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12èmes Journées Internationales de Thermique
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ESTIMATION DE L'EPAISSEUR DE LA COUCHE LIMITE THERMIQUE A L'AIDE
D'UN LASER
Hassan MAKROUM a , Karim OULAD BESSAM b , Karim NASSIM c et Said RACHAFI b
a LE, Equipe des Transferts Thermiques et Energétique, Université UAE, 90000, FST-Tanger, Tanger, Maroc
b Equipe de Recherche en Physique Appliquée, Université UAE, 90000, FST-Tanger, Tanger, Maroc
c Laboratoire de Photonique et Métrologie Optique , Université UCD, 20000, FS-El Jadida, El Jadida, Maroc
makroum@hotmail.com
RESUME
Dans ce travail nous avons proposé deux
techniques originales pour l'estimation de l'épaisseur
de la couche thermique limite d'une plaque chauffée.
La première approche, très fastidieuse et ardue, est
basée sur une démarche phénoménologique pour la
résolution des équations de Navier-Stokes en
appliquant la méthode intégrale à l’équation de la
chaleur. La seconde, plus astucieuse, s'inspire de
l'effet mirage naturel et restitue l'épaisseur de la
couche thermique limite de la plaque chauffée à partir
des déviations que subit un faisceau laser évoluant au
voisinage de la plaque en question.
ABSTRACT
In this work we have presented two original
techniques for the estimation of thickness of the
thermal boundary layer generated by heated plate.
The first approaches, very dull and arduous, is based
on the phenomenological study of Navier-Stokes's
equations by using Integral Method to solve heat
equation. The second one, more artful, deals with the
natural mirage effect and restores the thermal
boundary layer thickness of the heated plate from
deviations that undergoes a laser beam evolving to the
vicinity of the considered heated plate.
INTRODUCTION
La connaissance de la couche limite d'une
surface chauffée et l'estimation de son épaisseur
constituent un axe privilégié de la mécanique des
fluides. Ce domaine de recherche trouve en effet une
multitudes d'applications dans divers secteurs
technologiques, tels que l'aérospatial,
l'aérodynamique et l'étude des propriétés des
matériaux réfractaires. Cependant, comme on le verra
dans le cadre de ce travail, l'approche de la mécanique
des fluides se révèle très fastidieuse et très ardue et on
doit souvent faire appel à des approches dites
phénoménologiques([1] ; [2] ; [3]). Par ailleurs et vue
la complexité du problème, on a également souvent
recours à une multitude d'approximations afin
d’alléger, ne serait ce qu'un peu, les équations qui
entrent en jeu.
Dans cette optique, en faisant appel aux
outils de la mécanique des fluides, nous avons adopté
une démarche phénoménologique pour établir et
résoudre les équations de Navier-Stokes. Nous avons
ensuite appliqué la méthode intégrale à l’équation de
la chaleur pour étudier les propriétés des transferts
thermiques engendrés par la convection au voisinage
d'une plaque horizontale préalablement chauffée.
Il est intéressant de noter que même si les
résultats obtenus à l'aide des outils inhérents à la
mécanique des fluides sont satisfaisants, l'approche
reste néanmoins très fastidieuse et requiert un savoir
faire de grande envergure ainsi que beaucoup de
précautions quant au choix des approximations en
fonction des conditions aux limites envisagées.
Pour contourner cette difficulté, nous avons
proposé une nouvelle approche originale qui s'appuie
sur le comportement d'un faisceau laser sonde qui
progresse au voisinage de la plaque chauffée étudiée.
Le rayonnement laser constitue dès lors un moyen
sophistiqué de diagnostique des couches du fluide au
voisinage immédiat de la plaque en question et en
fournit, avec précision, les caractéristiques
mécaniques et thermodynamique. De cette manière,
avec ses propriétés intrinsèques, telles que la
cohérence spatiale et temporelle, le laser reste un outil
incontournable et un moyen de diagnostique de
grande précision, notamment dans un cadre du vaste
domaine de métrologie optique et thermique.
En effet, dans le domaine de la métrologie
thermique, l’utilisation des capteurs physiques
(thermocouples , barorésistances...) devient très
gênante en présence d’un écoulement convectif. En
effet, ce dernier est très sensible au contact avec les
capteurs. Pour contourner cette contrainte, et pour une
meilleur précision, on utilise les techniques de
contrôle non destructif ( NDT ). L’utilisation d’un
faisceau laser constitue la pierre angulaire de cette
dernière.
Dans ce travail, Nous avons mis au point une
nouvelle approche pour l'estimation de l'épaisseur de
la couche limite thermique d’une plaque chaude ainsi
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que d’autres grandeurs thermiques associées à la
convection autour de la plaque en question.
Rappelons que les « couches limites »
désignent des régions de transition de dimensions très
réduites et inférieures à l’unité et ce au voisinage des
frontières de l’intervalle de définition, dans lesquelles
la fonction sans dimension subit des évolutions très
rapides.
∂U
∂V
+ = 0
∂x
∂y
∂U
∂U
U + V = βg
∂x
∂y
2
∂ U
∂y
( T − T∞
) + ν
2
2
∂T
∂T
ν ∂ T
U + V =
2
∂x
∂y
Pr ∂y
µ C p
Avec Pr = nombre de Prandtl
λ
( U , V)
composante de la vitesse
µ
T est la température, ν = est la viscosité
ρ
cinématique où µ est la viscosité dynamique et ρ la
masse volumique.
C
p
est la chaleur spécifique à pression constante
λ est la conductivité thermique
β est la dilatation thermique
figure 1 : Nécessité de faire deux choix d’échelles
différents, selon les régions I et II
La fonction y ( x)
adimensionnelle,
représentée ci-dessus, montre l’existence d’une
couche limite ( région I ) d’épaisseur ε T∞
.
Au voisinage de la paroi, le fluide chaud, et donc plus
léger, est en mouvement par la seule poussée
d’Archimède donnant lieu à un transfert thermique
purement convectif. Sous les hypothèses générales de
l’étude, le gradient de pression externe est nul et les
équations de transport de quantité de mouvement et
d’enthalpie complétées de celle de continuité
s’écrivent avec l’approximation de Boussinesq :
Nous avons ensuite résolu les différents systèmes
d’équations grâce à la méthode intégrale de Karman-
Pohlhausen, qui consiste à approcher les profils
adimensionnels de vitesse et de température par des
polynômes d’ordre 4. Ensuite il faut tenir des
conditions aux limites.
Les épaisseurs de couches limites mécanique et
thermique supposées confondues et calculées par la
méthode intégrale sont ([6] ;[7]) :
δ
m
− 0.5 ⎡20
⎤ ⎡gβ
x
th
= 3.93P
⎢
+ P
2
⎣ 21 ⎥
⎦
⎢
⎣ ν
( ) ≈ δ ( x)
1
4
4
( δT) 1
1
4
ESTIMATION DE L'EPAISSEUR DE LA
COUCHE LIMITE THERMIQUE A L'AIDE
D'UN LASER
Le rayonnement laser constitue un moyen de
diagnostique sophistiqué des couches du fluide au
voisinage immédiat d'une plaque chauffée et en
restitue, avec précision, les caractéristiques
mécaniques et thermodynamique. Le laser détecte en
effet toute variation de l'indice de réfraction du milieu
traversé et permet de remonter aux causes à effets.
L'indice de réfraction d'un milieu est obtenu
à partir des équations de Maxwell et s'écrit:
⇒ n =
Ne
+
2
2ε
m(
w
1 − w
2
0 0
Cette expression se ramène dans le cas des gaz de
faible pression à:
2
)
⎥ ⎦
⎤
x
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2
2
Ne w
n ≈ 1 + (1 + ) ≈ consante
2
2
2ε
mw w
0
0
r
d.(
n.
T )
⎯⎯→
= grad n
ds
d ⎛ dx ⎞ ∂n
⎜n
. ⎟ =
ds ⎝ ds ⎠ ∂x
d ⎛ dz ⎞ ∂n
⎜n. ⎟ = = 0
ds ⎝ ds ⎠ ∂z
Si on connaît le champ de température T(z),
on peut déduire n, et par intégration la trajectoire des
rayons lumineux z(x), et inversement, l’analyse
expérimentale du trajet lumineux peut nous
renseigner sur le champ de température.
Considérons une plaque chauffée (fig. 2) dans une
ambiance qui impose, loin de la plaque, les conditions
aux limites suivantes :
- Loin de la plaque, l’air est au repos.
- Loin de la plaque, la température est constante T∞
(température ambiante).
z
figure 2 : Nécessité de faire deux choix d’échelles
Par la mesure de la déviation des rayons
lumineux (déflexion thermique), on déduit la
température de la surface de la plaque. Dans cette
même optique, on peut également se servir d’une
mesure autre que celle de la déviation, en l'occurrence
la mesure de la côte minimale z min . (le paramètre
d'impact) qui constitue une estimation de l'épaisseur
de la couche limite thermique de la plaque considérée.
est L’ensemble des techniques de mesures utilisant
l’influence d’un milieu d’indice variable sur la
propagation de la lumière constitue ce qu'on appelle
communément L'ombroscopie. On en trouve
beaucoup d’applications en mécanique des fluides.
La résolution des équations précédentes nous
permet d'accéder au paramètre d'impact qui s'écrit:
0
y
x
RESULTATS ET DISCUSSION
L'approche phénoménologique de la
mécanique des fluides nous a conduit à une
estimation de la couche limite thermique (qui est
du même ordre de grandeur que celle de la couche
limite mécanique) d'une plaque horizontale
préalablement chauffée. Cette épaisseur est donnée
en fonction de la température par:
4
( δT) 1
1
4
− 0.5 ⎡20
⎤ ⎡gβ
⎤
δ
m
( x) ≈ δ
th
( x)
= 3.93P ⎢ + P
x
2
⎣ 21 ⎥
⎦
⎢
⎣ ν ⎥ ⎦
En remplaçant les constantes par leur valeur et en
mesurant l'épaisseur au milieu de la plaque, on
trouve:
= 601,85
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δ
th
1
4
1
4 4
( δT) 1
x
A l'aide de la technique effet mirage, nous
avons obtenu une expression du paramètre d'impact
z m du faisceau laser, qui coïncide avec la valeur de
l'épaisseur de la couche limite thermique δ th de la
même plaque subissant les mêmes contraintes
externes.. Dans ce cas, on a:
⎛ 0,07919 ⎞
⎜ − T∞
⎟
δ th = 1 ⎜ A−1
z = −
⎟
m
ln
γ ⎜ T −T
⎟
S ∞
⎜
⎟
⎝
⎠
Cette dernière expression peut se réécrire
d'une autre manière de façon à la comparer plus
facilement avec le résultat obtenu dans le cadre de la
mécanique des fluides. En effet, le lissage de la
courbe z m en fonction de la différence de température
δT = T S - T ∞ donne:
δ th =
4
z m
= a∂T
+ b
−5
−4
avec a = 547 ⋅10
et b = 165 ⋅10
La courbe primaire et son lissage sont illustrées sur le
graphique suivant:
Epaisseur de la couche limite
0.020
0.015
0.010
0.005
0
1
y=a*x ( 1/4)+b max dev:0.00136 a=0.00547, b=-0.0165
y=-1/150.58*ln(116.25/x)
500 1000 1500
δT (K)
figure 3: Variation de l'épaisseur de la couche
thermique en fonction de la température

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CONCLUSION
Dans ce travail, on s'est intéressé à la
mesure de la couche limite thermique d'une plaque
préalablement chauffée. Nous avons d'une part utilisé
une méthode qui s'appuie aux les outils de la
mécanique des fluides, nous en adoptant une
démarche phénoménologique pour établir et résoudre
les équations de Navier-Stokes. Nous avons ensuite
appliqué la méthode intégrale à l’équation de la
chaleur pour étudier les propriétés des transferts
thermiques engendrés par la convection au voisinage
d'une plaque verticale préalablement chauffée. Nous
avons retenu d'autre part une approche qui puise ses
ressources dans l'optique appliquée. Cette approche
s'appuie principalement sur l'outil laser qui est devenu
incontournable dans la technologie moderne.
L'approche en question est basée sur l'effet
mirage et s'appuie principalement sur la déviation, par
le principe d'Ibn Al Haytham (ou Fermat) d'un
faisceau laser dans un champ d'indice de réfraction.
La méthode se révèle pratique et peu coûteuse. Elle
présente cependant quelques inconvénients majeurs, à
savoir l'exigence de plaques de surface relativement
étendues (pour éliminer les effets de bord) et sa
résolution est relativement médiocre. En effet, pour
de petites variations de la température, de la surface
de la plaque étudiée, les déviations du rayon laser (par
effet mirage) ne seront significatives que sur une
étendue assez importante de la plaque. Autrement dit,
la technique "mirage", comme présentée dans le cadre
de ce travail, n'est applicable que dans les cas où les
variations de la température sont assez conséquentes.
La sensibilité de la méthode peut cependant être
améliorée en jouant sur la qualité optique du faisceau
laser ainsi que sur le système de détection. Aucun
débruitage n'est nécessaire dans le cadre des mesures
par effet mirage.
Pour les deux techniques de calcul adoptées
dans le cadre de ce travail, nous avons obtenu des
résultats intéressants. Ils restent néanmoins des
résultats préliminaires et des améliorations, à notre
portée, sont à faire.
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[1] VAN DYKE, M., Perturbation Methods in Fluid
Mechanics, The Parabolic Press, 1975.
[2] FRANCOIS, C., Les Méthodes de Perturbation en
Mécanique, Cours E.N.S.T.A., Paris, 1981
[3] DARROZES, J. S. et MONAVON, A., Analyse
phénoménologique des écoulements, Cours
E.N.S.T.A., Paris, 1988
[4] CHASSAING, P, Mécaniques des fluides
(éléments d’un premier parcours ), Cépaduès-éditions,
1997.
[5] BEJAN, A., Convection heat transfer, John Wiley,
1984
[6] TAINE, J. et PETIT, J.-P., Transferts thermiques,
Dunod Université, 1989.
[7] KNUDSEN, J. G. et KATZ, D. L., Fluid dynamics
and heat transfer. Mc-Graw-Hill, 1958.
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