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12èmes Journées Internationales de Thermique
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SIMULATION DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE ANNULAIRE
PARTITIONNEE
Khadija CHOUKAIRY 1 ; Rachid BENNACER 1 & Mohammed EL GANAOUI 2
1
LEEVAM-LEEE, 5 Mail Gay Lussac, Université de Cergy, 95031, France.
2
SPCTS, UMR CNRS 6638, Université de Limoges, 123 Albert Thomas, 87000 Limoges, France.
khadija.choukairy@iutc.u-cergy.fr
INTRODUCTION
Les études de la convection naturelle dans des cavités
confinées et en particulier cylindriques constituent depuis
plusieurs années, l’objet de plusieurs recherches. Elle
offrent un champ d’application privilégié (le confort
thermique, le refroidissement des composants
électroniques, les réservoirs de stockage et dans bien
d'autres domaines ...).
De Vahl Davis et Thomas (1969) étaient parmis les
premiers a rapporter une étude numérique de la
convection naturelle dans des cavités cylindriques et leurs
résultats ont été prolongés par d'autres auteurs Prasad et
Kulacki (1985), Kumar et Kalam (1991). Ils avaient
constaté que la courbure du cylindre peut fortement
affecter la structure d'écoulement et le transfert thermique
entre les deux cylindres.
L’approche recherchée dans la plupart de ces études
consiste à évaluer les conditions pour optimiser les
échanges au travers du domaine annulaire.
Notre étude s’inscrit dans cette optique et elle vise la
compréhension et la quantification du transfert de chaleur
au travers des domaines annulaires sans modifications de
la géométrie et plus particulièrement l’effet du
partitionnement horizontale sur le couplage thermique des
différents sous-domaines.
FORMULATION MATHEMATIQUE
Le domaine étudié consiste en l’espace entre deux
cylindres coaxiaux verticaux dont les parois verticales
sont maintenues à des températures différentes T c et T f
alors que les parois horizontales sont supposées
adiabatiques (Fig. 1).
Les transferts radiatifs ainsi que les dissipations
visqueuses sont supposés négligeables. L’approximation
de Boussinesq est prise en compte.
Le fluide est supposé newtonien et l’écoulement
incompressible. Les propriétés physiques, autres que la
masse volumique, sont considérées comme constantes.
Etant donné la symétrie angulaire, le problème est
considéré bidimensionnel
Les grandeurs de référence pour l’espace, la vitesse, la
pression et la température sont :
L ref = L ,
u ref
Lref
=
t ref
ν
=
L
ρν²
P ref = ∆ T = T c − Tf
L²
Les équations de conservation sous leur forme
adimensionnée s’écrivent :
1 ∂(ru)
r ∂r
u
u
∂w
∂r
∂u
∂r
∂w
+
∂z
∂w
+ w
∂z
∂u
+ w
∂z
= 0
∂p
= −
∂z
∂p
= −
∂r
2
+ ∇ w + Gr θ
2 u
+ ∇ u −
r²
(1)
(2)
(3)
∂θ ∂θ 1
u + w = ∇²
θ
(4)
∂r
∂z
Pr
∂ ∂ ∂
où ∇ ² = (r ) +
r∂r
∂r
∂z²
La cavité est partitionnée par un mur horizontal, seule
l’équation de conservation d’énergie est résolue dans le
mur solide :
1
Pr
αs
∇ ( ∇θ)
= 0
(5)
α
f
où αs
et α
f
représentent respectivement la diffusivité
thermique du solide et du fluide.
L’adimensionnement des équations précédentes fait
apparaître les groupements adimensionnels :
H H
A = = ,
' '
r − r L
e
3
gβ∆T
L
Gr =
2
ν
,
i
L
R = (6a)
'
r i
ν
Pr =
(6b)
α
Les conditions aux limites aux parois sont de type non
glissement (u=w=0) pour la dynamique. Pour la
thermique on impose :
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 161

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1
METHODE ANALYTIQUE
à r = , u=w=0 et θ = 1
(7a)
R
Pour estimer l’épaisseur de la couche limite, nous nous
sommes inspirés des analyses des lois d’échelles Bejan
à r = ( R +1) / R , u=w=0 et θ = 0
(7b)
(1984) pour une couche limite sur une paroi verticale.
∂θ
à z=0, A, u=w=0 et 0
∂z =
(7c)
Le nombre de Nusselt moyen le long de la paroi interne
(i) et externe (e) est définis sous forme adimensionnelle
par :
Nu i
1 A∂θ
= ∫ dz
(8a)
A 0 ∂ r 1
r=
R
1 A∂θ
Nu e = ∫ dz
(8b)
A 0 ∂ r 1+
R
r=
R
Dans cette étude, la conductivité du solide est supposée
égale à celle du fluide.
z’, w’
Tc
Q 2
Q 3
r’ i
Q
fluide
1
H 1
obstacle
Tf
H 2
H 3
Nous supposons que le transfert de chaleur et
l’écoulement ont lieu dans des couches parallèles aux
parois verticales et de faible épaisseur devant la hauteur,
il s’ensuit que dans une couche limite les gradients
suivant les axes ( Oz ) et ( Or ) se rapportent en ordre de
grandeur respectivement à la hauteur de la cavité H et à
l’épaisseur de la couche limite thermique δ T .
Quand les forces d’inertie dominent et équilibrent les
forces de volume Pr < 1 , l’ordre de grandeur de la couche
limte s’écrit :
−3
−1
−1
4 2 4
i = aH A (Pr) (Gri
)
δ (9)
3
gβ(Tc
− Tcentre
)L
où Gri
= est le nombre de Grashof
ν²
basé sur la différence de température entre la température
chaude et la température au milieu de la cavité.
La constante a est déterminée en corrélant l’estimation
analytique actuelle aux résultats numériques dans le cas
cartésien (faible courbure). Pour la gamme des paramètres
considérés, on identifie a = 1, 3 .
Pour le cas sans bloc, Le bilan d’énergie à l’entrée et à la
sortie de la cavité permet de déterminer la valeur de la
température de référence au cœur du domaine (Choukairy
et al, 2004):
4
ro
5
θ
centre
~ 1/(1 + ( ) )
(10)
r
Pour le cas de la cavité partitionnée, Les températures
r' e
fluide
θ centre sont supposées identiques entre les deux
domaines. La température au centre θ centre n’est fonction
r’, u’
que du rapport de rayon (Eq.10)
Le flux surfacique induit par convection dans le domaine
Figure 1 : Configuration étudiée.
fluide supérieur et inférieur vaut respectivement :
k f
q1 = S1
(Tc
− Tcentre
) avec S1 = 2πri
H1
(11)
METHODE NUMERIQUE
δ1
Les équations couplées (1) à (4) avec les conditions aux k f
q
limites sont résolues en utilisant la méthode de volume 3 = S3
(Tc
− Tcentre
) avec S3 = 2πri
H3
(12)
δ1
finis (Patankar , 1980). La résolution est faite en variables
primitives et le couplage vitesse-pression est résolu en Le flux surfacique radial induit par conduction au travers
utilisant l’algorithme de SIMPLER. Nous utilisons un de l’obstacle est donné par :
maillage irrégulier resserré prés des parois du cylindre et
autour de l’obstacle où les forts gradients sont rencontrés. k
s
r0
La solution est obtenue quand le maximum d’erreur pour q
chacune des équations est inférieur à 10 -9 2
= S
2
( Tc
− T
f
) / Ln(
) avec S2 = 2π
ri
H2
(13)
. La validité du
ri
ri
code de calcul a montré un bon accord avec les résultats
bibliographiques (erreur maximale de 3%).
La contribution conductive qui couple les deux domaines
fluides est supposée négligeable dans notre étude.
i
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 162

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Les relations précédentes expriment le transfert thermique Le domaine de validité de l’approximation analytique,
dans la cavité :
dépend donc fortement du rapport de forme. Pour
déterminer ce domaine de validité, Il conviendrait
q1
+ q2
+ q
k
Nu
3
f
d’étudier la variation du nombre de Nusselt numérique et
i = avec q r = (Tc
− Tf
)2πri
H (14)
q
L
analytique en fonction du rapport de forme.
1 k
s
H2
1
+
A k
f
r r
i O
ln( )
ri
144244
3
r
1
5 3
3
1
1
H1
H
4 2
4 4 3 4
Nu =
1
(Gr) (Pr) (1 − θcentre)
(( ) + ( ) )
4
H H
aA
14444444
244444444
3
contribution conductive
contribution convective
RESULTATS ET DISCUSSIONS
La Figure 2 représente la variation analytique et
numérique du nombre de Nusselt pour la cavité
partitionnée en deux parties égales en fonction du rayon
intérieur pour des rapports de forme de A = 1 et 4 , la
hauteur adimensionnelle de l’obstacle est de H 2
= 0, 06 .
Nu i
Nous remarquons que les valeurs analytiques et
numériques du nombre de Nusselt coïncident pour un
rapport de forme A = 4 pour les paramètres explorés
(rayon intérieur). Pour A = 1 , la différence entre les
résultats analytiques et numériques est significative.
8
7
6
5
4
A=4
Analytique Eq.(14)
Numerique
A=1
La Figure 3 représente la variation du nombre de Nusselt
5
pour différents rapports de forme pour un Gr = 10 et un
rayon intérieur de 4 .
Nous remarquons que le transfert augmente jusqu’à un
rapport de forme A = 1 , puis il diminue.
Le transfert est donc fonction de l’allongement, il varie en
−1
4
fonction de Nu ≈ A dans la gamme de paramètres
explorés et comme trouvés analytiquement. Pour les
faibles allongements, les effets de bord ne sont plus
négligeables et les transferts décroissent. Dans de tel cas
les résultats numériques ne peuvent coïncider avec les
résultats analytiques.
La nécessité d’avoir des conditions d’écoulement
pleinement développées est illustrée sur la Figure 4. Cette
figure représente la variation du nombre de Nusselt
normalisé pour différente courbure et différent rapport de
forme. On remarque que plus on augmente la hauteur H,
plus les couches limites deviennent séparées et les effets
de bord négligeables. Les résultats numériques tendent
vers les résultats analytiques.
Cette figure montre aussi que pour un A>1, les résultats
analytiques et numériques prédisent un transfert de
chaleur dans la cavité partitionnée supérieur à celui
obtenu dans une cavité non partitionnée. Ce transfert est
amélioré de 20% pour le cas d’une cavité partitionnée de
manière équidistante.
5
4
A -1/4
3
2
1
solution conductive
Nu i
3
2
0
0 2 4 6 8 10
1
r i
Figure 2 : Variation analytique et numérique du nombre
de Nusselt en fonction du rayon intérieur pour différents
rapports de forme (
5
pour Gr = 10 et H2
= 0, 06 ).
1 10
A
Figure 3 : Variation du nombre de Nusselt pour différents
5
( i
rapports de forme de la cavité pour Gr = 10 et r = 4)
.
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 163

Nu part
/Nu non part
12èmes Journées Internationales de Thermique
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1.5
Journal of Heat Transfer, vol. 107, 596-602
(1985).
1.4
Analytique Eq.(14) 3. Kumar. R., Kalam. M. A., “Laminar thermal
Numerique
convection between vertical coaxial isothermal
1.3
513-524 (1991).
cylinders”. Int.J.Heat and Mass Transfer, vol. 34,
1.2
4. Patankar. S., “Numerical Heat Transfer and
Fluid Flow”, Hemisphere, New York (1980).
1.1
5. Bejan. A., “Convection Heat Transfer”. Wiley,
1.0
New york (1984).
0.9
6. Choukairy. K., Bennacer. R. and Vasseur. P.
A=6
“Natural convection in a vertical annulus
A=2
A=4
0.8
A=1
Boarded by an inner wall of finite thickness”.
International Communication of Heat and Mass
0.7
Transfer, Vol.31, Issue 4, pp.501-512 (2004).
0.6
0 2 4 6 8 10
R
Figure 4 : Variation du nombre de Nusselt normé pour
différentes courbures et pour différents rapports de forme
5
de la cavité pour Gr = 10 .
CONCLUSIONS
Dans la présente étude, l’effet du partitionnement
horizontale sur le couplage thermique des différents sous
domaines est étudié analytiquement et numériquement.
L'approche analytique a montré clairement les capacités
d’estimer le taux du transfert thermique et de prédire les
conditions optimales pour atteindre le maximum
d’échange.
La simulation numérique a illustré la validité des résultats
analytiques et a permit d’identifier les conditions
nécessaires et suffisantes pour appliquer les corrélations
trouvées analytiquement pour différentes courbures et
nombres de Rayleigh.
Les résultats trouvés montrent que le transfert de chaleur
atteint un maximum avec le rapport de forme. dépend du
rapport de forme. Pour des couches limites bien
développées (A>1), il tend assymptotiquement vers A -1/4 .
Les résultats montrent aussi que le transfert de chaleur
dans une cavité partitionnée est supérieur à celui obtenu
dans une cavité non partitionnée au delà d’une certaine
valeur du rapport de forme A > 1 .
REFERENCES
1. de Vahl Davis. G., Thomas. R. W., “Natural
convection between concentric vertical
cylinders”, High speed computing in Fluid
Dynamics Physics of Fluids, Supplement ІІ,
198-207 (1969).
2. Prasad V., Kulacki F. A., “Free convection heat
transfer in a liquid-filled vertical Annulus”.
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 164