Prépas 2006 - maths E sujet corrigé - EDHEC Grande Ecole

d) Les instructions manquantes sont
• dans la boucle : s : = s + p ;
• Après la boucle : s : = s * exp(– a) ;
Partie 3
1) On sait que : ∀n∈IN , P(X = n) = q n p, P(X ≥ n), = q n et λ n = PX ( = n )
.
PX ( ≥ n)
On en déduit donc que : ∀n∈IN , λ n = q n
p
n
q
Après simplification, on trouve :
∀n∈IN , λ n = p.
2) a) On sait déjà que 0 ≤ λ n < 1 donc 0 ≤ λ < 1 (puisque λ n = λ).
Si l’on avait λ = 0, alors on aurait 0 = PZ ( = n )
, ce qui donnerait : ∀n∈IN , P(Z = n) = 0.
PZ ( ≥ n)
+∞
∑
Ceci contredit le fait que PZ ( = n)
= 1.
En conclusion :
n=
0
∀n∈IN , 0 < λ < 1.
b) D’après le résultat de la question 1d) de la partie 2 : ∀n∈IN *, P(Z ≥ n) = ( 1−
) .
Comme le taux de panne de Z est constant et égal à λ, on a : P(Z ≥ n) = ( 1 − λ)
.
On en déduit : ∀n∈IN *, P(Z ≥ n) = (1 – λ) n .
Z prend ses valeurs dans IN donc P(Z ≥ 0) = 1 = (1 – λ) 0 , ce qui rend la formule précédente
encore valable pour n = 0.
On a donc :
∀n∈IN , P(Z ≥ n) = (1 – λ) n .
c) Comme λ = PZ ( = n )
, on a : ∀n∈IN , P(Z = n) = λ P(Z ≥ n).
PZ ( ≥ n)
On déduit alors de la question précédente que :
∀n∈IN , P(Z = n) = λ (1– λ) n .
En posant p = λ (on a bien 0 < p < 1) et q = 1 – p, on retrouve : ∀n∈IN , P(Z = n) = p q n .
Grâce aux questions 1) et 2) de cette partie, les seules variables aléatoires Z à valeurs dans IN ,
vérifiant pour tout n de IN, P(Z ≥ n) > 0 et dont le taux de panne est constant, sont les
variables dont la loi est du type de celle de X.
n−1
∏
k = 0
n−1
∏
k = 0
λ k
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