Examen du 9 mars 2004 : durée 3 heures (Notes de cours autorisées)

DEA Paris 6 Probabilités et ApplicationsDEA Paris 7 Stats et Modèles AléatoiresAnnée 2003/2004Contrôle optimal stochastique(Huyên Pham)Examen du 9 mars 2004 : durée 3 heures(Notes de cours autorisées)Exercice 1 : Gestion de portefeuille par critère moyenne-varianceOn considère le modèle de Black-Scholes :dS 0 t = rS 0 t dt, (1)dS t = S t (bdt + σdW t ) , (2)où b, r, σ sont des constantes positives, W est un mouvement brownien réel standard surun espace de probabilité filtré (Ω, F, F = (F t ) 0≤t≤T , P ) et T > 0 un horizon fini.On note par A l’ensemble des processus α = (α t ) t F-adaptés à valeurs dans A = R tel que :[∫ T]E |α t | 2 dt0< +∞.A représente l’ensemble des stratégies de portefeuille α d’un agent qui investit un montantα t de sa richesse dans l’actif risqué S t à la date t. La richesse de cet agent est gouvernéepar :dS tdX t = α t + (X t − α t ) dS0 tS tSt0= (rX t + (b − r)α t ) dt + α t σdW t . (3)Pour t ∈ [0, T ], x ∈ R, et α ∈ A, on note par {(Xst,x : t ≤ s ≤ T } la solution de (3) partantde x en s = t. Etant donné un poids λ > 0, l’objectif de l’agent est de résoudre le problèmede couverture moyenne-variance :[ ( ) ]2v(t, x) = inf E X t,xα∈AT − λXt,xT, (t, x) ∈ [0, T ] × R, (4)1) a) Calculer explicitement la solution {(Xst,xA.: t ≤ s ≤ T } pour t ∈ [0, T ], x ∈ R, et α ∈b) En déduire queE[∣sup ∣Xst,xs∈[t,T ]]∣ 2< +∞.2) Ecrire l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associée au problème de contrôlestochastique régulier (4).1

3) Soit w ∈ C 1,2 ([0, T [, R) ∩ C 0 ([0, T ]×R) solution de (HJB), telle que w(T, x) ≤ x 2 −λx etsatisfaisant la condition de croissance quadratique : il existe une constante C (dépendantde T ) telle queMontrer que|w(t, x)| ≤ C(1 + |x| 2 ), ∀ (t, x) ∈ [0, T ] × R.w(t, x) ≤ v(t, x), ∀ (t, x) ∈ [0, T ] × R.4) On cherche une solution de (HJB) avec la condition terminale w(T, x) = x 2 − λx, de laformew(t, x) = γ(t)x 2 + ϕ(t)x + ρ(t) (5)où γ, φ et ρ sont des fonctions C 1 ([0, T ]) à déterminer. Calculer explicitement ces fonctionsγ, φ et ρ.5) Montrer que la fonction w donnée par (5) est égal à la fonction valeur v de (4). Quel estun contrôle optimal?Exercice 2On considère la diffusion bidimensionnelle contrôlée :dX s = Y s dW s (6)dY s = α s ds + dB s , (7)où (W, B) est un 2-mouvement brownien sur un espace de probabilité filtré [ (Ω, F, F =∫ ]T(F t ) 0≤t≤T , P ), (α t ) est un processus F-adapté à valeurs dans R tel que E0 |α t| 2 dt

5) En déduire quea) v(., x) est décroissante sur [0, T [ pour tout x ∈ R.b) v(t, .) est concave sur R pour tout t ∈ [0, T [.6) Vérifier que lim inf t→T v(t, x) ≥ g(x).7) En déduire que v(t, x) ≥ g conc (x) pour tout (t, x) ∈ [0, T [×R.8) Montrer directement à partir de (8) que v(t, x) ≤ g conc (x) pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × R.9) Conclure.3