Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé Produit ... - Bibmath

Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé
médiane, alors E est nécessairement un espace préhilbertien (c’est-à-dire qu’il existe un produit
scalaire (., .) sur E tel que pour tout x de E, on a (x, x) = ‖x‖ 2 . Il s’agit donc de construire un
produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose :
(x, y) = 1 4
(
‖x + y‖ 2 − ‖x − y‖ 2) .
Il reste à vérifier que l’on a bien défini ainsi un produit scalaire.
1. Montrer que pour tout x, y de E, on a (x, y) = (y, x) et (x, x) = ‖x‖ 2 .
2. Montrer que pour x 1 , x 2 , y ∈ E, on a (x 1 + x 2 , y) − (x 1 , y) − (x 2 , y) = 0 (on utilisera
l’identité de la médiane avec les paires (x 1 + y, x 2 + y) et (x 1 − y, x 2 − y)).
3. Montrer, en utilisant la question précédente,que si x, y ∈ E et r ∈ Q, on a (rx, y) = r(x, y).
En utilisant un argument de continuité, montrer que c’est encore vrai pour r ∈ R.
4. Conclure !
Exercice 6 - Norme et moyenne - L2/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆⋆
Soient (E, 〈.〉) un espace préhilbertien réel, ‖.‖ la norme associée au produit scalaire, u 1 , . . . , u n
des éléments de E et C > 0. On suppose que :
∥ ∀(ε 1 , . . . , ε n ) ∈ {−1, 1} n n∑ ∥∥∥∥
,
ε
∥ i u i ≤ C.
Montrer que ∑ n
i=1 ‖u i ‖ 2 ≤ C 2 .
Projections et orthogonalité dans un espace préhilbertien
i=1
Exercice 7 - Relations usuelles sur les orthogonaux - L2/L3/Math Spé - ⋆
Soit E un espace préhilbertien, et A et B deux parties de E. On rappelle que A ⊥ désigne
Démontrer les relations suivantes :
1. A ⊂ B =⇒ B ⊥ ⊂ A ⊥ .
2. (A ∪ B) ⊥ = A ⊥ ∩ B ⊥ .
3. A ⊂ A ⊥⊥ . A-t-on toujours égalité ?
A ⊥ = {x ∈ E; < x, y >= 0 ∀y ∈ A} .
4. On suppose désormais que A est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que A∩A ⊥ = {0}.
Exercice 8 - Orthogonal, somme et intersection - L2/Math Spé - ⋆
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace préhilbertien E. Montrer que :
Que se passe-t-il en dimension finie ?
(F + G) ⊥ = F ⊥ ∩ G ⊥ .
F ⊥ + G ⊥ ⊂ (F ∩ G) ⊥ .
Exercice 9 - Pas de supplémentaire orthogonal ! - L2/Math Spé - ⋆
On considère E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire (f, g) = ∫ 1
0
f(t)g(t)dt. Soit F =
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