EFFET DE L'INCLINAISON SUR LA CONVECTION ... - iusti

12èmes Journées Internationales de Thermique
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EFFET DE L’INCLINAISON SUR LA CONVECTION NATURELLE
DANS UNE CAVITE DEMI-CYLINDRIQUE
Noureddine RETIEL (1) , Mohamed Amine KHIAT (1) et El-Hadi BOUGUERRA (2)
(1) Université de Mostaganem, Département de MécaniqueB.P.188 27000 Mostaganem, Algérie.
(2) Université de Blida, Département de Mécanique Route de Soumâa, B.P.270 09000 Blida, Algérie
e-mail : retieln@yahoo.fr
NOMENCLATURE
g: Accélération de la pesanteur
P : Pression du fluide adimensionnée
Pr : Nombre de Prandtl
r: Coordonnée polaire dimensionnée
R: Coordonnée polaire adimensionnée
R 0 : Rayon de la cavité
Ra: Nombre de Rayleigh thermique = gβ∆TR 0 3 /να
T : Température dimensionnée
∆T: Ecart de température
U: Vitesse angulaire adimensionnée
V: Vitesse radiale adimensionnée
x,y,z : Coordonnées cartésiennes
Symboles grecs
α: Diffusivité thermique
β: Coefficient d'expansion thermique
δ : Angle d’inclinaison de la cavité
φ : Coordonnée polaire
θ: Température adimensionnée
ν: Viscosité cinématique
ρ: Densité du fluide
1. INTRODUCTION
La détermination du transfert de chaleur et des
caractéristiques des écoulements générés par les forces
d’Archimède dans des cavités est un problème dont
l’intérêt tant sur le plan fondamental qu’au niveau des
applications pratiques est important. Parmi ces
applications nous pouvons citer : le stockage des fluides,
l’écoulement d’air dans les pièces d’habitation et dans les
capteurs solaires, etc.,
Il ressort des travaux disponibles dans la littérature,
très peu d’informations sont disponibles actuellement tant
sur le plan numérique qu’expérimental, sur la structure
d’écoulement de convection naturelle se produisant dans
une cavité demi-cylindrique inclinée, comme
l’écoulement naturel de l’air dans les serres agricoles,
dans les hangars de forme cylindrique ou dans les
habitacles des avions de ligne.
Un très grand nombre de travaux sur la convection
naturelle dans des cavités de différentes géométrie en
passant de la cavité rectangulaire [1] qui est de venu un
cas classique au cavité triangulaire [2] en passant par
l’étude de la convection naturelle dans une cavité
trapézoïdale [3] ou l’étude de l’effet du rapport de forme
sur la convection naturelle dans une serre mono chapelle.
[4]. Pour les cavités demi-cylindrique peu de travaux ont
été réalisés, nous pouvons citer les travaux de K.C. Karki
& al.[5] qui ont étudié par voie numérique la convection
naturelle laminaire où des solutions sont obtenues pour
trois zones chauffées différemment suivant l’axe axial de
la cavité. Les travaux de thèse de S.M.A. Khiat & al. [6]
et qui représentent des résultats récents où ils ont étudié la
convection naturelle thermique et double diffusive dans
une cavité demi-cylindrique horizontale pour des valeurs
de Rayleigh thermique variant de 10 3 à 10 6 .
Dans le présent travail, qui représente une
continuation des travaux de S.M.A. Khiat & et al. [6],
nous avons étudié l’influence de l’inclinaison de la cavité
en faisant varié l’angle α entra 0°, qui correspond à la
cavité horizontale, et qui a été étudié par S.M.A Khiat [6],
jusqu’à 10°. Pour chaque valeur de δ nous avons varié le
nombre de Rayleigh de 10 3 à 10 6 . L’intérêt de cette étude
c’est de voir l’influence de l’inclinaison de la cavité demicylindrique
sur la structure de l’écoulement et la
distribution de la température. Ces résultats peuvent être
exploiter dans les serres agricoles de forme demicylindrique
qui repose sur des sols inclinés. En
application aux serres agricoles, nous avons choisit un
nombre de Prandtl Pr=0.7 qui correspond à l’air.
2. MODELE PHYSIQUE ET FORMULATION
MATHEMATIQUE
2.1 Mise en équation
Nous considérons une cavité demi-cylindrique fermée
de rayon intérieur R 0 qui contient un fluide
incompressible de viscosité cinématique ν et de
diffusivité thermique α. La paroi supérieure «plafond» et
la paroi inférieure «le plancher» engendrent un gradient
vertical de température (parois actives). La cavité est
supposée infiniment longue suivant son axe axial (Fig.1).
Les écoulements susceptibles d’être développé dans cette
cavité sont gérés par les équations de conservation de
masse, de quantité de mouvement et de l’énergie. Il s’agit
de déterminer la répartition de vitesse, de pression et de
température dans le cas où la paroi inférieure est chaude
et la paroi supérieure est froide.
L'écoulement de convection naturelle est provoqué par
les forces de poussées thermiques et reste laminaire. On
suppose que les propriétés physiques sont constantes sauf
pour la masse volumique du mélange qui dépend de sa
température selon la relation suivante:
[ 1−
( T − )]
ρ ( T ) = ρ β T
0 t 0
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évoluant suivant une loi exponentielle très resserré sur les
bords et plus grossier dans le coeur de la cavité pour
y
mieux cerner les phénomènes pariétaux.
z
3. RESULTATS NUMERIQUES
Paroi froide T f
3.1 Cas stationnaire
r
Dans le cas de la cavité horizontale (δ=0°) qui
R 0
Paroi chaude T c
représente une symétrie par rapport à son axe vertical,
parmi les résultats obtenus par S.M.A. Khiat [6], la
φ
x
structure d’écoulement est formé par deux cellules
δ
symétriques et un champ de température sous forme de
panache vertical lorsque le nombre de Rayleigh est
modéré de l’ordre de 10 5 (Fig 2.3)
Fig.1 Modèle physique
Les grandeurs caractéristiques utilisées pour
adimensionner le problème sont les différences de
température ∆T=Tc-Tf entre les parois de la cavité, le
rayon R 0 de la cavité comme longueur de référence et la
diffusivité thermique α du fluide.
Le modèle mathématique obtenu est le suivant:
Conservation globale de la masse
∂U
∂V
+ V + = 0
∂φ ∂R
Conservation de la quantité de mouvement
∂U
U ∂U
UV ∂U
1 ∂P
+ + + V = − +
∂τ R ∂φ R ∂R
R ∂φ
Pr ⎡
2 2 ∂V
⎤
⎢∇
U + cos( φ δ ).
θ
2 ⎥ + +
Ra ⎣ R ∂φ ⎦
2
∂V
U ∂V
U ∂V
∂P
+ − + V = − +
∂τ R ∂φ R ∂R
∂R
Pr ⎡
2 1 ∂U
⎤
⎢∇
V − + sin( φ + δ . )θ
2 ⎥
Ra ⎣ R ∂φ ⎦
Conservation de l'énergie
∂θ U ∂θ ∂θ 1 2
+ + V = ∇ θ
∂τ R ∂φ ∂R
Pr . Ra
2
2
2 1 ∂ 1 ∂ ∂
où ∇ = + +
2 2
2
R ∂φ
R ∂R
∂R
Les paramètres caractéristiques qui interviennent dans
les équations adimensionnelles ci-dessus et dont les
valeurs conditionnent les transferts de chaleur dans la
cavité sont :
Les paramètres géométriques :
- l’angle de la cavité 0 ≤ φ ≤ π
- l'angle de l’inclinaison de la cavité 0 ≤ δ ≤ 10°
- le rayon de la cavité 0 ≤ R ≤ 1
- la longueur de la cavité z=∞
Les paramètres physiques :
- Le nombre de Rayleigh :
3
gβ∆TR Ra =
0
να
- Le nombre de Prandtl :
ν
Pr =
α
2.2 Méthode de résolution
Le modèle numérique utilisé pour résoudre notre
système d'équations est fondé sur la méthode des volumes
finis développée par Patankar [7]. Cette méthode s'appuie
sur une discrétisation du domaine de calcul en différents
noeuds, chacun d'entre eux étant entouré d'un volume
élémentaire sur lequel on intègre les équations aux
dérivées partielles. Les systèmes obtenus sont résolus par
l'algorithme TDMA. Le maillage choisi est irrégulier
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Fig.2. Structure de l’écoulement pour Ra=10 5 et δ=0°
-0.167
-0.056
-0.389
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0.167
0.389
-0.056
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Fig.3. Champ de température pour Ra=10 5 et δ=0°
Lorsque la cavité est inclinée, la structure
d’écoulement symétrique du cas de la cavité horizontale
est rapidement déstabilisée avec la dominance d’une
cellule. Si la cavité est inclinée vers la gauche, la cellule
gauche se développe en occupant presque la totalité de la
cavité, par contre la cellule droite se rétrécie au fur et à
mesure que l’angle d’inclinaison de la cavité augmente.
Les particules au milieu de la cavité ainsi qu’au niveau de
la petite cellule restent immobiles. L’inclinaison de la
paroi inférieure vers le haut favorise l’accélération des
particules de la cellule de gauche qui se déplacent dans le
sens contraire des aiguille d’une montre et ralentit les
particules de la cellule droite qui se déplacent dans le sens
des aiguilles d’une montre ce qui provoque son
rétrécissement (Fig.6). Concernant la distribution de la
température qui reste dominé par la cellule convective, on
constate un gradient de température faible au milieu de la
cavité à cause de l’immobilité des particule au centre de la
cellule, par contre, sur la partie droite de la paroi
cylindrique et au niveau de la paroi plane (paroi chaude),
le gradient de température reste plus intense (Fig.7).
3.2.Transfert de chaleur
Le transfert de chaleur est représenté par le nombre de
Nusselt qui se calcule en fonction des grandeurs locales
de température sur chaque paroi, et en intégrant les
nombres de Nusselt locaux, on obtient le nombre de
Nusselt moyen correspondant à chaque paroi. Donc le
nombre de Nusselt moyen sur la paroi cylindrique par
exemple est donné par l’équation suivante :
π
1 ∂θ
Nu = −
∫
dφ
∂R
π 0
D’après la figure 7 le champ de température ne varie
pas d’une façon considérable lorsque l’angle d’inclinaison
varie, ce qui explique l’allure de la variation des nombres
de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh (Fig.4) qui
sont presque regroupés autour d’une seule droite, alors
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0.000

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que dans le cas de la cavité horizontale la variation du
nombre de Nusselt est bien isolé avec des valeurs
supérieures par rapport aux cavités inclinés, car cette
dernière présente deux tourbillon d’écoulement, ce qui
favorise le transfert thermique par rapport aux cavités
incliné..
Nombre de Nusselt
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
Inclinaison=0
Inclinaison=2
Inclinaison=4
Inclinaison=6
Inclinaison=8
Inclinaison=10
10 4 10 5 10 6
Nombre de Rayleigh
Fig.4.. Variation du nombre de Nusselt en fonction de du
nombre de Rayleigh
En analysant la variation du nombre de Nusselt en
fonction de l’inclinaison (Fig.5), on constate que le
transfert de chaleur est pratiquement similaire entre les
faibles inclinaisons et les fortes inclinaisons, par contre le
transfert de chaleur reste le plus important pour la cavité
horizontale.
5.5
5
cellule droite dont le mouvement est celui des aiguilles
d’une montre se qui provoquera son ralentissement. En
effet on remarque qu’au temps τ=100, la cellule droite
n’occupe que 1/3 de la cavité. Ce rétrécissement de la
cellule continue au cours du temps jusqu’à τ=200 où on
atteint un état stationnaire. A ce moment, la structure ne
varie plus et elle est représenté par une cellule dominante
accéléré occupant toute la cavité avec une faible zone
immobile à la droite de la cavité, représentant environ
10% du volume de la cavité. Pour la distribution de la
température, nous constatons un champ de température
sous forme de panache symétrique pendant les premiers
instants avec un gradient de température faible au centre
de la cavité et des gradients intense au sommet de la
cavité et sur les côtés de la paroi inférieure. Cette
distribution de température est conservée par sa forme
mais elle se déplace vers la droite au fur et à mesure
qu’on avance dans le temps. On constate que la paroi
cylindrique est soumise à un gradient de température
intense sur le 1/3 droit de sa surface et un gradient de
température faible sur le reste de la surface
4. CONCLUSION
Dans cette étude nous avons pu montrer le
comportement des structures d’écoulement et du champ
de température dans une cavité demi-cylindrique
lorsqu’elle est inclinée en présence d’un gradient de
température vertical. On a pu voir que l’inclinaison de la
cavité même de faible valeur déstabilise facilement et
complètement la structure de l’écoulement et le champ de
température. La structure multicellulaire disparaît lorsque
la cavité est parfaitement horizontale (2 cellules) pour
laisser la place à une structure unicellulaire antisymétrie
par rapport au centre de la cavité.
Nombre de Nusselt
4.5
4
3.5
3
2.5
Ra=5.0E+3
Ra=1.0E+4
Ra=5.0E+4
Ra=1.0E+5
Ra=5.0E+5
Ra=1.0E+6
2
0 2 4 6 8 10
Inclinaisonendegr
Fig.5 Variation du nombre de Nusselt en fonction de
l’inclinaison de la cavité
Parmi les valeurs de l’angle d’inclinaison que nous
avons étudié, la plus faible valeur est δ=1°. Nous avons
obtenu presque la même allure de la structure
d’écoulement et le champ de température [Fig. 6,7], ce
qui nous poussé à étudié l’évolution de l’écoulement en
régime instationnaire pour observé le comportement de la
convection naturelle au cours du temps.
3.1 Cas instationnaire
Pour évaluer l’effet de l’influence de l’inclinaison de
la cavité sur la structure de l’écoulement, nous avons
choisit le plus faible angle d’inclinaison δ=1° et nous
avons imposé des conditions initiale symétrique (c’est à
dire des températures et des vitesses nulles dans toute la
cavité).
Pour un temps faible de l’ordre de τ=10, une structure
d’écoulement pratiquement symétrique se développe de la
même façon que dans le cas d’une cavité horizontale
(δ=0°), les particules du fluide s’écoule vers le bas au
niveau de la paroi cylindrique et remonte vers le haut au
milieu de la cavité après avoir longé la paroi inférieure. Il
est évident que la paroi chaude qui est incliné vers le haut
du côté droit serait favorable aux particules qui se
déplacent vers la droite, ce qui n’est pas le cas de la
5. BIBLIOGRAPHIE
1. G. DE VAHL DAVIS, « Laminar natural convection in
an enclosed square cavity ». Int. J. Heat Transfer, Vol.
11 ; pp. 1675-1693 (1993)
2. HAYDEE SALMUN. « Convection patterns in a
triangular domain ». Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol.
22, pp 351-361. (1989)
3. S.W.LAM, R. GANI and J. SYMONS. « Experimental
and numerical studies of natural convection in trapezoïdal
cavities ». Journal of Heat Transfer. Vol. 111, pp. 372-
377. (1989)
4. M. BENYAMINE, B. DRAOUI and T. BOULARD.
« Natural convection in transient regime of moon-span
greenhouse no cultivated and heated by the stoking flux ».
Colloque annuel de la société Française des Thermiciens.
pp. 632-647. (1993)
5. K.C. KARKI and P.S. SATHYAMURTHY. « Laminar
mixed convection in a horizontal semi-circular duct with
axially ». Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol.25, pp. 171-
189, (1994).
6. .M.A. Khiat, N. RETIEL et L. ADJLOUT. « Etude
numérique de la convection thermosolutale dans une
cavité demi-cylindrique horizontale ». Thèse de Magister,
Univ. Mostaganem. Algérie. (2003)
7. S.V. PATANKAR. « Numerical heat transfer and fluid
flow ». Mc Graw Hill, London, 197 p. (1980).
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5° 10°
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15°
Fig.6 : Effet de l’inclinaison sur la structure de l’écoulement, pour Ra=10 5
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Fig.7 : Effet de l’inclinaison sur la distribution de la température, pour Ra=10 5
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τ=150 τ=200 τ=350
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Fig.8 : Evolution au cours du temps de la structure de l’écoulement, pour Ra=10 5 et δ=1°
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τ=10 τ=50 τ=100
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τ=150 τ=200 τ=350
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Fig.9 : Evolution au cours du temps du champ de température, pour Ra=10 5 et δ=1°
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 350