EFFET DE L'INCLINAISON SUR LA CONVECTION ... - iusti

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12èmes Journées Internationales de Thermique
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évoluant suivant une loi exponentielle très resserré sur les
bords et plus grossier dans le coeur de la cavité pour
y
mieux cerner les phénomènes pariétaux.
z
3. RESULTATS NUMERIQUES
Paroi froide T f
3.1 Cas stationnaire
r
Dans le cas de la cavité horizontale (δ=0°) qui
R 0
Paroi chaude T c
représente une symétrie par rapport à son axe vertical,
parmi les résultats obtenus par S.M.A. Khiat [6], la
φ
x
structure d’écoulement est formé par deux cellules
δ
symétriques et un champ de température sous forme de
panache vertical lorsque le nombre de Rayleigh est
modéré de l’ordre de 10 5 (Fig 2.3)
Fig.1 Modèle physique
Les grandeurs caractéristiques utilisées pour
adimensionner le problème sont les différences de
température ∆T=Tc-Tf entre les parois de la cavité, le
rayon R 0 de la cavité comme longueur de référence et la
diffusivité thermique α du fluide.
Le modèle mathématique obtenu est le suivant:
Conservation globale de la masse
∂U
∂V
+ V + = 0
∂φ ∂R
Conservation de la quantité de mouvement
∂U
U ∂U
UV ∂U
1 ∂P
+ + + V = − +
∂τ R ∂φ R ∂R
R ∂φ
Pr ⎡
2 2 ∂V
⎤
⎢∇
U + cos( φ δ ).
θ
2 ⎥ + +
Ra ⎣ R ∂φ ⎦
2
∂V
U ∂V
U ∂V
∂P
+ − + V = − +
∂τ R ∂φ R ∂R
∂R
Pr ⎡
2 1 ∂U
⎤
⎢∇
V − + sin( φ + δ . )θ
2 ⎥
Ra ⎣ R ∂φ ⎦
Conservation de l'énergie
∂θ U ∂θ ∂θ 1 2
+ + V = ∇ θ
∂τ R ∂φ ∂R
Pr . Ra
2
2
2 1 ∂ 1 ∂ ∂
où ∇ = + +
2 2
2
R ∂φ
R ∂R
∂R
Les paramètres caractéristiques qui interviennent dans
les équations adimensionnelles ci-dessus et dont les
valeurs conditionnent les transferts de chaleur dans la
cavité sont :
Les paramètres géométriques :
- l’angle de la cavité 0 ≤ φ ≤ π
- l'angle de l’inclinaison de la cavité 0 ≤ δ ≤ 10°
- le rayon de la cavité 0 ≤ R ≤ 1
- la longueur de la cavité z=∞
Les paramètres physiques :
- Le nombre de Rayleigh :
3
gβ∆TR Ra =
0
να
- Le nombre de Prandtl :
ν
Pr =
α
2.2 Méthode de résolution
Le modèle numérique utilisé pour résoudre notre
système d'équations est fondé sur la méthode des volumes
finis développée par Patankar [7]. Cette méthode s'appuie
sur une discrétisation du domaine de calcul en différents
noeuds, chacun d'entre eux étant entouré d'un volume
élémentaire sur lequel on intègre les équations aux
dérivées partielles. Les systèmes obtenus sont résolus par
l'algorithme TDMA. Le maillage choisi est irrégulier
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 348
0.040
0.010
0.070
0.030
0.050
0.020
-0.010
-0.020
-0.030
-0.040
-0.060
-0.070
-0.020
-0.050
Fig.2. Structure de l’écoulement pour Ra=10 5 et δ=0°
-0.167
-0.056
-0.389
0.056
0.167
0.389
-0.056
-0.278
0 500
Fig.3. Champ de température pour Ra=10 5 et δ=0°
Lorsque la cavité est inclinée, la structure
d’écoulement symétrique du cas de la cavité horizontale
est rapidement déstabilisée avec la dominance d’une
cellule. Si la cavité est inclinée vers la gauche, la cellule
gauche se développe en occupant presque la totalité de la
cavité, par contre la cellule droite se rétrécie au fur et à
mesure que l’angle d’inclinaison de la cavité augmente.
Les particules au milieu de la cavité ainsi qu’au niveau de
la petite cellule restent immobiles. L’inclinaison de la
paroi inférieure vers le haut favorise l’accélération des
particules de la cellule de gauche qui se déplacent dans le
sens contraire des aiguille d’une montre et ralentit les
particules de la cellule droite qui se déplacent dans le sens
des aiguilles d’une montre ce qui provoque son
rétrécissement (Fig.6). Concernant la distribution de la
température qui reste dominé par la cellule convective, on
constate un gradient de température faible au milieu de la
cavité à cause de l’immobilité des particule au centre de la
cellule, par contre, sur la partie droite de la paroi
cylindrique et au niveau de la paroi plane (paroi chaude),
le gradient de température reste plus intense (Fig.7).
3.2.Transfert de chaleur
Le transfert de chaleur est représenté par le nombre de
Nusselt qui se calcule en fonction des grandeurs locales
de température sur chaque paroi, et en intégrant les
nombres de Nusselt locaux, on obtient le nombre de
Nusselt moyen correspondant à chaque paroi. Donc le
nombre de Nusselt moyen sur la paroi cylindrique par
exemple est donné par l’équation suivante :
π
1 ∂θ
Nu = −
∫
dφ
∂R
π 0
D’après la figure 7 le champ de température ne varie
pas d’une façon considérable lorsque l’angle d’inclinaison
varie, ce qui explique l’allure de la variation des nombres
de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh (Fig.4) qui
sont presque regroupés autour d’une seule droite, alors
-0.167
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