Prépas 2006 - maths E sujet corrigé - EDHEC Grande Ecole

V(X) = 1 – ln 2 – 1 4 , soit : V(X) = 3 – ln 2.
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5) a) On remarque que :
(Y = 1) = (X ≤ 1 2 ) = (Z = 0) et (Z = 1) = (X > 1 ) = (Y = 0).
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Or, pour tout ω de Ω,
soit (X(ω) ≤ 1 ) et on a Y(ω) + Z(ω) = 1,
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soit (X(ω) > 1 ) et on a encore Y(ω) + Z(ω) = 1.
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En conclusion :
Y + Z = 1.
Les variables Y et Z sont donc affinement liées, ce qui prouve que ρ (Y, Z)∈{–1, 1}.
De plus, Z = –Y + 1, donc Z est une fonction décroissante de Y et on a donc :
ρ (Y, Z) = –1.
b) On sait que cov (Y, Z) = ρ (Y, Z) VY ( ) VZ ( ) .
Y suit la loi de Bernoulli dont le paramètre est P(X ≤ 1 2 ) = F( 1 2 ) = 1 2 .
Z suit la loi de Bernoulli dont le paramètre est P(X > 1 2 ) = 1 – F( 1 2 ) = 1 2 .
On a donc V(Y) = V(Z) = 1 ,ce qui donne :
4
cov (Y, Z) = –
Exercice 3
Tout d’abord, f est une fonction polynomiale donc elle est de classe C 2 sur IR 2 .
1) a) Les dérivées partielles premières de f sont :
f x ’(x, y) = 4 x + 2 y – 1.
f y ’(x, y) = 2 x + 4 y – 1.
b) Les points critiques de f sont les points en lesquels les deux dérivées premières
⎧4x+ 2y− 1=
0
s’annulent simultanément, ce sont donc les solutions du système : ⎨
.
⎩2x+ 4y− 1=
0
Avec la transformation élémentaire L 2 ← 2 L 2 – L 1 , on obtient le système équivalent :
1
4 .
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