PROCESSUS`A TEMPS DISCRET. â EXAMEN

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14 Processus à temps discret. — Examen de seconde session (x) Conclure sur la question de la convergence vers l’équilibre en lien avec la réponse sur l’apériodicité de P. Exercice 3 (le modèle de Wright–Fisher). — Une population de taille constante N évolue sans mutation au cours du temps. Les individus sont de deux types, A et B. La génération initiale comporte m individus du type A et N¡m individus du type B. Chaque individu de laÔn 1Õ-ième génération a un parent tiré au sort avec équiprobabilité parmi les N individus de la génération précédente et hérite du type de son unique parent. Tous les tirages sont supposés indépendants. Soit X n le nombre d’individus de type A dans la n-ième génération. (i) Pour n1, quelle est la loi de X n conditionnellement à X n¡1 ? (ii) En admettant que le processus XÔX nÕn0 forme une chaîne de Markov homogène d’espace d’états EØ0, 1, . . ., NÙdans une certaine filtration F, et de valeur initiale m, préciser sa matrice de transition P. (iii) Déterminer les classes communicantes de la chaîne ainsi que leur classification. (iv) En déduire que la chaîne est presque sûrement convergente de valeurs limites possibles 0 ou N. (v) Montrer que X est une martingale bornée dans cette certaine filtration F. (vi) Notons TinfØn0:X TÈØ0, NÙÙ, le temps de « fixation » de la chaîne. En utilisant le théorème d’arrêt de Doob, déterminerÈmØX TNÙetÈmØX T0Ù. (vii) Définir en pseudo-langage (voisin de Scilab) une commande wrightstep d’arguments Ôx, NÕ, x étant le nombre d’individus de type A, N la taille totale de la population, retournant le nombre d’individus y de type A à la génération suivante. L’utiliser dans un pseudo-script destiné à observer la convergence le long d’une trajectoire. L’utiliser dans un autre pseudo-script destiné à estimer les probabilités calculées à la question précédente. Ces pseudo-programmes doivent virtuellement fonctionner, il faudra notamment donner des paramètres de simulation.
Université de Poitiers Département de Mathématiques 2M12–Processus à temps discret MMAS 1, Année 2009–10 PROCESSUS À TEMPS DISCRET. — CORRECTION DE L’EXAMEN DE SECONDE SESSION 14 juin 2010, 8h30–12h30, IFMI 12 Exercice 1. — (i) Soit t0. Pour xÈÊfixé, P tÔx, dyÕest la somme d’une série de mesures positives surÔÊ, BÔÊÕÕ. C’est donc une mesure positive et on a : P tÔx,ÊÕe¡λtôn0ÔλtÕn n !1. Ainsi P tÔx, dyÕest une mesure de probabilité. Pour f :ÊÊmesurable bornée fixée, on a P t fÔxÕe¡λtôn0ÔλtÕn fÔx nÕ. n ! Comme pour tout n0, xÈÊÔx nÕfÔx nÕest mesurable par composition, P t f :ÊÊest une série convergente de fonctions mesurables, elle est donc mesurable. En particulier, si f½B pour B borélien deÊ, xÈÊP tÔx, BÕest mesurable. Donc P t BÕ est un noyau de probabilité surÊ. (ii) Soient s, t0. Par définition de la composition des noyaux, pour xÈÊet BÈBÔÊÕ, on a P s P tÔx, BÕ÷ÊP sÔx, dyÕP tÔy, nÕ nÕ δØx mÙÔdyÕe¡λtôn0ÔλtÕn n !½BÔy nÕ nÕ mÙÔdyÕ½BÔy tÕôm0ôn0ÔλsÕmÔλtÕn e¡λÔs m m! n !½BÔx ÷Êe¡λsôm0ÔλsÕm m! tÕôm0ôn0ÔλsÕmÔλtÕn ÷Êe¡λÔs δØx mÙÔdyÕ½BÔy m! n ! e¡λÔs tÕôm0ôn0ÔλsÕmÔλtÕn m! n ! ÷ÊδØx tout étant positif, on aura interverti les sens de sommation en utilisant le théorème de Fubini– Tonelli. En changeant d’indices km n, lm (ce changement d’indices a été vu en L3 et en M1 premier semestre, des erreurs ne sont donc pas pardonnables), par convergence
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