la propagation_OEM-guide d'ondes

D2 Propagation d’une OEM dans un guide d’onde
Dans le domaine des hyperfréquences (de 10 8 à 10 12 Hz), les courants deviennent
superficiels et les pertes par effet Joule dans une ligne de transmission deviennent
trop importantes. On les supprime donc ainsi que le diélectrique central et on ne
conserve que le conducteur extérieur pour forme un « tube », à section rectangulaire,
circulaire ou elliptique, qui va servir à transporter l’énergie de ces ondes
hyperfréquences entre les émetteurs et les antennes.
A l'intérieur de ce tube à parois conductrices le champ électrique E r et l’excitation
magnétique H r
de l'onde électromagnétique qui s’y propage doivent satisfaire à
certaines conditions aux limites: la composante tangentielle de E r et la composante
normale de H r sont nulles à la surface du conducteur. Pour étudier la propagation de
l’onde dans le guide, il faut donc trouver la combinaison de E r et de H r satisfaisant
d'une part aux conditions aux limites et d'autre part aux équations de Maxwell.
Dans la suite de cet exposé, on va étudier la propagation d’une onde
électromagnétique dans un guide rectangulaire (Figure 36) et on assimilera l’air au vide. De plus, on supposera que les parois
sont parfaitement conductrices (conductivité infinie) de sorte que l’onde n’y pénètre pas et n’y dissipe aucune énergie. Le guide
est alors considéré sans pertes.
D2.1. Les équations de propagation dans le guide
D.2.1.1. Les équations de Maxwell dans le guide
Puisque l’air contenu dans le guide est assimilé au vide, on peut utiliser les équations de Maxwell dans le vide.
div E = 0
Eq.100
∂H
rot E = −μ 0 Eq.101
∂t
div H = 0
Eq.102
∂E
rot H = ε 0 Eq.103
∂t
D.2.1.2. Les équations de propagation
Ce sont les mêmes que celle obtenues pour la propagation dans le vide.
2
∂ E
ΔE − μ0 ε0
= 0
Eq.104
2
∂t
2
∂ H
ΔH − μ0 ε0
= 0
Eq.105
2
∂t
Les grandeurs E r et de H r sont des fonctions qui dépendent du temps et des trois variables d’espace x, y et z (en coordonnées
cartésiennes). Si on désigne par Ox l’axe du guide, qui est aussi la direction de propagation de l’onde dans le guide, on fait jouer
un rôle différent à cette variable. Aussi, on va écrire l’opérateur Laplacien comme la somme du Laplacien longitudinal
2
2 2
∂
∂ ∂
Δ x = et du Laplacien transversal. Δ
2
⊥ = + .
2 2
∂x
∂y ∂z
Les deux équations de propagation dans le guide s’écrivent alors :
Δ ⊥
2
x =
∂ E
E + Δ E − μ0
ε0
2
∂t
2
0
Eq.106
∂ H
Δ ⊥ H + Δx H − μ0
ε0
= 0
Eq.107
2
∂t
D.2.1.3. Les équations de propagation pour une onde sinusoïdale
Le guide est supposé illimité suivant Ox (ou, ce qui est physiquement équivalent, fermé sur son impédance itérative), la
dépendance en x est contenue dans l’argument de l’exponentielle quand on utilise la notation complexe. Ainsi, les expressions
générales de E r et de H r sont :
E(x, y,z,t)
Figure 36: Schéma d’un guide
d’ondes rectangulaire
jωt−K.x
= E0(y,z)
e
Eq.108
H(x, y,z, t)
jωt
−K.x
0(y,z)
e
= H
Eq.109
41

avec E 0 (y,z) = E0x
ex
+ E0y
ey
+ E0z
e z , H 0 (y,z) = H0x
ex
+ H0y
ey
+ H0z
e z et K=α+jk g (α est une constante
d’atténuation et k g le vecteur d’onde dans le guide)
2
2
∂
On en déduit
E K
2 ∂ E 2
= E et = −ω E .
2
2
∂x
∂t
Quand la propagation se faisait dans l’air assimilé au vide, le vecteur d’onde vaut alors μ 0 ε 0 ω. Pour différencier le vecteur
d’onde dans le guide (plus précisément dans le milieu limité par le guide) du vecteur d’onde dans le même milieu illimité, nous
poserons :
2
km
0
0
2
= μ ε ω
Eq.110
De sorte que les équations de propagation pour une onde sinusoïdale prennent la forme suivante :
Δ ⊥
E + (K
2
+ k
2
m
)E = 0
Eq.111
2
2
Δ ⊥ H + (K + km)H
= 0
Eq.112
Pour trouver la structure de l’onde, il serait nécessaire de résoudre les équations de propagation pour chacune des composantes
de E r et de H r en tenant compte des conditions aux limites imposées par les parois du guide.
Mais les composantes ne sont pas totalement indépendantes entre elles puisqu’elles sont liées par les équations de Maxwell. Pour
réduire le nombre de variables, on choisit généralement de faire jouer un rôle particulier à E0x
et H 0x
, les composantes de E r
et de H r dans la direction de propagation. On utilise alors les équations de Maxwell pour trouver les autres composantes en
fonction de E0x
et H 0x
.
D.2.1.4. Relations entre les composantes
Il faut exprimer E 0y
, E 0z
, H 0y
et H0z
en fonction de E0x
et H 0x
.
∂H
Les deux équations de Maxwell qui couplent les champs sont rot E = −μ 0 et
∂t
⎧∂E
∂E
z y ∂Hx
⎪ − = −μ0
⎪
∂y
∂z
∂t
∂H
⎪∂E
∂ ∂H
x Ez
y
rot E = −μ0
⎨ − = −μ0
∂t
⎪ ∂z
∂x
∂t
⎪∂Ey
∂Ex
∂Hz
⎪ − − = −μ0
⎩
∂x
∂y
∂t
Ce qui donne trois équations:
∂E
∂E
0z
0y
− = −jμ0ω
H0x
∂y
∂z
∂E
0 x
+ KE0z
= −jμ0ω
H 0y
∂z
∂E0x
− KE0y
− = −jμ0ω
H0z
∂y
De la même façon :
⎧∂H
∂H
z y ∂E
x
⎪ − = ε0
⎪ ∂y
∂z
∂t
∂E
⎪∂H
∂ ∂E
x Hz
y
rot H = ε0 ⎨ − = ε0
qui permet d’obtenir :
∂t
⎪ ∂z
∂x
∂t
⎪∂H
y ∂H
x ∂E
z
⎪ − − = ε0
⎪⎩
∂x
∂y
∂t
rot H
∂E
= ε 0 .
∂t
Eq.113
Eq.114
Eq.115
42

∂H
∂y
∂H
∂z
− KH
∂H
0z
0y
− = jε0
ω E0x
∂z
0 x
+ KH0z
= jε0
ω E 0y
∂H
∂y
0x
0y
− = jε0ω
E0z
Eq.116
Eq.117
Eq.118
La combinaison des équations précédentes permet d’écrire l’ensemble des composantes des champs en fonction E0x
et H 0x
:
Par exemple, la combinaison de l’Eq.117et de l’Eq.115 donne :
∂H0x
∂H0x
K ∂E
x
j E KH
(KE0y
0
2
2
∂H0x
∂E0x
ε 0 ω 0y = + 0z = +
+ ) et − ( K + ε0
μ0
ω ) E0y
= jμ0ω
+ K
∂z
∂z
jμ0ω
∂y
∂z
∂y
Et finalement :
−1
⎡ ∂H
⎤
0x ∂E0x
E0y
= ⎢jμ0ω
+ K ⎥
Eq.119
2 2
(K + k m)
⎣ ∂z
∂y
⎦
Pour les autres composantes, les expressions sont :
1 ⎡ ∂H
⎤
0x ∂E0x
E0z
= ⎢jμ
ω − K
2 2 0
⎥
Eq.120
(K + km)
⎣ ∂y
∂z
⎦
1 ⎡ ∂E
⎤
0x ∂H0x
H0y
= ⎢jε
ω − K
2 2 0
⎥
Eq.121
(K + km)
⎢⎣
∂z
∂y
⎥⎦
−1
⎡ ∂E
⎤
0x ∂H0x
H0z
= ⎢jε
ω + K
2 2 0
⎥
(K + km)
⎣ ∂y
∂z
⎦
Eq.122
Les équations précédentes, ajoutées aux conditions aux limites et aux équations de propagation pour les composantes et
H
0x
permettent en principe de trouver la structure de l’onde qui se propage dans le guide.
Le paragraphe suivant rappelle les conditions aux limites pour le passage d’une onde électromagnétique du vide à un conducteur.
D.2.1.5.
Conditions aux limites
Les conditions générales sont:
∧ (E − E ) 0
n12 2 1 =
n
12 .(D2
− D1)
= σ
n =
12 ∧ (H2
− H1)
jS
n 1
12 .(B2
− B ) = 0
s
E0x
Appliquées à un guide rectangulaire de dimensions a et b
(Figure 37), on obtient des conditions pour certaines des
composantes. Comme on ne connaît pas les charges et les
courants surfaciques, on utilise les composantes tangentielles
de E r ainsi que les composantes normales de H r .
Pour les composantes tangentielles de E r , on obtient :
E x (0,z) 0 E x (a,z) E x (y,0) E x (y,b)
0 = , 0 = 0 , 0 = 0 , 0 = 0 , E 0 y (y,0) = 0 , E 0 y (y,b) = 0 , E 0 z (0,z) = 0 , E 0 z (a,z) = 0
Pour les composantes normales de H r , on obtient :
H 0 y (0,z) = 0 , H 0 y (a,z) = 0 , H 0 z (y,0) = 0 , H 0 z (y,b) = 0
Figure 37: Composantes des champs E r et H r à considérer
pour les conditions aux limites.
43

D2.2. La relation de dispersion dans le guide
L’équation de propagation pour la composante selon Ox du champ électrique est :
2 2
Δ ⊥ E + (K + k )E 0 .
0 x
m 0x
=
Ce qui s’écrit encore :
2
∂ E
∂y
0x
2
2
∂ E
+
∂z
0x
2
= −(K
2
+ k
2
m
) E
0x
Eq.123
Remarque : Cette équation peut aussi être obtenue en utilisant l’ensemble des équations liant les composantes des champs entre
elles et en écrivant que div E = 0 .
L’Eq.123 ne fait intervenir que les variables d’espace y et z. Sa résolution, en utilisant les conditions aux limites, permet de
trouver (K
2 2
+ km)
, une grandeur positive qui ne dépend que de la géométrie du guide et est indépendante de la pulsation de
l’onde qui s’y propage.
On pose :
2
c
2
2
m
k = K + k
Eq.124
L’équation de dispersion peut alors s’écrire :
Où
2
k
m
et
K
2
2
c
2
k
c
sont deux constantes positives.
2
m
= k − k
Eq.125
K 2 dépend à la fois de la pulsation et de la géométrie du guide, par l’intermédiaire de
pour la géométrie.
D2.3. Les conditions de la propagation guidée
D.2.3.1. la fréquence de coupure
2 2
k
m
et k
c
étant deux constantes positives, K 2 est un réel qui est soit positif, soit négatif.
Puisque K=α+jk g :
2
k
m
2
= μ0
ε0ω
pour la pulsation et
• K 2 >0 implique K=α. L’onde ne se propage pas. Dans ces conditions, une onde introduite dans le guide s’amortit,
même dans un guide sans pertes. Quand le milieu est l’air assimilé au vide, le coefficient d’atténuation est :
2
2 2 ω
α = kc
−
Eq.126
2
c
• K 2 ω c avec :
c
2
2 ωc
kc
= Eq.128
2
c
2
2
k
c
44

Un guide d’onde se comporte comme un filtre passe-haut.
Pour qu’une onde puisse s’y propager, sa fréquence doit être
ωc
supérieure à la fréquence de coupure fc = . 2 π
La courbe de dispersion kg(ω) est représentée sur la Figure
38. Le vecteur d’onde dans le guide k g est une fonction
croissante de la pulsation de l’onde. Il tend vers c
ω quand la
pulsation est très grande devant la pulsation de coupure.
k g
ωω c
propagation
D.2.3.2. la relation fondamentale de la
propagation guidée
Elle est obtenue à partir de l’équation de dispersion en
introduisant les trois longueurs d’onde suivantes :
2π
• λ m , la longueur d’onde dans le milieu : km
=
λ
• λ g , la longueur d’onde dans le guide : k
g
2π
=
λ
g
m
Figure 38: Relation de dispersion dans un guide. La
courbe en pointillé représente k g =ω/c.
λ g
ω c
ω>ω c
propagation
ω

2 ω − ωc
2
La vitesse de groupe est obtenue en différenciant kg
= : 2c
k dk = 2ω
dω
2
g g .
c
2
dω
2
kg
c
Ce qui donne pour expression de la vitesse de groupe = c = .
dk ω v
v
g c 1
2
c
2
2
g
2
ϕ
ω
= −
Eq.131
ω
La vitesse de groupe est plus faible que la vitesse de l’onde dans le milieu illimité et le produit v g .v ϕ est égal à c 2 .
Les évolutions de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe
en fonction de la pulsation de l’onde sont représentées sur la
Figure 40.
Quand la fréquence de l’onde est très grande devant la
fréquence de coupure, la vitesse de phase et la vitesse de
groupe tendent vers une même valeur, la vitesse de l’onde
dans le milieu illimité.
Pour une fréquence élevée devant la fréquence de coupure, le
guide n’est plus dispersif.
v ϕ
v g
c
ωω c
propagation
D.2.3.4.
Les différents modes de propagation
Si dans un câble coaxial, on peut faire se propager des ondes Figure 40: Vitesse de phase et vitesse de groupe dans le
transverses électromagnétiques (TEM : le champ électrique E guide en fonction de la pulsation de l’onde
et l’excitation magnétique H sont perpendiculaires à la
direction de propagation), il n’en est pas de même dans un
guide.
En effet, en utilisant E 0x
=0 et H 0x
=0 dans le système d’équations qui relie les composantes entre elles, on trouve que toutes
les composantes s’annulent sauf si on pouvait avoir k g =k m , ce qui n’est possible que dans un milieu illimité et pas dans un guide
où k g

2 2
⎧∂
E0x
∂ E0x
2
⎪ + = −k
E
2 2 c 0x
⎪ ∂y
∂z
⎪ 2
2
∂ H0x
∂ H0x
2
⎪ + = −k
H
2
2 c 0x
⎪ ∂y
∂z
⎪
⎪ − j ⎡ ∂H0x
∂E
E0y
=
⎪ ⎢μ
ω + k
2 0
g
k
c ⎣ ∂z
∂y
⎨
⎪ j ⎡ ∂H0x
∂E
E0z
=
⎪
⎢μ
ω − k
2 0
g
kc
⎣ ∂y
∂z
⎪
⎪ j ⎡ ∂E0x
∂H
⎪H0y
= ⎢ε
ω − k
2 0
g
⎪ kc
⎣ ∂z
∂y
⎪
⎪ − j ⎡ ∂E0x
∂H
H0z
=
⎪
⎢ε0ω
+ k
2
g
⎩ kc
⎣ ∂y
∂z
0x
0x
0x
0x
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
Eq.132
Dans le cas d’une onde TE ( E =0), le système d’équation précédent devient :
2
2
0x
∂ H0x
∂ H0x
+ = −k
2
2
∂y
∂z
− jkg
∂H0x
H0y
=
2
k ∂y
c
2
c
H
0x
E
H
0y
0z
− jμ0ω ∂H0
=
2
k ∂z
c
x
E
0z
jμ0ω ∂H0
=
2
k ∂y
c
− jkg
∂H
0 x
= Eq.133
2
k ∂z
c
x
D.2.4.1.
Séparation des variables
H 0x est une fonction ψ des variables y et z. Compte tenu de la géométrie du guide, on peut considérer que H 0x
dépend
indépendamment de y et z, c'est-à-dire que la dépendance en y (en z) est la même quel que soit z (ou y). Ceci est une bonne
approximation sauf lorsque on approche les coins du guide.
Avec ψ(y,z)=f(y).g(z), on peut trouver une nouvelle expression du Laplacien transversal :
2
2
2
2
∂ Ψ( y,z) ∂ Ψ(y,z)
∂ f (y) ∂ g(z) 2
+ = g(z) + f (y) = −kc
f (y).g(z)
2
2
2
2
∂y
∂z
∂y
∂z
En divisant par ψ(y,z), on obtient :
2
2
1 ∂ f (y) 1 ∂ g(z) 2
+
= −k
2
2 c
f (y) ∂y
g(z) ∂z
Cette somme d’une fonction de y et d’une fonction de z est une constante quels que soient y et z. C’est donc que chacun des
termes est une constante.
2 2 2
En posant k = k + k , on peut écrire deux équations indépendantes :
1
f (y)
2
c
cy
∂ f (y)
= −k
2
∂y
2
cy
et
cz
1
g(z)
2
∂ g(z)
= −k
2
∂z
2
cz
dont les solutions sont :
0
jk cy y
0
− jk cy y
f (y) = A e + B e
Eq.134
0
jk czz
0
− jk czz
g(z) = C e + D e
Eq.135
D.2.4.2. Les vecteurs d’onde de coupure
2 2
Les constantes A0, B0, C0, D0 ainsi k
cy
et k
cz
peuvent être déterminées à partir des conditions aux limites. Celles-ci ont déjà
été précisées lors de l’étude générale. Pour une onde TE :
E 0 y (y,0) = 0
E 0 y (y,b) = 0
E 0 z (0,z) = 0
E 0 z (a,z) = 0
H 0 y (0,z) = 0
H 0 y (a,z) = 0
H 0 z (y,0) = 0
H 0 z (y,b) = 0
47

On va utiliser les conditions aux limites pour H 0 y .
jk
= −
2
k
∂H
∂y
jk
g 0x g
H0y
= −
2
c kc
df(y)
g(z)
dy
df (y) ⎞ df (y)
−k
cyy
k cyy
df (y) ⎞
H 0 y (0,z) = 0 impose alors ⎟ = 0 , = jkcy
A0
e − jkcy
B0
e et ⎟ = jkcy(A0
− B0)
dy ⎠ dy
dy
y=
0
⎠y=
0
Les deux constantes A 0 et B 0 sont égales.
La même condition en y=a donnera :
df (y) ⎞
k cya
−k
cya
⎟ = jkcy
A0
(e + e ) = −2kcy
A0
sin(kcya)
= 0
dy ⎠y=
a
Ce qui permet d’obtenir la constante k cy .
mπ
k cy
= Eq.136
a
De la même façon, on trouverait :
k cz
nπ
= Eq.137
b
Pour chacun des couples de valeurs (m, n), il existe un vecteur d’onde de coupure qui s’écrit :
mπ
2 nπ
2
kc (m,n) = ( ) + ( )
Eq.138
a b
Il lui correspond une fréquence de coupure ω c(m,n) au dessus de laquelle une onde TE peut se propager suivant le mode TE mn .
D.2.4.3. Les longueurs d’onde et les fréquences de coupure
La fréquence de coupure est liée au vecteur d’onde de coupure par la relation
On en déduit l’expression des longueurs d’onde de coupure λ c(m,n) .
2
λc(m,n)
=
m 2 n 2
( ) + ( )
a b
k
c
2π
=
λ
c
Eq.139
On en déduit les fréquences de coupure pour les modes TE mn :
c m 2 n 2
f c (m,n) = ( ) + ( )
Eq.140
2 a b
Il peut exister une infinité de modes de propagation caractérisés par les nombres entiers m et n. La fréquence de coupure est liée
à ces nombres et, plus l'onde TE mn est d'ordre élevé, plus la fréquence de coupure est élevée.
La fréquence de coupure la plus faible est celle qui est associée au mode TE 10 si a>b (ou au mode TE 01 si a

Les autres composantes se déduisent aisément de cette expression.
− jμ0ω ∂H0x
jμ0ω
nπ
y z
E0y
= = H0
cos(mπ
).sin(nπ
)
Eq.142
2
2
k ∂z
k b
a b
c
c
jμ0ω ∂H0x
− jμ0ω
mπ
y z
= = H sin(mπ
).cos(n )
Eq.143
2
2
k ∂y
k a
a b
E0z
0
π
c
c
− jkg
∂H
jk
0x g mπ
y z
= = H sin(mπ
).cos(n )
Eq.144
2
2
k ∂y
k a
a b
H0y
0
π
c
c
− jk g ∂H
jk
0x g nπ
y z
= = H cos(mπ
).sin(n )
Eq.145
2
2
k ∂z
k b
a b
H0z
0
π
c
c
Les composantes du champ électriques sont toutes nulles si m et n sont nuls.
Par contre, m ou n peut être nul, ce qui donne les ondes TE 0n ou TE m0 .
D.2.4.5.
La structure d’une onde TEmn.
A partir des expressions précédentes, on observe que
dépendance en y et z. Le rapport
E
H
0y
0z
E 0y
et 0z
est égal à l’opposé du rapport
H d’une part ainsi que E 0z
et H 0y
d’autre part ont la même
E
H
0z
0y
et vaut
μ0ω
.
k
g
On peut donc écrire ainsi les composantes E et H :
⎧
⎪
⎪0
⎪ jμ0ω
nπ
y
E : H0⎨
cos(mπ
).sin(nπ
2
⎪ kc
b a
⎪−
jμ0ω
mπ
y
⎪ sin(mπ
).cos(nπ
2
⎩ kc
a a
H : H
0
⎧ y
⎪cos(mπ
).cos(nπ
⎪ a
⎪−
kg
⎨ E0z
⎪ μ0ω
⎪ kg
⎪ E0y
⎪⎩
μ0ω
z
)
b
×
e
z
)
b
z
)
b
j( ωt
−k
x)
g
×
e
j( ωt
−k
gx)
Eq.146
Eq.147
Le produit scalaire E . H est donc nul. Les vecteurs E et H sont perpendiculaires. La structure d’une onde TE est représentée
à un instant donné et pour une abscisse donnée sur la Figure 42. E est transversal, la composante transversale de B est
perpendiculaire à E de même que le champ total.
D.2.4.6. La structure d’une onde TE10.
Pour une onde TE10 (m=1 et n=0), les composantes de l’onde s’écrivent :
⎧ y
⎧
⎪cos(
π )
⎪
a
0
⎪
⎪
⎪kg
y
E0 : H0⎨0
et H0 : H0⎨
sin( π )
Eq.148
⎪−
jμ0ω
y ⎪kc
a
⎪ sin( π ) ⎪0
⎪⎩
kc
a ⎪
⎩
49

Figure 42: Représentation schématique de la
structure d’une onde TE.
Figure 42: Représentation schématique des lignes de champ
électrique et magnétique pour le mode TE10.
Le champ électrique a une seule composante, suivant OZ, et l’excitation magnétique a une composante longitudinale et une
composante transversale suivant OY et toutes ces composantes sont indépendantes de la variable z.
Les lignes de champ sont représentées sur la Figure 42.
• Dans un plan YOZ, les lignes de champ électrique sont des segments de droites parallèles à OZ et les lignes de champ
magnétique sont des segments de droites parallèles à OY.
D.2.4.7.
• Dans le plan XOZ, les lignes de champ électrique sont des segments de droite parallèles à OZ qui se reproduisent avec
la périodicité λ g .
• Dans le plan XOY, les lignes de champ magnétique sont des ellipses centrées sur l’axe du guide réparties avec la
périodicité λ g . Ces ellipses se déforment quand on approche de la paroi.
Impédance itérative du guide
Dans un guide d’onde, l’impédance est le rapport des composantes transversales
TE 10 , ce rapport est Z
μ ω
μ
μ ε
ω
μ
0 0 0 0
0 m
i = =
= , que l’on peut encore écrire :
kg
ε0
kg
ε0
kg
k
E
H
T
T
pour une onde progressive. Pour le mode
λg
Z i = Z 0
Eq.149
λm
Où Z 0 est l’impédance itérative du vide.
Lorsque le guide est fermé sur une impédance Z r , il se produit des ondes stationnaires. Si on introduit le coefficient de réflexion
j R
γ = Γ e θ pour le champ électrique, on montre que l’expression des champs est :
R
R
j( ωt
−k
x)
j( ωt
k x)
g
g
ET(x,
t) = E0(e
+ γRe
) et HT
(x, t) = H0(e
− γRe
) .
Et l'impédance en un point z s'écrit:
− jkz jkz
e + γ R e
Z(x) = Zi
− jkz jkz
e − γ e
g +
R
j( ωt
−k
x)
2
g +
j( ωt
k x)
Eq.150
Le module du champ résultant peut être mis sous la forme E = E.E = A [1 + Γ + 2 Γ cos( θ + 2kz)]
qui varie entre
A0 [1 + ΓR
] et A0 [1 − ΓR
] .
Le rapport d’ondes stationnaires (ROS) est alors :
*
2
0
2
R
R
R
50

ρ =
E
E
max
min
1 + Γ
=
1 − Γ
R
R
Eq.151
La détermination de ρ à partir de la mesure de E max et E min permet de connaître Γ
R
. Les positions a M des maximums du champ
vérifient θR = 2kg
a M − 2Kπ
tandis que les positions a m des minimums vérifient θ R = 2kg
a m − (2K + 1)
π . On peut en
2π
déduire, en utilisant kg
= , la valeur du déphasage θ R introduit par la réflexion.
λg
A partir de Γ R et θ R , il est alors possible de déterminer l’impédance du guide en tout point.
D.2.4.8. Interprétation de la propagation guidée
Pour le mode TE 10 , l’expression du champ électrique est
− jμ0ω
y j( ωt
−k
g .x)
E = H0
sin( π )e ez
.
kc
a
On peut encore l’écrire :
y y
2Z 0 k
jπ
− jπ
m
a a j( ωt
−k
g .x)
H0
(e − e ) e e z
kc
π
π
j( ωt
−(k
g .x + y)) j( ωt
−(k
g .x − y))
a
a
0 ( e
− e
) ez
.
E = =
E
π
π
On introduit alors les deux vecteurs k' = kgex
+ ey
et k" = kg
ex
− ey
et le
a
a
vecteur r = xe + ye
(Figure 43).
x
y
Le champ électrique se met alors sous la forme :
E = E
j( ωt
−k'.r)
j( ωt
−k".r
+π)
0 ( e − e ) ez
Il s’écrit comme la somme de deux ondes planes, déphasées de π et qui se propagent dans deux directions symétriques par
rapport à l’axe du guide.
Si on se restreint à une seule dimension pour le guidage, c'est-à-dire si on prend un guide infiniment large suivant OZ, alors le
π
vecteur d’onde de coupure est kc
= ey
. Le vecteur k ' a une
a
2 2 2
norme telle que k ' = kg
+ kc
, qui est égale à la norme de k m ,
le vecteur d’onde dans le milieu.
Dans ce cas, on peut interpréter l’onde qui se propage dans le
guide comme la somme de deux ondes qui se propagent dans des
directions symétriques par rapport à l’axe avec une vitesse égale à
la vitesse de l’onde dans le milieu illimité.
On peut alors donner une interprétation graphique des résultats
obtenus pour la vitesse de phase et la vitesse de groupe (Figure
44). Pendant un intervalle de temps τ, une onde parcourt la
distance L 1 dans le milieu illimité. La distance entre les deux
plans de phase sur l’axe du guide est L 3 .
La vitesse de phase dans le guide est donc égale à la vitesse dans le milieu (c dans l’air assimilé au vide) divisée par le rapport
kc
ωc
c c
L 1 /L 3 qui vaut cosθ. Comme sinθ
= = sinθ, on trouve comme précédemment: vϕ = = .
km
ω
2
2
1−
sin θ ωc
1−
2
ω
Pendant l’intervalle de temps τ, un paquet d’onde parcourt L 1 dans le milieu illimitée et seulement L 2 dans le guide. La vitesse
de groupe est donc égale à la vitesse dans le milieu multipliée par le rapport L 2 /L 1 qui vaut cosθ. On trouve donc :
2
c
2
2 ω
vg = c 1−
sin θ = c 1−
.
ω
Figure 43: Directions des vecteurs
k ' et k " .
Figure 44: Interprétation des vitesses de phase et de
groupe
51

D2.5. Conclusion
La propagation d’une onde dans un guide n’est possible que si la fréquence de l’onde est supérieure à une fréquence de coupure
qui dépend de la géométrie du guide et du mode de propagation. Quelle que soit sa fréquence, une onde TEM ne peut se
propager dans un guide. D’une manière générale, il se propage un mélange d’ondes TE et d’ondes TM. Toutefois, quand on veut
guider une onde d’une fréquence donnée, on choisit les dimensions pour faire se propager le mode TE 10 .
Même lorsque les pertes sont négligeables, un guide est dispersif. Cependant, si on se place assez loin de la fréquence de
coupure, la vitesse de phase et la vitesse de groupe tendent vers la vitesse dans le milieu illimité.
Remarques :
• L’étude des ondes TM dans un guide rectangulaire est semblable à celles des ondes TE. On trouve par exemple les mêmes
expressions pour les fréquences de coupure. Mais les couples (m, n) ne sont pas les mêmes. Il n’existe pas d’ondes TM(0,n)
ou TM(m,0) car la composante longitudinale du champ électrique est un produit de sinus.
• Dans les guides à section circulaires, la résolution des équations de Maxwell conduit à des fonctions de Bessel plutôt qu’à
des fonctions trigonométriques. Il existe toujours des fréquences de coupure qui dépendent du mode de propagation et du
rayon du guide. Par contre, le mode fondamental qui correspond à la longueur d'onde de coupure la plus grande n’est pas le
mode TE 11 mais le mode TE 10 .
• Pour les fréquences plus élevées dans le domaine optique, la propagation des ondes se fait à l’aide de fibres optiques. La
fibre optique la plus simple consiste en deux cylindres concentriques de matériaux diélectriques d'indices de réfraction
différents. Une infinité d’ondes lumineuse peut se propager dans une fibre optique, cela correspond à des modes de
propagation. Lorsque le diamètre de la fibre est très grand devant la longueur d’onde ( de 50 à 100 μm), on peut traiter la
propagation de l’onde en utilisant les rayons lumineux. Dans une fibre à saut d’indice, les trajets sont des segments de
droite, les rayons subissent une réflexion totale à l’interface entre les deux diélectriques. Dans une fibre à gradient d’indice,
les trajets des rayons lumineux ne sont plus rectilignes. Quelquefois le type de fibre, chacun des trajets correspond à un
mode, ces fibres de fort diamètre sont des fibres multimodes. Si on utilise des fibres optiques à saut d’indice dont le
diamètre est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde (5 à 10 μm), il faut traiter la propagation à l’aide des équations de
Maxwell, comme pour le guide d’onde. Mais les conditions aux limites à l’interface des deux diélectriques sont plus
complexes car le champ n’est pas nul dans le diélectrique de la gaine. Comme dans le guide d’onde, une fibre de diamètre
fixée possède des fréquences de coupure et on peut y faire propager un seul mode en choisissant judicieusement la
fréquence de l’onde.
52