.919] [0, 6] [79, 90] [187, 196]
Beef (B) [0.86, 0.87] [30, 38] [40, 48] [190, 199]
Hog (H) [0.858, 0.864] [22, 32] [53, 77] [190, 202]
Table 5.1: L’ensemble de données des huiles et des graisses.
des données des huiles et des graisses on obtient les résultats qui sont montrés dans la
Figure 5.4.
La matrice des distances ∆ entre les individus de l’exemple des huiles et des graisses
qu’on a employé comme entrée pour la méthode de l’analyse des tableaux de dissimilarités
de type intervalle est présentée dans (5.11). On a calculé cette matrice en utilisant
la matrice X (présenté dans (5.10)) qu’on a obtenu en normalisant la matrice du Tableau
5.1. Pour calculer ∆, on a employé les équations (5.12) et (5.13).

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 149
⎡
X =
⎢
⎣
[0.82, 1.00] [−1.49, −1.01] [1.15, 1.80] [−5.88, 0.65]
[0.82, 1.08] [−0.32, −0.27] [1.57, 1.88] [−0.02, 0.73]
[0.29, 0.37] [−0.37, −0.11] [−0.20, 0.06] [0.06, 0.82]
[0.44, 0.67] [−0.37, −0.27] [−0.11, 0.12] [−0.10, 0.40]
[0.29, 0.33] [−1.38, −0.85] [−0.57, −0.53] [0.06, 0.40]
[0.22, 0.41] [−0.06, 0.26] [−0.59, −0.38] [−0.10, 0.65]
[−1.79, −1.42] [1.53, 1.96] [−1.33, −1.18] [0.15, 0.90]
[−1.87, −1.64] [1.11, 1.64] [−1.08, −0.62] [0.15, 1.15]
⎤
⎥
⎦
(5.10)
⎡
∆ =
⎢
⎣
⎤
[0.00,6.58][0.69,6.77][1.34,7.16][1.22,6.70][1.75,6.78][1.85,7.21][4.11,8.69][3.70,8.70]
[0.69,6.77][0.00,0.86][1.57,2.39][1.46,2.25][2.22,2.88][2.00,2.80][3.98,4.96][3.57,4.76]
[1.34,7.16][1.57,2.39][0.00,0.85][0.07,1.08][0.58,1.61][0.18,1.30][2.57,3.57][2.33,3.40]
[1.22,6.70][1.46,2.25][0.07,1.08][0.00,0.60][0.65,1.45][0.34,1.29][2.80,3.82][2.55,3.67]
[1.75,6.78][2.22,2.88][0.58,1.61][0.65,1.45][0.00,0.63][0.79,1.76][3.00,4.12][2.76,3.93]
[1.85,7.21][2.00,2.80][0.18,1.30][0.34,1.29][0.79,1.76][0.00,0.86][2.16,3.29][2.05,3.18]
[4.11,8.69][3.98,4.96][2.57,3.57][2.80,3.82][3.00,4.12][2.16,3.29][0.00,0.95][0.10,1.56] ⎥
⎦
[3.70,8.70][3.57,4.76][2.33,3.40][2.55,3.67][2.76,3.93][2.05,3.18][0.10,1.56][0.00,1.24]
(5.11)
En utilisant notre algorithme INTERSCAL nous obtenons le plan principal représenté sur
la Figure 5.3.
Si on emploie l’analyse en composantes principales des sommets avec les données des
huiles et des graisses présentées dans le Tableau 5.1, on obtient le résultat qui est montré
dans la Figure 5.4.
La structure de groupe obtenue dans la Figure 5.3 et dans la Figure 5.4 sont similaires
parce que les groupes sont semblables et les tailles des rectangles sont proportionnelles.
Ainsi l’interprétation des deux graphiques sera presque identique.

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 150
Figure 5.3: Plan principal de données des huiles et des graisses en utilisant l’algorithme
INTERSCAL.
Figure 5.4: Le plan principal symbolique avec la méthode des centres dual.
5.4.2 Exemple de jugements de rectangles
Les deuxièmes données que nous avons considérés se composent des jugements de la
dissemblance des rectangles de différente aire et rapport haut–large, jugés par 16 sujets.

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 151
Ces données ont été présentées dans un papier sur la méthode de l’analyse des tableaux
de dissimilarités contrainte ([74, Winsberg et De Soete, 1997]). D’autres chercheurs ont
regardé les rectangles, cependant, en général, ils ont limité leur attention aux rectangles
où la hauteur est plus grande que la largeur ou vice versa. Cet ensemble de données inclut
tous les deux, des rectangles dont la hauteur est plus grande que la largeur et vice versa.
Dans une étude des données de dominance de rectangle discutées par [14, Carroll (1972)]
la dimension de consensus a assez bien correspondu à la taille; mais il était également clair
dans ce cas que les sujets changent considérablement quant à ce que ils signifient par taille.
Quelques sujets ont égalisé la taille à la hauteur, quelques uns à l’aire, d’autres à la largeur,
et finalement quelques uns au rapport hauteur–largeur. Quand [74, Winsberg et De Soete,
1997] ont analysé leurs données pour les 16 sujets, pris ensemble, trois dimensions ont
été récupérés: la première était l’aire, qui se relie à la taille; la deuxième dimension était
le rapport de hauteur–largeur, avec des valeurs récupérées tombant essentiellement dans
trois catégories, selon si le rapport de hauteur–largeur était plus grand qu’un, égale à
un, ou moins d’un, qui se relie à la position du rectangle, (haut–bas); la troisième était
le rapport de hauteur–largeur, ou alternativement rapport de largeur–hauteur, tels que la
valeur était inférieure ou égale à un, c’est–à–dire de forme carrée. Ainsi, la première
dimension se relie à la taille, et les deux autres dimensions se relient à la forme. Trois
classes latentes ont été trouvées dans l’analyse de CLASCAL [75, Winsberg et De Soete,
1993]. La différence parmi les classes était principalement due à la façon dont ils ont pesé
la dimension deux.
Notre solution INTERSCAL, pour ces données, récupère les mêmes trois dimensions.
Les Figures 5.5 et 5.6 montrent les résultats. La deuxième dimension sépare les rectangles
dont la hauteur est inférieure à leur largeur dans la partie dessus de la Figure 5.5, de ceux
dont la hauteur est plus grande que leur largeur dans la partie dessous de la Figure 5.5. La
dimension un est liée à la forme carrée, c’est le rapport de largeur–hauteur ou le rapport
de hauteur–largeur, n’importe lequel est inférieur à un. Les rectangles qui sont presque

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 152
Figure 5.5: Rectangles dont la hauteur est inférieure à leur largeur du côté droit.
carrés sont dans le côté droit de la Figure 5.5. La troisième dimension est liée à la taille
ou à l’aire avec les rectangles plus petits apparaissant sur le dessus de la Figure 5.6.
Figure 5.6: a troisième dimension s’est reliée à la taille ou à l’aire des rectangles avec les
plus petits apparaissant sur le dessus.

L’analyse des tableaux de proximités de type intervalle 153
Notez que chaque object symbolique est représenté comme un hypercube de trois dimensions.
Ainsi pour le rectangle numéro huit on a que a(w) = [Y 1 (w) ⊆ [4.43, 7.22]] ∧
[Y 2 (w) ⊆ [−35.12, −14.94]] ∧ [Y 3 (w) ⊆ [−0.05, 0.49]]. Les rectangles “psychologiques”
occupent un hypercube de sorte que pour le rectangle object symbolique physique numéro
huit, le modèle de l’objet psychologique correspondant est l’objet symbolique avec une
conjonction de trois attributs, chacun décrit par un intervalle, un intervalle pour haut–
bas [4.43, 7.22], un intervalle pour la forme carrée [−35.12, −14.94], (largeur–hauteur ou
hauteur–largeur n’importe lequel est inférieur à un), et un intervalle pour l’aire ou la taille
[−0.05, 0.49]. Notez que haut–bas n’est pas localisé avec précision. Il est représenté
par un intervalle pour chaque objet symbolique, quoique les rectangles “physiques” entrent
dans trois catégories sur cette variable c’est–à–dire, vers le haut, (la hauteur est plus
grande que la largeur), vers le bas (la largeur est plus grande que la hauteur), ou ni l’un ni
l’autre, (le rectangle est carré). Le haut–bas n’est pas localisé avec précision pour chaque
rectangle “psychologique”, parce que pour certains des juges, cette dimension était plus
importante que pour d’autres en faisant les jugements de dissimilitude, occasionnent que
la distance entre les rectangles hauts et les rectangles bas être un intervalle. Notez que la
taille de cet intervalle est plus petite pour ces rectangles qui sont plus presque carré, celui
est ces rectangles dessous de la Figure 5.5.
Ces résultats sont conformes aux résultats des analyses présentées dans [74, Winsberg
et De Soete, 1997]. En plus, cette nouvelle technique indique précisément comment les
rectangles sont localisés dans l’espace. Nous avons obtenu comme résultat intéressant que
la taille de l’hypercube occupé par un rectangle est inversement lié à son aire (r = −0.72).
Ceci indique qu’il est plus facile que les sujets distinguent des rectangles plus grands les
uns des autres qu’il doit faire ainsi pour des rectangles plus petits.

Le programme INTERSCAL 154
5.5 Le programme de l’algorithme INTERSCAL
L’interface du programme est présentée dans la Figure (A.9). Avec le premier bouton
de la barre à outils il est possible de démarrer le programme avec un tableau de données
symbolique, puis le programme calcule la matrice de dissimilitudes ∆ en utilisant les
équations (5.12) et (5.13), et avec le deuxième bouton de la barre à outils le programme
démarre directement avec la matrice de dissimilarités.
Proposition 10 [22, Denœux et Masson (1999)] Soient R Si
l’hypercube défini dans R n
par l’objet symbolique S i et R Sj l’hypercube défini dans R n par l’objet symbolique S j .
Soient d ij et d ij le minimum et le maximum distance euclidiennes entre R Si et R Sj , alors:
d ij = 1 ∑
√ n [
(xik ) )
− x ik +
(x jk − x jk + 2
x ik + x ik
2
∣ 2
k=1
d ij = 1 [ n∑ √
( ) )
xik − x ik +
(x jk − x jk − 2
4
∣
k=1
( ) )
∼
∣ xik − x ik +
(x jk − x jk − 2
∣
x ik + x ik
2
x ik + x ik
2
− x jk + x jk
2
− x jk + x jk
2
− x jk + x jk
2
2
∣
∣]
(5.12)
∣ − ∼
2 ∣
∣∣] (5.13)

Conclusion 155
Conclusion
En ce qui concerne la classification, nous avons proposé deux algorithmes qui construisent
une pyramide symbolique à partir d’une matrice de données symboliques. Le premier
algorithme donne un ordre total compatible avec la pyramide de n objets, alors que
le deuxième construit la pyramide à partir d’un ordre donné (a priori) sur les objets. Ces
deux algorithmes, en plus de construire la pyramide, trouvent pour chaque palier l’objet
symbolique associé, son extension et vérifient sa complétude. Les deux algorithmes peuvent
également construire une pyramide même si le tableau de données symboliques a des
variables de type intervalle, quantitatives discrètes ou de type histogramme.
En ce qui concerne les modèles linéaires, nous avons généralisé au cas symbolique certains
des indicateurs de la statistique d’une variable et de deux variables, comme par exemple:
la moyenne, l’écart type et la corrélation, entre autres. Nous avons généralisé
d’une part la méthode classique de la régression simple au cas des données symbol-

Conclusion 156
iques de type intervalle, et puis la méthode de l’Analyse en Composantes Principales
des données de type intervalle dans deux sens: d’abord, nous avons étudié le problème
de la dualité pour le cas de l’analyse en composantes principales pour des données de
type intervalle et puis nous avons proposé trois manières de projeter les variables de type
intervalle dans le cercle des corrélations. En suite, nous avons proposé une méthode pour
l’analyse en composantes principales pour des données de type histogramme. Enfin, nous
avons généralisé la méthode classique de l’analyse des tableaux de dissimilarités pour les
disimilarités de type intervalle.
Nous avons proposé plusieurs algorithmes:
• Les algorithmes CAPS et CAPSO qui produisent une pyramide symbolique et qui
sont une généralisation de l’algorithme CAP proposé par Diday.
• Trois algorithmes différents pour appliquer l’analyse en composantes principales
à tableaux des données avec des variables de type intervalle. Le dernier de ces
algorithmes est optimal en temps d’exécution grâce à l’utilisation des relations de
dualité.
• Trois algorithmes différents pour la régression simple pour des données de type intervalle:
l’algorithme Maximum–Minimum, l’algorithme Inférieur–Haut et l’algorithme
des–Sommets.
• L’algorithme pour l’analyse des tableaux de dissimilarités des données de type intervalle,
qui est dénommé INTERSCAL.
De plus, nous avons mis en application un logiciel pour chacun des algorithmes proposés
dans cette thèse. Des programmes ont été mis en application pour la classification
pyramidale symbolique, l’analyse en composantes principales pour des données de type
intervalle, l’analyse en composantes principales pour des données de type histogramme,

Conclusion 157
l’algorithme INTERSCAL pour la méthode d’analyse des tableaux de proximités de type
intervalle et pour la régression linéaire symbolique.
Les perpectives du développement de l’analyse des données symbolique sont énormes, en
ce qui concerne le développement de nouvelles techniques de l’analyse des données symboliques
ainsi que le développement des algorithmes et du logiciel. En ce qui concerne
les méthodes étudiées dans cette thèse, il y a beaucoup d’aspects à développer, comme
par exemple:
• L’élimination des paliers inutiles ou superflus dans les pyramides symboliques.
• L’étude du consensus parmi les pyramides symboliques et la mise au point d’algorithmes
de consensus.
• En ce qui concerne l’analyse en composantes principales pour des données de type
histogramme, la construction des cercles de corrélation.
• Dans l’analyse factorielle, la généralisation de l’analyse factorielle des correspondances
au cas de variables qualitatives ensemble–évalué (set–value).
• Concernant la régression, il y a beaucoup de choses qui devraient être faites, par
exemple: la régression sur les variables nominales ensemble–évalué, les tests symboliques
et l’étude de la qualité de l’ajustement.
• Dans l’analyse des tableaux de dissimilarités pour les dissimilarites de type intervalle,
il reste à étudier les modèles à trois indices, la spécificité et la généralisation
de l’analyse des tableaux de dissimilarités pour les dissimilarités de type histogramme.
De même, il reste à étendre l’étude au cas de la minimization d’un critère numérique
par l’utilisation d’une technique d’optimisation telle que le recuit simulé, la recherche
tabou ou la majorisation.

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Appendix A
Programme Intégré de Méthodes
d’Analyse des Données Symboliques
(PIMAD–Symbolique)
Pour chacune des méthodes développées dans cette thèse nous avons mis en application
un outil logiciel en C++. Des programmes ont été mis en application pour la classification
pyramidale symbolique, l’analyse en composantes principales pour des données de type
intervalle, l’analyse en composantes principales pour des données de type histogramme,
l’algorithme INTERSCAL pour la méthode d’analyse des tableaux de proximités de type
intervalle et pour la régression linéare symbolique. Ce logiciel est dénommé “Programme
Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques” (PIMAD–Symbolique).
Dans cette annexe nous expliquerons comment installer et comment on peut désinstaller
le logiciel PIMAD–Symbolique, nous expliquerons également en détail comment chacun
des modules est employé. Pour faciliter l’utilisation des modules, ceux ci ont été conçus
de telle manière que tous soient employés d’une façon très semblable au moyen d’une
barre d’outils.
166

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 167
A.1 L’installation et la désinstallation
Pour installer le logiciel on doit exécuter le programme INSTALL.EXE qui est dans le
disque numéro un, on doit ensuite continuer les instructions que le programme d’installation
présente. Quand le logiciel d’installation finit son exécution automatiquement il installe
dans le menu Démarrer/Programmes de Windows une fenêtre avec les icônes de
chacun des modules de PIMAD–Symbolique, comme il est montré dans la Figure A.1.
Pour désinstaller le PIMAD–Symbolique on doit exécuter le programme Desinstall
qui est montré dans Figure A.1.
Figure A.1: PIMAD–Symbolique dans le menu Démarrer de Windows.
A.2 Le module de classification ascendante pyramidale
symbolique
Pour exécuter le module de classification ascendante pyramidale symbolique
on doit cliquer sur l’icône “Pyramidal Clustering” qui est montré dans

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 168
la Figure A.1. Quand ce programme est exécuté la fenêtre principale qui est montrée sur
la Figure A.2 apparaît. La manière le plus facile d’utiliser tous les modules de PIMAD–
Symbolique est par la barre d’outils, dans le Tableau A.1 on explique la fonction de chacun
des boutons de la barre à outils aussi bien que ses équivalents dans le menu principal.
Figure A.2: Fenêtre principal du module de classification ascendante pyramidale symbolique.
Il est important de savoir que le format des dossiers d’entrée de PIMAD–Symbolique
est le même qui celui employé par le système SODAS (voir [7, Bock H-H. et Diday E.
(2000)]) (excepté le module INTERSCAL d’analyse des tableaux de dissimilarités de
type intervalle).
Le premier et les deux derniers boutons du Tableau A.1 sont employés dans tous les
modules de PIMAD–Symbolique. En plus de ces trois boutons, les boutons du Tableau
A.2 sont également employés dans tous les modules de PIMAD–Symbolique, et ils sont
employés pour éditer les dossiers d’entrée et de sortie du logiciel PIMAD–Symbolique.
Le bouton de sélection de variables
est aussi employé dans les modules d’analyse

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 169
Fonction
Equivalents dans le menu
Ouvrir le tableau de données symbolique
File/Open the Data Table...
Ouvrir la matrice de dissimilarités
File/Open the Matrix of Dissimilarity...
Choisir les variables
Classification/Select the Variables
Lire l’ordre initial des objets symboliques
Classification/Read the order
Construire la pyramide (exécuter l’algorithme)
Classification/Build the Pyramid...
Graphique la pyramide
Classification/Graphic the Pyramid
Changer la taille de la pyramide
Options/Change the Clusters Height
Imprimer le graphique
File/Print Graphic...
Effacer le graphique
Classification/Erase the Graphic
Table A.1: Barre d’outils du module de Pyramide.
en composantes principales pour des données de type intervalles et dans le module de
régression linéaire symbolique. Quand on clique sur ce bouton le programme présente la
boîte de dialogue qu’on présente dans la Figure A.3. Pour sélectionner une variable il faut
déplacer la souris sur l’étiquette de la variable et cliquer deux fois. On doit encore cliquer
deux fois sur l’étiquette de la variable pour éliminer la sélection. Les boutons pour ouvrir
le tableau de données symbolique , pour imprimer le graphique , et pour effacer le
graphique sont aussi employés dans tous les modules de PIMAD-Symbolique.
A.3 Le module d’analyse en composantes principales pour
des données de type intervalle
Pour exécuter le module d’analyse en composantes principales pour
des données de type intervalle on doit cliquer sur l’icône “Principal Component

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 170
Fonction
Equivalents dans le menu
Nouveau tableau de données
File/New Data Table
Ouvre un document SODAS existant
File/ Open Data Table for Edition
Enregistrer ce document
File/Save the Data Table
Imprimer ce document
File/Print the Data Table...
Coupe la sélection et le met sur le presse–papiers
Edit/Cut
Copie la sélection et le met sur le Presse–papiers
Edit/Copy
Insère le contenu du presse-papiers au point de l’insertion
Edit/Paste
Renverse la dernière opération
Edit/Undo
Il présente l’aide
Help/Contents
Arrêter le programme
File/Exit
Table A.2: Barre d’outils communs à tous les modules de PIMAD–Symbolique.
Figure A.3: La boîte de dialogue pour la selection de variables.
Analysis” qui est montré dans la Figure A.1. Quand ce programme est exécuté la
fenêtre principal qui est montrée sur la Figure A.4 apparaît. La manière la plus simple
d’utiliser ce module est aussi par la barre d’outils, dans le Tableau A.3 on explique la fonction
de chacun des boutons de la barre d’outils que nous n’avons pas encore expliqués, et

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 171
on explique aussi ses équivalents dans le menu principal.
Figure A.4: Fenêtre principale du module d’analyse en composantes principales pour des
données de type intervalle.
Le module d’analyse en composantes principales pour des données de type intervalles a
un menu dénommé “Step-by-Step” au moyen duquel on peut exécuter l’algorithme
étape par étape, c’est–à–dire, dans une telle manière que on peut voir et enregistrer dans un
dossier les calculs intermédiaires, tels que la matrice des corrélations, les valeurs propres,
les vecteurs propres, les composantes principales symboliques et les corrélations symboliques
entre les variables et les composantes. Le module d’analyse en composantes principales
pour des données de type intervalle a aussi un menu dénommé “Options/Choose
the Method” par lequel l’utilisateur peut choisir l’algorithme qu’il veut employer. Si
l’utilisateur choisit cette option le programme lui présentera la boîte de dialogue qui est
présenté dans la Figure A.5.
Si l’utilisateur choisit “Center” et “Dual” le programme exécutera l’algorithme 4.4
pour calculer les composantes principales symboliques et aussi les corrélations sym-

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 172
Fonction
Equivalents dans le menu
Enregistrer tous les calculs effectués par le système
File/Save in a File the Final Result
Construire et dessiner le plan principal
PCA/Principal Plan
Construire et dessiner le cercle des corrélations
PCA/Correlation Circle
Calculer les paramètres d’interprétation
PCA/Interpretation Parameters
Changer la taille du graphique dans l’écran
PCA/Size Change
Table A.3: Barre d’outils du module d’analyse en composantes principales pour des
données de type intervalle.
Figure A.5: Boîte de dialogue pour choisir l’algorithme.
boliques entre les composantes principales symboliques et les variables, et s’il choisit
“Center” et “Definition” alors le programme exécutera l’algorithme 4.4 pour calculer
les composantes principales symboliques et l’algorithme 4.1 pour calculer les corrélationes
symboliques entre les composantes principales symboliques et les variables. Au contraire,
si l’utilisateur choisit “Top” et “Dual” le programme exécutera l’algorithme 3.1

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 173
présenté dans [16, Cazes, Chouakria, Diday and Schektman (1997)] pour calculer les
composantes principales symboliques et l’algorithme 4.5 pour calculer les corrélationes
symboliques entre les composantes principales symboliques et les variables, et s’il choisit
“Top” et “Definition” alors le programme exécutera l’algorithme 3.1 présenté dans
[16, Cazes, Chouakria, Diday and Schektman (1997)] pour calculer les composantes principales
symboliques et l’algorithme 4.1 pour calculer les corrélationes symboliques entre
les composantes principales symboliques et les variables.
A.4 Le module d’analyse en composantes principales pour
des données de type histogramme
Pour exécuter le module d’analyse en composantes principales pour
des données de type histogramme on doit cliquer sur l’icône “Histogram Principal
Component Analysis” qui est montré dans la Figure A.1. Quand ce programme est
exécuté, la fenêtre principale qui est montrée sur la Figure A.6 apparaît.
Ce module est utilisé de la même manière que le module d’analyse en composantes principales
pour des données de type intervalles, on devrait exécuter ce module si on veut
exécuter l’algorithme 4.7. Les données d’entrée pour ce module doivent être dans le
format SODAS, et elles peuvent combiner les variables de type continu, intervalle et de
type histogramme. Si toutes les variables sont de type intervalle le programme produit
la même sortie que le module d’analyse en composantes principales pour des données de
type intervalle, parce que l’algorithme 4.7 est une généralisation de l’algorithme 4.2.

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 174
Figure A.6: Fenêtre principale du module d’analyse en composantes principales pour des
données de type histogramme.
A.5 Le module de régression linéare symbolique
Pour exécuter le module de régression symbolique simple on doit cliquer
sur l’icône “Linear Regression” qui est montré dans la Figure A.1. Quand ce
programme est exécuté, la fenêtre principale qui est montrée sur la Figure A.7 apparaît.
Avec ce module on peut effectuer la régression symbolique simple en utilisant quatre
algorithmes différents. Les statistiques descriptives élémentaires symboliques définies
par Bertrand et Goupil dans ([7, Bock et Diday (2000)]) peuvent être calculées avec ce
module et on peut aussi calculer les statistiques descriptives élémentaires symboliques
(entrée et sortie symbolique) définies dans le chapitre 3 de cette thèse. La manière la
plus facile d’utiliser ce module est aussi par la barre d’outils, dans le Tableau A.4 on
explique la fonction de chacun des boutons de la barre d’outils que nous n’avons toujours

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 175
Figure A.7: Fenêtre principal du module de régression symbolique simple.
pas expliqués, on explique aussi ses équivalents dans le menu principal.
Pour faire les calculs, d’abord vous devriez sélectionner le dossier de données en format
SODAS avec le bouton , alors les variables devraient être choisies en utilisant le bouton
, si on veut calculer la covariance, la corrélation ou faire la régression linéaire on
devrait choisir seulement deux variables. Pour la régression linéare la variable explicative
devrait être choisie d’abord.
Quand l’utilisateur choisit le bouton pour effectuer la régression linéaire le programme
déploie la boîte de dialogue qui est présenté dans la Figure A.8. À l’aide de cette boîte
de dialogue, l’utilisateur peut choisir un titre pour le graphique, déterminer le nombre de
classes, choisir l’algorithme voulu (parmi les algorithmes présentés dans le chapitre 2 de
cette thèse) et l’utilisateur peut aussi choisir un intervalle de prédiction.

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 176
Fonction
Equivalents dans le menu
Calcule la moyenne arithmétique
Descriptive-Statistics/Mean
Calcule la médiane
Descriptive-Statistics/Median
Calcule la moyenne des extrêmes
Descriptive-Statistics/Mean of the Extreme Values
Calcule la variance
Descriptive-Statistics/Variance
Calcule l’écart type
Descriptive-Statistics/Standard Deviation
Calcule le coefficient de variation
Descriptive-Statistics/Coefficient of Variation
Calcule la déviation moyenne
Descriptive-Statistics/Mean Deviation
Calcule la déviation quartile
Descriptive-Statistics/Deviation Quartil
Produit un histogramme
Descriptive-Statistics/Histogram
Produit un diagramme des barres
Descriptive-Statistics/Polygon of Frequencies
Produit une boîte de dispersion
Descriptive-Statistics/Dispersion Boxes
Calcule la covariance
Regression/Covariance
Calcule la corrélation
Regression/Correlation
Produit un diagramme de dispersion
Regression/Diagram of Dispersion
Trace la droite de régression
Regression/Linear Regression
Table A.4: Barre d’outils du module de régression linéale symbolique.
A.6 Le module de l’algorithme INTERSCAL pour la méthode
d’analyse des tableaux de proximités de type intervalle
Pour exécuter le module pour l’algorithme INTERSCAL pour la méthode
d’analyse des tableaux de proximités de type intervalle, on doit cliquer sur l’icône
“Multidimensional Analysis” qui est montré dans la Figure A.1. Quand ce programme
est exécuté la fenêtre principale qui est montrée dans la Figure A.9 apparaît.

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 177
Figure A.8: Options du module de régression.
Ce module est utilisé d’une manière très semblable aux modules d’analyse en composantes
principales. Si l’utilisateur ouvre le dossier des données avec le bouton
alors le programme démarre avec un tableau des données symboliques dans le format
SODAS, tout de suite le programme calcule la matrice de disimilarities en utilisant les
équations (5.12) et (5.13). Au contraire si l’utilisateur charge le dossier des données avec
le bouton , alors le programme exécute l’algorithme INTERSCAL directement à partir

Programme Intégré de Méthodes d’Analyse des Données Symboliques 178
Figure A.9: Fenêtre principal du module pour l’algorithme INTERSCAL.
de la matrice des dissimilarités. Cette matrice des dissimilarités doit être dans un dossier
ASCII dont le premier nombre doit être un entier M qui indique la quantité de lignes de
la matrice et dont le deuxième nombre doit également être un entier qui indique la quantité
de colonnes 2 · N de la matrice. Alors le programme lit M ∗ N distances minimum et
maximum.
Par exemple, dans le dossier suivant sont enregistrés le minimum et le maximun distances
des parmi 3 objets symboliques:
3 3
0.0000000 6.5791700 0.6889117 6.7661952 1.3380545 7.1580905
0.6889117 6.7661952 0.0000000 0.8552774 1.5742122 2.3863359
1.3380545 7.1580905 1.5742122 2.3863359 0.0000000 0.8452722

Résumé 179
Résumé
Ce travail s’inscrit dans le cadre de l’analyse de données symbolique. Le but de ce travail
est de généraliser au cas symbolique certaines techniques de la classification automatique,
aussi bien que quelques modèles linéaux. Ces généralisations seront toujours
faites d’après deux principes fondamentaux de l’analyse de données symbolique, à savoir:
L’analyse de données classique devrait être toujours un cas particulier de l’analyse de
données symbolique et dans une analyse de données symbolique, tant la sortie comme
la entrée devraient être symboliques. Nous présentons deux nouveaux algorithmes, qui
généralisent au cas symbolique de l’algorithme CAP, l’algorithme CAP et l’algorithme
CAPSO. Nous généralisons, pour les variables de type intervalle, la moyenne, la médiane,
la moyenne des valeurs extrêmes, l’écart type, la déviation quartile, boîtes de dispersion
(boxplot) et la corrélation. Trois nouvelles méthodes sont aussi présentées pour
effectuer la régression simple pour les variables de type intervalle. Nous étendons la
méthode d’analyse en composantes principales pour données de type histogramme, nous
généralisons le cercle des corrélations au cas des variables de type intervalle. Nous proposons
une méthode pour l’analyse des tableaux de proximités (multidimensional scaling)
pour des données de type intervalle, que nous avons dénommée INTERSCAL. Pour
chacune des méthodes présentées dans cette thèse un outil de logiciel a été mis en application.
Ce logiciel a été dénommé PIMAD-Symbolique (Programme Intégré de
Méthodes d’Analyse de Données Symbolique).
Mots–clés: analyse de données symbolique, classification automatique, modèles linéaux,
algorithme, pyramide, intervalle, régression simple, histogramme, Tableaux de proximités,
analyse en composantes principales.

Abstract 180
Classification and Linear Models in Symbolic Data
Analysis
Abstract
This work is framed inside the symbolic data analysis. The objective of this work is to
generalize to the symbolic case certain techniques of the automatic classification, as well
as some linear models. These generalizations will always be made following two fundamental
principles in Symbolic Data Analysis like they are: Classic Data Analysis should
always be a case particular case of the Symbolic Data Analysis and both, the exit as the
input in an Symbolic Data Analysis should be symbolic. We present two new algorithms,
which are a generalization to the symbolic case of the algorithm CAP. The first of these
two, denominated CAPS and the second algorithm denominated CAPSO. We generalize
for variables of type interval the mean, the median, the mean of the extreme values, the
standard deviation, the deviation quartil, the dispersion boxes and the correlation also
three new methods are also presented to carry out the lineal regression for variables of
type interval. We extend the method of Principal Components Analysis in two senses:
First, we propose three ways to project the interval variables in the circle of correlations
in such way that is reflected the variation or the inexactness of the variables. Second, we
propose an algorithm to make the Principal Components Analysis for variables of type
histogram. We propose a method for multidimensional scaling of interval data, denominated
INTERSCAL. For each one of the methods presented in this thesis a software tool
was implemented denominated PIMAD-Symbolique.
Keywords: symbolic data analysis, automatic classification, linear models, algorithm,
pyramid, interval, lineal regression, Principal Components Analysis, histogram, multidimensional
scaling.