modelisation dynamique d'une pompe a chaleur air/eau ... - iusti

12èmes Journées Internationales de Thermique
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MODELISATION DYNAMIQUE D’UNE POMPE A CHALEUR AIR/EAU
FONCTIONNANT AU CO 2
Imed GUITARI, Philippe HABERSCHILL, André LALLEMAND
CETHIL–UMR 5008/INSA-UCBL-CNRS, 20 av Albert Einstein, 69621 VILLEURBANNE cedex, France
philippe.haberschillnsa-lyon.fr
RESUME
Le modèle proposé est basé sur l’intégration
temporelle des variables d’états qui caractérisent le
fonctionnement de la pompe à chaleur. Il permet de
visualiser l’évolution des températures et des pressions à
la sortie de chaque composant de l’installation, du débit
massique du CO 2 dans le détendeur et des températures de
l’air et de l’eau à l’aval de l’évaporateur et de l’échangeur
haute pression. Ces variables ont fait l’objet de mesures
sur le banc d’essais de la machine modélisée, ce qui a
permis la validation du modèle. Certains paramètres de
fonctionnement de l’installation, inaccessibles expérimentalement
telle que l’évolution des températures le
long des échangeurs, peuvent l’être grâce au modèle.
INTRODUCTION
Le CO 2 est l’une des meilleures alternatives aux
fluides frigorigènes classiques. Les premiers travaux
effectués au CETHIL concernaient le développement d’un
banc d’essais d’une pompe à chaleur air/eau utilisant ce
fluide et la mise au point d’un modèle en régime statique
pour caractériser le fonctionnement de ces installations
[1]. Ces travaux sont poursuivis actuellement par le
développement d’un modèle en régime variable décrit
dans ce présent travail.
ARCHITECTURE DU MODELE
Mêmes si les installations fonctionnant au CO 2 ne
présentent pas les mêmes modes de fonctionnement elles
sont constituées des même composants (Figure 1) que les
installations classiques : un compresseur semi hermétique,
un échangeur haute pression du type tubes et calandre, un
échangeur intermédiaire, une vanne de détente, un
évaporateur à air et une bouteille de réserve.
se
ee
2 Ehp
3
expérimentales. Les variables de sortie du modèle sont les
paramètres de fonctionnement de chacun des éléments de
l’installation, pour chaque volume de contrôle des
échangeurs, une résolution par volumes finis ayant été
adoptée. Ainsi, les variables représentées en gras (Figure
2) sont des grandeurs vectorielles. Les résultats de calcul
sont enregistrés dans des fichiers relatifs au
fonctionnement de chacun des éléments de l’installation
pour chaque pas de temps. Parmi ces paramètres de sortie
on note :
• la température du CO 2 dans chacun des volumes de
contrôle des échangeurs T
hp
et T
ev
;
• le coefficient de transfert au sein du CO 2 dans chaque
volumes de contrôle des échangeurs, α
hp
et α
ev
;
• la température des parois pour chaque volume
contrôle des échangeurs T
tev
et T
thp
et la température de
la calandre T
c
;
• les pressions d’aspiration et de refoulement P 1
et
P
2
;
• le débit massique dans le compresseur et dans le
détendeur m&
cp
et m&
d
;
• la température de sortie de l’eau T
se
;
• la température de l’air à l’aval de l’évaporateur T
sa
;
• la puissance de compression W & cp
;
• la température des parois du compresseurT pc
.
S
T
ee
m&
e
T ea
V & Na
Modèle en
régime
dynamique
T ,T hp thp
T
T
e
, Tc
, α
hp
ev
, Ttev
, α
ev
m &
, &
cp
m d
P1 , P 2
T
se
, T sa
W& , T c pc
t
7
Bouteille
de réserve
1
6
ea
Eint
Evap
sa
4
Vanne
de détente
5
Figure 1 : Installation modélisée
Les paramètres d’entrée du modèle principal sont ceux
qui définissent les conditions de fonctionnement de
l’installation. Ces variables d’entrée sont les suivantes :
• la température d’entrée et le débit d’eau T ee et m& ;
e
Paramètres dimensionnels de l’installation
Figure 2 : Variables d’entrée et de sortie du modèle
Chaque élément de l’installation est étudié séparément
afin de définir les fonctions reliant ses variables d’entrée
et ses variables de sortie en fonction du temps. Ces
fonctions sont issues de l’analyse physique du
fonctionnement de chacun de ces éléments, des principes
fondamentaux de la thermodynamique et de corrélations
des transferts thermiques convectifs issues de la
littérature :
• la corrélation de Gneilinski pour les transferts dans le
domaine supercritique [2] ;
• la corrélation de Chen pour la condensation du CO 2 ;
• la corrélation de Bennet-Chen modifiée pour les
transferts à l'ébullition ;
• la corrélation de Dittus-Boelter pour l’eau ;
• un coefficient constant du coté de l’air, déterminé à
• la température et la vitesse de l’air T
ea
et v
a
;
• l’ouverture de la vanne de détente S ;
• la vitesse de rotation du compresseur N .
Les variables d’entrée évoluent en fonction du temps
et sont lues à partir d’un tableau de valeurs
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 81

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partir des essais sur l’installation modélisée.
P2
Les modèles élémentaires sont intégrés dans un où δ = est le taux de compression, et v1
est le volume
P1
modèle principal les réunissant pour simuler le cycle
décrit par le CO 2 dans l’installation (Figure 3). A chaque
massique du CO 2 à l’aspiration du compresseur.
pas de temps, les variables de sortie d’un élément de
Le coefficient polytropique k dépend du volume
l’installation constituent les variables d’entrée du modèle massique à l’aspiration v 1
et du taux de compression
suivant en respectant le sens de circulation du CO 2 dans selon l’équation (3).
l’installation.
n
k = ( a v1 + b) δ
(3)
Début T ea
où a , b et n sont des coefficients déduits du
dT
pc
dt
dm hp
dt
dP 2
dt
dh hp
dt
dT thp
dt
dT e
dt
dT c
dt
dT tev
dt
dh ev
dt
dP 1
dt
dm ev
dt
Calcul du pas de
temps
Integration des
fonctions d’état
T
pc
FIN
N
Compresseur
T c
T thp T e
h P m& h 2
m&
hp 2
e
c
Echangeur
haute presssion
P P h 3 h 7 m& m&
2
1
c d
Echangeur intermédiaure
P
2
P
1 h 4 S
Détendeur
P m h ev T tev h 5 m& m&
1 ev
m&
d c a T ea
Evaporateur
h 6
dt
8
P
2
P
1
h
1
Saturation
1
Figure 3 : Schéma synoptique du modèle global
Afin de diminuer le temps du calcul, les propriétés
thermodynamiques du CO 2 sont calculées par
interpolation linéaire à partir de tables générées par le
logiciel REFPROP6 ® . Sur la Figure 3, les paramètres
représentés dans deux cercles concentriques sont des
variables d’états sujets d’intégration temporelle selon la
relation (1), les paramètres dans des cercles sont des
variables issues des calculs, les paramètres représentés
dans des carrés sont des constantes liées aux dimensions
et aux conditions de fonctionnement et les traits gras
représentent des sous modèles ou des étapes de calcul.
⎛ df ⎞
f ( t + dt) = f ( t) + ⎜ ⎟ dt
(1)
⎝ dt ⎠
f est l’une des fonctions d’état du modèle.
MODELES ELEMENTAIRES
Compresseur
Le calcul de l’enthalpie de sortie du CO 2 h
2
avec le
logiciel REFPROP6 ® nécessite de connaître un paramètre
complémentaire à la pression de refoulement P
2
. Le
paramètre choisi est le volume massique au refoulement.
En considérant la compression polytropique, il est calculé
selon l’équation (2).
v
2
− 1
k
= v δ (2)
1
fonctionnement du compresseur. Le débit massique du
CO 2 m&
cp
est calculé selon l’équation (4) en considérant
que la vitesse de rotation du compresseur est celle de
synchronisme du moteur électrique ( N = 1500 tr/min).
N Vc
m& cp
= η v
(4)
60 v 1
Dans cette expression, le rendement volumique η
v
est
calculé à partir du taux de volume mortτ et du taux de
compression δ.
1
= +
⎛ ⎞
⎜ −
k
η
v
1 τ 1 δ ⎟
(5)
⎝ ⎠
Cependant, pour être validé par les expériences, le
taux de volume mort ne doit pas être constant. Il obéit à
l’équation :
m
τ = cδ
(6)
c et m sont des coefficients déduits de l’expérience.
La puissance électrique d’entraînement du compresseur
est calculée selon l’équation (7).
W & cp
= m&
cp
( h − h ) + Q&
+ pc
Q&
2 1
amb
(7)
où Q & amb
est la puissance thermique échangée entre le
compresseur et le milieu ambiant. Cette puissance
englobe les pertes dues au frottement mécanique, la
puissance dissipée par la pompe de lubrification, les
pertes fer et les échanges thermiques avec l’ambiance.
Elle est donnée par la relation empirique suivante :
Qamb
= d + e( Tpc
− Tamb
)
(8)
où d et e sont des coefficients empiriques, T
pc
et T amb
sont respectivement la température de la paroi du
compresseur et la température ambiante. Q & pc
est la
puissance thermique accumulée dans la paroi du
compresseur et est calculée selon la relation :
⎛ dT ⎞
Q& pc
= m cp
⎜
⎟
pc
(9)
⎝ dt ⎠
m est la masse du compresseur, cp est sa capacité
calorifique. La variation de la température des parois du
compresseur en fonction du temps est régie par un bilan
thermique selon la relation :
dTpc
⎛ ⎛ T2
+ T1
⎞
⎞ −
= ⎜ K ⎜ − T ⎟ − ( − ) ( ) 1
pc
e Tpc
Tamb
2
⎟ m cp (10)
dt ⎝ ⎝
⎠
⎠
K et e sont les conductances thermiques respectivement
entre le gaz carbonique et la paroi du compresseur, et
entre la paroi et l'ambiance, T
1
la température
d’aspiration, T
2
la température de refoulement.
Échangeurs de chaleur
L’échangeur haute pression et l’évaporateur sont
discrétisés en n hp
et n
ev
éléments de volume (Figure 4)
dans lesquels les propriétés physiques sont considérées
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uniformes que ce soit pour le fluide, pour les parois des En considérant que le coefficient de transfert avec la
tubes, pour l’eau ou pour la calandre. L’évaporateur est calandre et les tubes est la même, on a pour le bilan sur
un échangeur à courants croisés, sa discrétisation est plus l’eau :
simple. L’échangeur intermédiaire est de petite taille on dTei
me
cpe
= m&
ecpe
( Te i+ 1
− Te i
) + αe i
( Ste( Tti
− Te i
) + Sc( Tci
− Te i
)
néglige son inertie et il est considéré comme un seul dt
élément de volume.
La calandre est suffisamment isolée thermiquement,
pour calculer sa variation de température on négligeant les
Tube
Calandre
m& V i
m& m&
i
i−1
V i+1 i+ 1
i+1
i
V i-1
∆X i-1
m&
e
CO 2
Figure 4 : Discrétisation de l’échangeur haute pression
Pour chaque élément de volume les équations de
conservation de la masse et de l’énergie sont appliquées.
En négligeant la variation de l’enthalpie massique liée à la
dissipation et par exemple pour l’échangeur haute
pression, l’équation de conservation de l’énergie pour
chaque élément de volume i de l’écoulement de CO 2 est :
dh
dP
−1
(
−1
−1
( )
⎟ ⎞
= m& i
hi
− m&
i
hi
+ αi
St
T
i
−Tt
i
+ Vi
mi
(11)
dt
dt ⎠
Vi
et
St
sont le volume et la surface interne du volume de
contrôle. La pression est supposée uniforme dans
l’échangeur. Ainsi, la variation de la pression de
refoulement en fonction du temps est calculée en
considérant que la masse volumique du CO 2 pour chaque
volume de contrôle de l’échangeur haute pression ρ
i
est
une fonction d’état dépendant de l’enthalpie massique et
de la pression :
dρ
⎛ ⎞ dh
i hpi
⎜
∂ρi
⎟ ⎛ ∂ρi
⎞ dP2
=
+ ⎜ ⎟
dt
h
(12)
⎝
∂
hpi ⎠
dt ⎝ ∂P
⎠h
dt
P
Pour chaque volume de contrôle, les variations de la
masse volumique par rapport à l’enthalpie massique, à
pression constante, et par rapport à la pression, à enthalpie
massique constante, sont calculées à partir des tables du
fluide frigorigène pour des transformations isobare et
isenthalpique. La variation de l’enthalpie massique par
rapport au temps est calculée à partir de l’équation (11).
En multipliant l’équation (12) par le volume considéré, en
sommant ces termes pour tous les éléments de volume de
l’échangeur haute pression et en appliquant le principe de
conservation de la masse, on obtient :
⎛ n
⎞
⎜
⎛ ⎞
n
⎜
∂ρ
dh
i hp i
⎟
dP ⎛ ∂ρi
⎞
m& − =
+ ⎜ ⎟
⎟
cp
m&
d
V
⎜∑
∑ ⎟
(13)
1
⎝ ⎝
∂hhp i ⎠
dt dt i ⎝ ∂P
⎠
P
h
⎠
A partir de cette équation on calcule la seule inconnue
qui est la variation de la pression en fonction du temps.
Les tubes de l’échangeur haute pression et de
l'évaporateur sont en contact avec le CO 2 d’un côté et
avec de l’eau ou de l’air de l’autre. La variation de la
température de ces tubes dépend des flux échangés avec
ces deux fluides :
dTi
mt
cpt
= ( α
i
Sti
( Ti
− Tti
) + αei
Ste( Tei
− Tt i
)) (14)
dt
avec : S
ti
et Ste
les surfaces interne et externe du tube, m
t
la masse du tube, pour chaque volume de contrôle. α
i
et
α
ei
les coefficients de transfert du côté du CO 2 et du côté
des fluides calo et frigoporteurs.
eau
transferts thermiques avec l’extérieur :
dTci
−1 −1
= α
ei
Sc( Tc i
− Te i
) mc
cpc
(15)
dt
avec m
c
et cp
c
la masse d’un volume élémentaire et la
capacité calorifique de la paroi, S
c
la surface d’échange
eau-calandre correspondante.
Bouteille anti-coup de liquide
La variation de la basse pression par rapport au temps
est calculée au niveau de la bouteille anti-coup de liquide
placée à la sortie de l’évaporateur. L’équation (16) est
issue de la dérivée par rapport au temps de l’équation
d’état des gaz parfaits sur le volume de la bouteille de
réserve.
dP ( m&
d
v − m&
cp
v )
1
6
7
=
dt ⎛ 1 1 dT ⎞
(16)
⎜ ⎟
− Vbt
P T dP
⎝ 1 7 ⎠
dT à la pression P 1
est obtenue à partir des tables à la
dP
saturation. V
bt
est le volume de la bouteille de réserve.
L’inertie thermique de ce composant est négligée.
Détendeur
Le modèle de détendeur permet de calculer le débit
massique m&
d
qui traverse le détendeur au cours d’une
détente isenthalpique du fluide frigorigène d’une
température d’entrée T 4
à la température d’évaporation
T
5
et d’une pression P 2
à l’entrée à une pression
d’évaporation P
1
à sa sortie. Pour ce composant, les
inerties thermiques sont négligées [6].
m
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ ⎜
p
= S P − A − B ⎟ P ⎟
⎜
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1
&
d
2 1
ρ
⎜ ⎟
4 (17)
P ⎟
cr
RESULTATS DE SIMULATION
Les résultats représentés sur les figures (5, 6, 7 et 8)
donnent l’évolution des paramètres de fonctionnement
pour trois démarrages de l’installation à des ouvertures
différentes de la vanne de détente. La température de l’air
est de 10 °C, sa vitesse est de 3 m/s, la température de
l’eau est de 20 ; 30 et 40 °C et son débit massique est de
0,15 kg/s. Les résulats représentés par des points sont
ceux issus des esssais et ceux qui sont représentés par des
traits continus sont issus des calculs.
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 83

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120
la température de l’eau dans l’échangeur haute pression
pour les 25 nœuds de calcul.
P (bar)
100
80
60
34
32
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
40
20
0
P2 : 10, 20 °C P1 : 10, 20 °C P2 : 10, 30 °C
p1 : 10, 30 °C P2 : 10, 40 °C P1 : 10, 40 °C
0 20 40 60 80 100
temps (s)
Figure 5 : Variation des pressions expérimentales et
calculées au cours du démarrage
débit (kg/s)
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
92 bar, 40 °C
0.01
120 bar, 30 °C
76 bar, 20 °C
0
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00
temps (s)
Figure 6 : Variation du débit massique dans le détendeur
au cours du démarrage
110
T (°C)
30
28
26
24
22
20
0 20 40 60 80 100
Temps (s)
Figure 9 : Variation de la température de l’eau dans
l’échangeur haute pression
CONCLUSIONS
Les résultats de ce modèle sont satisfaisants en régime
stabilisé. Si le régime permanent s’établit plus rapidement
selon les calculs par rapport aux essais c’est parce que les
inerties de la bouteille de réserve de l’échangeur
intermédiaire et des tubes qui relient différents éléments
de l’installation ne sont pas prises en compte. Un
développement futur de ce travail consisterait à prendre
en compte ces paramètres.
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[1] GUITARI I., HABERSCHILL P., LALLEMAND A.
« Étude expérimentale et modélisation d’une pompe à
chaleur fonctionnant avec du CO 2 ». Congrès français de
Thermique, SFT 2003, Grenoble, 857-862, 3-6, (2003).
T (°C)
90
70
50
T2
T3
T4
[2] OLSON D. A. « Heat transfer of supercritical carbon
dioxide flowing in a cooled horizontal tube ». IIF-IIR,
Commission B1, B2 with E1, E2, Purdue University,
USA, 261-269, (2000).
30
10
0 20 40 60 80 100
temps (s)
Figure 7 : Variation des températures dans la partie
haute pression au cours du démarrage
Pression (bar)
140
120
100
80
60
40
20
-10°C
0°C
10°C
20°C
30°C
40°C
50°C
Tee=20 °C
Tee=30 °C
Tee=40 °C
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400
Enthalpie (kJ/ kg)
70°C
90°C
110°C
130°C
150°C
Figure 8 : Cycles de fonctionnement simulé à t=100 s
À partir des ces résultats on note que les variables
expérimentales et calculées évoluent vers des valeurs très
proches et que les résultats issus des calculs évoluent plus
rapidement que ceux issus des essais. La figure 8
représente les cycles de fonctionnement à t =100 s issus
des calculs pour un fonctionnement stabilisé pour les trois
cas de la Figure 5. La Figure 9 représente la variation de
[3] JANG J., HRNJAK P. S. « Condensation of carbon
dioxide at low temperatures ». IIR-IIF, Commission B1,
B2, E1 and E2, Guangzhou, China, 64-74, (2002).
[4] HWANG Y., KIM B. H., RADERMACHER R. «
Boiling heat transfer correlation for carbon dioxide ». IIF-
IIR, Commission B1, with E1 and E2, College Park,
USA, 81-88, (1997).
[5] BOURKE P. J., PULLING D. J., GILL L. E.,
DENTON W. H. « Forced convective heat transfer to
turbulent CO 2 in supercritical region ». International
Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 13, 1339-1348,
(1970).
[6] SKAUGEN G., SVENSSON M. C. « Dynamic
modelling and simulation of a trans critical CO 2 heat
pump unit ». IIF-IIR, Commission B2, with B1, E1 and
E2, Oslo, Norway, 230-239, (1998).
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 84