Prépas 2006 - maths E sujet corrigé - EDHEC Grande Ecole

F(x) =
∫ 0 f () t dt + ∫ f () t dt + ∫ f () t dt + ∫ f () t dt
−∞
12 /
0
1
12 /
1
x
F(x) = 0 + 1 2 + 1 2 + 0 ∀x∈[1, +∞[, F(x) = 1.
+∞
3) • ∫ 0 tf()
t dt = tf()
t dt
−∞ ∫ = 0 (aucun problème de convergence).
1
12 /
12 / t
12 / t − 1+
1
12 / −1
1
• ∫ tf()
t dt=
dt
0 ∫ =
dt
0
2 ∫
= (
2
21 ( − t)
0 ∫
+
21 ( − t)
0 21 ( − t) 21 ( − t)
12 /
∫ tf()
t dt=
0
12 /
⎡1
⎤
ln 1 −
⎣
⎢
t
2 ⎦
⎥
–
0
⎡ 1 ⎤
⎢ ⎥
⎣21
( − t)
⎦
12 /
0
= 1 2 ln( 1 2 ) + 1 2 = 1 (1– ln2).
2
1
1 1
• ∫ tf()
t dt=
12 /
122t dt ⎡ 1 ⎤
∫ = ln t
/
⎣
⎢2 ⎦
⎥
= – 1
12 / 2 ln( 1 2 ) = ln 2
2 .
D’après la relation de Chasles, X a une espérance qui vaut :
E(X) = 1 ln 2
(1– ln2) +
2 2 , d’où : E(X) = 1 2 .
1
2
) dt .
0
+∞
4) a) • ∫ ( t − 1) 2 f ( t)
dt = ( t − ) f ( t)
dt
−∞ ∫ 1 2 = 0 (aucun problème de convergence).
1
12 /
• ∫ ( t − 1) 2
12 / 1
f ( t)
dt =
0
∫ dt = 1
0 2 4 .
• ∫ ( t − 1) 2
2
1
1 t − 2t
+ 1
f ( t)
dt =
dt
12 /
∫ = 1 1 2 1
( 1 )
12 / 2
2 t 2
∫ − + dt .
12 /
2
t t
1
∫ ( t − 1) 2 f ( t)
dt = 1 ⎡
12 /
2 t − t 1⎤
−
⎣
⎢
2 ln
t ⎦
⎥
1
1
12 /
= 1 2 ((1 – 2 ln1 – 1) – ( 1 2 – 2 ln( 1 2 ) – 2)).
∫ ( t − 1) 2 f ( t)
dt = – 1
12 /
2 (– 3 + 2ln 2) = 3 − ln 2 .
2
4
Toujours avec la relation de Chasles, (X– 1) 2 a une espérance et :
E((X – 1) 2 ) = 1 – ln 2.
b) Comme X 2 = (X – 1) 2 + 2 X – 1, on déduit de la question précédente que E(X 2 ) existe.
Par linéarité de l’espérance : E(X 2 ) = E((X – 1) 2 ) + 2 E(X) – 1.
Par conséquent, E(X 2 ) = 1 – ln 2 + 2 × 1 2
– 1 = 1 – ln 2.
Comme V(X) = E(X 2 ) – (E(X)) 2 , on a finalement :
6