PROCESSUS`A TEMPS DISCRET. â EXAMEN
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MMAS 1 9<br />
(alors que P 0Id). En raisonnant par blocs (produit tensoriel), nous avons<br />
1 1<br />
2¢0 1<br />
1 1 1 J<br />
1 0Å.<br />
1 1 1¬et<br />
P1<br />
3 U 3J 2 avec U 3¤¥1<br />
Comme J2Id 2 2 etÔ1<br />
3 U 3Õ21<br />
3 U 3, on a<br />
P 2¡1 2©¢¡1 2©¡1<br />
3 U 3J 3 U 3J 2Õ21<br />
3 U 3©2ÔJ 3 U 3Id 2 ,<br />
ce qui est écrit plus haut, et permet de voir de plus comment se calculent les puissances<br />
successives.<br />
(viii) Il est clair que si on part d’une mesure initiale qui ne charge pas les sommets pairs autant<br />
que les sommets impairs, il n’y aura pas convergence vers l’équilibre, ici la mesure uniforme,<br />
puisque ces charges ne ferons qu’osciller.<br />
y½Õ¨ °<br />
La périodicité de la chaîne laissait suspecter qu’il<br />
n’y aurait pas convergence vers l’équilibre.<br />
Exercice 3. — (i) Assez clairement, pour toutÔz, z½ÕÈE 2 ,<br />
³²³±x<br />
yÕ¨<br />
PÔz, z½ÕP Ôx, yÕ,Ôx½, x y si x½x<br />
cÕ¨<br />
c, y½y,<br />
y<br />
si x½x, y½y c,<br />
x y<br />
0 sinon.<br />
yÕô<br />
ou plus clairement<br />
z½ÕfÔz½Õ yÕ cÕ<br />
x<br />
y<br />
P Ôx, yÕ,Ôx c, et P Ôx, yÕ,Ôx, y<br />
x y<br />
x y .<br />
Si f : EÊest une application bornée ou de signe constant, par définition Pf est<br />
l’application définie par<br />
x<br />
y<br />
PfÔzÕPfÔx, PÔz, c, y<br />
x y¢fÔx x y¢fÔx,<br />
z½ÈE<br />
pour zÔx, yÕÈE.<br />
(ii) Puisque F est la filtration naturelle de Z, Z nÔX n×<br />
n , Y nÕest F n -mesurable et donc<br />
M nX nßÔX n Y nÕfÔZnÕqui est une fonction mesurable de Z n l’est aussi. De plus M n<br />
est intégrable puisque bornée.<br />
nÕPour n0, par la propriété<br />
nÕ cÕ<br />
de Markov on a<br />
<br />
n<br />
n¢<br />
1ÕF n×ÖfÔZ n 1ÕZ X n<br />
Y n<br />
PfÔZ n c, Y n , Y n<br />
X n Y n¢fÔX X n Y n¢fÔX X n X X n<br />
X n Y X n Y n c<br />
X n n Y n c<br />
X n Y n¢X X n Y n c<br />
M n<br />
ÖM n 1F n×ÖfÔZ<br />
n c<br />
X n Y n c<br />
Y n<br />
X n Y n¢<br />
È-presque sûrement. Ce qui montre que M est une martingale.<br />
(iii) Nous avons X n Y na c n¢c pour tout n0qui tend vers l’infini. Les deux<br />
composantes de ZÔX, YÕétant croissantes, l’une au moins tend vers l’infini, c’est donc<br />
aussi le cas de Z. En ce qui concerne la martingale M, elle est bornée. Nous savons qu’elle<br />
converge alors dans tous les espaces L pÔΩ, A,ÈÕ, p1, et que de plus elle converge presque<br />
sûrement, et donc aussi en loi. (Ce que nous ne savons pas est que la loi de la variable aléatoire<br />
limite est la loi Beta BÔaßc, bßcÕ.)
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