Exercices sur les applications linéaires - Mathématiques - Université ...

Université de Poitiers
Mathématiques
L1 SPIC, Module 2L02
2010/2011
Feuille 3 : Exercices sur les applications linéaires
Exercice 1 : Les applications suivantes sont-elles linéaires
1. f 1 : R → R, x ↦→ 7x 2 ,
2. f 2 : R 2 → R 2 , (x,y) ↦→ (2x + y,x − y),
3. f 3 : R 3 → R 3 , (x,y,z) ↦→ (xy,x,y),
4. f 4 : R[X] → R[X], P ↦→ P ′ ,
5. f 5 : R[X] ≤3 → R 3 , P ↦→ (P(−1),P(0),P(1)),
6. f 6 : R[X] → R[X], P ↦→ 2P − (X − 1)P ′ ,
7. f 7 : R → R, x ↦→ sinx,
8. f 8 : R 2 → R 2 , (x,y) ↦→ la solution du système d’équations en (u,v) :
{ 3u − v = x
6u + 2v = y.
Exercice 2 : Soit f : R 5 → R 2 définie par f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ) = (x 1 + x 2 + x 3 ,x 1 − x 4 − x 5 ).
1. Montrer que f ∈ L R (R 5 , R 2 ).
2. Déterminer une base de ker(f) et Im(f). L’application f est-elle injective Surjective
Exercice 3 : Soit f : R 3 → R 3 l’application linéaire définie par f(x,y,z) = (2y + z,z,0).
1. Déterminer ker(f) et Im(f).
2. Calculer f 2 = f ◦ f puis ker(f 2 ) et Im(f 2 ).
3. Montrer que f est nilpotente, c’est à dire qu’il existe un entier n ∈ N tel que f n = 0.
Exercice 4 : Soient E = R[X] ≤3 l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
et f l’application définie pour P ∈ E par f(P) = 2P − (X − 1)P ′ .
1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Déterminer ker(f) et Im(f).
Exercice 5 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et E = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) une base de E.
1. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme f de E tel que
⎧
⎨ f(e 1 ) = e 1 + e 2 − e 3 ,
f(e
⎩ 2 ) = e 1 + e 2 + 2e 3 ,
f(e 3 ) = e 1 + 2e 2 + 3e 3 .

2. Déterminer ker(f) et Im(f).
Exercice 6 : Soit f : R 3 → R 3 définie par f(x,y,z) = (13x−8y−12z,12x−7y−12z,6x−4y−5z).
On pose F 1 = {u ∈ R 3 , f(u) = u} et F 2 = {u ∈ R 3 , f(u) = −u}.
1. Montrer que F 1 et F 2 sont des sous-espaces vectoriels de R 3 et déterminer leur dimension.
2. Montrer que F 1 et F 2 sont supplémentaires dans R 3 .
Exercice 7 : Montrer que si f ∈ L K (K n , K) et f ≠ 0, alors f est surjective.
Exercice 8 : Soient E un K-espace vectoriel et f,g deux endomorphismes de E tels que g ◦f =
f ◦ g (on dit alors que f et g commutent).
On dit qu’un sous-espace F de E est stable par un endomorphisme u si u(F) ⊂ F.
Montrer que ker(f) et Im(f) sont stables par g.
Exercice 9 : Soient E un K-espace vectoriel et p : E → E une application linéaire telle que
p 2 = p ◦ p = p. On dit que p est un projecteur.
1. Donner un exemple de projecteur de R 2 (qui ne soit pas id R 2).
2. Montrer que id E − p est un projecteur.
3. Montrer que ker(p) = Im(id E − p) et que Im(p) = ker(id E − p).
4. Prouver que les sous-espaces ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E.
5. Soit x ∈ E de décomposition x = u + v dans ker(p) + Im(p). Montrer que p(x) = v.
Exercice 10 : Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L K (E)(= L K (E,E)).
1. Montrer que ker(f) = ker(f 2 ) si et seulement si Im(f) ∩ ker(f) = {0}.
2. Montrer que Im(f) = Im(f 2 ) si et seulement si Im(f) + ker(f) = E. Si de plus E est de
dimension finie, en déduire que Im(f) = Im(f 2 ) si et seulement si Im(f) et ker(f) sont
supplémentaires dans E.
3. Si f est un projecteur, retrouver à l’aide des deux résultats précédent que ker(f) et Im(f)
sont supplémentaires dans E.
Exercice 11 : Soient E un espace vectoriel de dimension 3 et ϕ un endomorphisme de E tel
que ϕ 3 = 0 et ϕ 2 ≠ 0. Soit x ∈ E tel que ϕ 2 (x) ≠ 0. Montrer que la famille {x,ϕ(x),ϕ 2 (x)} est
une base de E.
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