Méthodes de quantification optimale et Applications en Finance

Méthodes de quantification optimale
et Applications en Finance
Huyên PHAM
Université Paris 7
Laboratoire de Probabilités et
Modèles aléatoires, CNRS UMR 7599
pham@math.jussieu.fr
Version : 2006-2007.
Master 2ème année, Paris 7, Statistique et Modèles Aléatoires en Economie et
Finance

Table des matières
Préface 3
1 Quantification vectorielle d’une loi de probabilité 4
1.1 Mosaique de Voronoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Quantification de Voronoi et distorsion optimale . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Asymptotique de l’erreur de quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Algorithmes de recherche d’un quantifieur optimal de Voronoi . . . . . . 14
1.4.1 Méthode du point fixe de Lloyd (en dimension 1) . . . . . . . . . 14
1.4.2 Méthode du gradient déterministe (en dimension 1) . . . . . . . 15
1.4.3 Méthode du gradient stochastique : algorithme de Kohonen . . . 18
1.5 Application à l’intégration numérique et aux options européennes . . . . 23
2 Quantification d’une chaine de Markov et applications 26
2.1 Quantification marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Quantification optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Application à l’arrêt optimal et aux options américaines . . . . . . . . . 31
3 Filtrage et quantification 35
3.1 Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Rappel sur les variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Filtre de Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Filtrage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Equation du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Approximation par quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Application : Valorisation d’options européennes en information
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1

TABLE DES MATIÈRES 2
3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliographie 55

Préface
Le terme “quantification” a ses origines en théorie du signal et de l’information et
était utilisé par les ingénieurs depuis les années 50. Dans ce contexte, la quantification
signifie la discrétisation d’un signal continu par un nombre fini N de codes (ou quantifieurs).
Pour permettre une transmission efficiente du signal, il est donc primordial
d’optimiser la location géométrique de ces codes et d’évaluer l’erreur résultante. C’est
le problème mathématique dit de la quantification optimale : trouver la meilleure approximation
d’une loi de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec
un nombre donné N de points supportant cette loi. D’un point de vue numérique, la
quantification optimale est longtemps restée limitée au cas de signals unidimensionnels
car les procédures d’optimisation, essentiellement déterministes, devenaient trop lourds
en dimension supérieure. Grâce à l’évolution et la puissance des ordinateurs permettant
une réduction drastique des temps de calcul par les méthodes de Monte-Carlo,
les méthodes de quantification optimale ont été récemment réétudiés dans le domaine
des probabilités numériques et plus particulièrement dans les applications en finance
où intervient naturellement des questions de grande dimension.
Ce cours est une introduction aux méthodes de quantification optimale avec en vue
les applications en finance. On commence par exposer les fondements mathématiques de
la quantification quadratique. On développera ensuite les algorithmes de recherche d’un
quantifieur optimal et on donnera plusieurs applications en finance : calcul d’options
européennes et d’options américaines. On étudiera aussi le filtrage et les méthodes
d’approximation par quantification, avec comme applications les modèles à volatilité
stochastique.
3

Chapitre 1
Quantification vectorielle d’une
loi de probabilité
Dans la suite, |.| est la norme euclidienne sur R d et on note (.|.) ou parfois . le produit
scalaire associé. L’intérieur d’une partie A de R d est notée int(A) et son adhérence
Adh(A). On note ♯A le cardinal d’un ensemble A de R d et 1 A la fonction indicatrice de
A. Etant donné un espace de probabilité (Ω, A, P), on note L 2 (Ω, P; R d ) l’ensemble des
variables aléatoires X à valeurs dans R d telles que E|X| 2 < +∞ et on note ‖X‖ 2 =
(
E|X|
2 ) 1 2
. On notera aussi P X la loi de probabilité de X et λ d la mesure de Lebesgue de
R d . On note Supp(µ) le support topologique d’une mesure µ sur R d et Conv(Supp(µ))
son enveloppe convexe fermée.
1.1 Mosaique de Voronoi
Soit x = (x 1 , . . . , x N ) un N-uplet de points x i dans R d qu’on identifiera souvent
avec la grille (partie finie) {x 1 , . . . , x N } de N points dans R d . La famille d’ensembles
de R d définis par :
¯C i (x) =
{
u ∈ R d }
: |u − x i | = min j|
j=1,...,N
, i = 1, . . . , N,
est appelée mosaique (ou diagramme) de Voronoi de x. Les ¯C i (x), i = 1, . . . , N, sont les
cellules fermées de Voronoi engendrées par x. Ainsi, ¯Ci (x) consiste en tous les points
u de R d tels que x i est le plus proche de u parmi les points x j de x ; voir figure 1.1.
Il est clair qu’une mosaique de Voronoi couvre R d , i.e.
∪ N i=1 ¯C i (x) = R d ,
4

QUANTIFICATION VECTORIELLE 5
Fig. 1.1 – Une mosaique de Voronoi dans R 2 avec N = 500 points..
et que les cellules de Voronoi ¯C i (x) sont fermées dans R d . On introduit aussi les cellules
ouvertes de Voronoi dans R d :
Ci o (x) =
{
u ∈ R d
}
: |u − x i | < min |u − x j |
x j ≠x i
, i = 1, . . . , N,
qui sont clairement ouvertes dans R d et disjointes deux à deux mais ne couvrent pas
R d . On appelle partition de Voronoi de x toute partition C i (x), i = 1, . . . , N, de R d ,
i.e. ∪ N i=1C i (x) = R d et C i (x) ∩ C j (x) = ∅ si x i ≠ x j , telle que :
Notons qu’on a alors aussi
C i (x) ⊂ ¯C i (x), i = 1, . . . , N. (1.1)
C o i (x) ⊂ C i (x), i = 1, . . . , N. (1.2)
Nous montrons d’abord quelques propriétés intuitives sur les cellules de Voronoi.
Proposition 1.1.1 Les cellules de Voronoi vérifient
(a) ¯Ci (x) et Ci o(x) sont convexes dans Rd .
(b) int( ¯C i (x)) = Ci o(x), Adh(Co i (x)) = ¯C i (x), ∂C i (x) = ∂ ¯C i (x) = ∂Ci o(x).
(c) λ d (∂C i (x)) = 0.
Preuve. (a) On définit le demi-espace médian entre x i et x j par :
H ij (x) =
{
u ∈ R d }
: |u − x i | ≤ |u − x j | ,
et l’hyperplan séparateur entre x i et x j :
S ij (x) =
{
u ∈ R d }
: |u − x i | = |u − x j | .

QUANTIFICATION VECTORIELLE 6
On a donc par définition
¯C i (x) = ∩ N j=1H ij (x). (1.3)
En notant que par définition de la norme euclidienne, on a
{ (
H ij (x) = u ∈ R d : x i − x j | u − 1 )
2 (x i + x j )
}
≥ 0 ,
il est clair que H ij (x) est convexe et donc aussi ¯Ci (x) d’après (1.3). De même, en
écrivant que
}
Ci o (x) = ∩ xj ≠x i
{u ∈ R d : |u − x i | < |u − x j |
(
= ∩ xj ≠x i
{u ∈ R d : x i − x j | u − 1 ) }
2 (x i + x j ) > 0 ,
on a la convexité de Ci o(x).
(b) Vérifions que pour tout x j ≠ x i , λ ∈ ]0, 1[ et u ∈ H ij (x), on a
λu + (1 − λ)x i ∈
{
v ∈ R d }
: |v − x i | < |v − x j | . (1.4)
En effet, posons v = λu + (1 − λ)x i , i.e. v − x i = λ(u − x i ). v est dans H ij (x) par
convexité de cet ensemble. Supposons alors par l’absurde que |v − x i | = |v − x j |. Alors,
en utilisant le fait que pour tous vecteurs x ≠ y avec |x| = |y|, on a |(1 − λ)x + λy| <
|x|, on en déduit :
|u − x j | =
1
∣λ (v − x i) − (x j − x i )
∣ = 1 λ |v − x i − λ(x j − x i )|
qui est la contradiction voulue.
= 1 λ |(1 − λ)(v − x i) + λ(v − x j )|
< 1 λ |v − x i| = |u − x i | ≤ |u − x j |,
⋆ D’après (1.3), on a int( ¯C i (x)) = ∩ N j=1int(H ij (x)) et donc pour obtenir int( ¯C i (x)) =
Ci o(x), on doit montrer que pour tout x j ≠ x i
int(H ij (x)) ⊂
{
u ∈ R d }
: |u − x i | < |u − x j | .
Soit u ∈ int(H ij (x)) et ε > 0 tel que B(u, ε) ⊂ H ij (x). Si u = x i , on a trivialement
|u − x i | < |u − x j |. Sinon, on pose t = 1 + ε/|u − x i | et w = x i + t(u − x i ). Alors on a :
|w − u| = |(t − 1)u − (t − 1)x i | = ε,
ce qui implique w ∈ H ij (x). Comme u = 1 t w + (1 − 1 t )x i avec 1/t < 1, on a d’après
(1.4) |u − x i | < |u − x j |.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 7
⋆ Soit u ∈ ¯C i (x). Alors d’après (1.3), u ∈ H ij (x) pour tout j. Considérons la suite
u n = (1 − 1/n)u + 1/nx i , n ≥ 1. D’après (1.4), on a pour tout x j ≠ x i , |u n − x i | <
|u n − x j |, i.e. u n ∈ C o i (x). Comme la suite (u n) n converge vers u, ceci prouve que u ∈
Adh(C o i (x)) et donc ¯C i (x) = Adh(C o i (x)).
⋆ La dernière relation de l’assertion (a) découle de la définition de la frontière d’un
ensemble A de R d : ∂A = Adh(A)∩(int(A)) c et des relations précédentes :
∂C o i (x) = Adh(C o i (x)) ∩ (C o i (x)) c = ¯C i (x) ∩ int( ¯C i (x)) = ∂ ¯C i (x).
(c) Par définition de la frontière d’un ensemble et d’après (b), on a :
∂C i (x) = ¯C i (x) ∩ ( int( ¯C i (x)) ) c
= ¯C i (x) ∩ (C o i (x)) c
= ∪ xj ≠x i
S ij (x) ∩ ¯C i (x)
Puisque S ij (x) est un hyperplan de R d , on a λ d (S ij (x)) = 0 et l’assertion (c) est alors
une conséquence de la relation ci-dessus.
✷
1.2 Quantification de Voronoi et distorsion optimale
Soit X ∈ L 2 (Ω, P; R d ) de loi de probabilité P X , x = (x 1 , . . . , x N ) un N-uplet dans
R d et C i (x), i = 1, . . . , N, une partition de Voronoi de x. On appelle quantifieur de
Voronoi de X, la variable aléatoire ˆX x (notée simplement ˆX s’il n’y a pas d’ambiguité)
à valeurs dans la grille x, définie par :
ˆX x = Proj x (X) :=
N∑
x i 1 Ci (x)(X)
et donc de loi de probabilité discrète P ˆX
caractérisée par :
p i := P ˆX(x i ) = P( ˆX = x i ) = P(X ∈ C i (x)) = P X (C i (x)), i = 1, . . . , N.
Autrement dit, ˆXx est la projection selon le plus proche voisin de la variable aléatoire
X sur la grille x. Les p i sont appelés aussi masses des cellules de Voronoi. L’erreur
résultante au carré de quantification quadratique est appelée distorsion (quadratique)
et s’écrit donc par définition d’une partition de Voronoi :
i=1
DN X (x) := E|X − ˆX x | 2
N∑
= E [ |X − x i | 2 1 Ci (x)(X) ] [
]
= E min |X − x i| 2
i=1,...,N
i=1
∫
= d N (x, u)P X (du) (1.5)
R d

QUANTIFICATION VECTORIELLE 8
où d N : (R d ) N × R d → R + est la distorsion locale définie par :
d N (x, u) = min
i=1,...,N |u − x i| 2 =
N∑
|u − x i | 2 1 Ci (x)(u) (1.6)
La distorsion ne dépend que du N-uplet x et de la loi de probabilité P X de X.
Le problème de la quantification optimale, à N fixé, consiste à minimiser sur les
N-uplets x la distorsion. On dira que ˆX = ˆX x∗ est un N-quantifieur optimal de X si :
i=1
E|X − ˆX| 2 = inf
x∈(R d ) N DX N (x) =: D X N .
En fait, comme le prouve le résultat suivant, la N-quantification optimale fournit la
meilleure approximation quadratique d’une variable aléatoire (loi de probabilité) par
une variable aléatoire discrète (loi de probabilité discrète) de support à au plus N
points.
Proposition 1.2.2 Pour tout x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ (R d ) N , on a :
DN X (x) = inf
{
E|X − Y | 2 }
: Y : Ω → R d mesurable, Y (Ω) ⊂ {x 1 , . . . , x N } .(1.7)
et donc
D X N = inf
{
E|X − Y | 2
}
: Y : Ω → R d mesurable, ♯Y (Ω) ≤ N .
Preuve. Soit Y une variable aléatoire quelconque discrète dans R d de support Y (Ω)
⊂ {x 1 , . . . , x N }. On a alors par définition de la quantification de Voronoi :
|X − ˆX x | 2 = min
i=1,...,N |X − x i| 2 ≤ |X − Y | 2 , p.s.
d’où D X N (x) ≤ E|X − Y |2 et donc l’inégalité ≤ dans (1.7).
Réciproquement, considérons Y = ˆX x un quantifieur de Voronoi de X qui est bien
une variable aléatoire discrète de support inclus dans {x 1 , . . . , x N }. On a alors :
DN X (x) = E[ min |X − x i| 2 ] = E|X − Y | 2
i=1,...,N
{
}
≥ inf E|X − Y | 2 : Y : Ω → R d mesurable, Y (Ω) ⊂ {x 1 , . . . , x N } .
✷
L’existence et la caractérisation d’un quantifieur optimal requiert l’étude de la
distorsion D X N en fonction de x ∈ (Rd ) N .
Proposition 1.2.3 La fonction x ↦→ DN
X est continue sur (Rd ) N et atteint son minimum.
De plus, si ♯supp(P X ) > N, alors ce minimum est atteint en un N-uplet
(x ∗ 1 , . . . , x∗ N ) tel que x∗ i ∈ Conv(Supp(P X)) et x ∗ i ≠ x∗ j pour i ≠ j, et on a DX k+1 < DX k
pour 1 ≤ k ≤ N.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 9
Preuve. La continuité de la distorsion DN X est une conséquence immédiate de la continuité
de x = (x 1 , . . . , x n ) ↦→ d N (x, u) = min i=1,...,N |u − x i | 2 pour tout u ∈ R d , et du
théorème de convergence dominée.
Il est clair que si ♯supp(P X ) ≤ N avec donc supp(P X ) = {ˆx 1 , . . . , ˆx k } où k ≤ N,
DN X atteint son minimum égal à zéro en tout N-uplet x = (x 1, . . . , x N ) avec x i = ˆx i
pour i ≤ k.
On suppose donc ♯supp(P X ) > N et on montre le résultat par récurrence pour Dk
X
avec k ≤ N :
Si k = 1, comme la fonction x ∈ R d ↦→ D1 X(x) = E|X − x|2 est continue et tend
vers l’infini quand x tend vers l’infini, elle atteint son minimum.
Soit 1 ≤ k ≤ N et supposons qu’il existe x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x∗ k ) ∈ (Rd ) k atteignant
le minimum de Dk X. Fixons y ∈ supp(P X)\{x ∗ 1 , . . . , x∗ k
} ≠ ∅ et considérons le k + 1-
uplet x (k+1) = (x ∗ 1 , . . . , x∗ k
, y). Notons alors que la k + 1 cellule ouverte de Voronoi de
x (k+1) est alors de mesure non nulle
∣
pour P X , i.e. P X (Ck+1 o (x(k+1) )) ≠ 0., et qu’on a
pour tout u dans R d ∣∣u (k+1)
, min i=1,...,k+1 − x ∣ ≤ min i=1,...,k |u − x ∗ i | avec une inégalité
stricte pour u ∈ C o k+1 (x(k+1) ). On en déduit que
[
Dk+1 X (x(k+1) ) = E
[
< E
i
min
i=1,...,k+1
min |X −
i=1,...,k x∗ i |
]
∣
∣X − x (k+1)
i ∣
]
= D X k ,
ce qui prouve D X k+1 < DX k . Considérons l’ensemble de (Rd ) k+1 : K k+1 = {Dk+1 X ≤
Dk+1 X (x(k+1) )}. K k+1 est fermé par continuité de Dk+1 X . Il est aussi borné car d’après
le lemme de Fatou :
[
]
lim inf
x=(x 1 ,...,x k+1 )→+∞ DX k+1 (x) ≥ E lim inf min |X − x i| 2
x=(x 1 ,...,x k+1 )→+∞ i=1,...,k+1
≥ D X k > D X k+1 (x(k+1) ).
Ainsi, K k+1 est un compact de (R d ) k+1 dans lequel Dk+1 X atteint son minimum qui
est alors évidemment aussi un minimum absolu sur (R d ) . De plus, comme D X k+1 <
D X k , un minimum de DX k+1
a nécessairement toutes ses k + 1 composantes distinctes.
Finalement, en notant par Π la projection sur le convexe fermé Conv(Supp(P X )), on
a pour tout x ∈ (R d ) N et u ∈ Supp(P X ), |Π(x i ) − u| = |Π(x i ) − Π(u)| ≤ |x i − u| car Π
est 1-Lipschitzienne et donc DN X((Π(x i) 1≤i≤N ) ≤ DN X (x). Ceci prouve qu’un minimum
de DN X a ses composantes dans Conv(Supp(P X)).
✷
On a le résultat suivant de différentiabilité de la fonction de distorsion.
Proposition 1.2.4 (a) La fonction x ↦→ DN X est différentiable en tout point x =
(x 1 , . . . , x N ) ∈ (R d ) N tel que x i ≠ x j pour i ≠ j et P X (∪ N i=1 ∂C i(x)) = 0. De plus,

QUANTIFICATION VECTORIELLE 10
son gradient est donné par :
∇D X N (x) = 2
( ∫
(x i − u)P X (du)
C i (x)
)
1≤i≤N
. (1.8)
(b) En particulier, si P X est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue,
alors D X N est différentiable en tout x = (x 1, . . . , x N ) ∈ (R d ) N tel que x i ≠ x j pour i ≠
j et on a
arg min
(R d ) N DX N ⊂ { ∇D X N = 0 } .
Preuve. Par définition (1.6) de la distorsion locale, pour tout x = (x 1 , . . . , x N ) ∈
(R d ) N tel que x i ≠ x j pour i ≠ j et u /∈ ∪ N i=1 ∂C i(x), on a :
∂d N
∂x (x, u) = 2 ( (x i − u)1 Ci (x)(u) ) 1≤i≤N ,
et donc ∂d N
∂x (x, u) existe P X(du) p.s. sous la condition P X (∪ N i=1 ∂C i(x)) = 0. De plus,
∣
pour tout x dans un compact K de (R d ) N avec x i ≠ x j pour i ≠ j, on a ∣ ∂d N ∣∣
∂x (x, u) ≤
2(|u|+c K ) où c K est une constante dépendant de K. La fonction u → 2(|u|+c K ) étant
P X intégrable, on obtient (1.8) d’après (1.5) et le théorème de Lebesgue. Finalement,
(b) découle de l’assertion (c) de la proposition 1.1.1 et de la proposition 1.2.3. ✷
On dit qu’un quantifieur ˆX = ˆX x est stationnaire si le N-uplet x de points associés
satisfait
∇D X N (x) = 0.
Un quantifieur optimal est donc stationnaire (la réciproque n’étant pas toujours vraie).
On a la propriété utile suivante sur les quantifieurs stationnaires.
Proposition 1.2.5 Si ˆX est un quantifieur stationnaire de X alors on a :
E[X| ˆX] = ˆX. (1.9)
Preuve. D’après (1.8), le N-uplet x = (x 1 , . . . , x N ) associé à un quantifieur stationnaire
ˆX = ˆX x satisfait :
E [ (X − x i )1 Ci (x)(X) ] = 0, i = 1, . . . , N. (1.10)
Pour toute fonction ϕ Borélienne, bornée sur R d , on a alors :
E[ϕ( ˆX)X] =
=
N∑
E[ϕ(x i )X1 Ci (x)(X)]
i=1
N∑
E[ϕ(x i )x i 1 Ci (x)(X)] = E[ϕ( ˆX) ˆX],
i=1

QUANTIFICATION VECTORIELLE 11
ce qui prouve le résultat voulu.
✷
Examples
1. Soit N = 1. Alors D1 X(x) = E|X − x|2 atteint son minimum en x ∗ = E(X) et on a
D X 1 = V ar(X).
2. Soit N = 2 et X de loi de probabilité discrète P X = 1 3 (δ 0 + δ 1
2
0 ≤ x 1 < x 2 ≤ 1, on a :
On obtient donc
D X 2 (x 1 , x 2 ) = 1 3
=
⎧
⎨
⎩
[
x 2 1 + min
i=1,2
[
1
3
arg min
x∈R 2 DX 2 = {∇D X 2 = 0} =
(
x i − 1 ) ]
2
+ (x 2 − 1) 2
2
2 ( ]
x 1 − 1 2
4)
+ (x2 − 1) 2 + 1 8
si x 1 + x 2 ≥ 1
[
1
3
x 2 1 + 2 ( ]
x 2 − 3 2
4)
+
1
8
si x 1 + x 2 < 1
{( ) ( 1
4 , 1 ; 0, 3 )}
4
+ δ 1 ). Pour tous
et D X 2 = 1 24 .
Pour x ∗,1 = (1/4, 1), on a C 1/4 (x ∗,1 ) = ] − ∞, 5/8[ et C 1 (x ∗,1 ) = [5/8, ∞[, d’où p ∗,1
1/4
= 2/3 et p ∗,1
1 = 1/3. Pour x ∗,2 = (0, 3/4), on a C 0 (x ∗,2 ) = ] − ∞, 3/8[ et C 3/4 (x ∗,1 ) =
[3/8, ∞[, d’où p ∗,2
0 = 1/3 et p ∗,2
3/4 = 2/3.
3. Soit X de loi uniforme sur [0, 1] : U([0, 1]). La recherche du minimum de la distorsion
DN X peut se restreindre aux N-uplets x = (x 1, . . . , x N ) avec 0 ≤ x 1 < x 2 < . . . < x N ≤
1. Pour de tels N-uplets, les cellules (fermées) de Voronoi sont :
]
[
xi−1 + x i
]
¯C 1 (x) = −∞, x 1 + x 2
, ¯Ci (x) =
2
[ [
xN−1 + x N
¯C N (x) =
, +∞ .
2
2
, x i + x i+1
2
On calcule explicitement le gradient de la distorsion :
∂DN
X ∫
(x) = 2 (x 1 − u)du = 1 ∂x 1 ¯C 1 (x)∩[0,1]
4 (3x 1 − x 2 )(x 1 + x 2 ),
∂D X N
∂x i
(x) = 2
∂D X N
∂x i
(x) = 2
∫
∫
]
, 2 ≤ i ≤ N − 1,
(x i − u)du = 1
¯C i (x)
4 (2x i − (x i−1 + x i+1 ))(x i+1 − x i−1 ), 2 ≤ i ≤ N − 1,
(x N − u)du = 1
¯C N (x)∩[0,1]
4 (3x N − x N−1 − 2)(2 − (x N−1 + x N )).
On vérifie alors aisément qu’il y a un unique x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x∗ N ) tel que ∇DX N (x∗ ) = 0 :
il est donné par
x ∗ i = 2i − 1
2N , 1 ≤ i ≤ N.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 12
Cet unique quantifieur stationnaire est donc aussi l’unique minimum de DN X . Les cellules
fermées de Voronoi associées sont ¯C 1 (x ∗ ) = ]−∞, 1/N], ¯C i (x ∗ ) = [(i−1)/N, i/N],
i = 2, . . . , N − 1, et ¯C N (x ∗ ) = [1 − 1/N, ∞[. Par symétrie et translation, on calcule
aisément la distorsion minimale :
D N X = D X N (x ∗ ) =
N∑
∫
i=1
∫
= N
C i (x ∗ )
[−1/2N,1/2N]
|x ∗ i − u| 2 1 [0,1] (u)du
|u| 2 du = 1 1
12 N 2 ,
ainsi que les masses des cellules de Voronoi associées p ∗ i = P X [C i (x ∗ )] = 1/N, i =
1, . . . , N.
4. Soit X de loi uniforme sur le cube [0, 1] d : U([0, 1] d ). Considérons la mosaique de
Voronoi de [0, 1] d construite avec les N = k d translations C 1 , . . . , C N du cube [0, 1/k] d .
Notons x i , i = 1, . . . , N, les points centraux de ces cubes, voir figure. La distorsion
associée est
D X N (x) =
N∑
∫
i=1
C i
|x i − u| 2 du.
Par translation et hométhie des cubes C i , on a pour tout i = 1, . . . , N :
∫
∫
|x i − u| 2 du =
|u| 2 |u|
du =
C i [−
∫[− 2
du.
1
2k , 1
2k ]d 1 2 , 1 k2+d 2 ]d
On obtient donc
D X N (x) = 1
N 2 d
∫
[− 1 2 , 1 2 ]d |u| 2 du = 1
N 2 d
d
12 .
1.3 Asymptotique de l’erreur de quantification
On s’intéresse dans ce paragraphe au comportement asymptotique de la distorsion
minimale lorsque le nombre de points N tend vers l’infini.
Proposition 1.3.6
lim
N→+∞ DX N = 0.
Preuve. Soit (x n ) n∈N ∗ une suite dense dans R d et considérons le N-uplet x (N) =
(x 1 , . . . , x N ). Alors la suite de variables aléatoires positives f N = min i=1,...,N |X − x i | 2
est décroissante et converge p.s. vers 0. On en déduit par le théorème de convergence

QUANTIFICATION VECTORIELLE 13
monotone : DN X(x(N) ) = E[f N ] −→ 0 quand N tend vers +∞. Puisque 0 ≤ D X N ≤
DN X(x(N) ), on a le résultat voulu.
✷
La recherche de la vitesse de convergence de la distorsion minimale est un problème
beaucoup plus difficile. Elle a été résolue en plusieurs étapes par Zador [21], Buckley et
Wise [4] et finalement Graf et Lushgy [10]. Le premier résultat concerne la distorsion
de la loi uniforme sur [0, 1] d .
Théorème 1.3.1 Soit X de loi uniforme sur [0, 1] d : U([0, 1] d ). Alors
J d := lim
N→+∞ N 2 d D
X
N
existe dans ]0, +∞[.
Remarque 1.3.1 D’après l’exemple 4 du paragraphe précédent, on sait que J d ≤
d/12. Pour d = 1 et 2, on connait J 1 = 1/12 et J 2 = 5/(18 √ 3). Pour d ≥ 3, la valeur
exacte de J d est inconnue. On a cependant un équivalent quand d tend vers l’infini :
J d ∼ d/(2πe).
Dans un deuxième temps, on étend le résultat pour des lois non uniformes. On note
P X = P a X + Ps X la décomposition de Lebesgue de P X par rapport à λ d , i.e. P a X
est la
partie absolument continue et P s X la partie singulière. On note dPa X /dλ d la densité de
Radon-Nykodim de P a X par rapport à λ d. Pour toute fonction borélienne mesurable de
R d dans R et r ∈ ]0, +∞[, on note
‖f‖ r
=
(∫
|f| r dλ d
) 1
r
.
Théorème 1.3.2 On suppose E|X| 2+ε < +∞ où ε > 0. Alors
lim d D
X
N
N→+∞
=
∥ ∥∥∥ dP a ∥
X ∥∥∥
J d
dλ d d
. (1.11)
d+2
Remarque 1.3.2 Si P X est une mesure purement singulière par rapport à λ d alors le
théorème précédent montre que D X N = o(N −2/d ). En fait, dans ce cas, la vitesse peut
être plus rapide. Par exemple, si P X est une mesure discrète alors D X N = 0 dès que N
≥ ♯supp(P X ). Si ♯supp(P X ) = N et la transformée de Laplace de X est finie sur tout
R + , e.g. la loi de Poisson, alors :
[
]
D X N ≤ E min |X −
n=0,...,N−1 n|2 ≤ E [ 1 X≥N |X − N + 1| 2]
≤ E [ 1 X≥N |X| 2] ≤ E [ |X| 2 e αX] e −αN , pour tout α > 0,
[
≤ 2E e (α+1)X] e −αN = O(e −αN ) pour tout α > 0.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 14
Example
Soit X de loi normale N (m, Σ) sur R d (Σ matrice de variance-covariance). Alors la
formule (1.11) donne
(
lim N 2 d D
X
N = 2π 1 + 2 ) 1+
d
2 1
(det(Σ)) d Jd .
N→+∞ d
Projet 1 : Mémoire sur la démonstration du théorème 1.3.2. Ref : Graf et Lushgy [10].
1.4 Algorithmes de recherche d’un quantifieur optimal de
Voronoi
A cette étape, le problème est d’obtenir numériquement un quantifieur N-optimal,
i.e. trouver un N-uplet x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ (R d ) N qui minimise la distorsion D X N . La
recherche des minima d’une fonction est un problème classique en analyse. Il est lié au
problème de la recherche des points à un niveau puisque argmin D X N ⊂ {∇DX N = 0}.
On va donc en fait chercher les quantifieurs stationnaires i.e. solution de : ∇D X N (x∗ )
= 0 qui vont nous donner au moins des minimas locaux. Nous examinons dans ce
paragraphe les méthodes de point fixe et celles du gradient.
1.4.1 Méthode du point fixe de Lloyd (en dimension 1)
L’approche du point fixe de Lloyd est basée sur l’équation (1.10) de stationnarité
d’un quantifieur qui peut se réécrire comme :
∫
1
x i =
uP X (du), i = 1, . . . , N.
P X (C i (x))
C i (x)
L’algorihme de Lloyd consiste à définir récursivement une suite (x n ) n≥0 dans (R d ) N
partant d’un point initial x ∈ (R d ) N :
x 0 = x
x n+1
i
= F i (x n ) :=
∫
1
P X (C i (x n uP X (du), i = 1, . . . , N, (1.12)
)) C i (x n )
L’heuristique de la qualité d’un tel algorithme est donnée par l’argument suivant : en
notant ˆX n := ˆX xn , la relation (1.12) implique ˆX 0 = ˆX x et
ˆX n+1 = E[X| ˆX n ], n ∈ N.
D’après la définition-caractérisation de l’espérance conditionnelle par rapport à ˆX n
comme projection orthogonale dans L 2 sur l’espace L 2 (σ( ˆX n )) des variables aléatoires

QUANTIFICATION VECTORIELLE 15
σ( ˆX n )-mesurables de carré intégrable, on a :
‖X − ˆX n+1 ‖ 2
= ‖X − E[X| ˆX n ]‖ 2
= min
{
‖X − Y ‖ 2
: Y ∈ L 2 (σ( ˆX
}
n ))
< ‖X − ˆX n ‖ 2
avec égalité si ˆXn = E[X| ˆX n ].
En dimension d = 1, on montre (voir [11]) que lorsque P X admet une densité strictement
log-concave (e.g. la distribution normale), alors l’application x ↦→ (F i (x)) 1≤i≤N
est une contraction et donc admet un unique point fixe vers lequel la méthode de
Lloyd converge avec une vitesse exponentielle. En dimension d ≥ 2, les résultats de
convergence de la méthode de Lloyd ne sont pas clairement établis dans la littérature.
De plus, lorsque d ≥ 2, l’implémentation de la méthode de Lloyd n’est pas réaliste
car on doit calculer numériquement des intégrales multiples sur des mosaiques de Voronoi.
En fait, l’algorithme de Lloyd ne s’utilise en pratique qu’en dimension d = 1 où
les mosaiques de Voronoi et le calcul d’intégrale simple sont explicites.
Projet 2 : Démonstration de la convergence de la méthode de Lloyd en dimension 1
et implémentation pour la loi normale.
1.4.2 Méthode du gradient déterministe (en dimension 1)
La méthode du gradient pour la recherche d’un quantifieur stationnaire x ∗ , i.e.
∇D X N (x∗ ) = 0, est un algorithme qui corrige à chaque pas dans le bon sens, l’ampleur
des corrections diminuant petit à petit. Supposons ainsi que x ∗ est un point attractif,
i.e.
On considère alors l’algorithme
(x − x ∗ |∇D X N (x)) > 0, ∀x ≠ x ∗ ∈ (R d ) N . (1.13)
x 0 = x
x n+1 = x n − γ n ∇D X N (x n ), (1.14)
où la suite (γ n ) des pas est une suite positive telle que ∑ n γ n = +∞ et ∑ n γ2 n < +∞.
Cet algorithme se présente de façon générale sous la forme :
x 0 = x
x n+1 = x n − γ n h(x n ), (1.15)
où h est une fonction continue et la suite (γ n ) des pas est une suite positive telle que
∑
n γ n = +∞ et ∑ n γ2 n < +∞. La convergence de cet algorithme peut être étudiée selon
la technique de Robbins-Monro. C’est l’approche que nous considérons ici. Elle peut
être aussi approfondie avec la technique de Kushner-Clark, appelée encore méthode
de l’EDO, en étudiant l’équation différentielle ordinaire dx/dt = −h(x) associée à
l’algorithme.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 16
Proposition 1.4.7 (Robbins-Monro déterministe)
Soit V une fonction auxiliaire (dite de Lyapounov) à valeurs positives de classe C 1
avec un gradient ∇V Lipschitzien et telle que : |h| 2 ≤ Cte(1+V ) et (h|∇V ) ≥ 0. Alors
la suite (V (x n )) n converge et ∑ n γ n|(h|∇V )(x n )| < +∞.
La preuve de cette proposition repose sur le lemme suivant :
Lemme 1.4.1 (Robbins-Siegmund déterministe)
Soient (V n ), (β n ), (χ n ) et (η n ) quatre suites positives telles que :
∑
∑
V n+1 ≤ V n (1 + β n ) + χ n − η n , < +∞,
n
β n
n
χ n
< +∞.
Alors (V n ) converge dans R + et ∑ n η n < +∞.
Preuve. On pose α n = 1/ ∏ n
k=1 (1 + β k), V ′ n = α n−1 V n , χ ′ n = α n χ n , η ′ n = α n η n de telle
sorte que :
V ′ n+1 ≤ V ′ n + χ ′ n − η ′ n.
La suite Y n = V n− ′ ∑ n−1
k=1 (χ′ k −η′ k ) est donc décroissante. De plus, comme ln ∏ n
k=1 (1+β k)
= ∑ n
k=1 ln(1 + β k) converge quand n tend vers l’infini, alors (α n ) converge vers α > 0.
La convergence de la série ∑ n χ n implique donc celle de ∑ n χ′ n. La suite décroissante
(Y n ) est donc minorée (par − ∑ n χ′ n) et converge. Notons aussi que ∑ n−1
k=1 η′ k ≤ Y n +
∑ n−1
k=1 χ′ k et donc la série à termes positifs ∑ n η′ n converge. Ceci implique la convergence
de la suite (V n) ′ et finalement celle de (V n ) et de ∑ n η n.
✷
Preuve de la proposition 1.4.7.
Par la formule de Taylor, on a
V (x n+1 ) = V (x n ) +
∫ 1
D’après (1.15) et puisque ∇V est Lipschitzienne, on a :
0
(∇V (tx n + (1 − t)x n+1 ).(x n+1 − x n )dt.
V (x n+1 ) ≤ V (x n ) − γ n (∇V (x n )|h(x n )) + Cte|x n+1 − x n | 2
≤ V (x n ) ( 1 + Cteγ 2 n)
+ Cteγ
2
n − γ n (∇V |h)(x n ),
en utilisant l’hypothèse |h| 2 ≤ Cte(1 + V ). On conclut avec le lemme 1.4.1.
✷
Application à l’algorithme du gradient (1.14).
Il y a diverses variations autour du choix des fonctions de Lyapounov pour obtenir des
versions multiples de la convergence de l’algorithme de Robbins-Monro et en particulier
de l’algorithme du gradient (1.14) avec h = ∇D X N .

QUANTIFICATION VECTORIELLE 17
⋆ Un premier choix est V (x) = |x−x ∗ | 2 . Alors ∇V (x) = 2(x−x ∗ ). D’après l’expression
(1.8) de ∇D X N , on a |∇DX N (x)|2 ≤ Cte(1 +|x| 2 ) de sorte que sous (1.13), les hypothèses
de la proposition 1.4.7 sont vérifiées. On obtient alors que |x n − x ∗ | 2 converge vers une
constante δ ≥ 0 et la série ∑ n γ n|(∇D X N (xn )|x n − x ∗ )| converge. Si par l’absurde δ ≠
0, alors à partir d’un certain rang n 0 , on aurait pour tout n ≥ n 0 , 0 < δ/2 ≤ |x n − x ∗ | 2
≤ 2δ et |(∇D X N (xn )|x n − x ∗ )| > c avec c > 0 d’après (1.13). C’est en contradiction avec
la divergence de la série ∑ n γ n.
⋆ Un autre choix de fonction de Lyapounov est V (x) = DN X . Sous la condition que
∇DN X est Lipschitzienne et |∇DX N |2 ≤ cte(1 + DN X ), la proposition 1.4.7 implique que
la suite (DN X(xn )) n converge vers D ∗ et la série ∑ n γ n|∇DN X(xn )| 2 converge. Si de plus
DN X (x) converge vers l’infini quand |x| tend vers l’infini, alors en utilisant la méthode
dite de l’EDO (équation différentielle ordinaire), on montre (voir Lemme 3.III.8 dans
[5]) que x n converge vers une composante connexe de {∇DN X = 0} ∩ {DX N = D∗ }. En
particulier, si {∇DN X = 0} = {x∗ } alors x n converge vers x ∗ .
Remarque 1.4.3 Les hypothèses ci-dessus requises pour assurer la convergence de la
méthode du gradient ne sont pas vérifiées par la fonction de distorsion. Cependant, il
existe des résultats partiels de convergence dans le cas unidimensionnel ou lorsque le
support de la loi de X est compact, cf [15]. De plus, l’implémentation pratique donne
des résultats satisfaisants (ce qui est souvent le cas dans les méthodes de gradient) et
on peut obtenir des estimations d’erreur de la distorsion (voir paragraphe suivant).
En pratique, la méthode du gradient déterministe est difficilement implémentable
au delà de la dimension d ≥ 2 car le calcul de ∇DN
X fait intervenir des intégrales
multiples (sur des cellules de Voronoi). En dimension 1, comme pour la méthode de
Lloyd, les calculs d’intégrales et de cellules de Voronoi sont explicites, et la méthode
du gradient est efficace.
Exemple pour la loi normale unidimensionnelle
Soit X de loi normale N (0, 1). La recherche du minimum de la distorsion DN X peut se
restreindre aux N-uplets x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ R N avec x 1 < x 2 < . . . < x N . Pour de tels
N-uplets, les cellules (fermées) de Voronoi sont C i (x) = [x i−1/2 , x i+1/2 ] où on a posé
x i−1/2 = (x i + x i−1 )/2, x i+1/2 = (x i + x i+1 )/2 et par convention x 1/2 = −∞ (lorsque
i = 1) et x N+1/2 = +∞ (lorsque i = N). En notant par φ la fonction de distribution
de N (0, 1), i.e. φ(y) = √ 1 ∫ y
2π −∞ e−u2 /2 du, on calcule explicitement le gradient de la
distorsion :
∂D X N
[
(x) = x i φ(xi+1/2 ) − φ(x
∂x i−1/2 ) ]
i
+ √ 1 ( [exp − 1 ) (
2π 2 x2 i+1/2
− exp − 1 )]
2 x2 i−1/2
.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 18
Projet 3 : Implémenter la méthode du gradient pour la loi normale scalaire et comparer
avec la méthode de Lloyd.
1.4.3 Méthode du gradient stochastique : algorithme de Kohonen
La méthode du gradient stochastique pour la recherche d’un quantifieur stationnaire
est basée sur le fait que le gradient de la distorsion admet une représentation intégrale
par rapport à la loi de probabilité X simulable :
∫
∇DN X (x) = ∇ x d N (x, u)P X (du) = E[∇ x d N (x, Z)],
où Z est une variable aléatoire de loi de probabilité P X et ∇ x d N : (R d ) N × R d → R d
est donné d’après (1.8) par :
1
2 ∇ xd N (x, u) = ( )
(x i − u)1 Ci (x) 1≤i≤N . (1.16)
On considère alors l’algorithme stochastique définissant de façon récursive la suite de
variables aléatoires (x n ) dans (R d ) N par :
x n+1 = x n − γ n
2 ∇ xd N (x n , Z n+1 ), (1.17)
où la suite (γ n ) des pas est une suite positive telle que ∑ n γ n = +∞ et ∑ n γ2 n < +∞
et la suite (Z n ) est une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi P X simulable choisie
indépendante de la variable initiale x 0 . On peut réécrire (1.17) sous la forme :
x n+1 = x n − γ n
2
(
∇D
X
N (x n ) + ∇ x d N (x n , Z n+1 ) − ∇D X N (x n ) ) .
Les termes ∇ x d N (x n , Z n+1 ) − ∇D X N (xn ), n ≥ 0, ont une espérance conditionnelle nulle
par rapport à F Z n = σ(x 0 , Z 1 , . . . , Z n ) filtration propre engendrée par Z (et x 0 ).
Finalement, on est amené à étudier des algorithmes stochastiques généraux de la
forme :
x n+1 = x n − γ n (h(x n ) + ε n+1 ), (1.18)
où h est une fonction continue, la suite (γ n ) des pas est une suite positive telle que
∑
n γ n = +∞ et ∑ n γ2 n < +∞ et la suite de variables aléatoires (ε n ) vérifie
où F n est la filtration engendrée par x 0 , ε 1 . . . , ε n .
E[ε n+1 |F n ] = 0, n ∈ N, (1.19)
Proposition 1.4.8 (Robbins-Monro stochastique)
Soit V une fonction auxiliaire (dite de Lyapounov) à valeurs positives de classe C 1
avec un gradient ∇V Lipschitzien et telle que : |h| 2 ≤ Cte(1 + V ), (h|∇V ) ≥ 0 et
E[|ε n+1 | 2 |F n ] ≤ Cte(1 + V (x n )), p.s. ∀n ≥ 0. (1.20)
Alors presque sûrement, la suite (V (x n )) n converge et ∑ n γ n|(h|∇V )(x n )| < +∞.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 19
Comme dans le cas déterministe, la preuve de cette proposition repose sur le lemme
suivant :
Lemme 1.4.2 (Robbins-Siegmund stochastique)
Soient (V n ), β n ), (χ n ) et (η n ) quatre suites de variables aléatoires positives (F n )-
adaptées telle que :
E[V n+1 |F n ] ≤ V n (1 + β n ) + χ n − η n , p.s. ∀n ≥ 0.
Alors presque sûrement sur
{ ∑
Ω 1 =
n
β n
< +∞ et
}
∑
χ n < +∞ ,
n
(V n ) converge vers V ∞ variable aléatoire positive finie et la série ∑ n η n converge.
Preuve. On pose α n = 1/ ∏ n
k=1 (1 + β k), V ′ n = α n−1 V n , χ ′ n = α n χ n , η ′ n = α n η n de telle
sorte que :
E[V ′ n+1|F n ] ≤ V ′ n + χ ′ n − η ′ n.
La suite Y n = V n ′ − ∑ n−1
k=1 (χ′ k − η′ k ) est donc une surmartingale. Pour tout m ∈ N∗ ,
on note τ m = inf{n : ∑ n
k=1 (χ′ k − η′ k
) ≥ m} de sorte que la surmartingale arrêtée
(Y n∧τm ) n est minorée par −m et converge p.s. vers une variable aléatoire finie d’après
le théorème de Doob. Donc sur {τ m = +∞}, (Y n ) converge p.s. vers une limite finie.
De plus, sur Ω 1 , ln ∏ n
k=1 (1 + β k) = ∑ n
k=1 ln(1 + β k) converge quand n tend vers
l’infini et donc (α n ) converge vers α > 0. La convergence de la série ∑ n χ n implique
donc celle de ∑ n χ′ n sur Ω 1 .
Puisque ∑ n−1
k=1 η′ k ≤ Y n + ∑ n−1
k=1 χ′ k
, on en déduit que la série à termes positifs
∑
n η′ n converge sur Ω 1 ∩ {τ m = +∞} et donc aussi (V n). ′ Ceci implique la convergence
de la suite (V n ) et de la série ∑ n η n sur Ω 1 ∩ {τ m = +∞}. Or sur Ω 1 , la série ∑ n χ′ n
converge et donc il existe m ∈ N ∗ tel que ∑ +∞
k=1 (χ′ k − η′ k ) < m, i.e. τ m = +∞. Ainsi
Ω 1 = ∪ +∞
m=1 Ω 1 ∩ {τ m = +∞} et la proposition est démontrée. ✷
Preuve de la proposition 1.4.8.
Comme dans la preuve de la proposition 1.4.7, on a par la formule de Taylor, le fait
que ∇V est Lipschitzienne et l’hypothèse |h| 2 ≤ Cte(1 + V ) :
V (x n+1 ) ≤ V (x n ) ( 1 + Cteγ 2 n)
− γn (∇V |h)(x n )
D’après (1.19) et (1.20), on obtient alors
+Cteγ 2 n(1 + |ε n+1 | 2 ) − γ n (∇V (x n )|ε n+1 ).
E[V (x n+1 )|F n ] ≤ V (x n ) ( 1 + Cteγ 2 n)
+ Cteγ
2
n − γ n (∇V |h)(x n ).

QUANTIFICATION VECTORIELLE 20
On conclut avec le lemme 1.4.2.
✷
Application à l’algorithme du gradient (1.17).
Il y a diverses variations autour du choix des fonctions de Lyapounov pour obtenir
des versions multiples de la convergence de l’algorithme du gradient (1.14) avec h =
1
2 ∇DX N et ε n+1 = 1 2 (∇ xd N (x n , Z n+1 ) − ∇DN X(xn )).
⋆ Un premier choix est V (x) = |x−x ∗ | 2 . Alors ∇V (x) = 2(x−x ∗ ). D’après l’expression
(1.8) de ∇DN X et (1.16) de ∇ xd N (x, u), on a
∫
|∇DN X (x)| 2 + |∇ x d N (x, u)| 2 P X (du) ≤ Cte(1 + |x| 2 )
Si on suppose de plus (1.13), alors les hypothèses de la proposition 1.4.8 sont vérifiées.
On obtient alors que |x n − x ∗ | 2 converge p.s. vers une variable aléatoire positive δ
et la série ∑ n γ n|(∇D X N (xn )|x n − x ∗ )| converge p.s. Soit ω un évènement tel que ces
deux convergences aient lieu. Si par l’absurde δ(ω) ≠ 0, alors à partir d’un certain
rang n 0 = n 0 (ω), on aurait pour tout n ≥ n 0 , 0 < δ(ω)/2 ≤ |x n (ω) − x ∗ | 2 ≤ 2δ(ω) et
|(∇D X N (xn (ω))|x n (ω)−x ∗ )| > c(ω) avec c(ω) > 0 d’après (1.13). C’est en contradiction
avec la divergence de la série ∑ n γ n.
⋆ Un autre choix de fonction de Lyapounov est V (x) = DN X . Sous la condition que
∇DN X est Lipschitzienne et
∫
|∇DN X (x)| 2 + |∇ x d N (x, u)| 2 P X (du) ≤ cte(1 + DN X (x)),
les hypothèses de la proposition 1.4.8 sont vérifiées et on obtient que la suite (D X N (xn )) n
converge p.s. vers D ∗ et la série ∑ n γ n|∇D X N (xn )| 2 converge p.s. Si de plus D X N (x)
converge vers l’infini quand |x| tend vers l’infini, alors en utilisant la méthode dite de
l’EDO (équation différentielle ordinaire), on montre (voir Lemme 3.III.8 dans [5]) que
x n converge p.s. vers une composante connexe de {∇D X N = 0} ∩ {DX N = D∗ }. En
particulier, si {∇D X N = 0} = {x∗ } alors x n converge vers x ∗ p.s.
La méthode du gradient stochastique est efficiente en grande dimension d puisqu’elle
ne requiert pas le calcul d’intégrales multiples mais seulement la connaissance de la
fonction locale ∇ x d N (x, u) et la simulation de la loi de probabilité P X :
Description explicite du gradient stochastique pour la distorsion : algorithme
de Kohonen
D’après l’expression (1.16) du gradient de la distorsion locale, l’algorithme du gradient
stochastique (1.17) s’exprime comme :
x n+1
i
= x n i − γ n (x n i − Z n+1 )1 Ci (x n )(Z n+1 ), i = 1, . . . , N
Cette procédure se décompose encore à chaque pas n de façon explicite selon :

QUANTIFICATION VECTORIELLE 21
• phase de compétition : sélectionner l’indice i(n + 1) tel que
Z n+1 ∈ C i(n+1) (x n ) i.e. i(n + 1) ∈ arg min
i=1,...,N |xn i − Z n+1 |.
• phase d’apprentissage :
x n+1
i
= x n i − γ n (x n i − Z n+1 ), si i = i(n + 1)
x n+1
i
= x n i , si i ≠ i(n + 1)
Cette procédure en deux phases est connue dans la littérature comme l’algorithme
de Kohonen. D’un point de vue numérique, la principale activté est la phase de
compétition concernant la recherche à chaque étape du plus proche voisin de la nouvelle
variable simulée Z n+1 . La phase d’apprentissage est simplement la mise à jour de
la grille x n en modifiant la composante sélectionnée par la phase de compétition par
une homothétie avec Z n+1 de rapport (1 − γ n ).
Estimation des masses des cellules de Voronoi et de la distorsion minimale
Pour déterminer un quantifieur stationnaire ˆX ∗ = ˆX x∗ , on doit obtenir, outre la grille
x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x∗ N ) de son support, les masses P X(C i (x ∗ )), i = 1, . . . , N, des cellules
de Voronoi associées qui caractérisent sa loi de probabilité. Il est donc important
dans les applications numériques d’avoir une procédure de calcul des caractéristiques
P X (C i (x ∗ )) ainsi que de la distorsion associée D X N (x∗ ).
⋆ Une première approche simple consiste, après avoir terminé l’algorithme de Kohonen
jusqu’au pas n et enregistré la grille limite x ∗ = x n , à estimer les caractéristiques
voulues par une estimation standard de Monte-Carlo :
p n i
= 1 n∑
1
n
Zk ∈C i (x ∗ ), i = 1, . . . , N, et D n = 1 n
k=1
n∑
min |Z k − x ∗ i | 2 ,
i=1,...,N
k=1
où (Z k ) 1≤k≤n est un échantillon i.i.d. de loi P X . Par la loi standard des grands nombres,
on est assuré de la convergence quand n tend vers l’infini d’une telle procédure :
p n i −→ P X (C i (x ∗ )) p.s., i = 1, . . . , N, et D n −→ D X N (x ∗ ) p.s.
⋆ Une autre approche plus pertinente et moins couteuse permet d’obtenir une estimation
des caractéristiques voulues de façon simultanée à la procédure de Kohonen :
p n i = 1 n
D n = 1 n
n∑
1 Zk ∈C i (x k−1 ) = 1 n
k=1
k=1
n∑
1 i=i(k) , i = 1, . . . , N,
k=1
n∑
min |Z k − x k−1
i
| 2 = 1
i=1,...,N n
n∑
k=1
|Z k − x k−1
i(k) |2

QUANTIFICATION VECTORIELLE 22
Notons que les p n i et D n s’expriment aussi de manière récursive comme :
p n+1
i
= p n i − 1
D n+1 = D n − 1
n + 1
n + 1 (pn i − 1 i=i(n+1) ), p 0 i = 1 , i = 1, . . . , N (1.21)
N
(
D n − |Z n+1 − x n i(n+1) |2) , D 0 = 0. (1.22)
Proposition 1.4.9 On suppose P X absolument continue par rapport à λ d et E|X| 2+ε
< +∞ où ε > 0. Alors sur l’évènement {x n → x ∗ }, on a
p n i −→ P X (C i (x ∗ )) p.s., i = 1, . . . , N, et D n −→ D X N (x ∗ ) p.s.
Preuve. On considère une fonction mesurable H : (R d ) N × R d → R telle que
|H(x, u)| ≤ Cte|u| 2
∫
h(x) := H(x, u)P X (du) est bornée sur (R d ) N et continue en x ∗ .
Alors les variables aléatoires H(x n , Z n+1 ) − h(x n ), n ≥ 0, sont centrées, non corrélées
deux à deux, et bornées dans L 1+ε/2 . La loi forte des grands nombres dans L 1+ε/2
implique alors que
1
n
n∑
k=1
(
)
H(x k−1 , Z k ) − h(x k−1 )
−→ 0 p.s.
quand n tend vers l’infini. De plus avec la continuité de h en x ∗ , on a par le théorème
de Césaro : 1/n ∑ n
k=1 h(xk−1 ) converge p.s. vers h(x ∗ ) sur {x n → x ∗ }. On en déduit
que
1
n∑
H(x k−1 , Z k ) −→ h(x ∗ ) p.s. sur {x n → x ∗ }.
n
k=1
On applique ce résultat respectivement aux fonctions :
H(x, u) = 1 Ci (x)(u) de fonction moyenne h(x) = P X (C i (x)),
H(x, u) = ρ(x) min i=1,...,N |x i − u| 2 de fonction moyenne h(x) = ρ(x)DN X (x) où ρ est
une fonction continue positive à support compact sur (R d ) N et ρ(x ∗ ) = 1. ✷
Remarque 1.4.4 Au lieu de prendre comme pas 1/n dans le calcul récursif (1.21)-
(1.22) des p i n et D n , on peut prendre le même pas (γ n ) que pour l’algorithme de
Kohonen :
p n+1
i
= p n i − γ n+1 (p n i − 1 i=i(n+1) ), p 0 i = 1 N , i = 1, . . . , N
D n+1 = D n − γ n+1
(D n − |Z n+1 − x n i(n+1) |2) , D 0 = 0.
Projet 4 : Implémenter la quantification optimale de la loi normale sur R d , d ≥ 2, par
l’algorithme de Kohonen.

QUANTIFICATION VECTORIELLE 23
1.5 Application à l’intégration numérique et aux options
européennes
L’idée est simplement d’approximer la loi de probabilité P X de la variable aléatoire
X sur R d par la loi de probabilité P ˆX
= ∑ N
i=1 p iδ xi de la variable N-quantifiée ˆX =
ˆX x à support discret dans la grille x = {x 1 , . . . , x N } dans (R d ) N . Autrement dit, pour
toute fonction f intégrable par rapport à P X , notée f ∈ L 1 (P X ), on approxime
E[f(X)] =
∫
f(u)P X (du) par E[f( ˆX)] =
∫
f(u)P ˆX(du) =
N∑
p i f(x i ).
L’objectif est d’évaluer la qualité de cette approximation en fonction de la distorsion
et donc d’un point de vue numérique d’avoir accès au quantifieur optimal x ∗ et aux
masses p ∗ i des cellules de Voronoi pour obtenir la meilleure approximation possible.
On a le résultat basique suivant pour les fonctions Lipschitziennes. On note pour
toute fonction f Lipschitzienne sur R d :
i=1
|f(y) − f(z)|
[f] lip
= sup
y≠z∈R d |y − z|
< +∞.
Proposition 1.5.10 Pour tout f ∈ L 1 (P X ) et f Lipschitzienne, on a :
∣
∣E[f(X)] − E[f( ˆX)]
∣ ≤ [f] lip
√DN X(x).
Preuve. Il suffit simplement d’écrire :
∣
∣E[f(X)] − E[f( ˆX)]
∣ ≤ E|f(X) − f( ˆX)|
≤ [f] lip
E|X − ˆX| ≤ [f] lip
√D X N (x),
par l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
✷
Remarque 1.5.5 Cette dernière proposition montre que si x ∗ est un N-quantifieur
optimal alors |E[f(X)] − E[f( ˆX ∗ )]| converge vers 0 quand N tend vers l’infini avec une
vitesse de convergence en 1/N 1/d d’après le théorème de Zador.
Lorsque f possède un peu plus de régularité, la borne d’erreur peut être améliorée.
Proposition 1.5.11 Pour tout f ∈ L 1 (P X ) telle que f soit de class C 1 avec ∇f
Lipschitzienne et pour tout quantifieur stationnaire ˆX ∗ = ˆX x∗ , on a :
∣
∣E[f(X)] − E[f( ˆX ∗ )] ∣ ≤ [∇f] lip
DN X (x ∗ ).

QUANTIFICATION VECTORIELLE 24
Preuve. D’après la formule de Taylor, on a
f(X) = f( ˆX ∗ ) +
∫ 1
0
∇f(t ˆX ∗ + (1 − t)X).(X − ˆX ∗ )dt
≤ f( ˆX ∗ ) + ∇f( ˆX ∗ ).(X − ˆX ∗ ) + [∇f] lip
|X − ˆX ∗ | 2 .
On en déduit que
∣
∣E[f(X)] − E[f( ˆX ∗ )] − E[∇f( ˆX ∗ ).(X − ˆX ∗ )] ∣ ≤ [∇f] lip
E|X − ˆX ∗ | 2 .
On conclut en notant que par la propriété de stationnarité (1.9), on a
[
E ∇f( ˆX ∗ ).(X − ˆX
] [
∗ ) = E ∇f( ˆX
(
∗ ). E[X − ˆX ∗ | ˆX
)]
∗ ] = 0.
Remarque 1.5.6 Cette dernière proposition montre que si x ∗ est un N-quantifieur
optimal, on a doublé la vitesse de convergence par rapport au cas de la proposition
1.5.10. Ainsi, |E[f(X)] − E[f( ˆX ∗ )]| converge vers 0 quand N tend vers l’infini avec une
vitesse de convergence en 1/N 2/d d’après le théorème de Zador.
Finalement, on a une propriété intéressante pour l’intégration numérique de fonctions
convexes.
Proposition 1.5.12 Pour tout f ∈ L 1 (P X ) telle que f soit convexe et pour tout quantifieur
stationnaire ˆX ∗ = ˆX x∗ , on a :
E[f( ˆX ∗ )] ≤ E[f(X)].
Preuve. C’est une simple conséquence de la propriété de stationnarité (1.9) et de
l’inégalité de Jensen :
E[f( ˆX ∗ )] = E[f(E[X| ˆX ∗ ])] ≤ E[E[f(X)| ˆX ∗ ]] = E[f(X)].
Remarque 1.5.7 Ceci montre que l’intégration numérique de fonctions convexes avec
un quantifieur stationnaire fournit toujours une borne inférieure à la vraie valeur.
Symétriquement, on a toujours une borne supérieure avec un quantifieur stationnaire
pour les fonctions concaves.
✷
✷

QUANTIFICATION VECTORIELLE 25
Remarque 1.5.8 La méthode de quantification peut être comparée avec la méthode
de Monte-Carlo qui consiste pour approximer E[f(X)] à générer un N-échantillon
X 1 , . . . , X N de copies i.i.d. de loi P X et à calculer
1
N
N∑
f(X k ).
k=1
Il est bien connu que par la loi des grands nombres, cette quantité converge p.s. quand
N tend vers l’infini vers E[f(X)]. De plus par le théorème central limite, on a une
vitesse de convergence en 1/N 1 2 indépendante de la dimension d.
Projet 5 : Calculer dans le modèle de Black-Scholes multidimensionnel le put, le
spread-put européen par la méthode de quantification et comparer les résultats avec la
méthode de Monte-Carlo.

Chapitre 2
Quantification d’une chaine de
Markov et applications
Dans ce chapitre, on considère une chaine de Markov (X k ) 0≤k≤n à valeurs dans R d
de probabilités de transition P k (x, dx ′ ) (de k − 1 à k), k = 1, . . . , n, et de distribution
initiale µ pour X 0 . Notons alors que la distribution jointe de (X 0 , . . . , X n ) est égale à
µ(dz 0 )P 1 (z 0 , dz 1 ) . . . P n (z n−1 , dz n ).
On s’intéresse à l’approximation par quantification de cette chaine de Markov, i.e.
à l’approximation de la distribution du processus (X k ) 0≤k≤n par la distribution d’un
processus ( ˆX k ) 0≤k≤n à valeurs dans un espace d’état fini et prenant en compte la
loi de probabilité du processus. Une approche naive consisterait en la quantification
du vecteur aléatoire (X 0 , . . . , X n ) dans R d(n+1) selon la méthode décrite au chapitre
précédent. Mais d’après le théorème de Zador, pour un nombre total de points N dans
la grille temps-espace, on obtiendrait une erreur de quantification de l’ordre N −1/nd :
c’est bien évidemment très lent lorsque n est grand.
On propose une approche basée sur le fait qu’une chaine de Markov est complètement
caractérisée par sa distribution initiale et par ses probabilités de transition. L’idée est
alors de quantifier la loi initiale de X 0 et les probabilités conditionnelles de X k sachant
X k−1 . On verra alors que cela conduit à une erreur d’approximation d’ordre
n 1+1/d /N 1/d .
Dans la suite, on utilise les notations usuelles νf, P f, νP , P Q pour ν mesure, P, Q
probabilités de transition et f fonction mesurable, i.e.
∫
∫
νf = f(x)ν(dx), P f(x) = f(x ′ )P (x, dx ′ )
∫
∫
νP (dx ′ ) = ν(dx)P (x, dx ′ ), P Q(x 0 , dx 2 ) = P (x 0 , dx 1 )Q(x 1 , dx 2 ).
26

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 27
Pour toute fonction borélienne f de R d dans R, on note
‖ f ‖ ∞
= sup |f(x)|, [f] lip
= sup
x∈R d x≠y
|f(x) − f(y)|
.
|x − y|
On définit l’ensemble
BL 1 (R d ) =
{
}
f : R d → R, ‖ f ‖ ∞
≤ 1 et [f] lip
≤ 1 .
On dit qu’une probabilité de transition P sur R d est Lipschitzienne de rapport [P ] lip
< +∞ si pour toute fonction Lipschitzienne f de rapport [f] lip
< +∞, on a
∣
∣P f(x) − P f(x ′ ) ∣ ∣ ≤ [P ] lip
[f] lip
|x − x ′ |, ∀x, x ′ ∈ R d .
2.1 Quantification marginale
2.1.1 Méthode
La méthode de quantification marginale consiste dans une première étape à quantifier
vectoriellement les marginales de la chaine de Markov. Précisément, à chaque date
k = 0, . . . , n, on se donne une grille x k = (x 1 k , . . . , xN k
k
) de N k points dans R d à laquelle
est associée une partition de Voronoi C i (x k ), i = 1, . . . , N k . On considère alors pour
tout k le quantifieur de Voronoi de X k sur la grille x k :
ˆX k = Proj xk
(X k ) :=
N k
∑
x i k 1 C i (x k )(X k ).
i=1
Notons que l’application projection n’étant pas injective, le processus ( ˆX k ) construit
ainsi ne conserve pas la propriété de Markov de (X k ). On définit cependant des matrices
de probabilité de transition ˆP k = (p ij
k
), k = 1, . . . , n, de façon canonique à partir des
ˆX k par :
où
k
:= P[ ˆX k = x j k | ˆX k−1 = x i k−1 ] = βij k
, i = 1, . . . , N k−1 , j = 1, . . . , N k ,
p ij
p i k−1
β ij
k
= P[( ˆX k , ˆX k−1 ) = (x j k , xi k−1 )] = P[(X k, X k−1 ) ∈ C j (x k ) × C i (x k−1 )]
p i k−1 = P[ ˆX k−1 = x i k−1 ] = P[X k−1 ∈ C i (x k−1 )].
sont les masses des cellules de Voronoi du couple (X k−1 , X k ) (resp. X k−1 ). On définit
aussi la loi de probabilité discrète ˆµ (de poids ˆµ i , i = 1, . . . , N 0 ) de ˆX 0 quantifieur de
Voronoi de X 0 de loi µ :
ˆµ i = p i 0 = P[ ˆX 0 = x i 0] = P[X 0 ∈ C i (x 0 )], i = 1, . . . , N 0 .

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 28
On approxime alors la loi µP 1 . . . P n de (X 0 , . . . , X n ) par la loi discrète ˆµ ˆP 1 . . . ˆP n .
La qualité de cette approximation est estimée en fonction des erreurs de quantification
à chaque date et mesurée comme suit : on introduit l’ensemble
{
}
Sn+1 d = φ : (R d ) n+1 → R, φ(z 0 , . . . , z n ) = f 0 (z 0 ) . . . f n (z n ) où f i ∈ BL 1 (R d )
et on fait l’hypothèse que les probabilités de transitions P k de la chaine de Markov
(X k ) sont Lipchitziennes. On pose alors
[P ] lip
= max
k=1,...,n [P k] lip
Nous discuterons plus tard cette hypothèse (voir paragraphe 2.1.2).
Afin de mettre clairement en évidence les techniques de preuve utilisées, nous commençons
par regarder l’erreur d’approximation d’une probabilité de transition P k par
ˆP k à la date k.
Proposition 2.1.1 Pour tout φ Lipschitzienne sur R d , on a
∥
∥P k+1 φ(X k ) − ˆP k+1 φ( ˆX ∥ ∥∥Xk
k ) ∥ ≤ [P k+1 ] Lip
[φ] Lip
− ˆX
∥ ∥ ∥∥ ∥∥Xk+1
k + [φ] Lip
− ˆX
∥ ∥∥
k+1 .
2
2
2
Preuve. On écrit
∥
∥P k+1 φ(X k ) − ˆP k+1 φ( ˆX k ) ∥
2
≤
[
∥
∥P k+1 φ(X k ) − E P k+1 φ(X k )| ˆX
]∥ ∥∥
k
2
∥
+ ∥E
[P k+1 φ(X k )| ˆX
]
k − ˆP k+1 φ( ˆX k ) ∥
= I 1 + I 2 .
2
Par définition-caractérisation de l’espérance conditionnelle dans L 2 , on a
∥
I 1 ≤ ∥P k+1 φ(X k ) − P k+1 φ( ˆX ∥ ∥∥Xk
k ) ∥ ≤ [P k+1 ] Lip
[φ] Lip
− ˆX
∥ ∥∥
k ,
2
2
d’après la condition de Lipschitz sur P k+1 . D’autre part, on a
∥
I 2 = ∥E
[E [φ(X k+1 )| X k ]| ˆX
] [
k − E φ( ˆX k+1 ) ∣ ˆX
]∥ ∥∥
k
2
∥
= ∥E
[φ(X k+1 )| ˆX
] [
k − E φ( ˆX k+1 ) ∣ ˆX
]∥ ∥∥
k
2
∥
≤ ∥φ(X k+1 ) − φ( ˆX ∥ ∥∥Xk+1
k+1 ) ∥ ≤ [φ] Lip
− ˆX
∥ ∥∥
k+1 ,
2
où on a utilisé dans la deuxième égalité le fait que ˆX k est σ(X k )-mesurable, et dans la
première inégalité la propriété de L 2 -contraction de l’espérance conditionnelle (ici par
rapport à ˆX k ). On obtient ainsi la relation voulue.
✷
2
Plus généralement, on a l’erreur d’approximation suivante de µP 1 . . . P n par ˆµ ˆP 1 . . . ˆP n .

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 29
Théorème 2.1.1 Pour tout φ ∈ Sn+1 d on a
(
∣
(µP 1 . . . P n − ˆµ ˆP 1 . . . ˆP
)
n∑
n φ∣
≤ 1 +
k=0
[P ]n−k+1
avec la convention (u m − 1)/(u − 1) = m quand u = 1.
lip
− 1
[P ] lip
− 1
)
‖ X k − ˆX k ‖ 2
,
Preuve. Pour tout φ = f 0 . . . f n ∈ Sn+1 d , on introduit les fonctions measurables pour
k = 1, . . . , n sur R d (resp. sur la grille x k ) par :
∫
v k (z) = f k (z) f k+1 (z k+1 ) . . . f n (z n )P k+1 (z, dz k+1 ) . . . P n (z n−1 , dz n ),
∫
ˆv k (z) = f k (z) f k+1 (z k+1 ) . . . f n (z n ) ˆP k+1 (z, dz k+1 ) . . . ˆP n (z n−1 , dz n ),
avec la convention que pour k = n, v n = ˆv n = f n . Notons alors que ces fonctions
s’écrivent sous forme récursive par :
v k (z) = f k (z)P k+1 v k+1 (z) = f k (z)E[v k+1 (X k+1 )|X k = z] (2.1)
ˆv k (z) = f k (z) ˆP k+1ˆv k+1 (z) = f k (z)E[ˆv k+1 ( ˆX k+1 )| ˆX k = z], (2.2)
pour k = 1, . . . , n − 1 et que
(µP 1 . . . P n − ˆµ ˆP 1 . . . ˆP
) [
n φ = E v 0 (X 0 ) − ˆv 0 ( ˆX
]
0 ) .
∥
On va montrer alors le résultat par induction sur ∥v k (X k ) − ˆv k ( ˆX k ) ∥ .
Etape 1. On a clairement ‖v k ‖ ∞
≤ 1. De plus, d’après (2.1), on a :
2
[v k ] lip
≤ [f k ] lip
+ [P k+1 v k+1 ] lip
≤ 1 + [P ] lip
[v k+1 ] lip
.
Puisque [v n ] lip
≤ 1, on obtient par induction :
pour tous k = 0, . . . , n.
[v k ] lip
≤
n∑
l=k
[P ] n−l
lip
=
[P ]n−k+1
lip
− 1
[P ] lip
− 1
(2.3)
Etape 2. D’après (2.1)-(2.2), on peut écrire :
∥
∥v k (X k ) − ˆv k ( ˆX ∥
k ) ∥ ≤ ∥v k (X k ) − E[v k (X k )| ˆX k ] ∥
2
2
[(
∥
+ ∥E f k (X k ) − f k ( ˆX
)
k ) P k+1 v k+1 (X k ) ∣ ˆX
]∥ ∥∥
k
2
[
∥
+ ∥E f k ( ˆX
(
k ) P k+1 v k+1 (X k ) − ˆP k+1ˆv k+1 ( ˆX
)∣ ]∥ ∣∣ ∥∥
k ) ˆXk
1
= I 1 + I 2 + I 3 . (2.4)

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 30
Par la définition même de l’espérance conditionnelle, on a :
∥
I 1 ≤ ∥v k (X k ) − v k ( ˆX ∥ ∥∥Xk
k ) ∥ ≤ [v k ] lip
− ˆX
∥ ∥∥
k .
2
2
Comme l’espérance conditionnelle (ici par rapport à ˆX k ) est une L 2 -contraction et v k+1
est bornée par 1, on a :
∥
I 2 ≤ ∥f k (X k ) − f k ( ˆX ∥
k ) ∥ ≤ ∥X k − ˆX
∥ ∥∥
k .
2
2
Puisque ˆX k est σ(X k )-measurable et en rappelant que f k est bornée par 1, on a :
∥
≤ ∥v k+1 (X k+1 ) − ˆv k+1 ( ˆX k+1 ) ∥ .
I 3
En substituant ces estimations de I 1 , I 2 et I 3 dans (2.4), on a
∥
∥v k (X k ) − ˆv k ( ˆX k ) ∥ ≤ ( ) ∥ 1 + [v k ] lip ∥Xk − ˆX
∥ ∥∥ ∥
k + ∥v k+1 (X k+1 ) − ˆv k+1 ( ˆX k+1 ) ∥ .
2
2
2
∥
Comme ∥v n (X n ) − ˆv n ( ˆX ∥
n ) ∥ ≤ ∥X n − ˆX
∥ ∥∥
n une récurrence immédiate donne :
2,
∥
∥v k (Z k ) − ˆv k (Ẑk) ∥
2
1
≤
n∑ ( ) ∥ 1 + [vl ] lip ∥Xl − ˆX
∥ ∥∥
l .
2
On obtient le résultat voulu en prenant k = 0 et en substituant l’estimation (2.3).
2.1.2 Exemple
Un exemple courant de chaine de Markov est donné par la dynamique :
l=k
X k+1 = F (X k , ε k+1 ), k = 0, . . . , n − 1.
où (ε k ) k est une suite de variables i.i.d. centrée et de carré intégrable (e.g. un bruit blanc
gaussien standard) indépendant de X 0 et F est une fonction mesurable correspondant
au schéma d’Euler de pas δ = T/n d’une diffusion sur [0, T ] :
F (x, ε) = x + b(x)δ + σ(x) √ δε.
Notons P = P k , k = 0, . . . , n, la probabilité de transition de cette chaine de Markov
homogène. Le résultat suivant montre la propriété de Lipschitz de P .
Proposition 2.1.2 Supposons que les coefficients b et σ soient Lipschitziens sur R d .
Alors il existe une constante notée [F ] lip
telle que
[P ] lip
≤ [F ] lip
≤ 1 + cδ, (2.5)
‖F (x, ε 1 ) − F (x ′ , ε 1 )‖ 2
≤ [F ] lip
|x − x ′ |, ∀x, x ′ ∈ R d (2.6)
où c est une constante (dépendant de T , [b] lip
, [σ] lip
, E|ε 1 | 2 ) mais indépendante de δ.
2
✷

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 31
Preuve. Pour tous x, x ′ , on a
∣
∣F (x, ε 1 ) − F (x ′ , ε 1 ) ∣ ∣ 2 = |x − x ′ | 2 + |b(x) − b(x ′ )| 2 δ 2 + |σ(x) − σ(x ′ )| 2 δε 2 1
+ (x − x ′ ).(b(x) − b(x ′ ))δ + (x − x ′ ).(σ(x) − σ(x ′ )) √ δε 1
+ (b(x) − b(x ′ )).(σ(x) − σ(x ′ ))δ 3/2 ε 1 .
Sous la condition de Lipschitz sur b, σ et puisque E[ε 1 ] = 0, E[|ε 1 | 2 ] < +∞, on en
déduit que
E ∣ ∣F (x, ε 1 ) − F (x ′ , ε 1 ) ∣ ∣ 2 ≤ |x − x ′ | 2 (1 + cδ)
d’où (2.6) avec [F ] lip
≤ 1+cδ. Finalement, en notant que pour toute fonction mesurable
f sur R d , on a P f(x) = E[f(F (x, ε 1 ))], on en déduit [P ] lip
≤ [F ] lip
✷
2.1.3 Quantification optimale
L’estimation d’erreur obtenue dans le théorème 2.1.1 est valable pour n’importe
quelle grille x k à chaque date k. Pour minimiser cette borne d’erreur sur l’approximation
de la loi de (X 0 , . . . , X n ), on va chercher à minimiser à chaque date k l’erreur de
quantification, i.e. appliquer la quantification optimale à chaque marginale X k . Cette
phase d’optimisation à chaque date k est menée selon la méthode décrite au chapitre
précédent. Un cas particulièrement intéressant pour les calculs est lorsque le processus
X est stationnaire et donc chaque marginale X k est identiquement distribuée. En effet
dans ce cas une seule procédure d’optimisation pour X 0 est requise. Sinon de façon
générale, les phases d’optimisation (sélection + apprentissage) de l’algorithme de Kohonen
à chaque date k peuvent se conduire indépendamment dès lors qu’on a simulé
un échantillon de (X 0 , . . . , X n ). Les probabilités de transition p ij
k
sont estimées par
estimation de Monte-Carlo des probabilités jointes β ij
k et marginales pi k−1 .
D’après le théorème de Zador, pour une quantification optimale de chaque marginale
X k , et avec un nombre total de points N à répartir entre les n + 1 dates k =
0, . . . , n, on obtient dans le cas typique de l’exemple 2.1.2 un taux de convergence de
l’ordre :
n 1+1/d
N 1/d .
2.2 Application à l’arrêt optimal et aux options américaines
On note T n l’ensemble des temps d’arrêts par rapport à la filtration (F k ) engendrée
par (X k ) à valeurs dans T = {0, . . . , n}. Pour simplifier, on suppose que F 0 est trivial,
i.e. X 0 = x 0 est déterministe et donc connu à la date 0. Etant donné une fonction
mesurable f sur T × R d , on considère le problème d’arrêt optimal à horizon fini n :
U 0 = sup
τ∈T n
E[f(τ, X τ )]

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 32
Ce problème est motivé en finance par le calcul d’options américaines (en fait ici
bermudéennes car les dates d’exercice de l’options sont discrètes). Dans ce cas, (X k ), k
= 0, . . . , n, représente le processus de prix d’une action aux dates t k = kδ, où δ > 0 est
le délai entre deux dates possibles d’exercice d’une option de flux g(X k ), r est le taux
d’intérêt et f(k, x) = e −rt kg(x). Dans le cas d’un modèle à volatilité stochastique, (X k )
peut représenter aussi le couple prix-volatilité. Par exemple, (X k ) est la discrétisation
par schéma d’Euler de pas δ d’un modèle de diffusion pour le couple prix-volatilité
(voir exemple 2.1.2).
On va adopter la méthode de la programmation dynamique pour calculer U 0 . On
introduit l’enveloppe de Snell de (f(k, X k )) :
U k = ess sup
τ∈T k,n
E[f(τ, X τ )|F k ], k = 0, . . . , n,
où T k,n désigne l’ensemble des temps d’arrêts à valeurs dans {k, . . . , n}. U k est donc en
finance le prix de l’option bermudéenne à la date k. Le principe de la programmation
dynamique stipule que U k s’exprime sous forme récursive par :
U n = f(n, X n )
U k = max (f(k, X k ) , E[U k+1 |F k ]) , k = 0, . . . , n − 1.
Ceci signifie qu’à chaque date k, on a le choix entre arréter le processus et recevoir
comme gain f(k, X k ) ou continuer et recevoir comme gain espéré E[U k+1 |F k ]. De plus,
par la propriété de Markov de (X k ), pour toute date k, il existe une fonction mesurable
v k sur R d telle que
U k = v k (X k ).
On doit donc calculer la suite de fonctions (v k ) qui s’exprime par le principe de la
programmation dynamique sous forme récursive comme :
v n (x) = f(n, x), ∀x ∈ R d
v k (x) = max (f(k, x) , E[v k+1 (X k+1 )|X k = x]) , ∀x ∈ R d , k = 0, . . . , n − 1.
On est donc ramené à un calcul successif d’espérances conditionnelles faisant intervenir
les probabilités de transitions des X k .
Nous allons approximer les U k par une quantification marginale de (X k ) telle que
décrite au paragraphe précédent. Pour chaque k = 0, . . . , n, on note par ˆX k le quantifieur
de Voronoi de X k sur une grille x k = (x 1 k , . . . , xN k
k
) associée à une partition de
Voronoi C i (x k ), i = 1, . . . , N k . Notons qu’à la date k = 0, puisque X 0 est supposé
déterministe égal à x 0 , on choisit évidemment N 0 = 1 et ˆX 0 = x 0 . On approxime alors

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 33
la suite de fonctions (v k ) par la suite de fonctions (ˆv k ) où ˆv k défini sur la grille x k se
calcule explicitement de façon récursive par :
ˆv n (x) = f(n, x) ∀x ∈ x n
(
ˆv k (x) = max f(k, x) , E[ˆv k+1 ( ˆX k+1 )| ˆX
)
k = x] , ∀x ∈ x k , k = 0, . . . , n − 1,
Ceci s’écrit encore algorithmiquement comme :
ˆv n (x i n) = f(n, x i n) i = 1, . . . , N n
⎛
⎞
N k+1
ˆv k (x i k ) = max ⎝f(k, x i k ) , ∑
p ij
k+1ˆv k+1(x j k+1 ) ⎠ , i = 1, . . . , N k , k = 0, . . . , n − 1,
j=1
où ˆP k = (p ij
k ) est la matrice de probabilité de transition de ˆX k−1 à ˆX k . Ceci conduit à
une approximation des U k par
Û k = ˆv k ( ˆX k ), k = 0, . . . , n.
On obtient alors l’estimation d’erreur suivante. On fait l’hypothèse que pour tout
k, les fonctions f k := f(k, .) sont Lipschiztiennes et on pose
[f] lip
= max
k=0,...,n [f k] lip
.
On suppose aussi que les probabilités de transition P k de la chaine de Markov sont
Lipschitziennes.
Théorème 2.2.2 Pour tout k = 0, . . . , n, on a
∥
∥U k − Ûk
∥
∥
2
≤ [f] lip
n∑
j=k
[P ] n−j+1 − 1
lip ∥
∥X j −
[P ] lip
− 1
ˆX
∥ ∥∥
j
2
Preuve. Le schéma de la preuve est similaire à celui du théorème 2.1.1.
Etape 1. D’après l’expression récursive de v k , on a :
[v k ] lip
≤ [f k ] lip
+ [P k+1 v k+1 ] lip
≤ [f] lip
+ [P ] lip
[v k+1 ] lip
.
Puisque [v n ] lip
≤ [f] lip
, on obtient par induction :
n∑
[v k ] lip
≤ [f] lip
[P ] n−l [P ] n−k+1 − 1
lip
= [f]
lip lip
, k = 0, . . . , n. (2.7)
[P ] lip
− 1
l=k

QUANTIFICATION D’UNE CHAINE DE MARKOV 34
Etape 2. D’après l’expression récursive de v k et en utilisant l’inégalité triviale | max(a, b)−
max(a ′ , b ′ )| ≤ max(|a − a ′ |, |b − b ′ |), on a
∥
∥
∥U k − Ûk∥
= ∥v k (X k ) − ˆv k ( ˆX k ) ∥
2
2
∥
≤ ∥f k (X k ) − f k ( ˆX ∥
k ) ∥ + ∥P k+1 v k+1 (X k ) − ˆP k+1ˆv k+1 ( ˆX k ) ∥
2
2
∥ ∥∥Xk
≤ [f] lip
− ˆX
∥ ∥∥ ∥
k + ∥P k+1 v k+1 (X k ) − E[P k+1 v k+1 (X k )| ˆX k ] ∥
2 2
∥
+ ∥E[P k+1 v k+1 (X k )| ˆX k ] − ˆP k+1ˆv k+1 ( ˆX k ) ∥
2
∥ ∥∥Xk
≤ [f] lip
− ˆX
∥ ∥∥ ∥
k + ∥P k+1 v k+1 (X k ) − P k+1 v k+1 ( ˆX k ) ∥
2 2
∥
+ ∥v k+1 (X k+1 ) − ˆv k+1 ( ˆX k+1 ) ∥ ,
où on a utilisé dans la dernière inégalité la définition même de l’espérance conditionnelle
et la loi des espérances conditionnelles itérées avec le fait que ˆX k est σ(X k )-mesurable.
On obtient alors
∥
∥U k − Ûk
∥
∥
2
∥
Puisque ∥U n − Ûn∥
2
∥
∥U k − Ûk
≤ ( ) ∥ [f] lip
+ [P ] lip
[v k+1 ] lip ∥Xk − ˆX
∥ ∥∥ ∥
∥
k + ∥U k+1 − Ûk+1
2
≤ [f] lip
∥ ∥∥Xn
− ˆX n
∥ ∥∥
2, une induction directe donne :
∥
∥
2
≤
n∑ ( ) ∥ [f]lip + [P ] lip
[v j+1 ] lip ∥Xj − ˆX
∥ ∥∥
j
2
j=k
2
∥
2
avec la convention que [v n+1 ] lip
l’estimation voulue.
= 0. En substituant (2.7) dans cette inégalité, on a
✷
Remarque 2.2.1 D’après le théorème de Zador, pour une quantification optimale
de chaque marginale X k , et avec un nombre total de points N à répartir entre les
n + 1 dates k = 0, . . . , n, on obtient dans le cas typique de l’exemple 2.1.2 un taux de
convergence de l’ordre :
n 1+1/d
N 1/d .
Projet 6. Calculer dans un modèle à volatilité stochastique le prix du Put américain.

Chapitre 3
Filtrage et quantification
Le filtrage consiste à estimer l’état d’un système dynamique (évoluant au cours du
temps) à partir d’observations bruitées. Formellement, on a un signal (X k ), k ≥ 0, qui
représente un système qu’on cherche à estimer ou à prédire : typiquement, X peut être
l’évolution de la température, d’un véhicule (avion, sous-marin ...) ou encore en finance
la volatilité d’un actif risqué, et l’aléa du signal est dû aux incertitudes du modèle. On
dispose alors d’une suite d’observations (Y k ), k ≥ 0, obtenues à partir d’informations
partielles et bruitées du signal. Ce sont typiquement les capteurs sensoriels de détection
du véhicule ou encore en finance le prix de l’actif risqué. Le bruit des observations
représente les incertitudes du modèle comme les erreurs d’observation. L’objectif est
de calculer :
- la loi de X n sachant Y 0 , . . . , Y n : c’est le filtrage
- la loi de X n sachant Y 0 , . . . , Y n−1 : c’est la prédiction.
Nous étudions d’abord le cas dit du filtre linéaire, i.e. lorsque le couple signal/observation
forme un suite de variables gaussiennes, et pour lequel la résolution du filtre
est explicite, et nous servira de test pour les illustrations numériques. Nous considérons
ensuite le cas général, dit du filtre non linéaire qui conduit à des équations d’état en
dimension infinie. On utilisera alors les méthodes de quantification pour approximer
numériquement le filtre.
3.1 Filtrage linéaire
3.1.1 Rappel sur les variables gaussiennes
Les variables aléatoires gaussiennes et les systèmes linéaires gaussiens jouent un
rôle important dans la modélisation et le traitement du signal. Par exemple, d’après le
théorème central limite, la distribution gaussienne est universelle en ce sens que tout
phénomène résultant de l’accumulation d’un grand nombre de petits aléas indépendants
35

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 36
suit approximativement une loi gaussienne. Ceci explique en partie que les variables
aléatoires gaussiennes sont l’un des modèles stochastiques fondamentaux. Ces distributions
offrent aussi l’avantage d’être caractérisées uniquement par deux paramètres :
la moyenne et la matrice de covariance.
Un vecteur aléatoire Z = (Z 1 , . . . , Z d ) de dimension d sur (Ω, F, P) est dit gaussien
si toute combinaison linéaire des composantes du vecteur X est une variable aléatoire
réelle gaussienne (normale), i.e. pour tout u ∈ R d , u.Z est gaussien. On note Z ∼
N (µ, Σ) où m = E(Z) est la moyenne de Z et Σ sa matrice (symétrique-positive) de
covariance :
Sa fonction caractéristique est
Σ ij = E[(Z i − E(Z i )(Z j − E(Z j ))].
Φ Z (u) := E[e iu.Z ] = exp
(iu.m − 1 2 u.Σu )
.
Si la matrice Σ est inversible, la loi de Z admet une densité :
(
1
p Z
(z) = √ exp − 1 )
(2π) d 2 det(Σ) 2 (z − m).Σ−1 (z − m) .
Soit Z = (X, Y ) un vecteur gaussien de dimension p + q de matrice de covariance :
(
)
Σ
Σ =
X
Σ XY
, ( avec Σ
Σ Y X
Σ XY
= Σ ′ ). Y X
Y
X et Y sont indépendants ssi Σ XY
= 0. On a aussi la propriété fondamentale qui nous
servira plus tard sur la loi conditionnelle.
Proposition 3.1.1 Si la matrice Σ Y
est inversible, alors la loi de X sachant Y est
gaussienne de moyenne (linéaire en Y )
E[X|Y ] = E[X] + Σ XY
Σ −1 (Y − E[Y ]),
Y
et de matrice de covariance (indépendante de Y )
Σ X|Y
:= E [ (X − E[X|Y ])(X − E[X|Y ]) ′] = Σ X
− Σ XY
Σ −1
Y Σ Y X .
Preuve. On note m X
= E[X], m Y
= E[Y ], ˆX(y) le candidat pour E[X|Y = y] :
et R celui pour Σ X|Y
:
ˆX(y) = m X
+ Σ XY
Σ −1
Y (y − m Y ),
R = Σ X
− Σ XY
Σ −1
Y Σ Y X .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 37
On va montrer que la fonction caractéristique Φ X|Y =y
sachant Y = y est égale à
exp
(iu. ˆX(y) − 1 )
2 u.Ru ,
de la loi conditionnelle de X
i.e. c’est la loi gaussienne de moyenne ˆX(y) et de matrice de covariance R. Pour cela,
on note que Φ X|Y =y
est caractérisée par :
Φ X,Y
(u, v) = E [ e iu.X+iv.Y ] = E [ e iv.Y E [ e iu.X∣ ∣ Y ]]
∫
= e iv.y Φ X|Y =y
(u)p Y
(y)dy.
D’autre part, on vérifie aisément en substituant les expressions de ˆX(y) et R, et les
expressions de la fonction caractéristique de Y et (X, Y ) que
∫
e iv.y exp
(iu. ˆX(y) − 1 )
2 u.Ru p Y
(y)dy
= exp
(iu.m X
+ iv.m Y
− 1 2 u.Σ u − u.Σ v − 1 )
X XY
2 v.Σ v Y
= Φ X,Y
(u, v).
Par injectivité de la transformée de Fourier, ceci prouve que
Φ X|Y =y
(u) = exp
(iu. ˆX(y) − 1 )
2 u.Ru .
3.1.2 Filtre de Kalman-Bucy
Le modèle linéaire gaussien pour le couple signal-observation est défini par :
✷
X n = AX n−1 + Bε n
Y n = CX n + η n ,
où A, B et C sont des matrices constantes de dimensions appropriées.
On suppose que (X 0 , ε, η) sont des variables indépendantes gaussiennes. Les bruits
gaussiens ε n , η n , n ≥ 0 sont centrées, et on note Σ ε n et Σ η n leurs matrices de covariance,
supposées inversibles. La moyenne et la variance de la variable gaussienne X 0 est notée
m 0 et Σ X 0 .
On note par Π n la loi du filtre et Π − n celle de la prédiction :
Π n (dx) = P(X n ∈ dx|Y 0 , . . . , Y n )
Π − n (dx) = P(X n ∈ dx|Y 0 , . . . , Y n−1 ).

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 38
Notons que l’espace vectoriel engendré par (X 0 , . . . , X n , Y 0 , . . . , Y n ) est égal à celui
engendré par (X 0 , ε 0 , . . . , ε n , η 0 , η n ) qui est gaussien par hypothèse. On en déduit que
Π n et Π − n sont des lois gaussiennes :
Π n (dx) = N ( ¯X n , ¯Σ n )
Π − n (dx) = N ( ¯X − n , ¯Σ − n )
de moyennes et variances conditionnelles notées :
¯X n = E[X n |Y 0 , . . . , Y n ], ¯Σn = E[(X n − ¯X n )(X n − ¯X n ) ′ ]
¯X − n = E[X n |Y 0 , . . . , Y n−1 ], ¯Σ− n = E[(X n − ¯X − n )(X n − ¯X − n ) ′ ].
Nous allons montrer que le calcul de ces moyennes et variances conditionnelles peut
être mené explicitement de manière inductive selon deux étapes :
• Une étape de correction/mise à jour
( ) ( )
¯X− n
¯Xn
−→ ,
¯Σ n
¯Σ − n
qui utilise la nouvelle observation Y n de la date n,
• Une étape de prédiction
( ) ( ¯Xn
¯X−
−→ n+1
¯Σ n
¯Σ − n+1
)
,
qui utilise la transition du signal de la date n à n + 1.
Partant d’une condition initiale donnée par ¯X 0 − = m 0, ¯Σ − 0 = ΣX 0 , on a donc un
calcul explicite du filtre (et de la prédiction), appelé filtre de Kalman-Bucy.
Etape de correction/mise à jour :
Notons que puisque les vecteurs (X n , Y 0 , . . . , Y n−1 ) et (Y 0 , . . . , Y n ) sont gaussiens, il en
est de même de ¯X n
− et de la variable
Ȳ − n = E[Y n |Y 0 , . . . , Y n−1 ].
On en déduit aussi que le couple de vecteurs
( ˜X n , Ỹn) = (X n − ¯X − n , Y n − Ȳ − n )
est gaussien centré, avec une loi gaussienne conditionnelle caractérisée d’après la proposition
3.1.1 par :
[
E
E[ ˜X n |Ỹn] = Σ Σ−1
˜Xn
Ỹ Ỹn n (3.1)
Ỹn
( ˜X n − E[ ˜X n |Ỹn])( ˜X n − E[ ˜X n |Ỹn]) ′] = Σ ˜Xn
− Σ ˜Xn Ỹn Σ−1 Ỹn
ΣỸn ˜Xn
. (3.2)

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 39
Par définition, on a
Σ ˜Xn
= ¯Σ − n . (3.3)
De plus, notons que Ȳ n
−
a donc
= E(CX n + η n |Y 0 , . . . , Y n−1 ) = C ¯X − n , et Ỹn = C ˜X n + η n . On
Σ ˜Xn Ỹn
= E( ˜X n Ỹ ′ n) = ¯Σ − n C ′ (3.4)
ΣỸn = C ¯Σ − n C ′ + Σ η n. (3.5)
D’autre part, puisque pour toute fonction mesurable ϕ :
[ ]
E ˜Xn ϕ(Y 0 , . . . , Y n−1 ) = E [(X n − E[X n |Y 0 , . . . , Y n−1 ]) ϕ(Y 0 , . . . , Y n−1 )] = 0,
alors ˜X n et (Y 0 , . . . , Y n−1 ) sont des variables gaussiennes noncorrelés, et donc indépendantes.
On en déduit
[ ] [ ]
E ˜Xn |Y 0 , . . . , Y n−1 , Y n = E ˜Xn |Y 0 , . . . , Y n−1 , Ỹn = E[ ˜X n |Ỹn].
On a alors
¯X n = ¯X − n + E [ X n − ¯X − n |Y 0 , . . . , Y n
]
= ¯X− n + E[ ˜X n |Ỹn]
= ¯X − n + ¯Σ − n C ′ (C ¯Σ − n C ′ + Σ η n) −1 (Y n − C ¯X − n ),
avec (3.1) et en notant que Ỹn = C ˜X n + ε n = Y n − C ¯X − n . En écrivant
X n − ¯X n = X n − ¯X − n − ( ¯X n − ¯X − n ) = ˜X n − E[ ˜X n |Ỹn],
et en utilisant (3.2)-(3.3)-(3.4)-(3.5), on obtient
¯Σ n = ¯Σ − n − ¯Σ − n C ′ (C ¯Σ − n C ′ + Σ η n) −1 C ¯Σ − n .
On résume les résultats ci-dessus en écrivant les relations de correction/mise à jour :
où K n est la matrice dite de gain :
Etape de prédiction :
¯X n = ¯X − n + K n (Y n − C ¯X − n ) (3.6)
¯Σ n = [I − K n C]¯Σ − n , (3.7)
K n = ¯Σ − n C ′ (C ¯Σ − n C ′ + Σ η n) −1 . (3.8)
Cette étape est plus simple que la précédente car elle ne dépend plus des observations.
On écrit
¯X − n+1 = E [X n+1 |Y 0 , . . . , Y n ] = AE [X n |Y 0 , . . . , Y n ] = A ¯X n .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 40
On a alors aussi
¯Σ − n+1 = E [ (X n+1 − ¯X − n+1 )(X n+1 − ¯X − n+1 )′]
= E [ (A(X n − ¯X n ) + Bε n )(A(X n − ¯X n ) + Bε n ) ′]
= A¯Σ n A ′ + BΣ ε nB ′ .
Les relations de prédiction s’écrivent donc :
¯X − n+1 = A ¯X n (3.9)
¯Σ − n+1 = A¯Σ n A ′ + BΣ ε nB ′ . (3.10)
Remarque 3.1.1 Les suites (Σ − n ) et (Σ n ) ne dépendent pas des observations (Y n ). Ils
peuvent donc être pré-calculées.
Exemple
Considérons l’exemple d’un modèle unidimensionnel signal/observation :
X n = aX n−1 + ε n
Y n = cX n + η n ,
avec X 0 , ε n , η n i.i.d. ∼ N (0, 1) et a, c ∈ R.
On a ¯X − 0 = 0, ¯Σ − 0 = 1 et donc d’après (3.6)-(3.7) et (3.8) : K 0 = c¯Σ − 0
c 2 ¯Σ − 0 +1 =
¯X 0 = ¯X − 0 + K 0(Y 0 − c ¯X − 0 ) = K 0Y 0 , ¯Σ0 = (1 − cK 0 )¯Σ − 0 = K 0
c .
A la date n, on a par définition de la matrice de gain K n =
c
1+c 2 et
c¯Σ −
n
c 2 ¯Σ . D’après l’étape
−
n +1
de prédiction (3.10), on a Σ − n = a 2 ¯Σn−1 + 1. D’autre part, avec l’étape de correction
(3.7), on a ¯Σ
(
n = (1 − cK n )¯Σ − n = 1 − c2 ¯Σ − n
c 2 ¯Σ − n +1
= a 2 K n−1 + c, d’où la relation de récurrence sur la matrice de gain :
)
¯Σ− n = ¯Σ − n
c 2 ¯Σ − n +1 = K n/c. On a donc c¯Σ − n
K n =
a 2 K n−1 + c
c(a 2 K n−1 + c) + 1 , K 0 =
c
1 + c 2 .
En combinant (3.6) et (3.9), on a finalement
¯X n = a ¯X n−1 + K n (Y n − ca ¯X n−1 ), ¯X0 = K 0 Y 0 ,
¯Σ n = K n
c .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 41
3.2 Filtrage non linéaire
3.2.1 Description du modèle
Dans la suite, toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace de probabilité
(Ω, F, P). On se place dans le cadre où le couple signal/observation (X n , Y n ) n≥0
défini sur l’espace mesurable produit (E × R q ), avec (E, E) un espace mesurable, satisfait
:
• (X n ) n est une chaine de Markov de probabilité de transition P n de n − 1 à n, i.e. :
P[X n ∈ dx ′ |X 0 , . . . , X n−1 ] = P[X n ∈ dx ′ |X n−1 ],
P n (x, dx ′ ) = P[X n ∈ dx ′ |X n−1 = x],
et de loi initiale µ 0
• la suite (Y n ) n vérifie l’hypothèse de canal sans mémoire, i.e.
⋆ conditionnellement aux états cachés X 0 , . . . , X n , les observations Y 0 , . . . , Y n sont
mutuellement indépendantes
⋆ la loi conditionnelle de Y n sachant X 0 , . . . , X n ne dépend que de X n , avec une
probabilité d’émission à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur R q ) :
P[Y n ∈ dy ′ |X n = x ′ ] = g n (x ′ , y ′ )dy ′ .
La fonction x ↦→ g n (x, Y n ) est appelée fonction de vraisemblance.
Posons X [0,n] = (X 0 , . . . , X n ), Y [0,n] = (Y 0 , . . . , Y n ). La loi jointe de X [0,n] est :
P [ X [0,n] ∈ dx [0,n]
]
= µ 0 (dx 0 )
n∏
P k (x k−1 , dx k )
D’après la formule de Bayes et l’hypothèse de canal sans mémoire, la loi jointe du
couple (X [0,n] , Y [0,n] ) est
P [ X [0,n] ∈ dx [0,n] , Y [0,n] ∈ dy [0,n]
]
k=0
= P [ Y [0,n] ∈ dy [0,n] |X [0,n] = x [0,n]
]
P
[
X[0,n] ∈ dx [0,n]
]
= P [ ] ∏
n
X [0,n] ∈ dx [0,n] g k (x k , y k )dy k . (3.11)
k=0
En intégrant par rapport aux variables x = (x 0 , . . . , x n ), on obtient la loi jointe des
observations Y [0,n] :
P [ Y [0,n] ∈ dy [0,n]
]
=
∫
E
∫
. . .
E
P [ ] ∏
n
X [0,n] ∈ dx [0,n] g k (x k , y k )dy k
k=0
[ n
]
∏
= E g k (X k , y k ) dy [0,n] (3.12)
k=0

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 42
Autrement dit, (Y 0 , . . . , Y n ) admet pour densité :
[ n
]
∏
y = (y 0 , . . . , y n ) ↦−→ γ n (y) = E g k (X k , y k ) .
k=0
Remarque 3.2.2 Notons que (X n , Y n ) est une chaine de Markov. En effet, on a par
la formule de Bayes et l’hypothèse de canal sans mémoire :
=
P [ ]
X n ∈ dx n , Y n ∈ dy n |X [0,n−1] = x [0,n−1] , Y [0,n−1] = y [0,n−1]
P [ ]
X [0,n] ∈ dx [0,n] , Y [0,n] ∈ dy [0,n]
P [ ]
X [0,n−1] ∈ dx [0,n−1] , Y [0,n−1] ∈ dy [0,n−1]
P [ ] [ ]
Y [0,n] ∈ dy [0,n] |X [0,n] = x [0,n] P X[0,n] ∈ dx [0,n]
=
P [ ] [ ]
Y [0,n−1] ∈ dy [0,n−1] |X [0,n−1] = x [0,n−1] P X[0,n−1] ∈ dx [0,n−1]
∏ n
k=0
=
g k(x k , y k )dy k µ 0 (dx 0 ) ∏ n
k=0 P k(x k−1 , dx k )
∏ n−1
k=0 g k(x k , y k )dy k µ 0 (dx 0 ) ∏ n−1
k=0 P k(x k−1 , dx k )
= g n (x n , y n )dy n P n (x n−1 , dx n ).
La probabilité de transition de la chaine de Markov (X n , Y n ) est donc donnée par :
Q n ((x, y), dx ′ dy ′ ) = P n (x, dx ′ )g n (x ′ , y ′ )dy ′
et sa loi initiale est ν 0 (dxdy) = µ 0 (dx)g 0 (x, y).
Exemple. Le cadre typique d’un tel schéma signal/observation est donné par le
système :
X n = F n (X n−1 , ε n ), n ≥ 1, X 0 ∼ µ 0
Y n = G n (X n , η n ), n ≥ 0,
où F n , G n sont des fonctions mesurables, et (ε n ) n≥1 , (η n ) n≥0 sont des bruits blancs,
indépendants entre eux et indépendants de X 0 . Dans ce cas, (X n ) n≥0 est une chaine
de Markov de probabilité de transition P n donnée par :
P n f(x) = E[f(F n (x, ε n ))], pour toute fonction mesurable bornée f.
De plus, comme η 0 , . . . , η n sont mutuellement indépendants et indépendants de X 0 , . . . , X n ,
l’hypothèse de canal sans mémoire pour les observations est satisfaite. En supposant
que pour tout x, la variable aléatoire G n (x, η n ) admet une densité, notée g n (x, y), on
a
P[Y n ∈ dy|X n = x] = P[G n (x, η n ) ∈ dy] = g n (x, y)dy.

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 43
Par exemple, si G n est de la forme :
G n (x, η) = h n (x) + η,
et si η n admet une densité notée k n , alors on a
g n (x, y) = k n (y − h n (x)).
Un autre exemple est le cas en finance où (X n ) représente le rendement et/ou la
volatilité non observable d’un actif risqué S observable. La dynamique du prix est
donnée par :
[(
S n+1 = S n exp b(X n ) − 1 )
2 σ2 (X n ) δ + σ(X n ) √ ]
δη n ,
obtenue par exemple par discrétisation selon un schéma d’Euler de pas δ d’un modèle à
volatilité stochastique. En posant Y n+1 = ln(S n /S n−1 ), on a le modèle d’observation :
Y n = ˆb(X n )δ + σ(X n ) √ δη n ,
où on a posé ˆb = b − σ 2 /2. Si η n est un bruit blanc gaussien centré réduit, alors la loi
de Y n sachant X n = x admet pour densité :
(
)
1
g n (x, y) = √
2πσ 2 (x)δ exp (y − ˆb(x)δ)
2
−
2σ 2 .
(x)δ
3.2.2 Equation du filtre
Dans la suite, on fixera les observations à (Y 0 , . . . , Y n ) = (y 0 , . . . , y n ) et pour simplifier
les notations, on supprimera les indices y. On notera ḡ n (x) = g n (x, y n ).
On note par Π n la loi du filtre et Π − n celle de la prédiction :
Π n (dx) = P(X n ∈ dx|Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n )
Π − n (dx) = P(X n ∈ dx|Y 0 = y 0 , . . . , Y n−1 = y n−1 ).
D’après l’expression (3.11) de la loi jointe (X [0,n] , Y [0,n] ) et celle (3.12) de la loi de Y [0,n] ,
on obtient par la formule de Bayes :
∏ n
k=0 ḡk(x k ) P [ ]
X [0,n] ∈ dx [0,n]
P [ X [0,n] ∈ dx [0,n] Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n | ] =
E [ ∏ n
k=0 ḡk(X k )]
Autrement dit, pour toute fonction test ϕ bornée mesurable sur E n , on a :
E [ϕ(X 0 , . . . , X n )|Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n )] = E [ϕ(X 0, . . . , X n ) ∏ n
k=0 ḡk(X k )]
E [ ∏ n
k=0 ḡk(X .
k )]
.

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 44
En particulier, pour une fonction test ϕ ne dépendant que de x n , on a :
Π n ϕ = E [ϕ(X n )|Y 0 = y 0 , . . . , Y n = y n ]
= E [ϕ(X n) ∏ n
k=0 ḡk(X k )]
E [ ∏ n
k=0 ḡk(X = π nϕ
k )] π n 1 ,
où π n est la mesure positive, appelée filtre non normalisé, définie par :
[
]
n∏
π n ϕ = E ϕ(X n ) ḡ k (X k ) .
De manière similaire, on a
k=0
Π − n ϕ = E [ϕ(X n )|Y 0 = y 0 , . . . , Y n−1 = y n−1 )]
[
E ϕ(X n ) ∏ ]
n−1
k=0 ḡk(X k )
= [ ∏n−1
] = π− n ϕ
E
k=0 ḡk(X k ) πn − 1 ,
où πn − est la mesure positive, appelée filtre prédictif non normalisé, définie par :
[
]
π − n ϕ = E
ϕ(X n )
n−1
∏
k=0
ḡ k (X k )
Nous allons montrer qu’on peut obtenir une équation récurrente exprimant Π n en
fonction de Π n−1 . Pour cela, il suffit d’une équation récurrente sur π n en fonction de
π n−1 , puis de normaliser. On note P(E) l’ensemble des mesures de probabilités sur E
et M(E) l’ensemble des mesures positives sur E.
Théorème 3.2.1 La suite (Π n ) dans P(E) vérifie l’équation de récurrence en deux
étapes, partant de l’initialisation Π 0 = µ 0 :
• Etape de prédiction :
Π n−1 −→ Π − n = Π n−1 P n ,
où par définition Π n−1 P n (dx ′ ) = ∫ E Π n−1(dx)P n (x, dx ′ ) est l’action du noyau de probabilité
de transition P n de X n sur Π n−1 ,
• Etape de correction/mise à jour :
.
Π − n −→ Π n =
ḡ n Π − n
∫E ḡn(x ′ )Π − n (dx ′ ) = ḡnΠ − n
(ḡ n Π − n )1 ,
qui pondère la mesure Π − n par la fonction de vraisemblance ḡ n : (ḡ n Π − n )(dx ′ ) = ḡ n (x ′ )Π − n (dx ′ ).
De manière équivalente, (Π n ) est solution du système dynamique dans P(E) :
Π n =
Π n−1 H
∫
n
E Π n−1H n (dx ′ ) =
Π n−1H n
(Π n−1 H n )1

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 45
où H n est le noyau de prédiction-correction :
H n (x, dx ′ ) = ḡ n (x ′ )P n (x, dx ′ )
agissant sur la mesure Π n−1 par : Π n−1 H n (dx ′ ) = ∫ E Π n−1(dx)H n (x, dx ′ ).
Preuve. Etape correction : Π n en fonction de Π − n .
On a pour toute fonction test ϕ :
[
] [
n∏
π n ϕ = E ϕ(X n ) ḡ k (X k ) = E ϕ(X n )ḡ n (X n )
k=0
= π − n ϕḡ n = ḡ n π − n ϕ,
n−1
∏
k=0
ḡ k (X k )
où la dernière égalité exprime simplement le fait que
∫
∫
πn − ϕḡ n = (ϕḡ n )(x ′ )πn − (dx ′ ) = ϕ(x ′ )(ḡ n .πn − )(dx ′ ) = ḡ n πn − ϕ.
On a donc
Par normalisation, on obtient
E
E
π n = ḡ n π − n .
]
Π n = π n
π n 1 = ḡnπ − n
π − n ḡ n
= ḡnΠ − n
Π − n ḡ n
Etape prédiction : Π − n en fonction de Π n−1 .
Par la propriété de Markov de (X n ), on a
[
] [ [
]]
n−1
∏
n−1
∏
πn − ϕ = E ϕ(X n ) ḡ k (X k ) = E E ϕ(X n ) ḡ k (X k )
∣ X [0,n−1]
k=0
k=0
[
= E E [ ϕ(X n )| X [0,n−1 ] ] n−1 ] [
]
∏
n−1
∏
ḡ k (X k ) = E E [ϕ(X n )| X n−1 ]] ḡ k (X k )
= E
[
P n ϕ(X n−1 )
n−1
∏
k=0
k=0
ḡ k (X k )
]
= π n−1 (P n ϕ) = (π n−1 P n )ϕ,
où la dernière égalité exprime simplement, comme conséquence de Fubini, le fait que :
∫
∫ (∫
)
π n−1 (P n ϕ) = (P n ϕ)(x)π n−1 (dx) = ϕ(x ′ )P n (x, dx ′ ) π n−1 (dx)
E
E E
∫ (∫
) ∫
= π n−1 (dx)P n (x, dx ′ ) ϕ(x ′ ) = π n−1 P n (dx ′ )ϕ(x ′ )
E
E
= (π n−1 P n )ϕ.
E
k=0

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 46
On a donc :
π − n = π n−1 P n .
Finalement, pour la normalisation, en remarquant que
[ n−1
]
∏
πn − 1 = E ḡ k (X k ) = π n−1 1,
k=0
on a
Π − n = π− n
π − n 1 = π n−1P n
π n−1 1 = Π n−1P n .
L’équation du filtre a été obtenue simplement par utilisation de la propriété de
Markov et de la formule de Bayes. C’est une équation non linéaire (à cause de l’étape
de normalisation) à valeurs dans P(E) et il est en général impossible de la résoudre
explicitement, sauf dans des cas particuliers de modèles linéaires gaussiens, où elle se
ramène à un système en dimension finie 2 : les équations du filtre de Kalman-Bucy.
Il faut donc avoir recours à des méthodes numériques et on présente ci-dessous une
approximation par quantification.
Exercice. Montrer que dans le cas de modèles linéaires gaussiens décrits au paragraphe
3.1.2, l’équation de prédiction/correction du théorème 3.2.1 permet de retrouver les
équations explicites du filtre de Kalman-Bucy.
3.2.3 Approximation par quantification
On se place dans le cas où l’espace d’états du signal E = R d est continu. L’idée
basique est d’approximer l’équation d’évolution du filtre en dimension infinie dans
P(R d ), par une équation d’évolution en dimension finie grâce à une quantification de
la chaine de Markov du signal. On procède selon les étapes suivantes :
Etape de quantification marginale de (X k )
C’est la méthode décrite au chapitre précédent. A chaque date k = 0, . . . , n, on se
donne une grille x k = (x 1 k , . . . , xN k
k
) de N k points dans R d à laquelle est associée une
partition de Voronoi C i (x k ), i = 1, . . . , N k . On considère alors pour tout k le quantifieur
de Voronoi de X k sur la grille x k :
✷
ˆX k = Proj xk
(X k ) :=
N k
∑
x i k 1 C i (x k )(X k ).
i=1
On définit la loi de probabilité discrète ˆµ 0 (de poids ˆµ i 0 , i = 1, . . . , N 0) de ˆX 0 :
ˆµ i 0 = p i 0 = P[ ˆX 0 = x i 0] = P[X 0 ∈ C i (x 0 )], i = 1, . . . , N 0 .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 47
et les matrices de probabilité de transition ˆP k = (p ij
k
), k = 1, . . . , n :
p ij
k
:= P[ ˆX k = x j k | ˆX k−1 = x i k−1 ] i = 1, . . . , N k−1, j = 1, . . . , N k .
Ces poids µ i 0 , pij k sont estimés par simulation de Monte-Carlo X k, k = 0, . . . , n, ou bien
simultanément dans l’algorithme de Kohonen.
Etape d’approximation du filtre
On rappelle que les observations sont fixées à (Y 0 , . . . , Y n ) = (y 0 , . . . , y n ). Le filtre Π k
et le prédicteur Π − k
sont approximés par les mesures de probabilité discrète ˆΠ k et ˆΠ − k
de support x k , et définis par les équations d’évolution en dimension finie :
• Initialisation
• Prédiction
• Correction
ˆΠ 0 = ˆµ 0
ˆΠ − k
= ˆΠ k−1 ˆPk , k ≥ 1,
ˆΠ k =
ḡ k ˆΠ−
k
k ≥ 1,
(ḡ k ˆΠ−
k
)1,
Les étapes de prédiction-correction s’écrivent aussi sous forme :
ˆΠ k =
ˆΠ k−1 Ĥ k
(ˆΠ k−1 Ĥ k )1 , k ≥ 1,
où Ĥk = (Ĥij k
) est la matrice de transition :
Ĥ ij
k
= ḡ k (x j k )ˆpij k , i = 1, . . . , N k−1, j = 1, . . . , N k .
Autrement dit, les poids ( ˆΠ i k ), i = 1, . . . , N k, de ˆΠ k
manière inductive, pour k = 1, . . . , n, selon :
se calculent explicitement de
ˆΠ i 0 = ˆµ i 0, i = 1, . . . , N 0
ˆΠ j k
=
∑ Nk−1
i=1
ˆΠ i k−1Ĥij k
∑ Nk−1
i=1
∑ Nk
j=1
ˆΠ i k−1Ĥij k
, k = 1, . . . , n, , j = 1, . . . , N k .
D’un point de vue pratique, la procédure d’implémentation algorithmique ci-dessus
se décompose comme suit :
Phase de calculs off-line : Quantification optimale du signal. Notons que cette
phase ne dépend pas des observations et requiert de :

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 48
- spécifier la taille N k des grilles x k pour k = 0, . . . , n, étant donné un nombre total de
points N = N 0 + . . . + N n .
- implémenter les grilles optimales (par l’algorithme de Kohonen) et les poids de transition
associés (ˆp ij
k ).
Un cas spécial : signal stationnaire. Dans ce cadre usuel de modèle de filtrage où la
distribution de X k est la même à toute date k, on a seulement besoin de calculer la grille
optimale x ∗ = {x 1 , . . . , x ¯N} de la loi stationnaire µ 0 de X 0 , de taille ¯N = N/(n + 1).
Alors, x k = x ∗ , k = 0, . . . , n, sont les grilles optimales pour chaque X k . On estime la
probabilité ˆµ 0 de ˆX 0 = Proj x ∗(X 0 ), et on estime une seule matrice de probabilité de
transition :
ˆp ij
k
= ˆp ij
(k)
0 = P[ ˆX 0 = x j (k−1)
| ˆX 0 = x i ], 0 ≤ i, j ≤ ¯N,
(k)
où ˆX 0 suit la loi de ˆX 0 . D’un point de vue numérique, la taille des paramètres à
stocker est divisée par un facteur n, ou de manière équivalente, la taille de la grille de
quantification optimale pour X 0 peut être multipliée par n.
Phase de calculs on-line : étant donné un jeu d’observations y = (y 0 , . . . , y n ), on
calcule les matrices quantifiées de prédiction-correction (Ĥk), k = 1, . . . , n, puis les
filtres quantifiées ( ˆΠ k ), k = 0, . . . , n. Pour toute fonction test ϕ, on calcule alors :
ˆΠ n ϕ =
∑N n
ϕ(x i n)ˆΠ i n.
i=1
Cette phase de calcul est instantanée.
Nous analysons à présent l’erreur et la convergence du filtre approximé par quantification.
Nous imposons essentiellement deux types de conditions sur le modèle de signalobservation.
Nous supposons une condition de Lipschitz sur les probabilités de transition
du signal :
(A1) Les probabilités de transition P k , k = 1, . . . , n, sont Lipschitz de ratio [P k ] Lip
,
i.e. pour toute fonction Lipschitzienne ϕ sur R d , de ratio [ϕ] Lip
, on a :
|P k ϕ(x) − P k ϕ(ˆx)| ≤ [P k ] Lip
[φ] Lip
|x − ˆx|, ∀x, ̂x ∈ R d ,
et on pose [P ] Lip
:= max k=1,...,n [P k ] Lip
.
On suppose aussi une condition de Lipschitz sur les fonctions de vraisemblance :

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 49
⎧
(i)
Les fonctions g k , k = 1, . . . , n, sont bornées
(A2)
⎪⎨
(ii)
et on pose ‖g‖ ∞
:= max k=1,...,n ‖g k ‖ ∞
Il existe [g k ] Lip
, k = 1, . . . , n, tels que ∀x, ˆx ∈ R d , y ∈ R q
⎪⎩
|g k (x, y) − g k (ˆx, y)| ≤ [g k ] Lip
|x − ˆx|,
et on pose [g] Lip
:= max k=1,...,n [g k ] Lip
.
On obtient alors la borne d’erreur suivante pour l’approximation du filtre par quantification.
Théorème 3.2.2 Sous (A1) and (A2), étant donnée une observation (Y 0 , . . . , Y n ) =
(y 0 , . . . , y n ), on a :
sup
φ∈BL 1 (R d )
∣
∣Π n φ − ˆΠ n φ∣ ≤ ‖g‖n ∞
γ n (y)
n∑
A n,k ‖X k − ˆX k ‖ 2
, (3.13)
k=0
où γ n (y) est la densité de (Y 0 , . . . , Y n ) en y = (y 0 , . . . , y n ) :
[ n
]
∏
γ n (y) = E g k (X k , y k )
et
A n,k = 2
(
[P ] n−k
Lip
k=0
+ [g] )
[P ] n−k+1 − 1
Lip Lip
.
‖g‖ ∞
[P ] Lip
− 1
Preuve. Etape 1 : représentation backward du filtre. On considère le filtre non normalisé
(π k ) dont l’équation d’évolution forward est :
d’où
π 0 = µ 0 , π k = π k−1 H k , k = 1, . . . , n,
Π n = π n
π n 1
et π n = µ 0 H 1 . . . H n
De cette expression symétrique, on introduit les noyaux de transition donnés par les
équations backward :
de telle sorte que
R n = Id, R k = H k+1 R k+1 , k = 0, . . . , n − 1,
π n = µ 0 R 0 .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 50
De manière similaire, le filtre quantifié s’exprime sous forme backward par :
et
ˆΠ n = ˆπ n
ˆπ n 1 , avec ˆπ n = ˆµ 0 ˆR0
ˆR n = Id, ˆRk = Ĥk+1 ˆR k+1 , k = 0, . . . , n − 1.
Etape 2 : approximation d’erreur du filtre non normalisé. On écrit pour toute fonction
test ϕ ∈ BL 1 (R d ),
[
∣
∣
|π n ϕ − ˆπ n ϕ| = ∣µ 0 R 0 ϕ − ˆµ 0 ˆR0 ϕ∣ = ∣E [R 0 ϕ(X 0 )] − E ˆR0 ϕ( ˆX ∣∣
0 )]∣ ∥
≤ ∥R 0 ϕ(X 0 ) − ˆR 0 ϕ( ˆX 0 ) ∥ .
Comme pour l’analyse d’erreur des options américaines, l’idée est alors, à partir de la
formule backward de R k et ˆR ∥
k , d’obtenir une estimation de ∥R k ϕ(X k ) − ˆR k ϕ( ˆX k ) ∥
2
∥
en fonction des erreurs de quantification ∥X k − ˆX
∥ ∥∥
k Précisément, en posant u k =
2.
R k ϕ, û k = ˆR k ϕ, et en notant par définition de R k et H k que
u k = H k+1 u k+1 = P k+1 (ḡ k+1 u k+1 ), (3.14)
û k = Ĥk+1û k+1 = ˆP k+1 (ḡ k+1 û k+1 ),
2
on a :
=
≤
≤
∥
∥u k (X k ) − û k ( ˆX k ) ∥
2
∥
∥P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )(X k ) − ˆP k+1 (ḡ k+1 û k+1 )( ˆX k ) ∥
2
[
∥
∥P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )(X k ) − E P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )(X k )| ˆX
]∥ ∥∥
k
2
∥
+ ∥E
[P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )(X k )| ˆX
]
k − ˆP k+1 (ḡ k+1 û k+1 )( ˆX k ) ∥
∥
∥P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )(X k ) − P k+1 (ḡ k+1 u k+1 )( ˆX k ) ∥
2
∥
+ ∥(ḡ k+1 u k+1 )(X k+1 ) − (ḡ k+1 û k+1 )( ˆX k+1 ) ∥ ,
2
2
∥ ∥∥Xk
≤ [P ] Lip
[ḡ k+1 u k+1 ] Lip
− ˆX
∥ ∥ ∥∥ ∥∥Xk+1
k + [g] Lip
‖u k+1 ‖ ∞
− ˆX
∥ ∥∥
k+1
2
2
∥
∥∥uk+1
+ ‖g‖ ∞
(X k+1 ) − û k+1 ( ˆX k+1 ) ∥ .
On a utilisé pour l’avant dernière inégalité, la définition même de l’espérance conditionnelle
dans L 2 pour le premier terme, et le fait que ˆX k est σ(X k )-mesurable, combinée
2

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 51
avec la loi des espérances conditionnelles itérées pour le deuxième terme. On a utilisé
les conditions (A1) et (A2) pour la dernière inégalité. On a donc l’inégalité de
récurrence
∥
∥u k (X k ) − û k ( ˆX k ) ∥
∥ ∥∥Xk
≤ α k − ˆX
∥ ∥ ∥∥ ∥∥Xk+1
k + β k+1 − ˆX
∥ ∥∥
k+1
2
2
∥
∥∥uk+1
+ ‖g‖ ∞
(X k+1 ) − û k+1 ( ˆX k+1 ) ∥ ,
avec α k = [P ] Lip
[ḡ k+1 u k+1 ] Lip
, β k+1 = [g] Lip
‖u k+1 ‖ ∞
, et la relation terminale ‖u n (X n )−
û n ( ˆX ∥
n )‖ 2
≤ ∥X n − ˆX
∥ ∥∥
n Par induction, on en déduit
2.
|π n ϕ − ˆπ n ϕ| ≤
∥
∥u 0 (X 0 ) − û 0 ( ˆX 0 ) ∥
2
2
≤
2
n∑
∥
C k (ϕ) ∥X k − ˆX
∥ ∥∥
k , (3.15)
2
avec C k (ϕ) = ‖g‖ k−1
∞ (α k‖g‖ ∞
+ β k ), k = 0, . . . , n, et la convention α n = 1 et β 0 = 0.
D’autre part, puisque u n = ϕ, avec ‖ϕ‖ ∞
≤ 1, et ‖u k ‖ ∞
≤ ‖g‖ ∞
‖u k+1 ‖ ∞
d’après
(3.14), on en déduit
De même, d’après (3.14), on a
‖u k ‖ ∞
≤ ‖g‖ n−k
∞ .
[u k ] Lip
≤ [P ] Lip
[ḡ k+1 u k+1 ] Lip
≤ [P ] Lip
(
‖g‖∞ [u k+1 ] Lip
+ ‖u k+1 ‖ ∞
[g] Lip
)
Par induction, puisque [u n ] Lip
≤ 1, on en déduit :
On a donc β k ≤ [g] Lip
‖g‖ n−k
∞
≤
k=0
[P ] Lip
‖g‖ ∞
[u k+1 ] Lip
+ [P ] Lip
[g] Lip
‖g‖ n−k−1
∞
.
[u k ] Lip
≤ ( n−k
) n−k
∑
[P ] Lip
‖g‖ ∞ + [g]Lip ‖g‖ n−k−1 [P ] l .
∞
Lip
et
α k = [P ] Lip
[ḡ k+1 u k+1 ] Lip
≤ [P ] Lip
(
‖g‖∞ [u k+1 ] Lip
+ ‖u k+1 ‖ ∞
[g] Lip
)
≤
l=1
( n−k
) n−k
∑
[P ] Lip
‖g‖ ∞ + [g]Lip ‖g‖ n−k−1 [P ] l .
∞
Lip
En substituant α k et β k dans C k (ϕ), on obtient pour tout ϕ ∈ BL 1 (R d ) :
C k (ϕ) ≤ ‖g‖ n [P ]n−k
∞ Lip
= ‖g‖ n ∞
(
[P ] n−k
Lip
n−k
∑
+ [g] Lip
‖g‖ n−1
∞
l=0
[P ] l Lip
l=1
+ [g] )
[P ] n−k+1 − 1
Lip Lip
. (3.16)
‖g‖ ∞
[P ] Lip
− 1

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 52
Etape 3 : retour au filtre normalisé. Il suffit d’écrire que pour tout ϕ ∈ BL 1 (R d ) :
∣
∣Π n ϕ − ˆΠ n ϕ∣ =
π n ϕ
∣ π n 1 − ˆπ nϕ
ˆπ n 1 ∣
≤
|π n ϕ − ˆπ n ϕ|
∣ π n 1 ∣ + ˆπ n|ϕ|
1
∣π n 1 − 1
ˆπ n 1∣
∣ ≤
|π n ϕ − ˆπ n ϕ|
∣∣∣ ∣ π n 1 ∣ + |π n 1 − ˆπ n 1|
π n 1 ∣
1
n∑
∥
≤ (C k (ϕ) + C k (1)) ∥X k −
π n 1
ˆX
∥ ∥∥
k ,
2
k=0
d’après (3.15). On conclut en se rappelant que π n 1 = γ n (y) est la densité de (Y 0 , . . . , Y n )
et en utilisant la majoration (3.16) de C k (ϕ).
✷
Remarque 3.2.3 Convergence du filtre quantifié. Si les grilles sont choisies optimalement
à chaque date k = 0, . . . , n, alors d’après le théorème de Zador, on a le taux de
convergence pour le filtre quantifié :
sup
φ∈BL 1 (R d )
∣
∣Π n ϕ − ˆΠ n , ϕ∣ ≤ ‖g‖n ∞
γ n (y)
n∑
A n,k C(P Xk , d) 1
k=0
N 1 d
k
. (3.17)
En conséquence :
- Etant donné un nombre total de points N, on peut répartir optimalement le
nombre de points N k pour chaque date k, i.e. déterminer (N 0 , . . . , N k ) vérifiant N 0 +
. . . + N n = N et minimisant le terme de droite de (3.17).
- Pour un horizon fixé n, on a la convergence du filtre quantifié, i.e. ˆΠ n converge
vers Π n lorsque min 0≤k≤n N k tend vers l’infini.
- Lorsque n tend vers l’infini, la convergence du filtre quantifié est aussi satisfaite
typiquement dans le cas d’un schéma d’Euler issue d’une diffusion discrétisée sur [0, T ]
de pas T/n :
X k+1 = X k + b(X k ) T n + σ(X k)√
T
n ε k+1.
En effet, sous des conditions de Lipschitz sur les coefficients b et σ, on a vu que :
[P ] Lip
≤ 1 + c n
pour une constante c indépendante de n. Dans ce cas, en répartissant simplement N k
= ¯N = N/(n+1) points sur chaque grille de temps, la relation (3.17) donne une vitesse
de convergence de l’ordre :
‖g‖ n ∞
γ n (y)
n + 1
¯N 1/d .

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 53
3.3 Applications et exemples
3.3.1 Application : Valorisation d’options européennes en information
partielle
Soit (X k ), k = 0, . . . , n, le processus de rendement et/ou de volatilité d’un actif
risqué. (Y k ), k = 0, . . . , n, est le (Logarithme) du processus de prix. On note F k =
σ(X j , Y j , 0 ≤ j ≤ k), k = 0, . . . , n, la filtration d’information totale et Fk
Y = σ(Y j, 0 ≤
j ≤ k), k = 0, . . . , n la filtration d’information partielle, i.e. lorsqu’on n’observe pas
le rendement et/ou volatilité mais seulement le prix des actions. Dans ce modèle, on
se donne une option européenne de payoff h(Y n ) et plus généralement h(X n , Y n ). Son
prix en information totale est donné à la date k par :
U k = E [h(X n , Y n )|F k ] = v k (X k , Y k ),
pour une fonction Borélienne v k , d’après la propriété de Markov du couple (X, Y ).
(Nous avons supposé ici que P est déjà une probabilité risque-neutre). La fonction v k
peut être aisément calculée par diverses méthodes : quantification ou Monte-Carlo.
D’autre part, le prix de l’option européenne en information partielle est :
Uk Y = E [ h(X n , Y n )|Fk
Y ]
.
D’après la loi des espérances conditionnelles itérées, on a :
Uk
Y = E [ h(X n , Y n )|Fk
Y ]
= E [ v k (X k , Y k )|Fk
Y ]
∫
= v k (x, Y k )Π k (dx) =: Π k v k (., Y k )
Ainsi, étant donnée une observation (Y 0 , . . . , Y k ) = (y 0 , . . . , y k ), son prix est approximé
par la formule explicite :
ˆΠ k v k (., y k ) :=
N k
∑
v k (x i k , y k)ˆΠ i k ,
i=1
où ˆΠ k est le filtre quantifié.
3.3.2 Exemples
Modèle linéaire gaussien. C’est le modèle étudié au paragraphe 3.1.2 :
X n = AX n−1 + Bε n , X 0 ∼ N (µ 0 , Σ X 0 ),
Y n = CX n + η n ,
pour lequel le filtre Π n est explicite : Π n ∼ N ( ¯X n , ¯Σ n ) avec ¯X n et ¯Σ n se calculant
explicitement de manière inductive.

FILTRAGE ET QUANTIFICATION 54
Projet 7. Choisir les paramètres du modèle en dimension 1 pour que le signal X k soit
stationnaire, X k ∼ N (0, Σ X 0 ) pour tout k, et impémenter le filtre quantifié. Comparer
avec le filtre théorique explicite.
Modèle à volatilité stochastique. On considère le modèle ARCH :
X k+1 = ρX k + ε k , X 0 ❀ N (0, Σ 0 )
Y k = σ(X k )η k ,
où (ε k ) et (η k ) sont deux bruits blancs indépendants gaussiens. Ce modèle est populaire
en finance où X est le facteur de la volatilité de l’actif risqué de prix logarithmique Y
= ln S.
Projet 8. Choisir les paramètres du modèle en dimension 1 pour que le signal X k soit
stationnaire, X k ∼ N (0, Σ X 0 ) pour tout k, et impémenter le filtre quantifié. Calculer le
prix d’un put européen en information totale et partielle.

Bibliographie
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