CORRECTION DES EXERCICES D'APPLICATION DU PGCD

Classe de 3 ème 6
Correction de la fiche d’exercices d’application des PGCD
Exercice 1 :
a) Le nombre de paquets est un diviseur du nombre de bonbons et du nombre de sucettes (car il veut utiliser TOUS les bonbons et
TOUTES les sucettes).
Le nombre MAXIMUM de paquets qu’il pourra réaliser est donc le PLUS GRAND commun diviseur de 3150 et 1350.
Je calcule donc PGCD (1350 ; 3150)
3150 1350 1350 450
450 2 0 3 Donc PGCD (1350 ; 3150) = 450
Le nombre maximum de paquets qu’il pourra réaliser est donc 450
Il y a 3150 bonbons. 3150 = 450 x 7 donc chaque paquet contiendra 7 bonbons
Il y a 1350 sucettes . 1350 = 450 x 3 donc chaque paquet contiendra 3 sucettes.
b) Un paquet contient 7 bonbons et 3 sucettes.
(7 x 0,30) + (3 x 1,50) = 6.6
Exercice 2 :
Chaque paquet coûtera donc 6, 60€.
a) Pour qu’une fraction soit irréductible, il faut la simplifier par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur.
* calcul de PGCD (98 ; 56)
98 56 56 42 42 14
42 1 14 1 0 3 Donc PGCD (98 ;56) = 14
Or 98 = 14 x 7 et 56 = 14 x 4
D’où
98 = 14 x 7 = 7 Fraction irréductible
56 14 x 4 4
b) On procède comme au (a)
617848 441762 441762 176086 176086 89590
176086 1 89590 2 86496 1
89590 86496 86496 3094 3094 2958
3094 1 2958 27 136 1
2958 136 136 102 102 34
102 21 34 1 0 3 Donc PGCD (441762 ; 617848) = 34
Or 441762 = 34 x 12993 et 617848 = 34 x 18172
D’où :
441762 = 34 x 12993 = 12993 Fraction irréductible
617848 34 x 18172 18172
Exercice 3 :
a) Le nombre de caissettes est un diviseur du nombre de plants de géraniums et du nombre de plants de bégonias. Pour que chaque
caissette contienne le plus petit nombre possible de plants de chaque sorte , il faut que le nombre de caissettes soit le plus grand

possible . Par conséquent, le nombre de caissettes est le PGCD de 2184 et de 2002.
Calcul de PGCD (2148 ; 2002) . Après calculs on trouve : PGCD (2184 ; 2002) = 182
Il peut donc remplir 182 caissettes
b) Il y a 2184 plants de géranium. 2184 = 182 x 12 donc il y a 12 plants de géranium par caissette.
Il y a 2002 plants de bégonias. 2002 = 182 x 11 donc il y a 11 plants de géranium par caissette.
Exercice 4 :
a) La longueur des bâtons obtenus est un diviseur de la longueur de chacune des deux baguettes. Comme on veut que la longueur soit
la plus grande possible, la longueur (en cm) des bâtons correspond au PGCD de 450 et de 180.
Après calculs, on trouve : PGCD (450 ; 180) = 90.
Chaque baguette mesurera donc 90 cm
b) 450 = 90 x 5 donc on fera 4 bâtons dans la baguette de 450 cm
180 = 90 x 2 donc on fera 2 bâtons dans la baguette de 180 cm.
Au final on aura donc 6 bâtons (4 + 2)
Exercice 5 :
On procède comme dans l’exercice précédent. La longueur des carrés est donc le PGCD de 110 et 88.
Après calculs on trouve PGCD (110 ; 88) = 22.
La longueur du côté d’un carré est donc 22 cm.
Exercice 6 : le crible d’Eratosthène : traité en classe.
Exercice 7 : * je calcule PGCD (786 591 ; 609024)
Après calculs (7 divisions avec l’algorithme d’Euclide) je trouve : PGCD (786591 ; 609024) = 39
Or 786591 = 39 x 20169 et 609024 = 39 x 15615
Donc :
786591 = 39 x 20169 = 20169 Fraction irréductible
609024 39 x 15616 15616
Exercice 8 :
1) Monsieur MARTIN va répartir les 8750 € entre les garçons et les 6250€ entre les filles, donc la somme donnée est un diviseur de
8750 et un diviseur de 6250.
Il a donné la plus grande somme possible, donc cette somme correspond au plus grand diviseur commun à 6250 et à 8750.
Je calcule PGCD (6250 ; 8750). Je trouve : PGCD (6250 ; 8750) = 1250.
Monsieur MARTIN a donc donné 1250€ à chacun .
2) Or 8750 = 1250 x 7 et 6250 = 1250 x 5
Il y a donc 7 garçons (les 8750 € ont été répartis équitablement entre les garçons) et 5 filles (les 6250 € ont également été
répartis équitablement entre les filles).
Exercice 9 :
1) Le nombre de paquets doit être un diviseur commun à 2622 et à 2530 .
Je cherche donc la liste des diviseurs de chacun de ces entiers, puis la liste de leurs diviseurs communs.
* 2622 = 2622 x 1 = 1311 x 2 = 874 x 3 = 6 x 437 = 138 x 19 = 114 x 23 = 38 x 69 = 46 x 57
* 2530 = 1x 2530 = 2 x 1265 = 5 x 506 = 11 x 230 = 23 x 110 = 10 x 253 = 22 x 115 = 46 x 55
Les diviseurs de 2622 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 19 ; 23 ; 38 ; 46 ; 57 ; 69 ; 114 ; 138 ; 437 ; 874 ; 1311 et 2622
Les diviseurs de 2530 sont donc : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 11 ; 22 ; 23 ; 46 ; 55 ; 110 ;115 ;230 ; 253 ; 506 ; 1265 et 2530
Les diviseurs communs à 2622 et à 2530 sont donc : 1 ; 2 ; 23 et 46
Le nombre possible de paquets est donc 1 ; 2 ; 23 ou 46 .
Déterminons alors la composition de chaque paquet :
* pour un paquet : 2622 œufs et 2530 poissons.
* pour 2 paquets : 1311 œufs et 1265 poissons (car 2622 = 2x 1311 et 2530 = 2 x 1265)

* pour 23 paquets : 114 œufs et 110 poissons (car 2622 = 23x 114 et 2530 = 23 x 110)
* pour 46 paquets : 57 œufs et 55 poissons (car 2622 = 46 x 57 et 2530 = 46 x 55)
2) d’après ce qui précède, le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser est 46.
Exercice 10 :
a) Comme tous les crayons d’un paquet doivent être de la même couleur et que tous les paquets doivent contenir le même nombre de
crayons, alors le nombre de paquets doit être un diviseur de 161 et de 133.
161 = 161 x 1 = 23 x 7 et 133 = 133 x 1 = 19 x 7
Les seuls diviseurs communs à 161 et 133 sont 1 et 7 . (on ne va pas faire des paquets de 1 seul crayon) , il y aura donc 7 crayons par
paquet.
b) 161 = 7 x 23 et 133 = 7 x 19
Donc il y aura 23 paquets de crayons rouges et 19 paquets de crayons noirs.
Exercice 11 :
* PGCD (945 ; 595 ) = 35 donc :
945 = 35 x 27 = 27 Fraction irréductible
595 35 x 17 17
*PGCD (736 ; 1771) = 23 donc :
736 = 23 x 32 = 32 Fraction irréductible
1771 23 x 77 77
* PGCD (143 ; 45) = 1 donc la fraction est déjà irréductible
* PGCD (210 ;231) = 21 donc :
210 = 21 x 10 = 10 Fraction irréductible
231 21 x 11 11
* PGCD( 630 ; 560) = 70 donc :
630 = 70 x 9 = 9 Fraction irréductible
560 70 x 8 8
* PGCD (144 ; 336) = 48 donc :
144 = 48 x 3 = 3 Fraction irréductible
336 48 x 7 7
Exercice 12 :
=
F=
÷
=
××
=
×××
÷
=
÷
= ×
÷
×
= ÷
=
×
PGCD (7 ;12) = 1 donc
est la forme irréductible de la fraction F.
Exercice 13 :
A ) PGCD (665 ; 1295 ) = 35 .
Or 665 = 35 x 19 et 1295 = 35 x 37 donc :

665 = 35 x 19 = 19 Fraction irréductible
1295 35 x 37 37
B ) PGCD (783 ; 1595 ) = 29.
Or 783 = 29 x 27 et 1595 = 29 x 55 donc :
783 = 29 x 27 = 27 Fraction irréductible
1595 29 x 55 55
C ) PGCD (44 ; 235 ) = 1 donc cette fraction est déjà irréductible .
D) PGCD (230 ; 253 ) = 23 .
Or 230 = 23 x 10 et 253 = 23 x 11 donc :
230 = 23 x 10 = 10 Fraction irréductible
253 23 x 11 11
E ) PGCD (720 ; 540 ) = 180 .
Or 720 = 180 x 4 et 540 = 180 x 3 donc :
720 = 180 x 4 = 4 Fraction irréductible
540 180 x 3 3
F ) PGCD (240 ; 432 ) = 48 .
Or 240 = 48 x 5 et 432 = 48 x 9 donc :
240 = 48 x 5 = 5 Fraction irréductible
432 48 x 9 9