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Maths
VISA POUR<br />
LA PRÉPA<br />
MPSI • PCSI • PTSI • BCPST • ECS<br />
Guillaume Connan<br />
Maths<br />
3 e édition
Conception et création de couverture : Atelier 3+<br />
© <strong>Dunod</strong>, Paris, 2013<br />
ISBN 978-2-10-059284-5
Table des matières<br />
1. Savez-vous calculer 1<br />
1.1 De l’importance de savoir calculer 1<br />
1.2 Formulaire de trigonométrie 1<br />
1.3 Nombres complexes 2<br />
1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions 11<br />
1.5 Exercices 21<br />
2. Savez-vous intégrer 73<br />
2.1 Mise en place d’une définition 73<br />
2.2 Quelles sont les fonctions intégrables 77<br />
2.3 Propriétés de l’intégrale 79<br />
2.4 Valeur moyenne 80<br />
© <strong>Dunod</strong>. La photocopie non autorisée est un délit.<br />
2.5 Primitive et intégrale 82<br />
2.6 Exercices 84<br />
3. Savez-vous raisonner 95<br />
3.1 Test préliminaire 95<br />
3.2 Contexte 95<br />
3.3 Syntaxe 96<br />
V
Table des matières<br />
3.4 Sémantique 98<br />
3.5 Approche formelle de la logique propositionnelle 102<br />
3.6 Récurrence 106<br />
3.7 Exercices 107<br />
4. Savez-vous prévoir 117<br />
4.1 Rappels de théorie des ensembles 117<br />
4.2 Une dose d’algèbre générale 118<br />
4.3 Quelques résultats sur les cardinaux 120<br />
4.4 Dénombrement 121<br />
4.5 Triangle de pascal – Binôme de Newton 123<br />
4.6 Probabilités 124<br />
4.7 Avant la formalisation 124<br />
4.8 Espace probabilisable – Espace probabilisé 126<br />
4.9 Probabilités conditionnelles 128<br />
4.10 Variables aléatoires finies 131<br />
4.11 Quelques lois discrètes classiques 137<br />
4.12 Exercices 139<br />
5. Savez-vous programmer 163<br />
5.1 Scilab 163<br />
5.2 Python 176<br />
5.3 Exercices 190<br />
VI
Savez-vous calculer <br />
1<br />
CHAPITRE<br />
1.1 De l'importance de savoir calculer...<br />
On dispose certes d'ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire)<br />
mais avant, méditez cette pensée d'Alain CONNES, membre de l'Académie des sciences,<br />
Professeur au Collège de France, à l'I.H.E.S. et à l'Université de Vanderbilt aux États-Unis. Il<br />
a de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or du<br />
C.N.R.S. en 2004.<br />
Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très propice<br />
à l'élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés.<br />
C'est pourquoi l'ordinateur, qui donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée,<br />
n'est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut<br />
d'un calcul sans la représentation mentale de sa signification n'est pas un progrès.<br />
Alain CONNES – Sciences et imaginaire<br />
1.2 Formulaire de trigonométrie<br />
© <strong>Dunod</strong>. Toute reproduction non autorisée est un délit.<br />
Formules<br />
• sin 2 x + cos 2 x = 1<br />
• cos (a + b) =<br />
cos a cos b − sin a sin b<br />
• cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b<br />
• sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a<br />
Transformation de produits en somme<br />
• cos a · cos b = 1 · (cos (a + b) + cos (a − b))<br />
2<br />
• sin a · sin b = 1 · (cos (a − b) − cos (a + b))<br />
2<br />
• sin a · cos b = 1 · (sin (a + b) + sin (a − b))<br />
2<br />
• sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a<br />
tan a + tan b<br />
• tan (a + b) =<br />
1 − tan a tan b , pour<br />
a + b =/ π 2 + kπ, k ∈ Z<br />
tan a − tan b<br />
• tan (a − b) =<br />
1 + tan a tan b , pour<br />
a − b =/ π 2 + kπ, k′ ∈ Z<br />
1
Chapitre 1 • Savez-vous calculer <br />
Transformation de sommes en produits<br />
• cos p + cos q = 2 · cos ( p + q<br />
2<br />
• cos p − cos q =−2 · sin ( p + q<br />
2<br />
• sin p + sin q = 2 · sin ( p + q<br />
2<br />
• sin p − sin q = 2 · sin ( p − q<br />
2<br />
Formules de duplication<br />
) · cos ( p − q )<br />
2<br />
) · sin ( p − q )<br />
2<br />
) · cos ( p − q )<br />
2<br />
) · cos ( p + q )<br />
2<br />
• cos (2x) = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x<br />
• sin (2x) = 2 cos x sin x<br />
• tan (2x) =<br />
2 tan x<br />
1 − tan 2 x , x =/ π 4 + k π 2 pour k ∈ Z<br />
Avec t = tan ( x ), on a :<br />
2<br />
• sin x =<br />
2t<br />
1 + t , cos x = 1 − t 2 2t<br />
, tan x = 2 1 + t<br />
2<br />
1 − t 2<br />
1.3 Nombres complexes<br />
Vocabulaire et premières propriétés<br />
Théorème Ensemble C<br />
On définit un ensemble C<br />
– muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R<br />
– contenant un nombre i vérifiant i 2 =−1<br />
– tel que chaque élément z de C peut s'écrire de manière unique sous la forme<br />
z = a + ib avec a et b des nombres réels<br />
Forme algébrique<br />
Cette écriture unique est appelée forme algébrique du réel z.<br />
Le nombre a est appellé partie réelle de z et notée Re(z).<br />
Le nombre b est appellé partie imaginaire de z et notée Jm(z).<br />
2<br />
Remarque<br />
Jm(z) est un nombre réel.<br />
Remarque : À quoi sert l'unicité de la forme algébrique <br />
Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat 2x + 3y − 5<br />
+ i(7x − 32y + 1) = 0 avec x et y des réels. Et bien le membre de gauche est une forme<br />
algébrique puisque de la forme réel + i· réel. Or la forme algébrique de 0 est 0 + i · 0.
1.3 • Nombres complexes<br />
Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxième<br />
dimension... ) et donc<br />
{ 2x + 3y − 5 = 0<br />
2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 ⇐⇒<br />
7x − 32y + 1 = 0<br />
axe imaginaire<br />
b<br />
→<br />
e 2<br />
→<br />
u<br />
M(a , b )<br />
O<br />
→<br />
e 1<br />
a<br />
axe réel<br />
Le plan complexe<br />
Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit<br />
d'un repère (O, −→ e 1 , −→ e 2 ).<br />
À tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a,b) qu'on appelle<br />
image du complexe z = a + ib. On le note souvent M(z).<br />
Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a,b), on associe son affixe z = a + ib<br />
qu'on note souvent z M .<br />
Enfin, à tout vecteur ⃗u = a −→ e 1 + b −→ e 2 de coordonnées (a,b) dans la base ( −→ e 1 , −→ e 2 ) est associé<br />
une affixe z−→ = a + ib u<br />
Premiers calculs géométriques<br />
– Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de coordonnées respectives (a,b) et (a ′ ,b ′ ) dans la base<br />
( −→ e 1 , −→ e 2 ), alors ⃗u +⃗v = (a + a ′ ) −→ e 1 + (b + b ′ ) −→ e 2 , donc :<br />
Théoreme : affixe d'une somme<br />
© <strong>Dunod</strong>. Toute reproduction non autorisée est un délit.<br />
z ⃗u+⃗v = z ⃗u + z ⃗v<br />
– De même, si λ est un nombre réel :<br />
Théorème : affixe du produit par un réel<br />
z λ⃗u = λz ⃗u<br />
– Alors, si I est le milieu du segment [A,B], on a :<br />
Théorème : affixe du milieu<br />
z I = 1 2 (z A + z B )<br />
– Pour tous points A et B :<br />
3
Chapitre 1 • Savez-vous calculer <br />
Théorème : affixe d'un vecteur<br />
z−→ AB<br />
= z B − z A<br />
Conjugué d'un complexe<br />
Définition : conjugué<br />
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre<br />
z = a − ib<br />
Géométriquement cela donne :<br />
axe imaginaire<br />
M(z )<br />
→<br />
e2<br />
O<br />
→<br />
e 1<br />
axe réel<br />
M(z )<br />
À titre d’exercice, prouvez les propriétés immédiates suivantes :<br />
Théorème<br />
– M(z) et M ′ (z) sont symétriques par rapport à l'axe (O, −→ e 1 )<br />
– z 1 + z 2 = z 1 + z 2<br />
– z 1 z 2 = z 1 z 2<br />
– z = z<br />
– z ∈ R ⇐⇒ z = z<br />
– z ∈ iR ⇐⇒ z =−z<br />
– Re(z) = 1 (z + z)<br />
2<br />
– Jm(z) = 1 (z − z)<br />
2<br />
– Si z = a + ib, alors zz = a 2 + b 2<br />
À quoi servent les conjugués <br />
• À montrer qu'un complexe est un réel<br />
En effet, si on arrive à montrer que z = z, alors on en conclut que z est réel.<br />
4
1.3 • Nombres complexes<br />
• À rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques<br />
En effet,<br />
z · z = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib) 2 = a 2 + b 2<br />
Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de 2 + i :<br />
1<br />
2 + i = 1<br />
2 + i · 2 − i<br />
2 − i = 2 + i<br />
4 + 1 = 2 5 + 1 5 i<br />
Conjugué de l'inverse<br />
Sachant qu'un complexe non nul z admet une forme algébrique a + ib, on sait maintenant<br />
trouver la forme algébrique de son inverse :<br />
1<br />
a + ib = 1<br />
a + ib × a − ib<br />
a − ib = a − ib<br />
a 2 + b 2<br />
donc<br />
( 1<br />
z<br />
)<br />
= a + ib<br />
a 2 + b = a + ib<br />
2 (a + ib)(a − ib) = 1<br />
a − ib = 1 z<br />
Module d'un nombre complexe<br />
Définition : module<br />
Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que<br />
|z| = √ z z<br />
Remarques<br />
– Cette définition en est bien une car z z = a 2 + b 2 d'après notre étude sur les conjugués.<br />
– Si a est un réel, |a| = √ a a = √ aa = √ a 2 car a = a. Donc le module de a est bien la<br />
valeur absolue de a et notre notation est cohérente.<br />
La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R.<br />
Interprétation géométrique<br />
© <strong>Dunod</strong>. Toute reproduction non autorisée est un délit.<br />
axe imaginaire<br />
b<br />
√a 2 + b 2<br />
Nous venons de voir que, si z = a + ib, alors :<br />
e 2<br />
O<br />
e 1<br />
a<br />
M(a + ib)<br />
axe réel<br />
5
Chapitre 1 • Savez-vous calculer <br />
Théorème<br />
|z| = √ a 2 + b 2<br />
Or, qu'est-ce que √ a 2 + b 2 si ce n'est la norme du vecteur −→ OM ou encore la longueur OM.<br />
Théorème<br />
|z M |=‖ −→ OM‖ =OM<br />
|z ⃗u | =‖ −→ u ‖<br />
Propriétés des modules<br />
À titre d’exercice, prouvez les propriétés suivantes :<br />
Théorème<br />
– |z| =|z|<br />
– |z| =0 ⇐⇒ z = 0<br />
– |z 1 · z 2 ] =|z 1 ·|z 2 |<br />
∣ –<br />
z 1 ∣∣∣<br />
∣ = |z 1|<br />
z 2 |z 2 |<br />
– Re(z) |z|<br />
– Jm(z) |z|<br />
La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration :<br />
Théorème : inégalité triangulaire<br />
|z 1 + z 2 | |z 1 |+|z 2 |<br />
C'est-à-dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de<br />
suivre la RN 137.<br />
Pour les curieux, voici comment cela se démontre.<br />
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de<br />
chaque membre.<br />
Or |z 1 + z 2 | 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) =|z 1 | 2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) +|z 2 | 2<br />
D'autre part (|z 1 |+|z 2 |) 2 =|z 1 | 2 + 2|z 1 z 2 |+|z 2 | 2<br />
Il s'agit donc de comparer les « doubles produits ».<br />
Or z 1 z 2 + z 1 z 2 = z 1 z 2 + z 1 z 2 = 2Re(z 1 z 2 ) 2|z 1 z 2 |=2|z 1 z 2 | d'après une propriété cidessus.<br />
Donc<br />
|z 1 + z 2 | 2 =|z 1 | 2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) +|z 2 | 2 |z 1 | 2 + 2|z 1 z 2 |+|z 2 | 2 = (|z 1 |+|z 2 |) 2<br />
Résolution d'équations du second degré<br />
L'objet de cette section est de résoudre dans C l'équation z 2 = α.<br />
Racine carrée d'un nombre réel<br />
On suppose ici que α est un réel.<br />
6
1.3 • Nombres complexes<br />
– α 0 : alors z 2 = α ⇐⇒ z 2 − α = (z − √ α)(z + √ α) = 0 . Les solutions 1 sont donc<br />
± √ α.<br />
Par exemple z 2 = 4 ⇐⇒ z =−2 ou z = 2.<br />
– α < 0 : alors z 2 = α ⇔ (z − i √ −α)(z + i √ −α) = 0 . Les solutions sont donc ±i √ −α.<br />
C'est la nouveauté : z 2 =−4 ⇐⇒ z =−2i ou z = 2i.<br />
Racine carrée d'un complexe non réel<br />
Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur.<br />
Cherchons les racines carrées de 4 + 3i, à savoir les nombres a + ib tels que<br />
(a + ib) 2 = a 2 − b 2 + 2iab = 4 + 3i .<br />
Par unicité de la forme algébrique on obtient<br />
{ a 2 − b 2 = 4<br />
a 2 + b 2 = 5<br />
2ab = 3<br />
Ainsi a 2 = 9/2 et b 2 = 1/2, donc a =±3 √ 2/2 et b =± √ 2/2, or 2ab = 3, donc a et b<br />
sont de même signe.<br />
√ √<br />
2<br />
2<br />
Les solutions sont donc<br />
2 (3 + i) et − (3 + i).<br />
2<br />
Résolution de ax 2 + bx + c = 0 avec a,b et c des réels<br />
C'est comme en 1 re :<br />
[ (x<br />
ax 2 b ) 2 b 2 − 4ac<br />
]<br />
+ bx + c = 0 ⇐⇒ a + − = 0<br />
2a 4a 2<br />
⇐⇒ ( x + b ) 2 b 2 − 4ac =<br />
2a (2a) 2<br />
Tout dépend donc du signe de b 2 − 4ac, puis on utilise les résultats de la section précédente.<br />
Théorème : résolution de ax 2 + bx + c = 0 avec a, b et c des réels<br />
L'équation ax 2 + bx + c = 0 admet toujours des solutions sur C. Notons :<br />
= b 2 − 4ac<br />
© <strong>Dunod</strong>. Toute reproduction non autorisée est un délit.<br />
le discriminant de l'équation et δ un complexe vérifiant :<br />
δ 2 = <br />
– Si = 0, il existe une unique solution x =− b<br />
2a<br />
– Si >0, il existe deux solutions réelles x = −b ± δ<br />
2a<br />
– Si
Chapitre 1 • Savez-vous calculer <br />
Forme trigonométrique<br />
Forme trigonométrique<br />
Vous vous souvenez de la correspondance entre C et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées<br />
cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses coordonnées<br />
polaires. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).<br />
r sin θ<br />
M(z )<br />
r<br />
→<br />
e 2<br />
θ<br />
O<br />
→<br />
e 1<br />
r cos θ<br />
Ainsi, (r,θ) étant le couple de coordonnées polaires de l'image M du nombre complexe z,ona<br />
z = r cos θ + ir sin θ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique<br />
déguisée : on l'appelle forme trigonométrique du complexe z.<br />
Définition : forme trigonométrique<br />
z = r( cos θ + i sin θ)<br />
Remarque (notation en électronique)<br />
Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme : z = [r,θ].<br />
Congruence<br />
Vous rencontrerez souvent la notation x ≡ y[2π] qui se lit « x est congru à y modulo 2π ».<br />
Elle veut simplement dire que x − y est un multiple de 2π, c'est-à-dire qu'il existe un entier<br />
relatif k tel que x − y = k · 2π.<br />
Remarque (congruence modulo 2π)<br />
x ≡ y[2π] ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = y + 2kπ<br />
Par exemple, vous savez que π 3 ≡ 7π 3<br />
convaincre.<br />
[2π] : dessinez un cercle trigonométrique pour vous en<br />
Mesure d'un angle de vecteurs<br />
Nous n'avons pas les moyens de définir « proprement » les angles de vecteurs. Nous n'en<br />
avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que θ est UNE mesure en radians<br />
de l'angle de vecteurs ( −→ e 1 , −→ OM). UNE mesure, car elle est définie modulo 2π. Et bien cette<br />
mesure sera UN argument du complexe z, qu'on notera arg z. On retiendra :<br />
8
1.3 • Nombres complexes<br />
Théorème : argument<br />
arg z ≡ θ[2π]<br />
Par exemple, arg 32 ≡ 0[2π], arg 32i ≡ π 2 [2π].<br />
Des formes trigonométriques de référence<br />
– 1 = cos( 0 + ) i sin 0 donc ( ) |1| =1 et arg(1) ≡ 0[2π]<br />
π π<br />
– i = cos + i sin donc |i| =1 et arg(i) ≡<br />
2 2<br />
– |1 + i| = √ 2 et 1 + i = √ (√<br />
2<br />
2<br />
donc arg(1 + i) ≡<br />
( π<br />
4<br />
)<br />
[2π]<br />
√<br />
2<br />
2 + i 2<br />
– | √ 3 + i| =2 et √ (√<br />
3<br />
3 + i = 2<br />
2 + 1 )<br />
2 i<br />
donc arg( √ ( ) π<br />
3 + i) ≡ [2π]<br />
6<br />
)<br />
( π<br />
2<br />
)<br />
[2π]<br />
= √ ( ( ) ( ))<br />
π π<br />
2 cos + i sin<br />
4 4<br />
( ( ) ( ))<br />
π π<br />
= 2 cos + i sin<br />
6 6<br />
Correspondance forme algébrique - forme trigonométrique<br />
Soit z ∈ C de forme algébrique a + ib et de forme trigonométrique r( cos θ + i sin θ) alors<br />
on a d'une part :<br />
Théorème : forme algébrique connaissant la forme trigonométrique<br />
a = r cos θ<br />
b = r sin θ<br />
© <strong>Dunod</strong>. Toute reproduction non autorisée est un délit.<br />
et d'autre part r =|z| = √ a 2 + b 2 .<br />
Si z est non nul, son module r = √ a 2 + b 2 sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire<br />
z sous la forme :<br />
z = √ (<br />
)<br />
a<br />
a 2 + b 2 √<br />
a2 + b + i b<br />
√ 2 a2 + b 2<br />
Nous en déduisons que :<br />
(<br />
)<br />
a<br />
= r √<br />
a2 + b + i b<br />
√ 2 a2 + b 2<br />
= r(cos (θ) + i sin (θ))<br />
Théorème : forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique<br />
cos (θ) =<br />
a<br />
b<br />
√ sin (θ) = √<br />
a2 + b 2 a2 + b 2<br />
Ainsi, connaissant a et b, on peut obtenir le module et un argument de a + ib. On obtiendra une<br />
mesure exacte de θ si cos (θ) et sin (θ) sont des valeurs connues comme 1/2, √ 3/2, 1,etc.<br />
9
Chapitre 1 • Savez-vous calculer <br />
Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l'aide des touches COS –1 et SIN –1 , ou<br />
encore avec TAN –1 . En effet, cos (θ) étant non nul 2 ,<br />
Théorème : argument en fonction de la forme algébrique<br />
tan (θ) =<br />
sin (θ)<br />
cos (θ) =<br />
b<br />
√<br />
a2 + b 2<br />
a<br />
√<br />
a2 + b 2<br />
= b a<br />
ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo π.<br />
J<br />
tan(θ)<br />
sin(θ)<br />
θ<br />
− cos(θ)<br />
0<br />
cos(θ)<br />
I<br />
π + θ<br />
− sin(θ)<br />
Il suffira ensuite de considérer le signe de cos (θ) ou de sin (θ) pour savoir à qui on a affaire.<br />
Opérations sur les formes trigonométriques<br />
Soit z = r (cos θ + i sin θ) et z ′ = r ′ (cos θ ′ + i sin θ ′ ), alors<br />
zz ′ = rr ′ [(cos θ cos θ ′ − sin θ sin θ ′ ) + i(sin θ cos θ ′ + cos θ sin θ ′ )]<br />
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition, vous en déduisez que<br />
zz ′ = z = rr ′ (cos (θ + θ ′ ) + i sin (θ + θ) ′ )<br />
Ainsi, nous arrivons au résultat capital<br />
Théorème : argument d'un produit<br />
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) [2π]<br />
Cela permet de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience :<br />
Théorème : propriétés algébriques des arguments<br />
– arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) [2π]<br />
– arg(z n ) = n arg(z) [2π]<br />
2. Sinon, on sait qui est θ...<br />
10
1.4 • Dérivation : la Foire Aux Questions<br />
( ) 1<br />
– arg =−arg(z) [2π]<br />
z<br />
( ) z<br />
– arg = arg(z) − arg(z ′ ) [2π]<br />
z ′<br />
– arg(z) =−arg(z) [2π]<br />
– arg(−z) = π + arg(z) [2π]<br />
En particulier, la formule concernant z n nous permet d'écrire :<br />
Théorème : formule de Moivre<br />
(cos θ + i sin θ) n = cos (nθ) + i sin (nθ)<br />
Nous nous rendons ainsi compte que :<br />
Remarque<br />
– Les formes trigonométriques sont adaptées aux produits de complexes ;<br />
– Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.<br />
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1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions<br />
Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction en un point <br />
Deux problèmes historiques, celui de la vitesse instantanée et celui de la tangente à une courbe,<br />
mettent en évidence l'importance fondamentale en mathématiques et en physique de la limite<br />
du taux d'accroissement d'une fonction. Il fallait absolument lui donner un nom et rendre la<br />
notion rigoureuse. Voici une définition :<br />
Définition<br />
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, et soit a un élément I.<br />
f (x) − f (a)<br />
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement admet une limite<br />
x − a<br />
finie quand x tend vers a. Cette limite est alors appelée dérivée de f en a, et est notée f ′ (a) :<br />
ou encore<br />
f ′ (a) = lim<br />
x→a<br />
f (x) − f (a)<br />
.<br />
x − a<br />
f ′ (a) = lim<br />
h→0<br />
f (a + h) − f (a)<br />
h<br />
Ainsi, la vitesse instantanée V(t) n'est autre que x ′ (t), la dérivée en t de la fonction position x.<br />
Et la pente de la tangente à la courbe d'équation y = f (x) au point d'abscisse a est égale à<br />
f ′ (a), la dérivée de f en a.<br />
D'où vient la notation dy<br />
dx <br />
En physique, vous employez plus volontiers la notation dy alors qu'en mathématiques, nous<br />
dx<br />
privilégions la notation y ′ (x), pourquoi <br />
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