Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé Produit ... - Bibmath

Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé
Produit scalaire
Exercice 1 - CNS pour avoir un produit scalaire - L2/Math Spé - ⋆
Soient E un espace préhilbertien réel, a ∈ E un vecteur unitaire et k ∈ R. On définit
φ : E × E → R par
φ(x, y) = 〈x, y〉 + k〈x, a〉〈y, a〉.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur k pour que φ soit un produit scalaire.
Exercice 2 - Produit scalaire et matrices - L2/Math Spé - ⋆
Pour A, B ∈ M n (R), on définit
〈A, B〉 = tr(A T B).
1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur M n (R).
2. En déduire que, pour tous A, B ∈ S n (R), on a
( tr(AB)) 2 ≤ tr(A 2 )tr(B 2 ).
Exercice 3 - Fonctions continues - L3/Math Spé - ⋆⋆
Soit E = C([0, 1]) l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R, et soit a = (a n ) une
suite de [0, 1]. On pose, pour f, g ∈ E,
φ(f, g) =
+∞ ∑
n=0
1
2 n f(a n)g(a n ).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que φ définisse un produit scalaire sur
E.
Sur la géométrie
Exercice 4 - Stricte convexité de la boule - L2/L3/Math Spé - ⋆
Soit E un espace préhilbertien complexe.
1. A quelle condition a-t-on égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? Dans l’inégalité de
Minkowski ?
2. Soit B la boule unité fermée de E. Montrer qu’elle est strictement convexe, c’est-à-dire
que la norme d’un vecteur de la forme tx + (1 − t)y avec 0 < t < 1 et (x, y) distincts dans
B est strictement inférieure à 1.
Exercice 5 - Sur l’identité du parallélogramme - L2/L3/Math Spé - ⋆
Il est bien connu que si E est un espace préhilbertien muni de la norme ‖.‖, alors l’identité
de la médiane (ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir : pour tous x, y de E, on a :
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2‖x‖ 2 + 2‖y‖ 2 .
L’objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le
résultat suivant : si E est un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l’identité de la
http://www.bibmath.net 1

Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé
médiane, alors E est nécessairement un espace préhilbertien (c’est-à-dire qu’il existe un produit
scalaire (., .) sur E tel que pour tout x de E, on a (x, x) = ‖x‖ 2 . Il s’agit donc de construire un
produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose :
(x, y) = 1 4
(
‖x + y‖ 2 − ‖x − y‖ 2) .
Il reste à vérifier que l’on a bien défini ainsi un produit scalaire.
1. Montrer que pour tout x, y de E, on a (x, y) = (y, x) et (x, x) = ‖x‖ 2 .
2. Montrer que pour x 1 , x 2 , y ∈ E, on a (x 1 + x 2 , y) − (x 1 , y) − (x 2 , y) = 0 (on utilisera
l’identité de la médiane avec les paires (x 1 + y, x 2 + y) et (x 1 − y, x 2 − y)).
3. Montrer, en utilisant la question précédente,que si x, y ∈ E et r ∈ Q, on a (rx, y) = r(x, y).
En utilisant un argument de continuité, montrer que c’est encore vrai pour r ∈ R.
4. Conclure !
Exercice 6 - Norme et moyenne - L2/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆⋆
Soient (E, 〈.〉) un espace préhilbertien réel, ‖.‖ la norme associée au produit scalaire, u 1 , . . . , u n
des éléments de E et C > 0. On suppose que :
∥ ∀(ε 1 , . . . , ε n ) ∈ {−1, 1} n n∑ ∥∥∥∥
,
ε
∥ i u i ≤ C.
Montrer que ∑ n
i=1 ‖u i ‖ 2 ≤ C 2 .
Projections et orthogonalité dans un espace préhilbertien
i=1
Exercice 7 - Relations usuelles sur les orthogonaux - L2/L3/Math Spé - ⋆
Soit E un espace préhilbertien, et A et B deux parties de E. On rappelle que A ⊥ désigne
Démontrer les relations suivantes :
1. A ⊂ B =⇒ B ⊥ ⊂ A ⊥ .
2. (A ∪ B) ⊥ = A ⊥ ∩ B ⊥ .
3. A ⊂ A ⊥⊥ . A-t-on toujours égalité ?
A ⊥ = {x ∈ E; < x, y >= 0 ∀y ∈ A} .
4. On suppose désormais que A est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que A∩A ⊥ = {0}.
Exercice 8 - Orthogonal, somme et intersection - L2/Math Spé - ⋆
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace préhilbertien E. Montrer que :
Que se passe-t-il en dimension finie ?
(F + G) ⊥ = F ⊥ ∩ G ⊥ .
F ⊥ + G ⊥ ⊂ (F ∩ G) ⊥ .
Exercice 9 - Pas de supplémentaire orthogonal ! - L2/Math Spé - ⋆
On considère E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire (f, g) = ∫ 1
0
f(t)g(t)dt. Soit F =
http://www.bibmath.net 2

Exercices - Espaces préhilbertiens : énoncé
{f ∈ E, f(0) = 0}. Montrer que F ⊥ = {0}. En déduire que F n’admet pas de supplémentaire
orthogonal.
Exercice 10 - Calcul de distances - L2/Math Spé - ⋆⋆
Calculer inf a,b∈R
∫ 1
0 (x2 − ax − b) 2 dx.
http://www.bibmath.net 3