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Approche graphique pour l’agrégation de classifications non supervisées
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2.2 Modélisation du problème par la théorie des graphes
Dans cette partie, nous allons modéliser les informations des différentes partitions à l’aide
d’un graphe. Pour cela, nous considérons la représentation graphique des données à grouper
comme un graphe complet, non orienté et pondéré. Dans ce graphe les sommets sont les
individus à analyser et les arêtes les liens pondérés par les dissimilarités entre les paires de
données.
Une définition classique suppose qu’une classe ou «cluster» est un ensemble d’éléments
similaires ou semblables, et les éléments de différentes classes sont différents. En effet une
classe devrait satisfaire les deux conditions suivantes : la première c’est que l’homogénéité
interclasses doit être élevée ; la deuxième consiste à une hétérogénéité forte entre les
éléments de classes différentes. Ces deux conditions s’élèvent à affirmer que les arêtes entre
deux sommets de la même classes devraient avoir une forte similarité reflétant une faible
pondération ; et ceux entre les sommets de classes différentes devraient avoir une faible
similarité donc une pondération élevée.
2.2.1 Coloration minimale pour un consensus de classification non
supervisée
Afin de définir notre algorithme, qui permet de trouver le meilleur compromis entre les
différentes partitions à combiner, nous nous sommes basés sur le principe de la coloration
minimale. L’approche fondée sur la coloration minimale permet de définir des partitions à
faible diamètre (Hanssen et al (1978)) (un critère d’homogénéité intraclasse). Ceci répond
exactement à notre objectif qui est de maximiser l’information mutuelle de la partition
retenue, considérée lui aussi comme un critère d’homogénéité intraclasse (Strehl et al
(2002)).
La représentation par graphe complet ne convient pas au problème de classification non
supervisée. En effet, la coloration minimale du graphe retournerait la classification "triviale"
où chaque cluster (couleur) contient un seul individu (singleton). La coloration minimale
passe donc par la construction d’un graphe seuil supérieur défini comme le graphe partiel du
graphe de départ. Un graphe seuil supérieur G(V,E) est un graphe simple ayant pour
ensemble de sommets les sommets du graphe d’origine V={v 1 ,...,v n } et pour ensemble
d’arêtes E les paires de sommets dont la dissimilarité est supérieure à un seuil choisi à
partir de la table de dissimilarité des individus (i.e. ∀v i ,v j ∈ V , l’arête (v i ,v j ) existe ssi D(v i ,v j )
> où D(v i ,v j ) est la dissimilarité entre v i et v j ).
Dans la suite de cet article, deux sommets sont voisins (resp. non voisins) s’ils sont
"adjacents" (resp. "non adjacents"). Nous cherchons donc à établir une coloration valide du
graphe G(V, ), qui consiste à affecter une couleur c à chaque sommet v