MPSI, colle 20 : Matrices.

MPSI, colle 20 : Matrices.16 juin 2007Exercice 1Soit A ∈ M n (R) telle que ∀M ∈ M n (R), AM = MA. Montrer qu’il existeλ ∈ R tel que A = λI.Exercice 2Soient E = R 3 [X] et F = R 4 [X]. On désigne par B (respectivement B ′ ) labase canonique de E (respectivement F ). Soit1. Ecrire Mat B,B ′(ϕ).2. ϕ est elle injective ?ϕ : E → F , ϕ(P ) = (2X + 1)P − (X 2 − 1)P ′ .Exercice 3 Soient A, B ∈ M n (R) telles que ∀X ∈ M n (R), AXB = 0.Montrer que A = 0 ou B = 0.Exercice 4Soient A =( 354545−35)et B =( 1 00 −1matrices d’un même endomorphisme de R 2 .⎛Exercice 5 Soit A = ⎝1 a b0 1 a0 0 1⎞). Montrer que A et B sont les⎠. Calculer A n pour n ∈ N.( 7 5Exercice 6 On considère la matrice A =−6 −41. Calculer la matrice A 2 − 3A + 2I 2 .2. En déduire que A est inversible et déterminer A −1 .3. Soit n ≥ 2 un entier. Déterminer le reste de la division euclidienne dupolynôme X n par X 2 − 3X + 2.1).

4. En déduire la matrice A n pour n ∈ N.Exercice 7 Soit f ∈ L(R 3 ) tel que f 2 ≠ 0 et f 3 = 0.1. Déterminer rg(f 2 ), dim ker(f 2 ), rg(f) et dim ker (f).2. Montrer ⎛ qu’il ⎞ existe une base de R 3 dans laquelle la matrice de f est0 1 0⎝ 0 0 1 ⎠.0 0 0Exercice 8 Soit A =pour n ∈ N.⎛⎝0 a a 21/a 0 a1/a 2 1/a 0⎞⎠ avec a ∈ R ∗ . Calculer A nExercice 9 Soit A ∈ M n (R) une matrice nilpotente (i.e. ∃ p ∈ N telque A p = 0). Montrer que la matrice I n − A est inversible et donner soninverse.Exercice 10 Soient A et B dans M n (R). On suppose qu’elles commutentet que B est nilpotente (i.e. ∃ p ∈ N tel que B p = 0). Montrerque A + B est inversible si et seulement si A est inversible. Exprimer alors(A + B) −1 en fonction de A −1 et de B.2