Prépas 2006 - maths E sujet corrigé - EDHEC Grande Ecole

La matrice N est triangulaire donc ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux.
On peut donc conclure que 0 est la seule valeur propre de N, donc la seule valeur propre de f.
De plus, le sous-espace propre de f associé à la valeur propre 0 est Kerf.
Comme dim Ker f = 1, on a dim Ker f < dim IR 3 donc :
f n’est pas diagonalisable.
b) La formule de changement de base s’écrit : A = P N P –1 .
⎛ 0 0 1⎞
Un calcul simple montre que :N 2 ⎜ ⎟
=
0 0 0
⎜ ⎟ et N 3 = 0.
⎝ 0 0 0⎠
On en déduit que A 3 = 0. Pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a alors : A k = A 3 A k–3 = 0.
Conclusion :
∀k ≥ 3, A k = 0.
4) a) Soit M =
⎛ a b c⎞
⎜ ⎟
d e f
⎜ ⎟ une matrice quelconque de C N .
⎝ g h i⎠
La relation M N = N M équivaut à :
⎛ a b c⎞
⎜ ⎟
d e f
⎜ ⎟
⎝ g h i⎠
⎛ 0 1 0⎞
⎛ 0 1 0⎞
⎜ ⎟
0 0 1
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
0 0 1
⎜ ⎟
⎝ 0 0 0⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎛ 0 a b⎞
⎛ d e f⎞
⎧d = g = h=
0
⎜ ⎟
M∈C N ⇔
0 d e
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
g h i
⎜ ⎟ , d’où, en identifiant : ⎪
⎨ a = e=
i .
⎝ 0 g h⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎪
⎩ b=
f
⎛ a b c⎞
⎜ ⎟
On a donc : M∈C N ⇔ M =
0 a b
⎜ ⎟ .
⎝ 0 0 a⎠
En conclusion : M∈C N ⇔ M = a I + b N + c N 2 .
Ceci prouve que :
C N = vect(I, N, N 2 )
b) M∈C A ⇔ AM = MA ⇔ (PNP –1 ) M = M (PNP –1 ) ⇔ PNP –1 M = M PNP –1 .
En multipliant les deux membres par P –1 à gauche et par P à droite, on obtient :
M∈C A ⇔ NP –1 MP = P –1 M PN ⇔ N(P –1 MP) = (P –1 M P)N.
On a donc :
M∈C A ⇔ P –1 MP∈C N .
⎛ a b c⎞
⎜ ⎟
d e f
⎜ ⎟ , d’où :
⎝ g h i⎠
D’après le résultat de la question 4a), on peut écrire :
M∈C A ⇔ ∃(a, b, c)∈IR 3 , P –1 MP = a I + b N + c N 2 .
Ceci est équivalent (en multipliant les deux membres par P à gauche et par P –1 à droite) à :
M∈C A ⇔ ∃(a, b, c)∈IR 3 , M = P(a I + b N + c N 2 )P –1 , d’où, en développant :
M∈C A ⇔ ∃(a, b, c)∈IR 3 , M = a PIP –1 + b PNP –1 + c PN 2 P –1 .
3